Grupo

Nivel 1

Nivelación Restitutiva

2006

Matemática

Números1º Medio

Material Elaborado por Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de Chile

— 3 —

Liceo

Nombre

Fecha

Curso

Datos del Alumno

— 5 —

Sección 1Números: Potencias, Racionales e IrracionalesTrabajando el concepto de potenciaCuando multiplicas para dar respuesta a diferentes problemas cada uno de los números es un factor del producto o resultado. Analiza los siguientes casos:

Un juego trae piezas con 4 formas: rectángulo, cuadrado, triángulo y círculo, cada una en 5 colo-res diferentes ¿Cuántas piezas tiene el juego?

La solución la podemos encontrar con ayuda de un diagrama:

En él visualizamos fácilmente la cantidad de piezas, pero también podemos pensar en resolver multiplicando 4 • 5 = 20, 4 formas y cada una en 5 tramas distintas, donde 4 y 5 son factores y 20 el producto.

Un material de geometría contiene fichas de 2 formas, cada ficha en 2 colores y de 2 tamaños. ¿Cuántas piezas trae el juego?

Plantea la multiplicación que resuelve el problema.

Producto (respuesta)

Cuál o cuales son los factores? ¿Cuál es el producto?

¿Qué otra forma hay para representar esa multiplicación?

¿Cuántas piezas trae el material?

Toma nota... Como puedes ver hay problemas que se resuelven por medio de la multiplicación de distintos números y otros mediante la multiplicación sucesiva de un mismo valor, en forma de notación multiplicativa: 4 • 4 • 4 que a su vez, como lo estudiaste en cursos anteriores se puede escribir como notación exponencial 43 = 64

Recuerda que... 4 • 4 • 4 = 43 = 64Notación exponencial 43

Notación multiplicativa 4 • 4 • 4Resultado de la Operación 64

— 6 —

Completa la tabla escribiendo cada expresión como: notación exponencial, notación multiplicativa o forma común (usual), cuando corresponda.

Expresión numérica Notación exponencial Notación multiplicativa Forma común

8 • 8 • 8 • 8 84 8 • 8 • 8 • 8 4.096

5 • 5 • 573 7 • 7 • 716 24

123

35

2 • 2 • 2 • 2 • 2100

Encuentra el producto en cada caso. En la tabla de la izquierda lo haces mediante cálculo es-crito y en la tabla de la derecha usas calculadora científica.

Multiplicación ProductoEjemplo: para calcular 53 digitas…

Producto

5 • 5 • 5 125 53 12510 • 10 • 10 • 10 105

7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 95

(0,5) • (0,5) (0,1)2

(0,2) • (0,2) • (0,2) (0,01)2

Toma nota: El producto obtenido por medio de multiplicaciones sucesivas de un mismo número se llama potencia. En la potencia 83, 8 es la base y 3 el exponente. La base se multiplica por sí misma tantas veces como lo indica el número del exponente.

Programa tu calculadora básica y luego presiona la tecla “igual” tantas veces como se indica en la 1º columna, escribe el 1º valor que aparece en pantalla, luego el 2º valor, etc. Finalmente identifica y escribe la potencia desarrollada.

PROGRAMA1ºVALOR

2ºVALOR

3ºVALOR

4ºVALOR

5ºVALOR

POT

7 x = = 49 343 73

9 x = = = 8 x = = = = = 3 x = = = =

5 =3XY

— 7 —

Digita en tu calculadora científica la secuencia de teclas de la 1º columna. Escribe luego el producto y potencia correspondiente (trabajo grupal).

PROGRAMA PRODUCTO POTENCIA20 X2 400 202

15 X2

40 X2

13 X2

¿Qué función cumple la tecla X2

¿Cómo podrías reemplazar en una calculadora básica esta tecla y su función?

En tu calculadora científica digita la secuencia y escribe luego el producto y potencia.

PROGRAMA PRODUCTO POTENCIA2 Xy 3 8 23

7 Xy 312 Xy 525 Xy 0

¿Qué función cumple la tecla Xy

¿Cómo podrías reemplazar en una calculadora básica esta tecla y su función?

¿Qué observaste de especial en el programa 25 Xy 0

¿Ocurrirá lo mismo para otros casos donde sólo varíe el primer número o base? Comparte tus conclusiones.

Según las respuestas anteriores, busquemos una explicación que permita comprender por que toda cantidad distinta de cero y elevada a cero, es igual a la unidad (1)

En la calculadora debías calcular 25 Xy 0 = 250 = 1

— 8 —

Sabemos que 25 = 52 a partir de esta igualdad planteémonos el siguiente ejercicio:

i) 52 : 52 = 52

52= 5 • 5

5 • 5= 25

25= 1

Otro procedimiento para calcular 52 : 52 es aplicando la propiedad de la división de potencias

de igual base, donde am

an= am - n por lo tanto:

ii) 52 : 52 = 52

52= 52 - 2 = 50

Finalmente, por procedimientos planteados en (i) y (ii) podemos establecer que:

52 : 52 = 52

52= 50 =1

Igual resultado se obtendrá para el caso:

23 : 23 = 23

23= 23 - 3 =20 = 1

Así, generalizando, podemos formular la siguiente propiedad:

a0 = 1, A

a ≠ 0 ∈ Q

A continuación te invitamos a reforzar con potencias de base entera y exponente natural ¿cómo resolverlas? El principio es el mismo:

an = a • a • a • a … • a a ∈ Z ∧ n ∈ N

Donde an se llama potencia de base a y exponente n. Recuerda que se lee: “a elevado a n”A continuación veremos el desarrollo y producto en las siguientes potencias.

(-5)2 = - 5 • - 5 = 25 (-7)3 = - 7 • - 7 • - 7 = - 343

Para cada potencia, indica la base y su exponente.

Potencia Base Exponente(-8)5

(-5)2

102

(-12)2

70

104

Recuerda que...

La multiplicación de números enteros establece dos reglas a respetar:

1º Al multiplicar dos números enteros de igual signo el producto es positivo.

2º Al multiplicar dos números enteros de distinto signo el producto es negativo.

— 9 —

Cuando multiplicamos los factores enteros es necesario saber si el producto será positivo o negativo ¿De qué dependerá el signo del producto? Observa la siguiente tabla y saca tus conclusiones:

Potencia Desarrollo Exponente

Par Impar

(-4)4 -4 • -4 • -4 • -4(-2)5

32

(-9)3

75

¡Te desafío a resolver!

¿Cuál es el valor de x en 11x = 1.331? Explica tu procedimiento.

Recuerda… La adición sucesiva de un mismo número es frecuente expresarla o puede expresarse mediante un producto, por ejemplo:

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 7 • 12 = 84

La operación y resultado de la adición anterior no es lo mismo que multiplicar sucesivamente 12 por sí mismo 7 veces:

12 • 12 • 12 • 12 • 12 • 12 • 12 = 127 = 35.831.808

¿Sabías qué?… El pueblo Babilónico utilizó la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación. Por su parte, los griegos trabajaron preferentemente las potencias al cuadrado y al cubo.

Dos cabezas piensan más que una…En el taller de matemática, Pablo construye un cuadrado con fichas cuadradas iguales.

— 10 —

Según esta situación resuelve los problemas 1, 2 y 3

1. Pablo afirma que el cuadrado lo forma con 62 fichas.¿Es cierto lo dicho por él?¿Por qué?

2. Pablo duplica la medida del lado del cuadrado anterior ¿Qué potencia representa la cantidad de fichas del cuadrado nuevo? ¿Cuánto aumentó su área? ¿Por qué? Dibuja en tu cuaderno.

3. Ahora, nuestro amigo ha construido el siguiente cubo con la ayuda de cubitos iguales. Si Pablo aumenta su base de 5 a 10 cubitos ¿Qué potencia representa la cantidad de cubitos del cubo nuevo? ¿Cuánto aumentó su volumen? ¿Por qué?

Toma nota... Entre las diferentes potencias, las de exponente 2 se dice que están elevadas al cuadrado, así 62 se lee: seis al cuadrado o también seis elevado a la segunda potencia, análo-gamente para las potencias de exponente 3, se dice que están elevadas al cubo, por ejemplo 93 se lee: nueve al cubo o nueve elevado a la tercera potencia.

— 11 —

Trabajando con propiedadesA continuación estudiaremos algunas propiedades importantes de las potencias. En la actividad que desarrollarás a continuación puedes usar calculadora. Imagina que deseamos calcular el área de un cuadrado de lado 23 unidades ¿Cuántas unidades cuadradas tiene su área? Expresa los resultados usando potencias.

23

23

¿Estás de acuerdo con esta conclusión? ¿Por qué?

¿Qué procedimiento tendrías que realizar para calcular las unidades cuadradas que tiene la siguiente figura?

32

33

Observa el procedimiento empleado para el área de la figura anterior y responde: ¿qué observas nuevamente?

Toma nota... Recuerda que para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes.

am • an = am + n

El área de un cuadrado se calcula multiplicando lado por lado, es decir:

23 • 23 = (2 • 2 • 2 ) • (2 • 2 • 2) = 8 • 8 = 64 Del desarrollo e igualdad anterior podemos concluir:

23 • 23 = (2 • 2 • 2 ) • (2 • 2 • 2) 23 • 23 = 26

— 12 —

Veamos ahora el siguiente caso, se quiere calcular el área de la siguiente figura expresando los cálculos mediante el desarrollo de potencias.

23

33

¿Qué operación planteas para calcular? ¿Cuál es el área del rectángulo?

¿Qué tienen en común las potencias que representan las medidas del largo y el ancho?

