2009_Tema_6_variables_instrumentales

UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA ECONOMETRIA I

L IC . FERNANDO ESCOBAR

EL ESTIMADOR DE VARIABLES INSTRUMENTALES

CLASE 7

1. Introducción Consideremos el modelo:

1

1

1

23121

<<<<++++====

<<<<++++++++++++====

−−−−

−−−−

ρρρρεεεερµρµρµρµµµµµ

ββββµµµµββββββββββββ

ttt

tttt XYY

Donde tεεεε es ruido blanco.

La existencia de autocorrelación en el término de error hace que la propiedad del modelo,

0)( 1 ====−−−− ttYE µµµµ no se satisfaga, 1−−−−tY depende de 1−−−−tµµµµ a través del modelo y tµµµµ y 1−−−−tµµµµ

están relacionados por la estructura autorregresiva del término de error. En consecuencia

1−−−−tY y tµµµµ están correlacionados. El estimador de mínimos cuadrados es sesgado, y

además su sesgo no desaparece al aumentar el tamaño muestra (estimador inconsistente). Por ejemplo, en el caso más sencillo con 031 ======== ββββββββ se tiene:

(((( ))))

(((( )))) 221

122 /1lim

/1limˆlim ββββ

µµµµββββββββ ≠≠≠≠++++====

∑∑∑∑∑∑∑∑

−−−−

−−−−

t

tt

YTp

YTpp

Los momentos muestrales convergen en probabilidad a sus análogos poblacionales:

(((( ))))ρρρρββββ

ρσρσρσρσµµµµ µµµµ

2

2

1 1−−−−====−−−− ttYE y (((( )))) 22

1 YtYE σσσσ====−−−− . Por tanto, se tiene que el estimador MCO no es

consistente. Este resultado de inconsistencia es válido en general, siempre que aparezcan conjuntamente retardos de la variable endógena y autocorrelación del término de error. 2. El estimador de variables instrumentales El procedimiento para obtener estimaciones consistentes de un modelo de este tipo se conoce como estimador de variables instrumentales. Una variable instrumental es una variable tZ que satisface tres condiciones:

a. No está incluida en el modelo como variable explicativa, b. Está incorrelacionada con el término de error, es decir (((( )))) 0====ttZE µµµµ

c. Está correlacionada con la variable para la cual hace de instrumento.



Por ejemplo, en el modelo anterior 1−−−−tX el primer retardo de la variable exógena

satisface estas tres condiciones, pues aparte de que, por ser determinística, 0)( ====ttXCov µµµµ , también se tiene que 1−−−−tX influye sobre 1−−−−tY a través del propio modelo

escrito para el período 1−−−−t . En general, en el vector tx tan sólo habrán unas variables que no satisfagan la condición

0)( ====ttxE µµµµ y son estas variables las que necesitan de variables instrumentales. Es

decir, los vectores tx y tz tendrán en común aquellas variables que están

incorrelacionadas con el término de error. Así en el ejemplo anterior ),,1( 1 ttt XYx −−−−====mientras tz podría ser el vector ),,1( 1 ttt XXz −−−−==== .

El estimador de variables instrumentales viene dado por:

yZXZVI ')'(ˆ 1−−−−====ββββ

Donde Z es de dimensión Txk compuesta por observaciones muestrales de las variables que componen el vector tz , y suponemos que XZ ' es invertible. Volviendo al ejemplo

anterior, el estimador de variables instrumentales es:

−−−−====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

tt

tt

t

tttt

ttttt

tt

VI

YX

YX

Y

XYXX

XXYXX

XYT

1

1

21

1111

11

β̂βββ

Donde, como puede verse, la matriz XZ ' dista de ser simétrica. En cuanto a la correlación que debe existir entre una variable instrumental y la variable explicativa para la que se utiliza como instrumento, cabe observar lo siguiente:

a. Es importante que dicha correlación exista, puesto que la variable instrumental

