Grupo

Nivel 3

Nivelacin Restitutiva

2006

Matemtica

lgebra1 Medio

Material elaborado por:Facultad de Educacin, Pontificia Universidad Catlica de ChileEquipo Desarrollo Pedaggico - Programa Liceo Para Todos

Inicindonos en el lenguaje algebraico

Sabas qu? El lgebra, es la rama de la Matemtica en la que se usan letras para representar diferentes relaciones aritmticas. La historia del lgebra comenz en el antiguo Egipto y Babilonia.

En la vida cotidiana realizamos una serie de operaciones matemticas con la finalidad de resolver diferentes problemas. Por ejemplo: para calcular el valor de la compra de cierta cantidad de litros de leche es necesario saber el precio de un litro. Completa en la tabla el precio a pagar por la compra de: 4, 5 y 6 litros.

Litros de leche Precio $ 94 el litro1 942 788 1.182

La variacin proporcional que observas en la tabla permite concluir que el precio de seis litros se obtiene calculando: 94 6 Qu representa el nmero 94 en la expresin 94 6? R:

Y el 6? R:

Cunto pagaras por la compra de: uno, dos, tres o ms litros de leche a un precio n el litro? Ciertamente que n es un valor desconocido pero eso no impide saber el procedimiento que permitira encontrar la respuesta.

Completa la siguiente tabla de acuerdo al trabajo anterior.

Litros de leche Precio $ n el litro

1 n

2 2n

Segn la tabla anterior la letra n tiene un valor fijo o variable? Por qu? R:

En la expresin 6 n qu significa el 6? y qu significa n? R:

4

Toma nota En cursos anteriores aprendiste a calcular el valor de una expresin determinada, ahora estudiars y escribirs diferentes expresiones al traducir palabras en smbolos matemticos.

Como puedes ver en el problema anterior n representa cierto precio. Segn esto, escribe en la tabla el precio a pagar por la compra de 10 litros segn los posibles valores de n

Posibles precios n del litro Precio a pagar por la compra de 10 litros.

n = 95

n = 99

n = 412

n = 429

Supn ahora que x representa el valor del precio a pagar por un producto alimenticio. Escribe en la tabla los casos en que el cliente paga el: doble, el triple, el cudruplo, el quntuplo y el sxtuplo del precio inicial.

Precio a pagar. Paga el:

5x del precio inicial

2x del precio inicial

x del precio inicial

4x del precio inicial

6x del precio inicial

El mismo producto fue cotizado en varios almacenes a un precio x diferente. Calcula, en cada caso, el valor a pagar por la compra:

Valores de x Compra Precio a pagar

x = $119 5x

x = $121 5x

x = $109 5x

x = $15 5x

Toma nota Un trmino algebraico es el producto de una o ms variables con una

constante literal o numrica, ejemplo: 2x, ab, ab

4 , etc. En todo trmino algebraico se

reconoce un: coeficiente numrico (nmero), factor literal (letra) y grado que corresponde

a la suma de los exponentes de su factor literal.

Recuerda que.

2 x = 2 x ab = a bab = a b 2 2

5

Para resolver problemas de la vida diaria probablemente tendrs que traducir palabras o enunciados en expresiones algebraicas. De gran ayuda ser conocer algunas palabras o enunciados que sugieren operaciones matemticas conocidas. Observa la siguiente tabla y sus ejemplos:

OperatoriaEn un problema se puede plantear como

Ejemplo

Suma

Ms que Cierto nmero aumentado en 10

n + 10Suma

Aumentado en

Ganancia de

Resta

Menos 500 menos un nmero c

500 cDisminuido en

Diferencia

Menos que

Multiplicacin

Veces El doble de la suma de x y 5

2 (x + 5)Producto

Duplicar, triplicar,.

Por

Divisin

Dividido entre La mitad de cierto nmero

x : 2 Cociente

Mitad de

Un tercio, un cuarto,

Ahora trabaja t. Escribe una expresin algebraica para cada uno de los siguientes enunciados:

Ejemplo Expresin algebraica

Un tercio de cierto nmero x : x/

Cuatro veces cierto nmero

El triple de la diferencia de m y n

Un nmero p aumentado en 1

Un nmero p disminuido en 1

El producto entre un nmero z y la diferencia de w y v

2.000.000 ms una cierta cantidad de UF

Cierto precio t menos el 10% de t

Cierto precio s aumentado el 5% de s

El 25% de cierto nmero m

12 veces el precio x de un CD

2x

6

Toma notaUna expresin algebraica es el resultado de combinar, mediante la adicin, uno o ms trminos algebraicos, por ejemplo: n + 5, 2n 1 y 2 (x + y) En estos ejemplos las variables son: n, x e y

El trabajo anterior permiti ejercitar la traduccin de un enunciado verbal a una expresin algebraica, por ejemplo:

5 veces la suma de un nmero n y

5 ( n + 1

2 )

Qu te parece que ahora realices el proceso inverso? Escribe un enunciado para cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

Expresin algebraica Enunciado

x + 5 El triple de cierto nmero aumentado en 5

12 h

n + 1

n - 1

a b

m

4 - 1

10 (5 p)

a + 4b

a2 - 100

Problema de aplicacin

En un supermercado la bandeja de 0 huevos se vende a $ 1.550. Escribe una expresin que describa:

El dinero reunido al vender n bandejas. R:

El dinero reunido por la venta de n bandejas menos el costo de 5 bandejas, devueltas por estar en mal estado.

R:

1

2

Para explicar sus inventos, los inventores por lo general emplean smbolos matemticos en reemplazo de enunciados.

