2 Problemas Resueltos de Control de Sistemas Continuos Con Scilab

8/11/2019 2 Problemas Resueltos de Control de Sistemas Continuos Con Scilab

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REGULACINAUTOMTICA Ejercicios del libro

Control de sistemas continuos, problemas resueltos de Mac Graw Hill

realizados con el programaSCILAB 2.7.2.

PRCTICA N 1: 9.5 Diseo de un regulador PID real. PRCTICA N 2: 7.6 Lugar de las Races.

Jos Manuel Gmez Vega (junio 2004)

IngeMek Ingenieroswww.ingemek.es


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Jos Manuel Gmez Vega. pg. 1

PRCTICA N 1. EJERCICIO 9.5. DISEO DE UN REGULADOR PID REAL.

Dado el sistema de la figura: Z(s)

+

X(s) + R(s) +1

(S+1)(S+2) Y(s)

_

se pide disear el regulador real ms sencillo que verifique:

,1.515 % , 10 % p pt ss M e

ante entradas escaln en X(s).

___________________________________________________________________

SOLUCIN MEDIANTE SCILAB 2.7.2

El estudio para encontrar el regulador idneo de acuerdo a las consideraciones de diseo quese plantean en los problemas (que son condiciones impuestas para encontrar el reguladoracorde a unas especificaciones predeterminadas) est sintetizado mediante diagrama de bloques en el apartado terico del mismo libro. Lo primero que hay que hacer para determinarel tipo de regulador que cumple las condiciones es hallar la posicin de los polos dominantesPD y verificar si pertenecen al lugar de las races. Para ello nos valemos de los datos delenunciado que son dichas condiciones.

Posicin de los polos dominantes P D del sistema realimentado:

tan 9100 15 % 5 p M e 1.5 2.1st s

tan 3.5 D

donde, aunque ya conocemos lo que son cada una de las variables, vamos a recordarlo: M p es el sobrepaso o sobreoscilacin en tanto por ciento.t s es el tiempo de establecimiento o asentamiento. Los autores de este libro de problemasofrecen una frmula aproximada para hallar dicho valor. El libro base Ingeniera de controlofrece una forma ms precisa basada en el porcentaje especificado alrededor del valor estable.


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PRCTICA N 1. EJERCICIO 9.5 DE CONTROL DE SISTEMAS CONTNUOS.DISEO DE UN REGULADOR PID REAL.


Sera:ln

s

xt , donde x es el tanto por uno asociado al porcentaje referido (el numerador es

positivo, pues el logaritmo es negativo pero se toma valor absoluto). Las dos frmulascoinciden para x = 0,0432, es decir, para el 4,32 %. Como debe interesar un porcentaje entorno al 2-4 % la frmula es razonablemente vlida si no se indica dicho valor (como es elcaso presente).

es la abcisa (componente real) o distancia del polo respecto el eje imaginario. D es la ordenada (componente imaginaria) o distancia del polo respecto al eje real.

Se cumple: 2 2 , cosn n , donde es el ngulo que forma n .La expresin de los polos dominantes sera:

2.1 3.5 D DP j j

El lugar de las races es:


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-2.1 -1.9 -1.7 -1.5 -1.3 -1.1 -0.9-12

-8

-4

0

4

8

12

open loop polesasymptotic directions

Evans root locus

Real axis

Imag. axis

Como puede verse, el lugar de las races no pasa por PD. Esto indica que no es suficiente conun regulador proporcional P y que har falta un regulador tipo PD:

( ) Rs c R s K s d

con c < d , donde como se observa en la expresin,c ser un cero yd un polo.Para que PD pertenezca al lugar de las races, los ngulos deben verificar el criterio delargumento:

( ) ( ) 180i ceros i polos , para K>0 (lugar directo)

Al haber introducido un polo y un cero, podemos conocer el aporte en ngulo de dicho par,aunque no simultneamente los dos ngulos pues hay dos incgnitas y una sola ecuacin.El ngulo de cada polo o cero es el comprendido entre el eje real y el vector que une a cada polo-cero con el PD en sentido antihorario.

Entonces, se tiene: 1 2( ) 180 3.5 3.5180 180 arctan 180 arctan 19.11.1 0.1C

Existen tres maneras para conseguir situar el par polo-cero con el resultado obtenido:1) situar c en la vertical de PD , valiendo c = 2.1.2) situar c cancelando el 2 polo, siendo c = 2.3) situar c y d de forma que la bisectriz sea el ngulo buscado.


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Estos tres modos no son ms que situaciones en las que logramos obtener ngulos de 90conocidos, por lo que las dos incgnitas se transforman en una sola para resolver por elcriterio del argumento.