1−−−−tX sustituye parcialmente a la variable 1−−−−tY en la estimación del modelo

econométrico. b. Sin embargo, dicha correlación no puede ser muy importante, puesto que entonces

también existiría una correlación apreciable entre la variable instrumental tZ y el

término de error tµµµµ , que es lo que motivó la necesidad de la variable

instrumental. En el modelo presentado también podría utilizarse otro retardo, por ejemplo, 2−−−−tX como

variable instrumental. La diferencia es que la relación entre esta variable e 1−−−−tY se hace



más indirecta, así 2−−−−tX está directamente correlacionada con 2−−−−tY quien a su vez está

correlacionada con 1−−−−tY a través del modelo y ésta con tY .

El estimador de variables instrumentales del modelo presentado es, en general, sesgado, pues la variable 1−−−−tY aparece en la matriz XZ ' . Para que sea insesgado debe ocurrir que

(((( )))) 0')'( 1 ====−−−− µµµµZXZE pero ello no es común. Afortunadamente, podremos afirmar que el

estimador es consistente bajo las condiciones dadas a continuación:

Sea Z una matriz de dimensiòn Txk de observaciones de las variables kzzz ,..., 21 (quizá

aleatorias). Sea tz la fila t de Z supongamos que se tiene:

a. 0'

lim ====

TZ

pµµµµ

b. ∑∑∑∑∑∑∑∑ ====

====

zzzx T

ZZp

TXZ

p'

lim'

lim no singulares y finitas.

Entonces el estimador de variables instrumentales es consistente.

)'()'()('()'()'()'(ˆ 111 µβµββ ZXZXZXZyZXZVI−−− +=+==

Entonces:

ββββββββµµµµββββµµµµββββββββ ====++++====++++====++++==== ∑∑∑∑−−−−−−−−zxVI T

Zp

TXZ

pT

ZT

XZpp 0)

'lim()

'lim())

'()

'(lim()ˆlim( 11

Donde se han utilizado el hecho que los instrumentos satisfacen: 0'

lim ====

TZ

pµµµµ

Así pues, la consistencia de VIββββ̂ proviene de la inexistencia de correlación entre los

instrumentos y los términos de error. Se puede demostrar que en muestras grandes se utilice como matriz de varianzas y covarianzas del estimador de variables instrumentales lo siguiente:

)'(T

)ˆ(Var 1zxzz

1zx

2

VI−− ΣΣΣ= µσ

β

Utilizando las matrices de momentos muestrales T

XZ 'y

TZZ '

para aproximar los límites

anteriores. De esta manera la matriz de varianzas y covarianzas estimada del estimador de variables instrumentales es:



[[[[ ]]]]'112112

)'()'()'('''

)ˆ( −−−−−−−−−−−−−−−−

====

==== XZZZXZT

XZT

ZZT

XZT

Var VI µµµµµµµµ σσσσ

σσσσββββ

Por último, el parámetro 2

µµµµσσσσ se estima dividiendo la suma residual por el número de

grados de libertad kT −−−− . Sin embargo, es importante tener en cuenta que, una vez más, los residuos deben calcularse utilizando las variables originales del modelo, es decir:

kT

xyxy VIVI

−−−−−−−−−−−−

====)ˆ'()'ˆ'(

ˆ 2 ββββββββσσσσ µµµµ

3. Eficiencia relativa de los estimadores de variables instrumentales Hasta aquí se ha desarrollado el estimador de variables instrumentales suponiendo que existe un número de instrumentos igual al de variables explicativas. En tal caso, no existe diferencia entre instrumentos y variables instrumentales. Más generalmente, se dispondrá de un número mayor de instrumentos que de variables explicativas, situación que denominamos como de sobreidentificación. En tal caso, habría muchas formas de construir las variables instrumentales que precisamos para obtener consistencia. Debe observarse que, como muestra el sistema de ecuaciones yZXZVI ')'(ˆ 1−−−−====ββββ que