7

Algunos nmeros especiales en lenguaje algebraico

Otra situacin que ocurre frecuentemente hoy en da es el siguiente:

En diferentes recintos o lugares que atienden pblico se ponen dispensadores para sacar un nmero que indica el orden en que uno ser atendido.

En la fotografa se observa a Javier, quien saca ciertonmero del dispensador. Segn esto, escribe una expresin que describa:

El nmero que retiran respectivamente: Pedro, Mara, Carlos y Luis que vienen a continuacin de Javier. Para resolver este problema lo primero ser considerar como x el nmero retirado por Javier, ahora contina t:

Personas Expresin algebraica

Javier x

Pedro

Mara

Carlos

Luis

Qu expresin describe los nmeros que les correspondieron a cuatro personas diferentes atendidas antes que Javier? Designemos a estas personas como: P1, P2, P y P4R:

Supongamos que Javier saco el nmero 6. Entonces, x = 6 qu nmero retiraron respectivamente las personas atendidas antes y despus de l? Completa la tabla:

P4 P P2 P 1 Javier Pedro Mara Carlos Luis

X

6

Recuerda que El antecesor y sucesor de un nmero n se puede expresar como: n - 1 y n + 1 respectivamente.

Te desafo a resolver! Un ingeniero en alimentacin gana el doble del sueldo que reciba en su ltimo trabajo un ao atrs. Si su remuneracin hace 1 ao era p qu expresin algebraica permitira saber su actual sueldo? Explica tu respuesta.

- -2 -1 0 1(-) + (-2) + (- 1) = - 6

- 6: = - 2

Sabas qu?La suma de tres nmeros enteros consecutivos

cualesquiera, uno a continuacin del otro, forman siempre un nmero divisible por tres. Ej.:

8

La tarea anterior nos permite de algn modo establecer una relacin de antecesor y sucesor, por ejemplo qu significa la secuencia x 1; x; x + 1? Analicemos esto segn el problema de la pgina anterior, donde Javier sacaba un nmero del dispensador. Vemoslo a partir del siguiente anlisis:

X 1 X X + 1 6 1 6 6 + 1

62 6 64

Fcil verdad!, expresamos de forma algebraica la relacin antecesor y sucesor de un nmero.

De similar manera podemos expresar otros tipos de nmeros estudiados en cursos anteriores. Trabajemos los siguientes casos:

Observa la tabla y segn los nmeros asignados calcula el producto para la 2 y columna.

Nmero 2 . 2 . + 1

0 2 0 = 0 2 0 + 1 = 1

1

2

4

5

n

Segn el trabajo anterior: escribe la expresin algebraica que representa al tipo de nmeros obtenidos en la 2 y columna Cmo lo puedes probar experimentalmente?

R:

Ahora, se t quien asigne valores positivos a n y luego completa la tabla.

n 2n 2n +2

Sabas qu?La letra que ms utilizan los

matemticos para representar una variable es la x, pero tambin se

puede emplear cualquier otra.

Qu tienen en comn los nmeros obtenidos en la 2 columna?R:

Qu tienen en comn los nmeros obtenidos en la columna?R

Qu observas de especial entre los nmeros obtenidos en la 2 y columna?

R:

Qu conjetura puedes formular respecto de la respuesta anterior?

R:

9

Te desafo a resolver! Son iguales las expresiones m + 10 y 10 + m? s 5 y 5 s?

Explica tu respuesta.

Como pudiste observar la expresin 2n + 2 permiti encontrar los nmeros pares consecutivos a 2n, si an no ests convencido, prueba experimentalmente asignando otros valores a n

Si 2n representa un nmero par y con 2n + 2 obtienes el par siguiente:Qu representa la secuencia algebraica 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8; 2n + 10 para n=15?

Cul es el patrn de graduacin de esta secuencia? Cmo lo supiste?

Si 2n + 1 representa un nmero impar:Qu representa la secuencia algebraica 2n + 1; 2n + ; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 para n =15?

Cul es el patrn de graduacin de esta secuencia? Por qu?

Te desafo a resolver!Observa la siguiente sucesin de figuras en el tablero:

10

Segn el patrn cuntos cuadraditos tienen: la quinta, octava y dcima figura?

La expresin que permite calcular la cantidad de cuadraditos para n figuras es: Fn = n

2 + (n -1)2, con ayuda de tu profesor estudia su significado y calcula F20 y F40

Toma nota Una forma de confirmar la validez de las expresiones algebraicas es sustituyendo la variable por valores numricos.

Variables y frmulasEl trabajo realizado permite ir comprendiendo que el concepto de nmero en lgebra es bastante ms amplio o generalizado. La Aritmtica trata con nmeros especficos o expresiones numricas, a diferencia del lgebra, que trata con nmeros no especificados (incgnitas o variables) representados por letras: x, n, p, q, m o expresiones algebraicas: 2x + 1 y p2 - 5

A continuacin estudiaremos algunos casos donde las variables sern parte de una frmula.

Una de las carreras automovilsticas ms famosas son las 500 millas de Indianpolis. Los competidores corren a velocidades promedio sorprendentes en comparacin a lo habitual.

11

Si la frmula para calcular el total de kilmetros (T) del circuito completo es T = n l Encuentra el total de kilmetros si los autos dan 200 vueltas (n) donde una vuelta equivale a 4 kilmetros (l)R:

En la frmula T = n l los valores para n y l son fijos o variables? Por qu?R:

La frmula para calcular la velocidad promedio es t

dV = cuando se conoce la

distancia recorrida (d) y el tiempo empleado (t). Calcula la velocidad promedio de tres automviles A1, A2 y A que tardaron respectivamente: 2,20; 2,50 y 2,15 horas en hacer el circuito completo en Indianpolis. Qu auto obtuvo el mejor rendimiento?

