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BINOMIO DE NEWTON

PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON

1) En el desarrollo existen ( n+1 ) trminos siendo nN

2) Los coeficientes de los trminos equidistantes de los

extremos son iguales, lo cual es evidente por ser nmeroscombinatorios complementarios

3) !i los trminos del binomio tienen signos contrarios, "Lostrminos del desarrollo ser#n alternativamente positivos $negativos

!iendo los de lugar % &'* positivo

lugar % * negativo

4) !i los dos trminos del binomio son negativos, todos lostrminos del desarrollo ser#n positivos o negativos segnque el exponente sea por o impar En efecto, se tiene %

( x a )m - ( x + a ) .m

5) La suma de los coeficientes de los trminos del desarrollode un binomio de cualquier grado a / elevado a esapotencia 0asta acer en el desarrollo de Ne2ton, x a 1 $ se tiene %

/n

6) La suma de los coeficientes de los trminos de lugar impares igual a la suma de los de lugar par

7) 3on respecto a las letras que intervienen en el desarrollo4es un polinomio omogneo de grado "n5

FORMULA DEL TRMINO GENERAL:

( )x a C X C X a C X a C an

on n n n n n

nn n+ = + + + +

1

1

2

2 2.....

t C X ak kn n k k

+ =1

6onde%

(7+1) lugar que ocupa el trmino buscado

Ckn

combinaciones de "n5 elementos tomados de 875

en "75 n exponente del binario x 1er trmino del binomio a /do trmino del binomio

TERMINO CENTRAL: En el desarrollo del 0inomio de ne2ton,se denomina as9, al trmino que equidista de los extremos

!e presentan dos casos%

1) 3uando el exponente es par, de la forma (x + a)/n, existe uns:lo trmino central $ su lugar se determina segn laf:rmula %

n +22

2) 3uando el exponente es impar, de la forma (x + a)/n+1,existen dos trminos centrales $ sus lugares se determinanpor las f:rmulas %

1er central %

NT

2

/do central % t 1er central+ 1

FORMULA DE LEIBNITZ :

s9 como se puede ;allar el trmino que uno desee en lapotencia de un binomio, se puede , allar un trminocualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando lallamada f:rmula de Leibnit

?@

x

b)

/1A

>

x

c) B /C

d)

/

@C

x

e)

>D

E

x

2! El quinto trmino del desarrollo de

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74

4

x

x

es%

a)

@C

x

b)

1/C

x

c)

1>C

x

d)

1>C

x

e) N

3! El quinto trmino del desarrollo

73

3

x

x

es%

a)

1CA

x

b)

DA

D

x

c)

1CA

x

d)

DA

D

x

e) N

4! ;allar la ra9< cuadrada del tercer trmino del desarrollo de%

( )432 ba +

a) @ab b) Aab c) /abd) Dab e) >ab

5! En el desarrollo de

7

1

xx

, el coeficiente de x

1F/

es%a) B @ b) @ c) /1d) B /1 e) N

6! En el desarrollo del binomio (Dm B /n)@, el coeficiente dem/n>es%

a) B /1@C b) /1@C c) >D/Cd) B >D/C e) N

7! El trmino independiente de x en9

2 1

+

xx

es%

a) > b) G c) ?@d) ? e) N

"! El noveno trmino, contado a partir del final, en el

desarrollo de

33

3 2

2 1

+

y

y

es%

a)

3/2338

yC

b)

3/4338 yC

c)

233

8 yC

d)

yC33

8

e) N

#! El trmino central del desarrollo de (/xD+ $)es%

a) 11/Cx1/$> b) 1D>C xG$> c) 1DACx1/$A

d) 11Cx1/$> e) N

1$! La suma de exponentes del desarrollo de%10

5

5

23

+

yx

es%a) //C b) DDC c) >DCd) AAC e) N

11! La suma de exponentes del desarrollo de%(xAB $D)1/es%

a) A1/ b) A@> c) @/>d) ?1@ e) N

12! En el desarrollo del binomio (Gx B $)@, el coeficiente de% x$Aes%

a) >/ b) B >/ c) @@Cd) B @@C e) N

13! El stimo trmino, contado a partir del final, en el desarrollode (Dx/B $D)1C es%

a) 1ADx1/$1/ b) 1ADC?Cx1/$1/

c) 1@D>x1/$1/ d) 1/>Ax1/$1/

e) N

14! El trmino central del desarrollo de%10

2

xx

es%

a) C@> b) C@> c) B @>C/d) @>C/ e) N

15! HIu valor debe asignarse a "n5 para que el trmino delugar /A, en la expansi:n de%

252

+

+

n

x

y

y

x

3ontenga a "x5 con exponente% >>

a) G b) c) ?d) 1C e) 11

16! ;allar n + 7 si se sabe que el cuarto trmino del desarrollode (x + /)nes Cx7

a) A b) @ c) Gd) e) 1C

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17! La suma de los coeficientes numricos de todos lostrminos del desarrollo de (x B /$)1es%

a) C b) 1 c) /d) B 1? e) 1?

1"! !i en el desarrollo de%

n4 )8x6(

, la suma de loscoeficientes es% 1C/>, allar el valor de "n5

a) 1C b) 1/ c) d) @ e) 1>

1#! En el desarrollo de

( )4x y n+

, la suma de los grados es 11C;allar el valor de "n5

a) 1C b) 1/ c) d) @ e) 1>

2$! ;allar el valor de "n5, si la suma de los coeficientes del

desarrollo de%

( )5 42x y n+

es igual D

1>

a) D b) A c) Gd) ? e) 11