Según las respuestas anteriores, resuelve para verificar la igualdad: 33 • 23 = (3 • 2)3 ¿Se cumple? ¿y para otros casos?

Comparte tus conclusiones y escribe una regla que permita multiplicar potencias de diferente base, pero de exponente común. Ayúdate con los siguientes ejemplos:

a) 52 • 42 = (5 • 4)2 25 • 16 = 202

400 = 400

¡A investigar!

Consulta a tu profesor por material donde puedas averiguar que otras propiedades se cumplen para las potencias, en particular considera inicialmente la división de potencias de igual base y la división con distinta base, pero exponente común.

Toma nota… Recuerda que para multiplicar potencias de distinta base y exponente común se multiplican las bases y se conserva el exponente. (a • b)n = an • bn

b) 24 • 34 = (2 • 3)4

16 • 81 = 64

1.296 = 1.296

— 13 —

Potencias de base 10

Las potencias de base 10 nos permiten escribir grandes o pequeños números. Por ejemplo: la distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 de kilómetros. Al escribir en forma abreviada, una forma de hacerlo es:

150. 000. 000 Km. = 150 • 106 Km. = 15 • 107 Km.

A propósito de Universo abrevia mediante potencias de base 10, los diámetros de cuatro de las seis estrellas más brillantes del cosmos.

Nombre Diámetro en Km. En potencia base 10 Km.Sol 1.400.000 Cánope 41.700.000Arturo 32.000.000Vega 4.200.000

Las potencias de base 10 nos permiten multiplicar y dividir cantidades grandes y pequeñas.

Para el caso de la multiplicación observa el siguiente ejemplo:

5.000.000 • 40.000.000 = 5 • 106 • 4 • 107 = (5 • 4) (106 • 107 ) = 20 • 106 + 7 = 20 • 1013

700.000 • 0,001 = 7 • 105 • 1 • 10-3 = (7 • 1) • ( 105 • 10-3) = 7 • 105 + -3 = 7 • 102

Ahora, trabaja tú: El paramecio es un organismo unicelular que puede llegar a medir 0,02 cm. de largo. Un microscopio compuesto puede producir una imagen de 200 y 1.000 veces su tamaño real.Según está información calcula y expresa en notación científica el largo en cm. del paramecio en ambos casos:

0,02 • 200 =

0,02 • 1.000 =

— 14 —

Para el caso de la división:

28.000.000 : 400.000 = 28 •106 : 4 • 105 = (28 : 4) (106 : 105 ) = 7 • 10 6 – 5

= 7 • 101

7.200.000 : 0,09 = 72 • 105 : 9 • 10-2 = (72 : 9) • (105 : 10-2) = 8 • 105 – (-2)

= 8 • 107

Los microscopios electrónicos de transmisión pueden aumentar especímenes hasta 200.000 veces su tamaño real. Calcula y escribe en notación científica las veces que fue aumentada la imagen de un paramecio de 300 cm. de largo.

300: 0,02 =

Las potencias de base 10 sirven para trabajar en Notación Científica

Los científicos las emplean para escribir números demasiado grandes o muy pequeños, veamos el siguiente caso: el diámetro del Sol es de aproximadamente 1.400.000 Km ¿Cómo podemos escribir esta longitud usando las potencias estudiadas?

1º forma 14 • 105 2º forma 1.400 • 103 3º forma 1,4 • 106

Tres formas diferentes para un mismo número. El 3º caso se conoce como notación científica, un número escrito de esta manera se compone de tres partes:

1,4 • 106

Un número mayor que o igual “por” Una potencia de base 10a 1 y menor que 10

¿Cómo hacemos para escribir un número en notación científica?

Debes contar las posiciones que tendrás que mover la coma decimal para obtener un número mayor o igual a 1 y menor que 10. La cantidad de posiciones que mueves la coma decimal es la potencia de 10.

Por ejemplo el diámetro de Cánope escrito en notación científica queda:41.700.000 Km. Contamos de derecha a izquierda, 7 posiciones para obtener 4,17 que esta entre 1 y 10. Luego se multiplica 4,17 • 107, es elevado a siete porque contamos siete lugares hacia la izquierda.

Trabaja con lo aprendidoEscribe en notación científica los diámetros de las estrellas: Arturo y Vegay la masa aproximada en kilogramos, del planeta Tierra:5.980.000.000.000.000.000.000.000 Kg.

— 15 —

Variación exponencialHemos recordado el concepto de potencia. Otra forma de representar, para calcular potencias es la que trataremos a continuación:

• Retomemos el problema que preguntaba por la cantidad de piezas del material de geometría (pág. 2). La operación que dio solución a él fue 2 x 2 x 2 = 8 = 23

Observa ahora la siguiente representación. En ella se organizan las piezas según sus atributos: 2 formas, 2 colores y 2 tamaños.

Veamos otro caso aplicado a la ciencia:“Un laboratorio lleva el registro de que por cada media hora una célula madre reproduce 2 células hijas. Si la reproducción comenzó a las 08:30 hrs. AM

Según el diagrama ¿A qué hora hay 8 células hijas?

Completa la tabla y calcula ¿cuántas células hijas habrá a las 14:00 hrs? ¿y, a las 24 hrs?¿Qué variación exponencial experimenta la reproducción?

Toma nota... El diagrama de árbol corresponde a un tipo de representación gráfica que permite, visualizar mediante sus extensiones o ramas, el crecimiento o aumento exponencial que experimenta un número.

El diagrama representa de una forma diferente el desarrollo de: 2 • 2 2 = 8 = 23 ¿Qué ventaja(s) le encuentras?

¿Qué variación exponencial experimenta la cantidad de piezas al incorporar un cuarto atributo: piezas delgadas y gruesas? Calcula.

T: TriánguloR: RectánguloRO: RojoAZ: AzulGR: GrandeCH: Chico

T

R

RO

AZ

AZ

RO

GR

GR

GR

GR

CH

CH

CH

CH

Tiempo Desarrollo Nº de células08:30 1 20

09:00 1 • 2 21

09:30 2 • 2 22

10:00 2 • 2 • 210:30 2 • 2 • 2 • 2 …. ………

09:00 Hrs.

— 16 —

Trab

aja

con

lo a

pre

nd

ido

... L

ee y

res

uelv

e u

tiliz

ando

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gram

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Pau

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Int

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Los

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5, 6

, 7, 8

, 9 y

10

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Con

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s re

sulta

dos.

— 17 —

Hasta aquí has trabajado diferentes formas o procedimientos para el cálculo de una potencia: la usual, mediante una multiplicación sucesiva, aplicando modelos geométricos y diagramas de árbol.

Dos cabezas piensan más que una…

Los empleados de un laboratorio reciben dos ofertas de incentivo económico. La primera plantea partir con $20.000 en la primera semana, los que aumentaran semanalmente en $ 5.000. La segunda, considera partir con $ 5 la primera semana, y semanalmente ir triplicando lo recibido en la semana anterior. Completa la tabla:

SEMANA OFERTA 01 SEMANA OFERTA 021 20.000 1 5

5 5

10 10

12 12

Si el convenio de incentivo económico tiene una duración de 5, 10 y 12 semanas. ¿Qué propuesta aconsejarías tomar a estos funcionarios? ¿Por qué?

El crecimiento numérico observado en cada tabla ¿Cómo lo defines? ¿Aditivo y/o exponencial? Busca una explicación con ayuda de tu profesor.

Sabías que… Cuando las bacterias y otras células alcanzan un tamaño y un metabolismo crítico, se dividen y forman dos células hijas idénticas. Una bacteria puede llegar a dividirse cada seis minutos, y su colonia crecer de forma exponencial.

— 18 —

Terminadas las actividades de Fiestas Patrias una familia necesita guardar una lona de 24 m por lado. ¿Qué superficie total cubre la lona estirada? Expresa tus cálculos usando potencias.

Para guardar la lona esta familia la dobla por la mitad en 6 oportunidades. Dibuja la situación experimentada al efectuar los dobleces y escribe tus cálculos en la tabla.

Doblez 0 10 … … … … …

Área 24 • 24

m2

¿Qué área cubre la lona realizado el 6º doblez? Expresa mediante potencia.

¿Qué tipo de variación exponencial experimenta el área de la lona al realizar los 6 dobleces? ¿Por qué?

La lona mide16 metros por lado24 m = 16 m.Su área = 16 • 16 = 256 m2

Al segundo doblezcada lado mide 8 m23 m = 2 • 2 • 2 = 8 m.Primer doblez

Un lado mide 8 my el otro 16 m.Su área = 8 • 16 =

24 m

24 m

23 m

24 m

23 m

23 m

— 19 —

El término regularidad en matemática significa descubrir las relaciones conceptuales o patrones que van permaneciendo constantes. Con ayuda de tu calculadora científica completa los productos de la tabla.

POTENCIA PRODUCTO POTENCIA PRODUCTO

12 1 (0,1)2 0,01(1,1)3 (0,2)3

(1,2)4 (0,3)4

(1,3)5 (0,4)5

(1,4)6 (0,5)6

(1,5)7 (0,6)7

(1,6)8 (0,7)8

(1,7)9 (0,8)9

(1,8)10 (0,9)10

Compara los productos obtenidos en ambas columnas ¿Qué diferencia estableces entre ellos? Busca una explicación.

Según lo respondido, si tuvieses que formular una conjetura ¿Qué ocurre al calcular potencias con base mayor a 1? ¿y qué sucede cuando la base es un número entre 0 y 1?