En la frmula t

dV = los valores para d y t son fijos o variables? Por qu?

R:

Sabas qu? En las carreras de perros galgos, por momentos, stos alcanzan una velocidad promedio de hasta 64 Km./h.

El ao 2006 se realizar en Alemania el Campeonato Mundial de Ftbol. El evento congregar selecciones de pases de los cinco continentes. Su escenario principal ser la cancha de ftbol, sin duda que en ella los jugadores se prodigarn al mximo en busca del triunfo.

12

Sabes las medidas oficiales de un campo de ftbol profesional?

Las canchas pueden experimentar variaciones en sus dimensiones. De acuerdo a esta afirmacin te proponemos trabajar lo siguiente:

Las frmulas p = 2a + 2b y S = ab se pueden utilizar respectivamente para encontrar el permetro y rea de una cancha de ftbol lo recuerdas?El dibujo muestra las probables dimensiones de dos campos de ftbol.

Recuerda que 2a + 2b = 2 (a + b), por la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin.

1. Qu expresin algebraica describe cunto ms, mide el largo de la cancha mayor que la menor?

R:

2. Qu expresin algebraica describe cunto ms, mide el ancho de la cancha mayor que la menor?

R:

. Escribe la expresin algebraica que permite saber cunto ms mide el rea de la cancha mayor que la menor.

R:

De acuerdo a las expresiones algebraicas formuladas anteriormente y a las probables medidas del largo y ancho de una cancha de ftbol, valoriza cada una de las expresiones de las preguntas anteriores (1, 2 y ) sabiendo que: A = 119 m B = 91 m y a = 91 m b = 46 m

1

Con la ayuda de tu profesor consulta textos de matemtica de aos anteriores y haz una seleccin de frmulas utilizadas frecuentemente (permetro, rea, volumen, entre otras). Pide ayuda a tu profesor para hacer la seleccin, considera tambin las que utilizars este ao en tus estudios.

Hecha la seleccin, escribe en la tabla y comenta brevemente la utilidad de cada una identificando las letras que intervienen como variables.

Frmula Utilidad Variables

Ejemplo:

rea = L A

Permite calcular el rea del un cuadrado o rectngulo

L = Largo

A = Ancho

Trabajando con secuencias numricas

En la carretera es frecuente ver los conos que muestra la fotografa. Segn esta informacin y la secuencia observada en el ejemplo:

Responde:La secuencia es ascendente o descendente?

R:

Km16m

00

Km16m0

Km16m

100

Km16m

400

Km16m

200

14

Cul es su regla o patrn numrico?

R:

Qu sealtica vendr a continuacin de la que ves en la fotografa? Por qu?

R:

Volvamos al ejemplo anterior para ver forma de expresar la secuencia: 400, 00, 200, 100 y 0 mediante un trmino general. Si observamos bien una caracterstica en comn entre los nmeros es que son divisibles por 5, por lo tanto, multiplicando 5 por ciertos valores a los cuales llamaremos x y luego restando la constante 100 al producto, nos permite obtener una expresin algebraica para esta secuencia, es decir:

5x 100 para x natural mltiplo de 20 o igual que 100, es decir x = 20, 40, 60, 80 100.

Valoriza la expresin obtenida completando la tabla:

Valor para x 5x - 100 Nmero obtenido

Habr otra expresin algebraica que generalice esta secuencia de nmeros dados? Comparte tus hallazgos.

R:

Trabaja con lo aprendido

1. El trmino general de una secuencia numrica es 5x + 10 con x nmero natural 6, es decir, para x = 1, 2, , 4, 5 6. Escribe la secuencia correspondiente valorando esta expresin segn los valores asignados para la variable x.

R:

La expresin 5x 100 satisface la secuencia dada? Por qu? R:

15

La secuencia es ascendente o descendente? cul es el mayor nmero? cul es el menor?

R:

Cul es su regla o patrn de formacin?

R:

2. Qu secuencia representa 1 8x con x = 1.....,2

1,

8

,

4

1,

8

1 ?

Cul es el mayor nmero? cul es el menor?

R:

. Qu secuencia representa 2x 10x para x = -2, -1,2

4. Dada la secuencia: 11, 21, 1, 41, 51, 28. Encuentra la forma de expresar esta secuencia por medio de un trmino general.

Toma nota Llamamos secuencia numrica al conjunto de nmeros que tienen un orden determinado y con una caracterstica en comn. Por lo general una expresin algebraica representa el trmino general que le corresponde a la secuencia. Entonces, En qu debemos fijarnos para expresar una secuencia numrica como una sucesin?

Recuerda que

a-1 = a1

por lo tanto:

a-n = aaaan1

......111

=

16

Descubriendo y generalizando regularidades

El trabajo desarrollado con las secuencias numricas, de una forma u otra, ayudar tambin a resolver los siguientes problemas de carcter ms ldico, donde la bsqueda y generalizacin de regularidades se har a partir de diferentes sucesiones de figuras.

Observa la siguiente situacin:

La siguiente sucesin de figuras esta construida con palitos de igual longitud y bolitas de plasticina.

Completa la tabla segn nmero de palitos y bolitas utilizados para cada figura.

N de Tringulos

1 2 4 5

N de vrtices

N dePalitos

N debolitas

Cuntos palitos se necesitan para la dcima figura y para la vigsima?

