MATEMTICAS BSICASUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLNFUNCIONES CUADRTICAS, POR PARTES, VALOR ABSOLUTO Y DE LA FORMAxn; x1n(Tomado de: Stewart, James. "Preclculo". Quinta Edicin. Secciones 2.1 y 2.2)Funcin CuadrticaLa funcin cuadrtica asigna a cada nmero real x su cuadrado x2. Se dene por f(x) = x2EjemploPara evaluar f en f(3) se deben sustituir x en f(x) = x2es decirf(3) = 32= 9As, por ejemplof(2) = (2)2= 4f(_5) = (_5)2= 5El Dominio de f es el conjunto de R de todos los nmeros reales.El rango de f consiste en los valores def(x), es decir, los nmeros de la forma x2. Puesto que x2_ 0 para todos los nmeros reales x, se puede verque el rango de f es y[y _ 0 = [0; ).Para la grca de f(x) se construye primero una tabla de valores. Luego se gracan los puntos expresadosen la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la grca:x f(x) = x20121230141491Funciones Denidas por TramosSe dice que una funcin est denida por tramos, si est denida mediante expresiones distintas en diferentessubconjuntos de su dominio.EjemploConsideremos la funcinf (x) =8>>>:x 3 si x _ 23 si2 < x < 12 si x = 112x + 12si x > 1En el intervalo (; 2]; la grca de f es la lnea recta y = x 3, con pendiente m = 1; adems, parax = 2, y = 1.En el intervalo (2; 1); la grca de f es la recta horizontal y = 3, que corta el eje y en el punto (0; 3).En el intervalo (1; ); la grca de f es la lnea recta y = 12x + 12, con pendiente m = 12; adems, parax = 1; y = 1, pero el punto (1; 1) no est en la grca, ya que por denicin de la funcin, f (1) = 2, por lotanto, el punto (1; 2) est en la grca de f.Entonces la grca de f es:Como la funcin f est denida para cualquier nmero real, el dominio de f es R.Adems, de la grca es claro que el conjunto de los posibles valores para y = f(x) es y R= y > 1 :Por lo tanto, el rango de f es el intervalo [1; ) :Funcin Valor AbsolutoRecordemos que [x[ =

x si x < 0x si x _ 0.Por lo tanto, la funcin f (x) = [x[ es una funcin denida por tramos.Si x < 0, la grca de f es la lnea recta y = x.Si x > 0, la grca de f es la lnea recta y = x.Por lo tanto la grca de f (x) = [x[ es2De la grca, es claro que el dominio de f es R y el rango de f es [0; ).Funciones de la Forma f (x) = xnpara n NSi n = 1; la grca corresponde a una lnea recta que pasa por el origen y que tiene pendiente m = 1.Veamos cmo es la grca cuando n = 2:Una primera aproximacin a la grca de la funcin, al igual que a la de una relacin, se obtiene ubicandoen el plano cartesiano los puntos (x; f(x)), correspondientes a distintos valores de la funcin f en valores xdel dominio, que luego se unen por medio de una curva "suave".Construimos una tabla de valores, ubicamos los correspondientes puntos en el plano cartesiano y los unimosmediante una curva suave.x y = x23 92 41 10 01 12 43 9La grca obtenida es la grca de una parbola.Siguiendo el mismo procedimiento podemos trazar las grcas de f(x) = xncuando n = 3; 4 y 5.f (x) = x3g (x) = x4h(x) = x5En general, cuando n es par, las grcas son similares a la de y = x2, todas pasan por los puntos (1; 1) ;(0; 0) y (1; 1). Si n es impar, las grcas son similares, a la de y = x3; todas pasan por los puntos (1; 1) ;(0; 0) y (1; 1). En ambos casos, a medida que n crece, la grca se vuelve ms horizontal para 1 < x < 1 yms vertical o "empinada" cuando [x[ _ 1.3Funciones de la forma f (x) = x1=npara n N, n _ 2Si n es un nmero par, el dominio de la funcin es [0; ), mientras que, si n es un nmero impar, el dominiode la funcin es R.Tracemos la grca para n = 2, es decir, f (x) =_x; y para ello construyamos una tabla de valores.x y =_x0 01 12_2 t 1:413_3 t 1:734 2::::9 3En forma similar podemos trazar las grcas para n = 3; 4 y 5.En general, cuando n es par, las grcas son similares a la de y = _x, todas contienen los puntos (0; 0) y(1; 1). Si n es impar, las grcas son similares a la de y =3_x, todas pasan por los puntos (1; 1) ; (0; 0)y (1; 1).4