Este ejercicio de exploración permite concluir el tipo de variación exponencial experimentado en cada caso. Conclusiones que podemos hacer extensivas a otros casos similares que además permitirán anticipar posibles resultados. Por ejemplo, tomemos la potencia (0,1)2 su base está entre los valores 0 y 1 y su producto es 0,01 es decir una centésima, indudablemente este resultado tiene relación con un decrecimiento exponencial.

Es importante señalar, que (0,1)2 también se puede representar de la siguiente forma:

(0,1)2 = , por lo tanto (0,1)-2 = 10-2

Observemos otro caso, a partir de 103 : 105 que es equivalente a escribir:

103 : 105 = 3

5 2

? =?XY ? =?XY

Recuerda que…

Los números decimales pueden escribirse como fracción, así:

(0,3)2 =

0,099100

— 20 —

Entonces, de lo anterior se obtiene que: 103 : 105 =

Pero, por la propiedad de la división de potencias de igual base, se sabe que:

103 : 105 = 103 – 5 = 10-2, entonces se concluye que: 10-2 =

Así, esta notación de potencia de base 10 con exponente negativo la podemos extender a otras bases:

Primer ejemplo, 2-3 = = 3

por lo tanto: 2-3 = =

Segundo ejemplo,

Entonces podemos concluir que: a-1 = por lo tanto a-n =

Dos cabezas piensan más que una…En consideración a lo desarrollado anteriormente consulta a tu profesor y responde las siguientes preguntas:

¿Qué relación observas entre el signo negativo del exponente y el número representado en la

potencia? Por ejemplo: 3-1 =

Lee la siguiente afirmación:“Todo número positivo se puede escribir como potencia con exponente positivo y también con exponente negativo” ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué?

¡Te invito a resolver!Entre las siguientes potencias ¿cuál es mayor? • 56 ó 65

• (0,9)4 ó (0,4)9

¿Qué otras conclusiones puedes obtener a partir de la pregunta anterior?

Recuerda que…

Para la división de potencias de igual base: am: an = am – n con:

Zn

mQa

∈

∧∈∀ ,

y para la multiplicación de potencias de igual base:am • an = am + n con:

Zn

mQa

∈

∧∈∀ ,

2

2

• • •

— 21 —

Dos cabezas piensan más que una…En las actividades anteriores trabajaste la representación geométrica de las potencias al cuadrado y cúbica. Observando la representación que se hace de 22 y 23 en la siguiente tabla.

Unidad patrón DibujoUnidades por lado.

Potencia asociada.

Valor (Cantidad de unidades patrón)

2 22 4

2 23 8

• Investiguen cómo representar geométricamente las potencias 2-2 y 2-3• ¿Cómo se puede representar como multiplicación iterada a 2-2 y 2-3

Te ayudaremos a partir con tu investigación. La potencia 2-2 = 1

(2)2 = 1

2• 1

2=

14

entonces, si la representación geométrica de 22 es:

La representación de 2-2 es 14

de la

Superficie del cuadrado anterior ¿estás de acuerdo?

Ahora, continúa tú.

12

12

— 22 —

Más Números Racionales en la vida diaria

Una información de prensa en junio de 1997, señalaba que la producción anual aproximada de basura en Chile era del orden de 2.560.000 toneladas.Con ayuda de tu calculadora determina:

Las toneladas de basura promedio producidas alal año por habitante, considerando la población de Chile en 15 millones.

Si 1 tn. = 1.000 Kg. expresa la medida anterior en kilos de basura anual producidos por un habitante.

Según los cálculos realizados para la primera pregunta ¿qué tipo de número apareció en pantalla? ¿qué significado tiene ese número según el problema planteado?

¿Qué tipo de número aparece en pantalla al resolver la segunda pregunta? ¿A qué corresponde este número de acuerdo a los datos del problema?

Toma nota.. Cuando uno utiliza la calculadora básica o científica es probable que en pantalla aparezcan números tales como:

0,1706666666 0,1706666667

Aquí, ambas expresiones representan lo mismo en términos de cantidad, pero la primera representa un decimal infinito semiperiódico que no ha sido redondeado sino truncado. En el segundo caso, el número está redondeado por eso aparece el dígito 7 a la derecha. Averigua con tu profesor qué procedimiento se puede utilizar para redondear cifras decimales finitos o infinitos y la diferencia que esta tiene con la técnica de truncar.

Cuándo uno realiza diferentes cálculos, es muy probable que se encuentre con números enteros y decimales: finitos e infinitos, pudiendo estos últimos ser: periódicos, semiperiódicos o bien infinitos pero sin período. Pero, ¿cuáles son las características de estos números? ¿lo recuerdas?

— 23 —

Con ayuda de la calculadora convierte a número decimal las siguientes fracciones:

PRIMER GRUPO:

a) = 1 : 2 = 0,5 b) = c) =

d) = e) = f) =

¿Qué observas? ¿Cómo es el número decimal: finito o infinito?

SEGUNDO GRUPO:

a) = b) = c) = d) =

Responde según lo observado:¿Qué ocurre al dividir por 9? ¿Observas algún patrón?

De acuerdo a lo descubierto ¿Cómo clasificarías a estos números decimales?

Vuelve a dividir:

a) = b) = c) = d) =

¿Qué patrón o regularidad descubriste? ¿Qué explicación podrías dar para lo ocurrido?

Toma nota... Como pudiste observar en los cocientes se repite un patrón de dígitos infinitamente después de la coma. Este tipo de número decimal recibe el nombre de decimal periódico. Una línea sobre la cifra indica el patrón. = 0,2222222... = 0,2 = 0,151515... = 0,15

Recuerda que... Una fracción decimal es aquella cuyo denominador corresponde a una potencia de base 10.

Ejemplo:

Los divisores primos del denominador son siempre el 2 y el 5.

25100

7510

751.000

12

1012

35

29

59

19

129

129

159

305999

145999

29

159

25100

1510

15102

15101

, ó ,

25

410

= = = 0,45 • 2

5 • 2

— 24 —

¡Te invito a resolver!

¿Qué ocurre si divides: 1590

9590

3900

, , , y ?415

319.000

¿Qué diferencia ves entre estos decimales y los obtenidos anteriormente? Pregunta a tu profesor que nombre reciben estos números.

La actividad anterior permite concluir que los números decimales obtenidos, además de ser infinitos, poseen un ante período. Estos números decimales se conocen con el nombre de decimales semiperíodicos.

215

= -0,133333333... = -0,13 (Se lee: “cero coma uno tres periódico negativo”) período ante período

¿Recuerdas cómo se transforma un decimal infinito a fracción común?Observa el ejemplo:

Si el número es infinito periódico es más fácil transformar, puesto que estos no poseen ante período, observa este segundo ejemplo:

Ahora, divide 113 por 9 ¿qué número decimal obtienes? ¡Fácil verdad!

Recuerda que... Los decimales del tipo 3,75 , 3,75...... y 3,75 no representan el mismo valor.

El numerador se forma restando al número sin coma decimal el valor obtenido entre la parte entera y el ante período, si lo hubiese.

El denominador se forma por tantos 9 como dígitos tenga el período, acompañado de tantos ceros como dígitos tenga el ante período.

2,135 = 2.135 - 213900

= 1.922900

= 961450

12,5 = 125 - 129

= 113

9

— 25 —

Dos cabezas piensan más que una

Una familia recorre 480,7 Km. en auto en un viaje realizado de Santiago a La Serena. Si tardaron 6 horas en hacer el recorrido, responde:

1. ¿Qué tipo de número obtienes al calcular 480, 7: 6? Escríbelo.

2. ¿Qué significado tiene este valor según los datos del problema?

3. Redondea el valor obtenido y según esto escribe el promedio de kilómetros recorridos por hora

A propósito de la geografía y extensión de nuestro territorio. Lasuperficie de Chile es de 756.626 Km2 y en el habitanaproximadamente 15.827.180 personas, según esto:

4. ¿Qué información se obtiene al realizar la siguiente operación en la calculadora 15.827.180 ÷ 756.62 ?

5. ¿Qué significado tiene el número obtenido? ¿conviene redondear?

6. En una enciclopedia se lee que la tasa de crecimiento de la población en Chile equivale en valor decimal aproximadamente a 10-2. Según esta información y entendiendo que la población estimada de nuestro país al 2004 fue de 15.827.180 ¿Qué población aproximada tendría nuestro país al término del 2005?

¿Sabías qué?

La Carretera Panamericana se extiende desde Alaska hasta Sudamérica.

Recuerda que…

Para calcular la fracción de un número se multiplica la fracción por el número, es decir:

b ≠ 0b

nande

b

a ⋅=

— 26 —

Toma nota... Hasta aquí hemos revisado y trabajado con expresiones numéricas diversas. Las últimas dicen relación con valores decimales finitos e infinitos: periódicos y semiperiódicos. El ámbito numérico trabajado corresponde al de los Números Racionales. Un número racional es todo número que se puede escribir como fracción, donde el numerador y denominador son números enteros, con la condición de que el denominador sea distinto de 0

Este esquema ayuda a comprender quienes son números racionales.

Realiza los siguientes ejercicios con ayuda de tu calculadora:

Al dividir 3230

= 521

= 1315

=

¿Qué observas nuevamente?

Ahora, presiona las teclas:

2 =

¿Qué tipo de número aparece en pantalla? ¿Será posible escribirlo como fracción? Pide ayuda a tu profesor y resuelve este problema.

Recuerda que...

Los números que ves en el esquema, todos sin excepción, se pueden escribir como:

0, ≠∈∧ byZbaconb

a

Por lo tanto: todo número natural, cardinal y número entero es también un número racional.