R:

Cmo lo supiste? Explica tu razonamiento.

R:

Cuntas bolitas de plasticina se necesitan para la dcima figura y para la vigsima?

R:

17

Cmo lo supiste nuevamente? Explica tu razonamiento.

R:

El hallazgo de las regularidades del trabajo anterior permite formular una expresin que generalice la cantidad de palitos y tambin de bolitas de plasticina necesarias para la construccin de figuras con n tringulos.

Pide ayuda a tu profesor y encuentra una expresin algebraica que generalice la cantidad de palitos a utilizar en una figura formada por n tringulos.

R:

De similar forma que la tarea anterior, encuentra ahora, una expresin algebraica que generalice la cantidad de bolitas de plasticina a utilizar en una figura formada por n tringulos.

R:

Cmo puedes comprobar experimentalmente las expresiones algebraicas formuladas anteriormente? Explica en tu cuaderno mediante ejemplos.

Observa ahora, la siguiente secuencia de figuras:

Nuevamente, cada una de ellas esta construida con palitos y bolitas de plasticina.

Completa la tabla segn nmero de palitos y bolitas utilizados para cada figura.

N de Cuadrados

1 2 4 5

N dePalitos

N debolitas

Encuentra una expresin algebraica que generalice la cantidad de palitos y bolitas a utilizar en una figura formada por n cuadrados.

18

Cunto has aprendido de lenguaje algebraico?

1. Completa la siguiente tabla escribiendo la expresin algebraica correspondiente.

Operatoria Lenguaje cotidiano Expresin algebraica

Suma he ganado $10 ms de lo que tena

Restala diferencia de edad es de 10 aos menos

con mi hermano menor

Multiplicacinlas diferencias de precios pueden llegar a

ser el triple entre una tienda comercial y otra

2. Identifica en cada expresin algebraica el coeficiente numrico (nmero), el factor literal (letra) y grado que corresponde al factor literal.

Expresin algebraica Coeficiente numrico Factor literal Grado del factor literal

2n

A 2

2 x4y

2m5 + 2

. Completa la siguiente tabla indicando la frmula que permite calcular el permetro y el rea de cada figura geomtrica. Adems argumenta tu respuesta en el espacio que est debajo de la tabla.

Figura geomtrica Permetro rea

Cuadrado

Rectngulo

Diferencia entre cada expresin algebraica

Tu argumentacin:

19

4. Escribe una expresin algebraica para cada uno de los siguientes enunciados:

Enunciados Expresin algebraica

Un medio de cierta cantidad ms tres

Siete veces un nmero ms dos...

Cuatro veces la diferencia de W y Z

Un nmero p dividido en dos

5. Escribe un enunciado para cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

Expresin algebraica Enunciado

7x - 2

10 - 12h

(n + 7)

(n - 1)

5

6. Si 2n representa un nmero par y 2n + 1 representa un nmero impar Qu representa la secuencia algebraica:

2n + (2n +1) ; (2n +2 ) + (2n + ) ; (2n + 4) + (2n + 5) ; (2n + 6) + (2n + 7) ; (2n + 8) + (2n + 9); (2n + 10) + (2n + 11), para n = ? Argumenta tu respuesta.

7. Qu sucesin representa 1 x con x = ....2

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1 ?

20

Matemtica y juego!

Qu nmero pensaste?

Otro espacio de entretencin, en esta oportunidad tendrs que hacer clculo mental o escrito y desafiar a tus compaeros. Esperamos que hagas matemtica con gusto y demuestres tu pericia nimo!

MaterialPapel y lpiz.

JugadoresDos o cuatro jugadores

Instrucciones

1 Pide a un compaero que piense un nmero y que a continuacin realice los siguientes pasos:

Calcula el doble del nmero pensado. Suma 18 al nmero obtenido. Calcula la mitad de la suma anterior. Ahora, dime el nmero que obtuviste.

Una vez que el compaero haya sealado el nmero final t restas 9 a ese valor y el resultado ser el nmero pensado fcil verdad!

2 Por qu es posible adivinar el nmero pensado aplicando estos pasos? Una vez que hayas desafiado a varios de tus compaeros preocpate de encontrar con ellos la explicacin que permite justificar y comprender lo ocurrido.

? 2 .? .. + 18 =

..... : 2 =

Quieres una pista que ayude a encontrar la explicacin?Usa el lenguaje algebraico Intntalo!

Generalizacin de Operaciones Aritmticas, Operatoria Algebraica,

Conjeturas y Ecuaciones de Primer Grado

22

Generalizacin de Operaciones Aritmticas

Sabas que un CD regular est hecho de policarbonato plstico y metal? El plstico es compri-mido en un molde con una capa de aluminio, para luego ser pulverizado y al final se le aplicar un barniz como la capa final.

Cuntos MB ms de capacidad posee un CD nmax que un CD axell?

Cuntos MB ms de capacidad posee un DVD (4700 MB) que un CD nmax y un CD axell?

Resuelve el siguiente problema: Francisco podr traspasar la informacin de su DVD de 4.700 MB de capacidad a varios CD nmax y a varios CD axell? Cuntos CD max y CD axell necesita para traspasar la informacin? Argumenta tu respuesta.

2

Completa la siguiente tabla que muestra una forma de grabar la informacin del DVD en un CD axell ms cuatro CD nmax.

Si grabo primero parte de la informacin en 4 CD nmax, Cunta informacin se graba en

los CD nmax utilizados?

Si grabo primero parte de la informacin en 1 CD axell Cunta informacin se graba en

los CD utilizados?