El libro realiza el clculo mediante el 2 criterio, por ser el numricamente ms fcil. A

continuacin resolvemos el problema empleando el 1er. mtodo. En la ecuacin anterior sehace 90; de esta forma, queda:

19.1 90 19.1 70.9C

Sabiendo el ngulo, es fcil determinard :

3.5 1.2 1.2 2.1 3.3tan70.9c d c d d c d

donde se observa que se han definido tantoc comod positivos cuando realmente estn en elsemieje real negativo (es un convenio).

Mediante el criterio del mdulo obtenemos el valor de la gananciaK :

2 2 22 2 2

1 22 2

2.1 1 3.5 2.1 2 3.5 3.3 2.1 3.513.58

0 3.5d

c

d d d K

d

Se observa que los valores hallados parad , c y K son muy parecidos a los calculados por ellibro siguiendo el otro mtodo. De esta forma el regulador R(s) sera:

13.58 2.1( ) 3.3s R ss

A continuacin hallamos el lugar de las races de R(s)G(s) :


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-3.5 -3.1 -2.7 -2.3 -1.9 -1.5 -1.1 -0.7-1.9

-1.5

-1.1

-0.7

-0.3

0.1

0.5

0.9

1.3

1.7

2.1

open loop zeroesopen loop polesasymptotic directions

Evans root locus

Real axis

Imag. axis

Veamos si cumple las especificaciones:

0

13.58 ( 2.1)lim 4.32( 3.3) ( 1) ( 2) p ssK

s s s

1 1 0.188 18.8 % 10 %1 1 4.32 p p pe e

K

Por lo tanto, al ser el error de posicin mayor que el de diseo, se precisa un regulador PID,que ser de la forma:

2.1( ) 13.58 3.3s a s R ss b s

siendob < a , y ambos cercanos entre s. Se eligea pequeo para que el lugar de las races novare significativamente, (a 1/6 de la distancia de los polos dominantes en cadena cerradarespecto al eje imaginario, tal y como se recomienda en el libro):

2.1 0.356a

Parab se calcula teniendo en cuenta que debe cumplir la especificacin del error de posicin:

10.10 91 p p pe K

K


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00.35 2.1 1lim ( ) ( ) 13.58 93.3 1 2 p sK R s G s b

Despejando se obtiene parab: 0.168 0.17b

De esta forma, el regulador PID quedara:

0.35 2.1( ) 13.58 0.17 3.3s s R ss s

El lugar de las races definitivo ser:

que cumple con las condiciones enunciadas.


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Vamos a analizar las respuestas de los sistemas estudiados.

La respuesta del sistema en cadena cerrada ante una entrada escaln unitario para el sistemasin compensar ser:

Se observa que tiene un error permanente y un tiempo establecimiento grande.


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La respuesta del sistema en cadena cerrada ante una entrada escaln unitario para el sistemacompensado con el regulador PDI que hemos calculado ser:

Se observa que no tiene error permanente y que el tiempo de establecimiento es mayor que elanterior (sistema sin regular).


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Puede Ud. obtener un programa para resolver problemas del lugar de las races para lascalculadoras Texas Instruments 92 Plus y Voyage 200 en:

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/372/37238.html

El programa se llama Control 7 y permite hallar todos los clculo e imprimir en pantallagrficos animados de la evolucin del sistema.


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PRCTICA N 2. EJERCICIO 7.6. LUGAR DE LAS RACES.

Estudiar por Nyquist la estabilidad del sistema de la figura cuando K vara de

hasta . Comprobar los resultados, contrastndolos con los obtenidos mediantela tcnica del lugar de las races.

K

( 1)7 2s

s s

2

1s

___________________________________________________________________

SOLUCIN MEDIANTE SCILAB 2.7.2

La funcin de transferenciaG(s)H(s) (en cadena abierta) es:

2 ( 1)( ) ( )1 7 2

K sG s H ss s s

Observando la funcin se aprecia que no hay polos en el permetro, por lo que el camino de Nyquist contar con los tres tramos tpicos (semicircunferencia cerrada con tramo recto paralelo al eje Im con los puntos interiores pertenecientes todos al eje Re positivo). Ningunode los polos est en el interior de dicho camino, por lo que P=0 (no hay polos en el semiplanoreal positivo).

Estudiemos la imagen de cada tramo del camino de Nyquist por la funcin en cadena abierta.


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PRCTICA N 2. EJERCICIO 7.6 DE CONTROL DE SISTEMAS CONTNUOS.LUGAR DE LAS RACES.