N: Números Naturales

N0: Números CardinalesN0= N U 0

Z: Números Enteros

Q: Números Racionales

21

1

— 27 —

En la pantalla aparece un infinito truncado, sólo aparecen las primeras cifras decimales. El número 2 no es racional, por lo tanto no se puede expresar como cociente de dos números enteros y tampoco como decimal exacto o periódico, es un ejemplo de número irracional. El número 2 ya se conocía en la época de Pitágoras. Este número se puede obtener al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, aplicando para ello el teorema de Pitágoras.

D C (AC)2 = (AB)2 + (BC)2

(AC)2 = 1 + 1

AC = 211 =+

A B Otro número infinito de similares características es el siguiente:

2,202002000200002000002000000200000002…………………………………….

¿Qué secuencia de números escribirías a continuación? Como puedes ver tiene un desarrollo decimal infinito, cumple con una regularidad o patrón pero no tiene período. A los números decimales infinitos que cumplen con esta característica se les llama Número Irracional y a diferencia de los Números Racionales estos no pueden escribirse de la

forma 0, ≠∈∧ byZbaconb

a

Responde:

¿Qué tiene en común un número decimal infinito periódico con un número irracional?

¿Qué tiene en común un número decimal infinito semiperiódico con un número irracional?

¿Qué diferencia significativa hay entre un número irracional y losnúmeros infinitos: periódicos y semiperiódicos?

Desde la antigüedad matemáticos filósofos y artistas han creído en la existencia de una razón privilegiada, que fue llamada número áureo. Este número es otro ejemplo de número irracional.

2

51 +=φ

¿Sabías qué?

— 28 —

Dos cabezas piensan más que una

Actividad: Representación geométrica de 2 en la recta numérica.Materiales: Regla, compás, lápiz y goma.

A continuación ejecuta los pasos para representar 2 en la rectanumérica.

Paso 01En la recta dibuja un cuadrado de lado 1

0 1 2

Paso 02Traza la diagonal del cuadradoque une el origen con el vérticeopuesto.

0 1 2

Paso 03Copia con el compás la medida de la diagonal y haciendo centroen 0 traza el arco hasta intersectara la recta.

0 1 2

— 29 —

Paso 04El punto de intersección con la recta es la representación de 2

Puedes emplear el teorema de Pitágoras para determinar raíces cuadradas en la recta numérica. A continuación levanta una perpendicular de medida 1 teniendo como pie a 2 para ubicar geométricamente a ,3 4 y 5 ¿Cuáles son números irracionales? Verifica con tu calculadora y consulta a tu profesor.

0 1 2

1 1

2 ,3

2

— 30 —

¡A investigar!

Tema de investigación: Números triangulares y cuadrados

Objetivo(s) de la investigación:

1. Conocer de forma experimental las características de los números triangulares y cuadrados.

2. Inferir el patrón y relaciones que se establecen en la formación de los números triangulares y cuadrados.

Técnica(s) de estudio a utilizar: Trabajo en equipo.

Materiales: 50 fichas circulares de tamaño pequeño y de un mismo color (se pueden reemplazar por otro objeto pero manteniendo forma y color).Cuaderno y lápiz

Instrucciones

1. Dispón las fichas sobre la mesa. Deberás partir siempre por una ficha, prueba a continuación formar un triángulo con tres, seis y diez fichas respectivamente

1(ficha) 3 (fichas) 6 (fichas) 10 (fichas)

¿Fue posible? ¿Qué tipo de triángulo reconoces en cada caso?

2. ¿Cuántas fichas se necesitarán para formar los dos triángulos siguientes? Dibuja lo obtenido en tu cuaderno.

3. Prueba a continuación formar cuadrados con las fichas. Recuerda que nuevamente debes partir con una ficha, a continuación el procedimiento es similar al de los triángulos.

1(ficha) 4 (fichas) 9 (fichas) 16 (fichas)

¿Fue posible? ¿Cuántas fichas ocupaste en cada cuadrado? 4. ¿Podrías definir qué son los números triangulares y cuadrados?

5. Señala cuál es el menor número (excluyendo el 1) que puede ser un número triangular y un número cuadrado.

6. Con ayuda de un dibujo o el material, describe un patrón o regla para determinar los primeros diez triángulos y los diez primeros cuadrados.

— 31 —

Sección 2Variación ProporcionalTrabajando con la informaciónHoy en día recibimos importante información de diferentes ámbitos: economía, deporte, salud, alimentación, producción y otras más. ¿Qué herramientas se emplean para darla a conocer? Practiquemos con la siguiente actividad:

Un envase de leche en polvo trae la siguiente información:

Porción: dos cucharadas soperas colmadas de polvo (20 g) disueltas en un vaso de agua (200ml). Porciones por envase: 15 vasos.

100g 1 por.

Energía (Kcal) 358 72

Proteinas (g) 35 7

Grasa Total (g) 1 0

H. de C. dis. (g) 52 10

Vitamina B2 (mg) 2 24%

Vitamina B12 (mg) 2,5 49%

Columnas 1º 2º 3º 4º

4. Observa la fila que dice “Energía” y relaciónala con el número 72 ¿Qué información desprendes de esta relación?

Relaciona y responde:1. Completa la siguiente tabla:

Porción Energía (Kcal.) Proteínas (g) Grasa Total (g) H. de C. disponibles (g)1 72 72 144 143…

2. ¿Qué ocurre con la medida de los nutrientes a medida que aumentan las porciones?

3. Si una persona consume de una vez 100 g de esta leche ¿qué cantidad de cada nutriente recibirá su organismo? Explica en tu cuaderno.

1. ¿Qué tipo de información contiene la tabla?

2. ¿Qué informa la 1º columna? ¿la 2º? ¿la 3º y 4º columna?

3. ¿Qué información proporcionan las filas?

Filas

— 32 —

Observa la siguiente boleta.

1. ¿Qué tipo de gráfico se utiliza para comunicar esta información?

2. ¿En qué mes hubo mayor consumo? ¿En cuál fue menor?

3. ¿Es necesario observar los números para concluir en qué período se consumió más o menos agua? ¿Por qué?

Según el gráfico, estima el consumo de agua mensual de esta familia. Luego ordénalos en la siguiente tabla de valores:

Mes Consumo en m3 de aguaEneroFebreroMarzoAbrilMayoJunioJulio

¿Sabías qué? En todo el mundo, más de 1.000 millones de personas no tienen acceso a agua potable. Al año 1995 la cobertura de Agua Potable en Chile era del 98%

ESTADO DE CUENTACLIENTE: 675438-9987-0

Detalle de consumo………………… 3.636 m3

Lectura actual 09 Julio 2006……… 3.614 m3

Lectura anterior 09 junio 2006…… 22,0 m3

Diferencia de lecturas……………… 22,0 m3

Facturación………………………… 22,0 m3

Uso de alcantarillado y tratamiento…22,0 m3

Consumo a pagar 22m3

Total a pagar $ 22.450Vencimiento 15 de julio 2006

1 m3 = 1.000 litros

Consumo de agua de los últimos 7 meses

0

510

15

2025

30

35

40

45

Enero

Febr

ero

Mar

zo

Abril

May

o

Juni

o

Julio

— 33 —

Organizando el consumo de luz

Según la siguiente situación:

El consumo de luz aproximado que tiene una familia durante un período del año 2005 y 2006 es el siguiente: sep 380 KWH, oct 360 KWh, nov 340 KWH, dic 280 KWh, ene 310 KWH y febrero 390 KWH

Trabajando con lo aprendido

1. Construye una tabla de doble entrada donde organices la información entregada e identifiques las variables.2. En el espacio cuadriculado construye el gráfico de barras correspondiente a la información contenida en la tabla.3. Una vez confeccionada tabla y gráfico, redacta 5 preguntas a partir de él y compártelas en clase.

Recuerda que... Un gráfico de barras emplea barras, verticales u horizontales, para mostrar datos numéricos. Es útil para describir y comparar valores. El largo de cada barra es medida según la escala utilizada y su intervalo corresponde al espacio que hay entre los valores de la escala. Por ejemplo, para la tarea puedes usar una escala de 100 200 300 400 KWH, su inter-valo es 100

Primera bombilla incandescente inventada en

1879 por Thomas Edison.

— 34 —

En la economía

El siguiente gráfico está incompleto y fue construido por un contador interesado en mostrar in-formación acerca del valor del dólar en un período de tiempo.

Todo gráfico debe llevar escrito un título y los datos (variables) que se relacionan en él, según esto completa la información pendiente:

1. ¿Qué título pondrías a este gráfico? ¿Por qué?

2. ¿Qué datos se organizan en el eje de las abcisas (Eje X)? ¿y en el eje de las ordenadas?

Abcisas:

Ordenadas:

3. Según el gráfico, ¿el dólar está en alza o cae en su valor? ¿Cómo te das cuenta de ello?

4. ¿Qué información extraes del punto encerrado en un recuadro? Explica.

Toma nota... Este gráfico, es conocido como gráfico de líneas o poligonal, a menudo muestra como cambian los datos en el tiempo. Cada punto representa un elemento de los datos; su altura indica el valor del dato y que tan lejos se haya el punto inmediatamente ubicado a su derecha, señala el tiempo. Sus variables son el precio del dólar y el tiempo.

Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep

590

580

570

560

550

540

530

520

510

— 35 —

Como ves la información es necesario organizarla. Del tipo de información contenida en tablas y de su relación, depende el tipo de gráfico a construir.

Utiliza los gráficos para responder a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué región tiene una población de alrededor de 1 millón 500 mil habitantes? ¿Qué gráfico empleaste para averiguarlo? ¿Por qué?