Si luego grabo el resto de la informacin en los CD axell, Cunta informacin se graba

en los CD axell utilizados?

Si luego grabo el resto de la informacin en los CD nmax, Cunta informacin se

graba en los CD nmax utilizados?

Calcula la adicin del total de la informacin grabada

Calcula la adicin del total de la informacin grabada

Qu conclusin respecto de la adicin y la multiplicacin puedes obtener de lo anterior? Es conmutativa la adicin y la multiplicacin? Argumenta tu respuesta.

24

Ent

once

s si

que

rem

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s po

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ID

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=

+

25

Sabas que cuando se realizan conciertos musicales en el teatro Teletn, ste se divide en Platea, Palco y Galera?

Si para el concierto en vivo de Mario Guerrero el precio de las entradas era: Platea $8.000, Palco $15.000 y Galera $5.000. Cul es la formula que permitira calcular el dinero recaudado en este concierto?

Primer paso: Debemos determinar el nmero de personas que se encuentren en Platea, Palco y Galera. Recuerda utilizar solamente una letra del abecedario para designar el nmero de personas en Platea, Palco y Galera.

Ejemplo: Sea T: Cantidad total de dinero recaudado

Sea : Cantidad de personas en Platea

Sea : Cantidad de personas en Palco

Sea : Cantidad de personas en Galera.

Segundo paso: Ahora debemos determinar la cantidad de dinero que se obtendr por las personas en Platea, Palco y Galera.

Ejemplo: M 5.000 = 5.000 M

8.000 = ; 15.000 =

Tercer paso: De cuntas maneras distintas se puede sumar las tres cantidades? Recuerda utilizar parntesis cada vez que sumes dos cantidades.

Primera forma T = + ( + )

Segunda forma T = + ( + )

Tercera forma T = + ( + )

Cuarto paso: Generalizar mediante una frmula la propiedad asociativa de la adicin.

( + ) + = + ( + )

26

Trab

ajo

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po

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utat

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27

Uso de los Parntesis y Trminos Semejantes

Sabas que hasta antes del partido de Chile con Colombia, que termin 1-1 por las eliminatorias del mundial 2006, slo se haban vendido 800 boletos para el partido final entre Chile y Ecuador. Luego, la venta de boletos el da antes de, partido fue de 1.000 Cuntos boletos se vendieron el da del partido si asisti un total de 50.000 personas?

Primer paso: Cules son los datos relevantes del problema? Marca con una X los datos que nos permitirn saber la cantidad de entradas vendidas el da del partido.

La cantidad 5.000, precio de las entradas que corresponden a galera.

La cantidad 60.000, capacidad total de personas que caben en el estadio.

La cantidad 800, ya que es la venta de boletos antes del empate 1-1.

La cantidad 1.000, ya que es la venta de boletos del da antes del partido.

La cantidad 50.000, ya que es el nmero de personas que fue al partido.

Segundo paso: Cules son las posibles formas de obtener la cantidad de boletos vendidos el mismo da del partido?

Ejemplo: Al total de personas que asistieron le resto los 800 boletos, y luego le resto los 1.000 boletos vendidos el da anterior, es decir, una forma de escribirlo es:( 50.000 800 ) 13.000

Resultado: 50.000 800 = . Luego, - 1.000 =

Segunda forma

Resultado:

Tercer paso: Utilizando la propiedad asociativa de la adicin y la sustraccin, podemos concluir que:

50.000 800 1.000 = ( 50.000 800 ) 1.000 = 50.000 ( 800 + 1.000 )

Tomar nota: Recuerda que al haber parntesis en una operacin aritmtica, siempre se debe resolver, en primer lugar, las operaciones que se encuentran al interior del parntesis. Por otra parte, recuerda que si hay un signo (menos) delante de un parntesis, se cambian los signos de las cantidades que hay al interior del parntesis.

Ejemplos: a) - ( 40 + 50) = - 40 - 50 = - 90 b) - 5 (10 + 30 - 15) = - 5 (25) = - 125

28

Te desafo a resolver: Completa la siguiente tabla con la informacin dada y argumenta cada una de tus respuestas.

La siguiente informacin corresponde a los resultados finales de la temporada 200 de bsquetbol profesional en Chile. Informacin para completar la tabla:

Deportes Valdivia termin la temporada con dos puntos menos que P. Llanquihue. P. Llanquihue anot 251 puntos ms que U. Catlica y Dep. Valdivia anot 198 puntos

menos que P. Llanquihue. U. Catlica recibi la misma cantidad de puntos en contra que Dep. Valdivia y P. Llanquihue

recibi 186 puntos ms en contra que U. Catlica. UC anot 1.629 puntos.

Cules son las posibles formas de obtener la cantidad de puntos anotados a favor por el equipo Dep. Valdivia?

Primera forma de escribirlo

Procedimiento:

Segunda forma de escribirlo

Procedimiento:

Completa la Tabla con los datos que faltan:

Equipo Puntaje obtenido Puntos anotados a favor

Puntos en contra

P. Llanquihue 5

U. Catlica 1.629

Dep. Valdivia 1.55

29

Sabas que el gran matemtico griego Pitgoras descubri una relacin matemtica

entre un tringulo rectngulo y sus lados?

Observa la siguiente imagen, que te ayudar a comprender cul fue la relacin matemtica que Pitgoras demostr.

A partir del teorema de Pitgoras se pueden encontrar las diferentes medidas de los lados de un tringulo rectngulo que cumplen con la relacin siguiente:

Sea a, b y c la medida de los lados de un tringulo rectngulo se cumple que: a2 + b2 = c2, en donde c siempre es la medida del lado mayor del tringulo rectngulo.