define el estimador de variables instrumentales, éstas deben configurar un vector de k variables, igual al número de variables explicativas del modelo original. De otro modo, la matriz XZ ' no sería cuadrada y menos aún invertible. Pero acabamos de ver cómo la matriz de covarianzas del estimador de variables instrumentales depende de los valores de éstas, por lo que el modelo en que los instrumentos se combinan para generar variables instrumentales influye sobre la eficiencia de un estimador de variables instrumentales respecto a otro estimador de su misma clase. Por ejemplo, consideremos el modelo:

ttt

tttttt XXXYY

εεεερµρµρµρµµµµµµµµµββββββββββββββββββββ

++++====

++++++++++++++++++++====

−−−−

−−−−

1

352413121

En el que las variables tt XX 21 , y tX 3 supuestas determinísticas, están incorrelacionadas

con el término de error, y sus rezagos son instrumentos válidos. Pero sólo necesitamos una variable instrumental para 1−−−−tY y se trataría de buscar cuál de todas las posibles

minimiza la varianza del estimador resultante. Nótese que cualquier combinación lineal de los instrumentos mencionados es asimismo un instrumento válido, así como cualquiera de estas variables por separado.



Una posibilidad consiste en generar la variable instrumental que presente mayor correlación con 1−−−−tY . Para ello, se estima una regresión auxiliar de esta variable sobre los

tres instrumentos de que disponemos, para obtener la variable 1ˆ

−−−−tY que será una

combinación lineal de 131211 ,, −−−−−−−−−−−− ttt XXX y como tal una variable instrumental válida. La

utilización del vector ),,,ˆ( 3211 ttttt XXXYz −−−−==== genera el denominado estimador de

mínimos cuadrados en dos etapas EMC 2β̂βββ .

En general, la regresión de todas las variables explicativas sobre todos los instrumentos, recogidos en la matriz de observaciones W produce los coeficientes )'()'( 1 XWWW −−−− y

genera el vector de variables explicadas )'()'(ˆ 1 XWWWWX −−−−==== , que utilizadas como

variables instrumentales XZ ˆ==== conducen finalmente al estimador de mínimos cuadrados en dos etapas:

[[[[ ]]]]yXXX

yWWWWXXWWWWX

EMC

EMC

'ˆ)ˆ'ˆ(ˆ

')'('')'('ˆ

12

1112

−−−−

−−−−−−−−−−−−

====

====

ββββ

ββββ

Es claro, por comparación, que las variables instrumentales son XZ ˆ==== . Por consiguiente, su matriz de covarianzas es

1122

1112121122

))'()')('(()ˆ(

)')'(')'('()ˆ'ˆ()ˆ')(ˆ'ˆ()'ˆ()ˆ(−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

====

============

XWWWWXVar

XWWWWWWWWXXXXXXXXXVar

EMC

EMC

µµµµ

µµµµµµµµµµµµ

σσσσββββ

σσσσσσσσσσσσββββ

Donde la varianza del término de error se estima de la manera descrita anteriormente. La última igualdad en la expresión de la matriz de varianzas y covarianzas permite ver que el estimador MC2E puede también obtenerse sustituyendo totalmente a las variables que están correlacionadas con el término de error por sus variables instrumentales. Puede probarse que MC2E es el estimador lineal de variables instrumentales eficiente, en el sentido de tener mínima matriz de covarianzas entre los estimadores que utilizan como variables instrumentales combinaciones lineales de los instrumentos disponibles. 6. Prueba de Hipótesis de un conjunto de hipótesis con el estimador MC2E Una vez obtenido el estimador MC2E, si se quiere constrastar un conjunto de hipótesis lineales como rR ====ββββ , el estadístico:



2

11

ˆ

/)ˆ()')'(()'ˆ(

µµµµσσσσββββββββ qrRRXXRrR

F VIVI −−−−−−−−====

−−−−−−−−

Se distribuye asintóticamente como una variable chi-cuadrada con q grados de libertad

siendo q el número de restricciones y 2ˆ µµµµσσσσ el estimador obtenido con los residuos de

MC2E.

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