2. ¿Qué región tiene más de un tercio de la población del país? ¿Qué gráfico usaste? Explica tus razones.

3. ¿Qué gráfico comunica mejor la población estimada para cada región? ¿Cuál ilustra mejor la porción de población estimada de Chile? Explica.

Como puedes observar, ambos gráficos entregan información acerca de la población estimada de nuestro país al año 2005, pero la interpretación que debes hacer en cada caso es diferente: en el gráfico de barras se describe y comparan valores de datos, a diferencia del gráfico circular, donde comparas cada sector o parte en relación a un todo.

¡Te desafío a resolver!

El gráfico de líneas muestra como cambian los datos en el tiempo. De acuerdo a esto, averigua la población de Chile según los últimos 4 censos y construye en papel milimetrado el gráfico de líneas correspondiente. ¿Por qué en esta oportunidad es conveniente usar este tipo de gráfico y no así, uno de barra o circular? Explica.

Población estimada en Chile 2005

0

1.000.000

2.000.000

3.000.000

4.000.000

5.000.000

6.000.000

7.000.000

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII RM

Regiones

Población estimada de Chile al 2005

RM

XII

XIX

IX

VIII

VII

VI

V

IV

IIIII

I

39%

3% 7% 1%4%

10%

5%

6%

13%

6%3%2%

1%

— 36 —

Razones, proporciones y constante de proporciónEn la actualidad la industria y la tecnología avanzan a pasos agigantados. Por ejemplo, alrededor del año 1913 industrias estadounidenses emplearon cadenas de montaje para la industria del automóvil. Esta producción en cadena (o en serie) permitía producir más vehículos en menos tiempo y con menor costo.

Los automóviles salían de la cadena de montaje cada 10 segundos, con un ritmo anual de dos millones. Esto hizo que Estados Unidos se motorizara de forma masiva en la década de 1920.

De la información anterior se puede concluir que:En esa época, cada 1 minuto 6 vehículos salían de las cadenas de montaje.

Según la información anterior, escribe en la tabla las razones del tiempo empleado con respecto a la cantidad de vehículos que salían de las cadenas de montaje.

Tiempo (minutos) Cantidad de vehículos Razón1 6 1 : 623

… … …

1. En la tabla se escribe la razón 1:6 (1 es a 6), esto significa que al cabo de 1 minuto, 6 son los vehículos que salen de las cadenas de montaje. En cambio si planteáramos la razón como 6:1, diríamos que en 6 minutos sale de la cadena de montaje 1 vehículo, de acuerdo a esto ¿qué significado tiene la razón 2 es a 12 y 3 es a 18?

2. Según las respuestas anteriores ¿cuántos vehículos salían cada 4, 5…y 10 minutos?

3. Escribe tres proporciones a partir de la tabla anterior. Explica por qué cada una de ellas es una proporción.

Toma nota... una razón se compone de dos términos: el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, para “1 es a 6” ó 1 : 6 el antecedente es 1 y el consecuente 6. El valor de la razón es 0,16

— 37 —

Según la tabla de datos obtenida en la actividad anterior construye un gráfico de línea que describa la situación ¿Qué observas?

Toma nota... Un gráfico debe contemplar un título, la identificación de sus variables y la escala e intervalo a utilizar. En el ejemplo de la página 28 la escala para graficar el valor del dólar fue 510 520 530…590 y su intervalo 10

— 38 —

Apliquemos el significado de razón y proporción analizando el siguiente problema:

Según sus cálculos, Pedro asegura que en carretera, a una rapidez constante de 90 Km./hr., su vehículo rinde en promedio 12,5 Km por litro. En cambio, en ciudad alcanza sólo 9 Km por litro a una rapidez promedio de 55 Km/hr.

Según esta información:Completa la tabla con ayuda de tu calculadora, si obtienes decimales redondea a la centésima:

X: Combustible (lt) Y: Distancia (Km.) CX

Y = XCY ⋅=

1 12,52 25

La tabla registra dos variables: X que representa el combustible (lt.) y la variable Y que representa la distancia (Km.). Según esto responde en tu cuaderno:

1. ¿Qué relación puedes establecer entre las variables X e Y?

2. ¿Qué ocurre cada vez que divides Y por X?

3. ¿Qué valor tiene Y cuando X es 5? ¿y cuándo X es 10?

El siguiente gráfico describe la situación del vehículo en carretera y ciudad. Copia el gráfico en tu cuaderno y responde:

¿Qué información registra el eje X? ¿y el eje Y?

¿Qué recta representa lo que ocurre en la carretera? ¿y cuál en la ciudad? ¿Por qué? Explica.

Según el gráfico, escribe tres conclusiones que puedas obtener de él.

60

50

40

30

20

10

00 1 2 3 4 5

Vehículo en carreteraVehículo en ciudad

— 39 —

Toma nota... La situación contempla dos variables, (litros de combustible consumidos y distancia recorrida) en ambas su valor aumenta y a cada valor de una de las variables le corresponde un valor y sólo uno en la otra. Observamos que al dividir la cantidad de kilómetros (y) por la cantidad de combustible (x) obtenemos un valor constante al que llamamos “C”. De esto se concluye la igualdad entre dos o más razones, es decir:

Recuerda que... Una razón es la comparación entre dos magnitudes por medio de un cociente. Según el trabajo anterior, son razones:

12,51

se lee: “12,5 es a 1” 252

se lee: “25 es a 2”

La constante C = 12,5 es llamada constante de proporcionalidad. Según esta información, responde:¿Qué significa que C sea una constante?

¿Por qué C, además es llamada constante de proporcionalidad?

Teniendo que: = = = = 12,512,5

1252

37,53

504

y C = 12,5 explica con ayuda de un

ejemplo su significado.

El trabajo anterior nos lleva a recordar algunos conceptos trabajados en años anteriores, ellos son:

Dos razones iguales forman una proporción, por ejemplo en el caso anterior:

112,5

= 225

es una proporción, también se puede escribir: 1 : 12,5 = 2 : 25 y se lee:

“1 es a 12,5 como 2 es a 25”

Propiedad fundamental de las proporcionesEsta propiedad fundamental de las proporciones señala que: “el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos”. Según el ejemplo anterior: 1 : 12,5 = 2 : 25Extremos Medios

= = = = 12,512,5

1252

37,53

504

ab

cd

= a • d = b • c

— 40 —

Trabaja con lo aprendido

Comprueba si las siguientes razones son iguales:

a) 18 : 2 y 27 : 4 b) 9 : 1 y 4,5 : 0,5

Calcula el valor de “n” para que se cumpla la igualdad.

c) 364

y 1n

d) 252

y n4

Retomando el gráfico que ilustra la rapidez del vehículo en carretera y ciudad, responde:

¿Puedes concluir la existencia de una constante de proporcionalidad a partir de los datos del segundo caso? ¿Por qué?

¿Qué tipo de línea se dibuja en ambos casos? ¿Qué explicación habrá para ello? Formula una o más conjeturas.

2o Caso

60

50

40

30

20

10

00 1 2 3 4 5

Vehículo en carreteraVehículo en ciudad

— 41 —

Según la información de rendimiento del auto en ciudad completa la tabla.

X: Combustible (lt.)

Y: Distancia (Km.) C

X

Y =XCY ⋅=

Escribe las razones del gasto de combustible respecto del kilometraje recorrido.

¿Qué valor se obtiene al determinar la constante de proporcionalidad? ¿Qué significado tiene ese número en función de los datos y situación planteada?

Conociendo la constante de proporcionalidad, a partir de la igualdad Y = C • X , es posible encontrar el combustible consumido al recorrer en las mismas condiciones 100, 200, 275 y 550 kilómetros. ¿Por qué?

— 42 —

Variación proporcional y variación no proporcional

La actividad anterior permitió observar la relación existente entre dos magnitudes. En distintas circunstancias es frecuente escuchar expresiones como: “sí, esto es proporcional a” “hay proporcionalidad entre ellos” o “la figura se ve proporcionada”

Observa las fotografías y comparte en clase:

1. ¿En qué fotografía dirías que la situación NO es proporcional? ¿Por qué? ¿Qué idea sugiere entonces la expresión “es proporcional a”?

2. A partir de la idea de “proporcional” y “No proporcional” señala un ejemplo donde efectivamente la relación establecida de cuenta de ser “proporcional”

Dos cabezas piensan más que una Has una pequeña encuesta entre tus compañeros y compañeras y averigua lo siguiente:

• La edad actual de cada uno.• El peso de cada uno.

Ordena esta información en la tabla y luego responde en tu cuaderno:

Nombre del compañero Edad Peso (Kg.)

1. ¿Cómo son entre si las medida de peso de los compañeros?2. ¿Podrías afirmar que si un compañero X de tu lista, a la edad de 15 años pesa, por ejemplo

62 Kg. entonces a los 16 debería pesar más? ¿y a los 17 mucho más que a los 16 años? Y así sucesivamente. ¿por qué?

3. Pensando en el ejemplo de las fotografías ¿la relación entre las magnitudes edad y peso serían proporcionales o No proporcionales? Explica.

1 2

— 43 —

Proporcionalidad directaToma nota... Volvamos al ejemplo del vehículo de don Pedro. Dicha situación representa en ambos casos una relación de proporcionalidad directa. Observa el gráfico nuevamente.