Segn la representacin grfica, el tro , 4 y 5 cumple con la relacin matemtica a2 + b2 = c2? Por qu?R:

0

Ahora trabajars con los denominados tros pitagricos, los cuales son tros de nmeros que cumplen con la relacin matemtica a2 + b2 = c2. Completa la tabla cuando corresponda y argumenta cada una de tus respuestas.

Tro Pitagrico Relacin matemtica pitagrica Factor comn entre los datos

6, 8 y 10

62 + 82 =102

6 + 64 = 100

62 + 82 =102

4 9 + 4 16 = 4 25

4 (9 + 16) = 4 25

9 + 16 = 25

2 + 42 = 52

9, 12 y 15

92 + 122 =152

81 + 144 = 225

92 + 122 =152

9 9 + 9 16 = 9 25

Tro Pitagrico Relacin matemtica pitagrica Factor comn entre los datos

12, 16 y 20

15, 20 y 25

1

Ahora responde las siguientes preguntas:

Tro pitagrico Descomposicin multiplicativa y factor comn

6, 8 y 10 2 , 2 4 , 2 5

9, 12 y 15 __ , __ 4 , __ 5

12, 16 y 20 __ , __ 4 , __ 5

15, 20 y 25 __ , __ 4 , __ 5

Qu relacin matemtica hay entre el tro pitagrico , 4 y 5, el tro 6, 8 y 10, el tro 12, 16 y 20, y el tro 15, 20 y 25?

Operatoria algebraica

Sabas que las medidas de las pistas o canchas de baloncesto difieren levemente segn los pases; en cualquier caso, es un rea rectangular con unas dimensiones que oscilan entre los 22 m de largo por 1 m de ancho, hasta los 29 m de largo por 15 m de ancho?

Dibuja una cancha de bsquetbol segn las medidas reglamentarias.

2

Observa a continuacin las canchas de bsquetbol con medidas reglamentarias.

Si observamos con atencin, la cancha A ha sido agrandada en 2 metros cada lado. Ahora identificaremos con smbolos los datos de la cancha A de bsquetbol.

- Sea a el ancho de la cancha. Entonces podemos escribir a: 16 metros

- Sea b el largo de la cancha. Entonces podemos escribir b: metros

- Si 22 m es mayor que 14 m. Entonces el largo de la cancha es mayor que el ancho, lo cual implica que a < b b a

- Recuerda que la superficie ocupada por la cancha se calcula multiplicando el largo por el an-

cho: 14 m 22 m = m2. Por lo tanto a b = m2.

- Ahora observa las dos canchas con medidas oficiales, de las cuales la segunda se ha construido a partir de las medidas de la cancha A.

Si la superficie de la cancha A es a b, esto implica que la superficie de la cancha B es a (b + 2) = a (b + 2) = a b + a 2 = a b + 2 a

Completa las siguientes tablas y responde las preguntas a partir de la informacin entregada en las siguientes canchas de bsquetbol.

CANCHA14 m

22 m

CANCHA A16 m

24 m

CANCHA A14 m

22 m

CANCHA B14 m

24 m

CANCHA A14 m

22 m

CANCHA B14 m

24 m

CANCHA C14 m

26 m

CANCHA D14 m

28 m

Tabla N 1

Cancha Ancho de la cancha Largo de la cancha Superficie de la cancha

Cancha A 14 metros 22 metros 08 m2

Cancha B

Cancha C

Cancha D

Cunta superficie ms tiene: La cancha B que la cancha A? La cancha C que la cancha A? y la cancha D que la cancha A? Argumenta tu respuesta.

- Completa la tabla expresando cada medida con el trmino algebraico correspondiente.

Tabla N 2

Cancha Ancho de la cancha Largo de la cancha Superficie de la cancha

Cancha A a b ab m2

Cancha B a b + 2

Cancha C

Cancha D

4

Completa la siguiente tabla a partir de la informacin anterior.

A) Qu caracterstica tienen los lados opuestos de la

cancha?

B) Qu caracterstica tienen los lados de la cancha respecto

del ngulo que forman?

C) Marca con una X la(s) afirmacin(es) que representa

la respuesta de la pregunta realizada en B)

a > b indica que un lado es mayor que el otro

a = b indica que ambos lados tienen igual medida

a < b indica que un lado es menor que el otro.

Si a y b representan los lados de la cancha que forman las esquinas. Qu representa la relacin entre a y b en las siguientes afirmacin simblica?

a < b a > b

5

Sabas que las medidas de una cancha de ftbol no miden ms de 119 m por 91 m y tampoco menos de 91 m por 46 m?

Dibuja una cancha de ftbol segn las medidas permitidas.

- Sea a el de la cancha. Entonces podemos escribir a: metros

- Sea b el de la cancha. Entonces podemos escribir b: metros

- Entonces el largo de la cancha es que el ancho, lo cual implica que a b b a

- Recuerda que la superficie ocupada por la cancha se calcula multiplicando el largo por el ancho. Por ejemplo si la cancha mide 100 m 50 m = m2. Por lo tanto

a b = m2.

Completa la siguiente tabla con la informacin de las tablas anteriores.

Qu caracterstica tienen los lados de la cancha?

B) Marca con una X la(s) afirmacin(es) que representa

la respuesta de la pregunta realizada en A)

Argumenta tu respuesta cada vez que marques con una X.

a > b

a = b

a < b

6

Responde las preguntas a partir de la informacin entregada en las siguientes canchas de ftbol.

Cunta superficie ms tiene la cancha B que la cancha A? Argumenta tu respuesta.