TRAMO I: , 0s j

Observacin: se corrigi el inicio de Nyquist de 0.01 a 0 en la grfica siguiente. El motivo esque no comenzaba en el semieje Im (para verificar valor con0)


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Para hallar el puntoQ del diagrama polar que cruza la curva por el eje real, se observan losdiagramas hallados:

Segn el diagrama polar (para K=1), este punto est en torno a 0.1Q . Mediante el diagrama de Bode se observa que la amplitud a la frecuencia en que la

fase cruza los 0 es:20.log( ) -20 0.1 A Q dB Q


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La amplitud para el valor 407 1.83411 , ser:

11( ) ( ) 0.1019108G s H s K K

Por otra parte, es claro que para 0, el valor ser:

1( ) ( ) 0.14297G s H s K K

como tambin se observa fcilmente en el diagrama polar.

TRAMO II: , js R e R

Tomamos el cambio de variable y transformamos la funcin:

Ahora solo queda calcular el lmite de la funcin en el punto requerido. Las variables en lacalculadora no distinguen entre maysculas y minsculas, por lo que aunque en la lnea deedicin se ponga R mayscula, en la presentacin en pantalla aparecern siempre enminscula si forman parte de ecuaciones, y R=r a todos los efectos. Cuando una respuesta en pantalla es ms grande que el ancho o alto de la misma, se puede visualizar corriendo eldisplay. El clculo anterior se ha hecho con mucha rapidez pues dado queaparece en todos

los trminos, se puede optar por incluir que 0 . De no hacerlo, el procesador Motorola de


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16 Mhz tardara mucho tiempo en ofrecer una respuesta en este caso particular. Se podra poner cualquier valor para y no cambiara el resultado del lmite.

Por lo tanto, la imagen del tramo II es el origen.

Sin embargo, no sabemos por donde sera el recorrido. No es de gran importancia pues setrata solamente de un punto, pero vamos a calcularlo.Para obtener esto, tendremos que recurrir a simplificaciones parciales de la funcin detransferencia y llegar a un resultado en funcin del argumento (que lgicamente ser 0).Observando ( ) ( )G j H j y dado que R tiende a infinito, en cada sumando que aparece R, elotro sumando es despreciable.

De esta forma, quedara:

El trmino de la exponencialn da el arco origen y el arco final, es decir que se trata de un

arco de radio 0 desde 180 hasta 180 en sentido antihorario.

TRAMO III: ,0, js

Se trata de un tramo simtrico respecto al eje real del tramo I.


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La imagen del camino de Nyquist para valores deK positivos ser:

Obsrvese que el diagrama anterior se realiz paraK=1 . Es fcil comprobar la estabilidad

observando si el punto afijo 1 es contenido por la curva.El primer intevalo vlido paraK>0 (en el que hay estabilidad como se va a comprobar) sera:0 17

K , pues el grfico anterior representa el lmite paraK=1.Entonces:

N=0 , Z=N+P=0 ESTABLE (para 0 17K )

Estudiemos valores positivos deK en el tramo que queda, que es: 17K . Para ello debemos

de repetir la grfica de Nyquist paraK=7 que es el valor lmite (se omiten las entradas deScilab por ser similares). Veamos que sucede en el valor lmite (K=7 ):


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Para valores deK negativos, la imagen del camino de Nyquist es simtrica respecto al origen por el desfase de 180 al variar el signo deK. Estudiemos los intervalos. Se omiten las entradas en Scilab pues tan solo varan lasdefiniciones deK, que ahora sern negativas.

El primer intervalo ser:0.1019.K


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Estudiemos ahora el otro intervalo:0.1019.K>1 . Observemos el diagrama de Nyquist conK=-50, (K=50) . En Scilab introduciremosK=-50. (He buscado a propsito los valores de Kque hacen mis grficos similares a los del libro en cuanto a escalas).

En dicho intervalo, el afijo 1 est contenido por la curva, pero adems hace dos giroshorarios completos a su alrededor; por lo tanto:

N=2, Z=N+P=2 INESTABLE (dos polos) (para 0.1019 ' 1K )

Vamos a confirmar los resultados analizando el lugar de las races. Para ello, en esta ocasin,voy a usar el programa RootLocus (Rlocus7), que es una versin muy mejorada de un programa para la Texas Instruments que grafica y calcula, paso a paso, lugares y contornos deraces de una forma fcil y muy didctica, con una presentacin fcil de seguir y que permiterealizar los problemas en forma secuencial, con tan solo definir las funciones de transferencia.Graficar las pantallas. Como se va a observar, no ser necesario hacer el ms mnimocomentario pues toda la informacin es mostrada en pantalla (en espaol).Las pantallas se leern de izquierda a derecha y de arriba abajo, segn aparezcan.Los detalles respecto al programa se comentarn en documento aparte.


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SOLUCIN del lugar de las races MEDIANTE rlocus7


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Jos Manuel Gmez Vega pg 24

nicamente referir que para graficar el lugar de las races se usan parmetros para Ki, Kf y el paso. En este ltimo caso para K

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