Relacionando los datos del gráfico con las conclusiones que se enuncian a continuación:

1. Los valores aumentarán o disminuirán proporcionalmente y a cada valor de la variable independiente (x) le corresponde un valor y sólo uno en el eje y del plano cartesiano. Tenemos dos variables, una de las cuales (y) cambia en términos de los valores que toma la otra (x), por ejemplo:

a. Cuando en ciudad su vehículo haya recorrido en promedio 9 Km. habrá consumido 1 litro aproximado, si recorre 18 Km. consume 2 y así sucesivamente. ¿Cuál de las dos rectas señala este caso.

b. Cuando en carretera su vehículo haya recorrido 12,5 Km. habrá consumido 1 litro aproximadamente, por lo tanto, si recorre 25 Km. consume 2 litros.

2. Al dividir la cantidad de kilómetros (y) por la cantidad de litros (x) obtenemos un valor constante para cada par de valores (x, y), al que en esta oportunidad llamamos “C”. Por ejemplo:

• En cada caso el valor de la razón es 9 (C = 9), es decir, por cada litro que consume el vehículo en promedio avanza 9 kilómetros. En qué caso se cumple la razón señalada ¿en ciudad o carretera?

3. El gráfico que muestra la variación de “x” e “y” es una recta. Como c es mayor a 0, entonces la recta es ascendente.

• Como los valores aumentan o disminuyen proporcionalmente, entonces la variación se representa mediante una recta que divide al plano simétricamente y pasa por el origen (0).

Rapidez del vehículo en carretera y en ciudad

60

50

40

30

20

10

00 1 2 3 4 5

Vehículo en carreteraVehículo en ciudad

Combustible (lt)

Dis

tan

cia

(Km

)

18

9

25

— 44 —

De esta manera, y ahora empleando la propiedad fundamental, podemos calcular la cantidad de kilómetros recorridos o litros consumidos. Veamos un ejemplo:

Si don Pedro mantiene la rapidez constante, ¿Cuántos litros habrá consumido su vehículo en carretera si ha recorrido 185,5 Km?

¿Qué podemos hacer?

Pensemos de la siguiente manera, si por cada litro de bencina el recorre 12,5 kilómetros, en-tonces al recorrer 185,5 Km. el habrá ocupado Y litros, entonces debemos plantearnos una proporción.

¿Cómo lo hacemos?La proporción a plantear es:

= Se lee: 1 litro es a 12,5 kilómetros como Y litros es a 185,5 kilómetros.1

12,5Y

185,5

Y = = 14,84

La respuesta: su vehículo habrá consumido 14,84 litros.

Recuerda que... para resolver una ecuación como la planteada anteriormente debemos aplicar propiedades de la igualdad y operatoria involucrada.

Veamos el ejemplo:

= 1

12,5Y

185,5al efectuar el producto cruzado queda: 1 • 185,5 = 12,5 • Y

1 • 185,5 = 12,5 • Y •

112,5

(Despejamos y multiplicando la igualdad por el inverso multiplicativo de 12,5)

1 • 185,5 12,5

= 12,5 • Y 12,5

(Simplificamos para despejar Y y calculamos)

Y = 1 • 185,5 12,5

=185,5 12,5

= 14,84

Y = 14,84

185,5 • 1 12,5

— 45 —

Trabaja con lo aprendido

1. Bajo las mismas condiciones ¿cuántos litros consume al recorrer 115 Km. en un viaje de Santiago a Valparaíso?

2. Si el marcador de bencina da cuenta de haber consumido 5 litros ¿cuántos kilómetros lleva recorrido? ¿y si ha consumido 10, 15 y 20?

3. El siguiente gráfico ilustra el rendimiento por consumo de combustible que experimentan dos vehículos en su recorrido.

Según esta información completa las tablas de valores para ambos móviles:

Vehículo 1Combustible (lt) Distancia (Km.)

Vehículo 2Combustible (lt) Distancia (Km.)

300

250

200

150

100

50

00 5 10 15 20 25

Combustible (lt)

Dis

tan

cia

(Km

)

Vehículo 1

Vehículo 2

— 46 —

Responde:

1. ¿Cuál de los dos vehículos rinde más kilómetros por litro? Explica cómo lo supiste.

2. Si el vehículo 1, a los 200 kilómetros ha consumido 20 litros de combustible ¿cuántos kilómetros en promedio rinde por litro?

3. ¿Cuántos kilómetros en promedio rinde por litro el vehículo 2? Explica cómo lo supiste.

4. Tres vehículos diferentes salen desde Concepción a Valdivia a la misma hora. El siguiente gráfico ilustra el movimiento de cada uno.

5. ¿Qué vehículo viaja más rápido? ¿Cuál lo hace más lento? ¿Por qué?

6. Según la información dada ¿podrías afirmar que en los tres casos, las magnitudes son directamente proporcionales? ¿Por qué?

7. Comenta ¿fue necesario escribir los números en el gráfico para sacar tus conclusiones?

8. Si conociésemos la constante de proporcionalidad ¿sería posible encontrar los valores para cada variable? ¿Por qué?

Tiempo (Hr.)

Dis

tan

cia

(Km

)

c

a

b

— 47 —

Proporcionalidad inversa

En la ciudad es frecuente ver personal realizando arreglos en la vía pública: pavimentación, nivelación de terrenos, etc. Son variados los equipos que se emplean, en especial maquinaria pesada. Según esto, imaginemos que una apisonadora tarda 3 hrs. en compactar el asfalto para formar un pavimento liso.

A continuación verás cómo cambian los valores de las variables involucradas en la situación planteada al comienzo. Si una apisonadora tarda 3 horas en compactar cierta superficie con asfalto. ¿Qué tiempo deberían emplear 2, 3 o 4 máquinas para realizar el mismo trabajo? Si una máquina demora 3 hrs. ¿Dos máquinas deberían demorar más o menos tiempo? ¿Por qué?

Trabaja completando la siguiente tabla.

X (Tiempo en Horas)

Y(No Máquinas)

CYX =⋅

3 1

La tabla muestra las variables: X que representa el tiempo y la variable Y que representa la cantidad de máquinas. Según esto responde:

1. ¿Qué valor tiene X cuando Y es 2? ¿y cuándo Y es 3?

2. ¿Cómo varían los valores de las variables X e Y? ¿Qué relación importante estableces?

3. ¿Qué ocurre cada vez que obtienes el producto X • Y? Explica.

4. ¿Qué diferencia puedes establecer entre proporcionalidad directa y esta nueva relación? Explica.

— 48 —

Dos cabezas piensan más que una.En el siguiente gráfico se describe la situación anterior.

1. ¿Qué información se registra en el eje X? ¿y en el eje Y?

2. ¿Qué observas de particular en la línea registrada en el gráfico? ¿Cómo es respecto de la observada en los cálculos de proporcionalidad directa?

3. Según el gráfico, escribe tres conclusiones que puedas obtener de él.

a)

b)

c)

Toma nota... De la actividad anterior podemos concluir lo siguiente, el producto entre el número de horas (x) y la cantidad de máquinas usadas (y) es constante e igual a 3.

• La relación es entre dos variables. Esta relación se establece en condiciones que al aumentar los valores de una variable disminuye los valores de la otra.

• El gráfico de y versus x es una curva.

• El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante.

Por lo tanto el tiempo empleado es inversamente proporcional al número de máquinas empleadas.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

— 49 —

De similar forma a lo planteado anteriormente y empleando la propiedad fundamental, podemos calcular como ejemplo, ¿qué tiempo emplearán 4 apisonadoras en hacer la misma tarea en igualdad de condiciones?

¿Qué podemos hacer?Si una máquina emplea 3 horas entonces 4 deberán hacerlo en Y tiempo. Como esta proporcionalidad es inversa, además debemos considerar la aplicación del inverso multiplicativo.

¿Cómo lo hacemos?La proporción a plantear es:

14

= 3Y

por lo tanto por aplicación del inverso multiplicativo de 3Y

finalmente tenemos

14

=Y3

de donde: Y = 3 • 14

= 0,75

La respuesta: las cuatro máquinas emplearan un tiempo de 0,75 hr.

Trabaja con lo aprendido respondiendo en tu cuaderno

Una fábrica exportadora de alfombras hace un estudio para la compra de telares. La empresa cuenta actualmente con 25 telares que producen cierta cantidad de alfombras en 120 horas. Según el estudio:

1. ¿Qué información se registra en el eje horizontal (al que llamamos X) y en el eje vertical (al que llamamos Y)?

2. ¿Cómo varía el tiempo de producción si para la fabricación se adquieren más telares?

3. Si para este caso se concluye que la constante de proporcionalidad es 3.000 ¿Cuántos telares se necesitan para disminuir el tiempo de producción a la mitad? ¿y a un tercio?

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120 140

Tiempo (Hr)

— 50 —

¿Cuánto has aprendido?Jaime está realizando una tarea de matemática. Lamentablemente olvido concluir su trabajo, pero dejo información suficiente para que tú puedas resolver el problema ¿tendrá solución?

Situación planteada a nuestro amigo Jaime:

1. Una industria química produjo 12.000 kilos de fertilizante para la actividad frutícola. Deciden envasar su producción en bolsas de igual cantidad de kilos: 5 Kg., 10 Kg, 15 Kg. y 20 Kg. Si son 600 bolsas de 5 Kg., responde lo siguiente:

• ¿Cuántas bolsas se necesitan para envasar el fertilizante en bolsas de 10, 15 y 20 Kg?• Según su análisis ¿Qué tipo de proporción resuelve este problema?• De acuerdo a la respuesta anterior ¿cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Por qué?• Construya el gráfico que ilustra la situación.

Lo que ves a continuación son los cálculos que alcanzó a realizar nuestro olvidadizo amigo Jaime.

XKg. por bolsa

YNº de bolsas ……….. = …..

5 60010

¿Cómo te fue? ¿Tenía solución el problema planteado?