Cunta superficie ms tiene la cancha C que la cancha A? Argumenta tu respuesta.

Cunta superficie ms tiene la cancha D que la cancha A? Argumenta tu respuesta.

CANCHA A50 m

100 m

CANCHA B55 m

105 m

CANCHA C60 m

110 m

CANCHA D65 m

115 m

7

Obs

erve

mos

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vam

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NC

HA

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m

8

Conjeturas y Proposiciones Matemticas

Sabas que en matemtica los juegos son muy conocidos por que presentan grandes misterios que sorprenden a la humanidad, ya sea por su simpleza o por su creatividad?

Observa atentamente las siguientes adiciones y luego explica con tus palabras lo comn que se presenta para llegar a ambos resultados.

12.456.789 12.456.789 12.456.789 12.456.789 987.654.21 12.456.789 987.654.21 987.654.21 + 2 987.654.21 987.654.21 222.222.222 + ..

Qu hay se semejante en ambas adiciones? Qu diferencia a estas adiciones y sus resultados?

Cmo debera ser la suma para obtener un nmero cuyas cifras sean solo 4?

Cmo debera ser la suma para obtener un nmero cuyas cifras sean solo 9?

Explica tu procedimiento: Explica tu procedimiento:

Qu conclusin puedes obtener de este tipo de adiciones?

9

Sabas que dos nmeros primos se denominan nmeros primos gemelos si uno de ellos es igual al otro ms dos unidades.

As pues, los nmeros primos y 5 forman una pareja de primos gemelos. Ahora busca pares de nmeros primos gemelos.

Busca entre 10 y 20 Busca entre 25 y 5

Argumenta tu respuesta. Argumenta tu respuesta.

Toma nota: La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos.

Conjetura: Existe un nmero infinito de primos p tales que p + 2 tambin es primo.

Lo anterior es una conjetura matemtica, ya que todava est sin demostrar.

Completa la siguiente tabla y argumenta tu respuesta cuando corresponda.

Nmero Nmero expresado como adicin entre dos nmeros

Qu tipo de nmeros son los sumandos?

4 2 + 2

6 +

8 5 +

10 7 +

Completa la siguiente conjetura:

Conjetura:Todo nmero par mayor que dos es la suma de dos nmeros

Sabas que esta Conjetura ha sido verificada hasta 100.000.000.000.000, pero todava no se ha encontrado una demostracin matemtica para todo nmero par.

40

Completa la siguiente tabla y responde segn corresponda.

Nmero primo: son nmeros divisibles por 1 y por s mismo.

Nmero expresado como sustraccin entre dos nmeros

Nmero expresado como sustraccin de potencias

4 1 22 12

5 9 4 2 - 22

7

9

11

1

15

Argumenta cul de las siguientes afirmaciones (relacionadas con la actividad anterior) son verdaderas y cules son falsas. Debes justificar en ambos casos.

Proposicin matemtica

Verdadera o Falsa Argumentacin

Todo nmero impar se puede escribir como la diferencia entre un nmero par e impar

Todo nmero impar se puede escribir como la diferencia entre dos potencias distintas de base 2

Todo nmero impar se puede escribir como la diferencia entre dos potencias distintas de exponente , 2 y 1.

Toma nota: Una proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas a la vez. Y las falsas se pueden demostrar mediante un contraejemplo.

41

Indica si las siguientes afirmaciones son proposiciones matemticas, y en el caso de las afirmaciones que son proposiciones indicar si son verdaderas o falsas. Argumenta todas tus respuestas.

Afirmacin Es proposicin? S o No? Por qu?

Es verdadero o falso? Por qu?

La suma de dos nmeros pares es siempre un nmero par

La suma de dos nmeros impares es siempre un nmero

impar

x es mayor que y

Los nmeros pares terminan siempre en 0, 2, 4, 6 o 8

Todo nmero impar es un nmero primo

Todo nmero primo es un nmero impar

Si ab > 0, significa que ambos nmeros son positivos

A continuacin redacta dos proposiciones matemticas y argumenta si son verdaderas o falsas segn corresponda.

1.

2.

42

Obs

erva

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par

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ular

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21

Sum

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22

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44

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45

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n+1

)

46

Entonces se tiene lo siguiente:

Dos veces la suma, ( 1+ 2 + ++ (n-2) + (n-1) + n ), es igual a, n veces (n+1), lo cual expresado simblicamente es:

2 ( 1+ 2 + ++ (n-2) + (n-1) + n ) = n ( n+1), pero si multiplicamos por 1

2 a ambos lados

de la igualdad se obtiene lo siguiente:1

2 2 ( 1+ 2 + ++ (n-2) + (n-1) + n ) =

1

2 n ( n+1)

( 1+ 2 + ++ (n-2) + (n-1) + n ) = 2

)1( + nn .

Por lo tanto, la suma de los n nmeros naturales se puede calcular a travs de la

frmula 2

)1( + nn .

Ejemplo: Si quiere saber cuento suman los primeros 15 nmeros naturales, debemos remplazar en la expresin simblica o frmula de la siguiente manera:

Si n = 15, entonces se tiene que: 1202

240

2

1615

2

)115(15==

=

+ . Por lo tanto, la suma

de los primeros 15 nmeros naturales es 120.

Completa la siguiente tabla utilizando la frmula que permite calcular la suma de los n primeros nmeros naturales.