— 51 —

2. De acuerdo al número de bebes nacidos vivos en Chile, el siguiente gráfico describe la tasa de mortalidad infantil estimada al año 2004 en nuestro país.

Según esta información responde:1. ¿Cuáles son las variables X e Y que intervienen en el estudio?

2. ¿Qué tipo de proporción describe la gráfica? ¿Por qué?

3. Según lo respondido en la pregunta 2 y a partir de los datos que se entregan en el gráfico ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Explica cómo lo supiste.

4. ¿Qué relación concluye entre la constante de proporcionalidad y la tasa de mortalidad infantil que se describe en el gráfico? Explique.

Elabora la tabla de datos que corresponde al gráfico.

La amniocentesis es un examen que aporta importante información sobre anormalidades del desarrollo.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000

Número de nacimientos

— 52 —

¡Matemática y juego!

Suma de fechas en el calendario

Otro espacio de entretención, en esta oportunidad tendrás que hacer tus cálculos escritos. Esperamos que hagas matemática con gusto y demuestres tu pericia ¡Ánimo!

MaterialUn calendario u hoja de calendario de 30 días.

JugadoresDos o más jugadores

InstruccionesToma del calendario la hoja de un mes de 30 días. Elige en ella un cuadrado de 4 fechas en cualquier sitio del mes. Suma 4 al número más pequeño del cuadrado y luego multiplica el resultado por 4. A continuación suma todas las cifras del cuadrado. Compara luego ambos resultados.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30

• ¿Qué observas? ¿Puedes justificarlo? • ¿Qué relación matemática justifica lo observado? Busca una explicación.

— 53 —

Sección 3Variación PorcentualPorcentajesEn distintos medios de prensa escrita, revistas e inclusive avisos publicitarios se lee información acompañada por números, tales como: rebaja de un 10%, pie de un 25%, interés mensual a 30 días de un 0,21%, etc.

Observa la siguiente situación:

El cálculo de porcentaje hoy en día es frecuente, pero veamos que significa “menos el 10%”. Recuerda que este tipo de número se puede escribir o representar de diferentes formas, sin que por esto su valor cambie.

Así, la expresión 10% es equivalente a: 10100

= 110

= 0,1

Como puedes ver son todas equivalentes, por lo tanto, el descuento también se podría escribir

como: “menos 10100

”, “menos 110

” o “menos 0,1” Esta

conversión facilita el procedimiento,

puesto que no tienes una sola expresión numérica para hacer tus cálculos.

Un procedimiento para resolver el problema puede ser operando como fracción de un número, así tenemos:

OperaciónSe debe calcular el 10% de 9.000 , es decir,

10100

de 9.000

Calculando, tenemos: • 9.000 = = = 90010100

10 • 9.000100

90.000100

La camiseta se vende con un descuento de $ 900.

Es decir, a $ 8.100

Recuerda que…

Para calcular la fracción de un número se multiplica la fracción por el número, es decir:

b

nande

b

a ⋅=

b ≠ 0

— 54 —

Revisemos el concepto de fracción de un número, dada la siguiente situación:

1. En un campeonato juvenil de jockey en patines compiten delegaciones de diferentes países. En total participan 100 jugadores de diferentes nacionalidades, de ellos 1

5 son chilenos,

3

10 brasileños,

1

4 argentinos y el resto son de Estados Unidos y Uruguay. ¿Cuántos

jugadores compiten por Chile?

ProcedimientoLos 100 jugadores son el entero, así calculamos: 1

5 de 100

Operación

1

5 de 100 = 1

5 • 100 = = = 201 • 100

5 • 1100

5

Por Chile competirán 20 jugadores de un total de 100,lo que equivale al 20% del total de deportistas.

Veamos otro ejemplo:

¿A cuánto corresponde los 3

4 de 20?

En este caso el entero es 20 pero según la fracción se divide en 4 partes iguales. Cuatro de 5 unidades cada una.

De las cuatro se toman 3 partes, lo que hace un total de 15 unidades, que corresponde a más del 50% del entero.

Trabaja con lo aprendido

Calcula:

1). 23

de 27 2). 35

de 100 3). 410

de 100

4). 110

de 1.000 5). 46

de 540 6). 27

de 490

Resuelve:

2. Una delegación nacional de tenis de mesa debe viajar aproximadamente 100 Km. de Valparaíso a San Antonio. El bus hará parada en Isla Negra, ubicada a 60 Km. ¿Qué parte del trayecto total habrá hecho el bus al llegar a este lugar?

20

15

— 55 —

Fracciones, decimales y porcentajesPara estudiar el tema pondremos especial atención en aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de base 10 o bien su fracción de igual valor.

15100

, 1100

ó 25

= 40100

12

= 50100

12

= 312

Toma nota…El Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. Por tanto, representa fracciones cuyo denominador es 100.

Así el 20% es posible representarlo como 20100

= 15

= 0,2

Escribe en forma de fracción cada porcentaje y luego con ayuda de tu calculadora conviértelo a su equivalente expresión decimal.

PORCENTAJE % FRACCION NUMERO DECIMAL

0,15%0,15100

0,0015

15%0,5%

0,5

34

0,1%27%

5,5%5,5

100

18%0,90,05

De esta forma si deseamos calcular el 20% de un número lo podemos hacer de las siguientes

formas: 20100

• 40 ;15

• 40 ó 0,2 x 40. Si calculas con cualquiera de ellas,

obtendrás el mismo resultado 8

¿Sabías qué? El término porcentaje deriva del latín per centum, que significa “por ciento” Los cálculos de porcentajes se utilizan a menudo en la industria y las finanzas, y en el mundo científico para evaluar resultados.

Recuerda que….

Los métodos de amplificación y simplificación sirven para encontrar fracciones de igual valor.

Por ejemplo: para encontrar

la fracción de igual valor a 45

pero que tenga denominador 100 podemos amplificar por 20

4 • 205 • 20

= 80100

= 0,8 = 80%

— 56 —

De esta manera, otro procedimiento para calcular el 10% de descuento de las camisetas del problema inicial es multiplicando por 0,1

Operatoria: Se multiplica 9.000 • 0,1 = 900 y se obtiene el valor en dinero a descontar.

En síntesis cuando pidan calcular porcentaje, tendrás diferentes registros numéricos para hacerlo.

Trabaja con lo aprendido

Calcula

20% de 5.000 50% de 3.000

10% de 89.000 75% de 40.000

Verifica tus cálculos con ayuda de la calculadora, es fácil:

Escribes el número en pantalla, luego presionas la tecla x , a continuación ingresas el número

del porcentaje y a continuación la tecla % ¡listo!También hay calculadoras en las que la secuencia de teclas a digitar sea diferente.

Busca 2 a 3 recortes de diario donde aparezca información alusiva a porcentaje. Recorta en tamaño conveniente y pégala en el recuadro.

Según la información seleccionada, responde en tu cuaderno:

1. ¿Qué se dice del porcentaje? ¿Es un descuento, corresponde a un adelanto en plata, es el aumento de población, etc?. Explica

2. ¿Se puede calcular el porcentaje? ¿O sólo es una información?Si es posible calcularlo, hazlo empleando el procedimiento que te parezca más cómodo.

— 57 —

A continuación se dan a conocer una serie de datos respecto de nuestro país, Chile. Según esta información y considerando una población estimada del país del orden de los 15.827.180 habitantes al año 2004, calcula la cantidad de personas que representan todos los valores porcentuales que aparecen a continuación:

Población 15.827.180 (2004 estimado)

Tasa de crecimiento de la población

1,01% (2004 estimado)

Distribución de la población

Porcentaje de población urbana 86% (2002 estimado)Porcentaje de población rural 14% (2002 estimado)

Tasa de alfabetización

Total 96,4% (2004 estimado) Femenina 96,3% (2004 estimado) Masculina 96,5% (2004 estimado)

Composición de la población

Mestizos 93% Amerindios 3% Europeos 2% Otros 2%

Religión

Católicos 77% Protestantes 11% Otros 12%

¡Te invito a resolver!

Según la Tasa de crecimiento de la población ¿Cuál sería la población estimada a fines del año 2005? ¿y a fines del 2006?

— 58 —

Fracciones y porcentajesEl siguiente gráfico circular corresponde a una encuesta realizada a una población de 1.200 alumnos de un colegio.

Los 1.200 alumnos equivalen al 100% Según la descripción y simbología que en él aparece, responde en tu cuaderno:

¿Qué fracción representa aproximadamente al grupo que elige deporte? ¿Qué otra elección se acerca a este número?

¿Estas de acuerdo en la siguiente afirmación? “La cantidad de alumnos que gustan de: salir a “carretear”, chatear y ver televisión, corresponden aproximadamente a de la población encuestada”. ¿Por qué?

Toma nota... Hay una relación directa entre porcentaje y fracción. Observa las equivalencias de la columna de la izquierda y luego completa las de la derecha.

Porcentaje Fracción Número decimal

25%14 0,25

50%12 0,5

75%34 0,75

12,5%18 0,125

30% 30100 0,3

Esta lista de equivalencias representa algunas conversiones bastante comunes, que podrán ayudarte más adelante a realizar tus cálculos.

Porcentaje Fracción Número decimal

80%

1%

100%

40%

10%

1

2

Otros

Salir a caretear

Chatear

Ver Televisión

Escuchar música

Deporte

Actividades preferidas en tiempo libreJóvenes entre 15 y 18 años

— 59 —

Toma nota... Un gráfico circular esta dividido en regiones. Cada región se compara con las otras que en conjunto forman el total de datos estudiados. Así, el tamaño de cada sector, se compara también con el círculo completo.