Enunciado Procedimiento Resultado y respuesta

La suma de los 9 primeros nmeros naturales es

La suma de los 99 primeros nmeros naturales es

La suma de los 999 primeros nmeros naturales es

La suma de los 9.999 primeros nmeros naturales es

47

Qu conclusin puedes obtener en cuanto al procedimiento, al encontrar la suma de los prime-ros 9, 99, 999 y 9.999 nmeros naturales?

Propn por lo menos dos caminos distintos para calcular la suma de los primeros 99.999 n-meros naturales?

CAMINO 1 CAMINO 2

Ecuaciones de Primer Grado

Sabas que... el comercio naci bajo la forma del trueque, en un acto de mutua convenien-cia que permita a dos personas obtener lo que les haca falta a cambio de lo que posean en abundancia. Desde los primeros tiempos, todas las culturas se han manejado con algn tipo de organizacin o intercambio de bienes.

A continuacin observa la siguiente imagen en que se muestra una forma de realizar un trueque.

Como puedes observar, se utilizaba la balanza para realizar el trueque entre alimentos. Cabe sealar adems que la idea era que hubiera el mismo peso en ambos platos de la balanza.

48

Completa la siguiente tabla indicando cunto peso se debe incluir en el plato de la balanza (segn corresponda) para que sta se encuentre en equilibrio (ambos platos con el mismo peso).

Situacin Lo que debo agregar es Igualdad representada simblicamente

Hay seis kilos de manzanas en un plato y diez kilos de pltanos

en el otro plato.

Lo que se debe agregar

son kilos de

para que la

balanza est equilibrada

Datos:

- 6 kilos de manzanas- 10 kilos de pltanos.La igualdad se representa:

6 kg. + = 10 kg.

Hay 50 kilos de papas en un plato y 12 kilos de tomates en el

otro plato.

Lo que se debe agregar

son

Datos:

La igualdad se representa:

= +

Trabaja con lo aprendido: Completa la siguiente tabla creando situaciones que puedas representar y solucionar a travs del equilibrio (ambos platos con el mismo peso) de una balanza.

Situacin Lo que debo agregar es Igualdad representada simblicamente

Lo que se debe agregar es

de para que la

balanza est equilibrada

Datos:

La igualdad se representa:

49

Sab

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51

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52

Cunto has aprendido?

1. Si para el concierto en vivo de Mara Jos Quintanilla el precio de las entradas era: Platea $5.000 y Palco $10.000. Cul es la formula que permitira calcular el dinero recaudado en este concierto?

Primer paso: Debemos determinar la cantidad de dinero y el nmero de personas que se en-cuentren en Platea y Placo.

Sea : Cantidad total de dinero recaudado

Sea : Cantidad de personas en Platea

Sea : Cantidad de personas en Palco

Segundo paso: Ahora debes determinar la cantidad de dinero que se obtendr por las personas en Platea y Palco por separado.

5.000 = ; 10.000 =

Tercer paso: De cuntas maneras distintas se puede sumar las dos cantidades? Recuerda utilizar parntesis cada vez que sumes dos cantidades.

Primera forma T = + ( + )

Segunda forma T = + ( + )

Cuarto paso: Generalizar mediante una formula la propiedad conmutativa de la adicin.

( + ) = ( + )

2. Si una cancha de bsquetbol mide 25 metros de largo y 1 metros de ancho. Completa las siguientes afirmaciones y calcula segn corresponda.

- Sea a el ancho de la cancha. Entonces podemos escribir a:

- Sea b el largo de la cancha. Entonces podemos escribir b:

- Si 25 m es que 1 m. Entonces el largo de la cancha es que el ancho, lo cual implica que a b b a

5

- La superficie ocupada por la cancha se calcula multiplicando

: 25 m 1 m = m2. Por lo tanto a b = m2.

. Completa las siguientes tablas y responde las preguntas a partir de la informacin entregada en las siguientes canchas de ftbol.

Cunta superficie ms tiene la cancha B que la cancha A? Y la cancha C respecto a la cancha A? Y la cancha D que la cancha A? Argumenta tu respuesta.

Tabla N 1

Cancha Largo de la cancha Ancho de la cancha Superficie de la cancha

Cancha A

Cancha B

Cancha C

Cancha D

CANCHA A50 m

91 m

CANCHA B50 m

96 m

CANCHA C50 m

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CANCHA D50 m

106 m

54

Tabla N 2

Cancha Largo de la cancha Ancho de la cancha Superficie de la cancha

Cancha A b a ab m2

Cancha B

Cancha C

Cancha D

4. Indica si las siguientes afirmaciones son proposiciones matemticas, y en el caso de las afirmaciones que son proposiciones indicar si son verdaderas o falsas. Argumenta todas tus respuestas.

Afirmacin Es proposicin? S o No? Por qu?

Es verdadero o falso? Por qu?

La multiplicacin de dos nmeros primos es siempre otro

nmero primo

Todo nmero multiplicado por s mismo es siempre un nmero

par

Todo nmero multiplicado por si mismo es un nmero positivo

55

5. Una cmara digital ltimo modelo puede llegar a costar $450.000, pero hay cmaras digitales de alta resolucin cuestan aproximadamente $15.990. Cunto ms se tendra que pagar por una cmara digital ltimo modelo?

Datos del problema Representacin simblica del problema propuesto.

Operacin aritmtica que permite resolver el

problema

Cul es la respuesta al problema?

6. Hoy en da un celular con funciones bsicas puede costar $5.900, en cambio un celular de la ms alta tecnologa puede llegar a costar $265.090 pesos ms. Cunto cuesta un celular de alta tecnologa?

Datos del problema Representacin simblica del problema propuesto.

Operacin aritmtica que permite resolver el

problema

Cul es la respuesta al problema?