Trabaja con lo aprendido y la tecnologíaAhora, te invitamos a realizar la misma encuesta (realizada en la página anterior) en tu curso. Cada compañero debe señalar la actividad más preferida, no lo olvides. Registra las preferencias en la tabla.

Actividad Preferida Curso: …….

FrecuenciaNº de alumnos

DeporteEscuchar músicaVer TelevisiónChatearSalir de carreteOtras

RecuerdaHablamos del 100% cuando nos referimos al total de cualquier cantidad.

Concluida la encuesta y registrados los datos finales en la tabla, deberás construir un gráfico circular, para ello puedes considerar el siguiente procedimiento:

1º paso: Considerar al total de encuestados como 100%, lo que equivale al círculo completo (entero), es decir a un ángulo central de 360o ¿A cuántos compañeros aplicaste la encuesta? Este número es tu 100%.

2º paso: Supongamos que en tu curso los alumnos encuestados fueron 42 y que los que prefieren otras actividades son 8, entonces 8 de 42 alumnos dijeron otras actividades, es decir:

Por lo tanto, aplicando el principio de fracción de un número diremos que: 842

de 360o

corresponderá al “sector circular” de los alumnos que prefieren otras actividades, así:

842

de 360o = 8 • 36042

= 68,57 ≈ 69o

A continuación con el transportador dibujas el ángulo de 69o en el círculo, dicho “sector circular” equivaldrá a los 8 alumnos. ¡Fácil!

842

— 60 —

Ahora, siguiendo los pasos descritos en la página anterior construye el gráfico circular que describe las preferencias en tu curso.

¡Importante! No olvides identificar con color las preferencias.

— 61 —

Proporcionalidad y porcentajeHasta ahora, para el cálculo de porcentaje aplicaste procedimientos con la aplicación de fracciones y decimales. En las actividades que vienen a continuación utilizaremos el principio de proporcionalidad directa.

Tomaremos nuevamente la situación de la encuesta (página 50)

Actividad preferida Nº de alumnos

Deporte 310

Escuchar música 220

Ver Televisión 215

Chatear 78

Salir de carrete 280

Otras 97

La tarea será convertir cada una de las cantidades de la tabla a porcentaje ¿cómo lo haremos? Es lo que se ejemplificará a continuación, luego harás tu parte.La pregunta es: ¿a qué porcentaje del total encuestado corresponden los alumnos de cada actividad? ¿A qué porcentaje corresponden 310 alumnos del total?

El procedimiento: nos plantearemos una proporción. Los 1200 alumnos corresponden al 100% entonces 310 equivalen a X%. Aquí vemos claramente que si el 100% son los 1200, entonces los 310 representan un porcentaje menor. Al escribir la proporción queda:

1.200100

= 310X

De esta proporción formulamos la siguiente ecuación:

X = 310 • 1001.200

= 31.0001.200

≈ 25,83

Respuesta... los 310 alumnos corresponden al 25,8 % de 1.200. Si en una tarea anterior señalaste que estos alumnos correspondían aproximadamente a 1

4 del total, no estuviste nada

de lejos.

Trabaja con lo aprendido

Ahora, es tu turno, determina ¿a qué porcentaje corresponden los alumnos de las otras actividades?

Una vez concluidos tus cálculos construye un gráfico circular, ubicando en él cada preferencia y su correspondiente porcentaje. Solicita ayuda a tu profesor.

— 62 —

Porcentaje en la economía

En nuestra economía es frecuente escuchar o hablar de los índices económicos, uno de ellos es el IPC (Índice de Precios al Consumidor). A comienzos de cada mes se da a conocer.El siguiente ejemplo muestra como se relaciona el IPC a una de las tantas actividades que realizamos diariamente:

Supongamos que el valor de una cuota por un pago mensual en una financiera es de $ 127. 450 y se reajusta mensualmente según el IPC, ¿Qué valor tendrá la cuota en julio, si el IPC del mes de junio fue igual a 0,4%?

ProcedimientoEs claro que la cuota al mes de junio era de $ 127.450, ésta sufrirá un incremento del 0,4 % puesto que deberá ser reajustada (aumentada) según IPC.

OperatoriaSegún el razonamiento anterior, la cuota al mes de julio equivaldrá a:

100 % + 0,4% = 100,4%, por lo tanto, nos corresponderá calcular el 100,4 % de 127.450.

100,4100

= 1,004 Entonces ahora calculamos: 1,004 • 127.450 = 127.959,8

Respuesta, el valor de la cuota es: $ 127.959,8 ≈ $ 127.960

Dos cabezas piensan más que una. Responde en tu cuaderno

1. Pongámonos en la misma situación anterior, pero ahora el IPC de julio fue de 0,6% ¿Qué valor tendrá la cuota de agosto?

2. Comenta ¿es conveniente que la inflación del país aumente? ¿Por qué? ¿Cómo afecta a las finanzas de las personas el IPC?

3. Un corredor de propiedades cobra $ 135.450 por concepto de arriendo de un departamento. Si el arrendatario se informa que este valor será reajustado de acuerdo al IPC acumulado en el trimestre ¿Cuánto deberá pagar el arrendatario en mayo, si el IPC de febrero fue 0,2; el de marzo 0,4 y el de abril fue negativo - 0,1?

Te invito a resolver

Piensa en las siguientes preguntas: ¿Qué representa 10% de 20?¿Qué porcentaje es 10 de 20?¿10 es el 20% de qué número?Estas preguntas ¿significan lo mismo? Explica tu respuesta.

— 63 —

Porcentaje y sueldoUn arrendatario revisa su sueldo mensual ¿Cuánto ganará realmente? Observa su colilla de sueldo, seguramente tiene datos muy parecidosa los que reciben tus familiares en sus liquidaciones mensuales.

Si preguntas a tus padres o familiares respecto de cual es la diferencia entre sueldo imponible y líquido, seguramente te explicaran lo que estudiarás a continuación. Observa la papeleta y responde:

¿Qué porcentaje se descuenta por concepto de la Administradora de Fondos de Pensiones (AFP)? ¿Por qué se aplica este descuento?

¿Qué porcentaje se descuenta por Fonasa? ¿Cuál es el propósito de este descuento?

¿Cuál es el porcentaje total descontado? Expresa su valor en número decimal.

Rut. 000-123- 00009 K

Liquidación de sueldo mes agosto 2006

Fecha…………………………………………………………………Nombre………………………………………………………………Sueldo imponible……………………………………………………AFP (12,5%)…………………………………………………………Fonasa (7%)…………………………………………………………

Total descuentos……………………………………………………..

Sueldo líquido a pagar $ 207.100

Antes de que el papel y las monedas se convirtiesen en objetos de dinero el hombre utilizó gran variedad de objetos para cambiar bienes.

¿Sabías qué?

— 64 —

Observa La siguiente representación explica que parte del sueldo se dispone para pago líquido y cuál para descuentos legales.

Pero veamos a continuación uno de los procedimientos que nos permite saber cuál es el sueldo imponible de este señor:

El sueldo líquido no es lo mismo que sueldo imponible. Este último, es el sueldo completo de una persona. Ocurre que como estamos sujetos a descuentos legales, debemos asumir dicha rebaja de dinero por concepto de previsión y salud, por lo tanto, según el ejemplo esta persona tiene un descuento de 12,5 % + 7 % = 19,5 %

Operatoria: la siguiente gráfica ayuda a comprender lo que ocurre.

Respuesta: El sueldo imponible del señor es $ 257.267

Dos cabezas piensan más que una. Responde en tu cuaderno.

1. Los siguientes valores equivalen a diferentes sueldos líquidos de los funcionarios de una empresa de electrodomésticos. Si los descuentos legales ascienden al 21% ¿cuál es el sueldo imponible de cada uno?

Rojas Gastón………..……. $ 195.050Bravo Derroche……..……. $ 327.200Vera Buenaventura……… $ 542.000Corvalan De La Plata…… $ 398.405

2. Consigue en casa algunos recibos de sueldo de tus familiares y averigua a qué porcentaje total de descuentos están afectos. ¿Cuál es el destino de dichos descuentos?

AFP FONASA

80,5 100

0

0 207.100 X

Entonces a X sueldo imponible menos el 19,5% de X, nos da finalmente $ 207.100

Expresado como ecuación nos queda:

X - 0,195 X = 207.100X ( 1 – 0,195) = 207.100X = 207.100 = $ 257. 267 0,805

Recuerda que…

19,5%, significa 19,5 de cada 100. Por lo tanto, es posible expresarlo como 0,195.

AFP FONASA80,5 100

0 S u e l d o l í q u i d o D e s c u e n t o

— 65 —

¡Matemática y juego!

Adivina la edad

Amigo, a continuación te queremos proponer un espacio de entretención, en esta oportunidad con ayuda de la calculadora. Este pequeño “computador” es un instrumento importantísimo para conseguir que tú hagas matemática con gusto y puedas además facilitar tus cálculos.

MaterialUna calculadora simple o básica.

JugadoresDos o más jugadores

Instrucciones

Pide al profesor o a un compañero escribir su edad en la calculadora, sin que tú lo veas. Pide a este compañero que multiplique su edad por 10, luego sumen 20 al producto y a continuación vuelvan a multiplicar por 10 y posteriormente sumar 165. A continuación tú debes pedir la calculadora con el último número obtenido en pantalla o bien solicitarlo para escribirlo en un papel, al cual restarás 365. El resultado, descontando los dos ceros de la derecha, es la edad buscada.

¡Éxito! ¿Cómo lo hiciste? ¿Qué explicación matemática tendrá este juego?