2.1 El mundo físico: representación con señales y sistemasUniversidad Carlos III de Madrid 2.1 El...

Universidad Carlos III de Madrid

2.1 El mundo físico: representación con señales y sistemas

Señales: Funciones con las que representamos variaciones de una magnitud física

Voltaje, intensidad, fuerza, temperatura, posición

( )r t

( )r t

Sistemas: Transforman señalesPueden modelar el comportamiento de

... Una planta química, un sistema hidráulico, un circuito eléctrico, un canal de comunicaciones, ...


Generalización

Sistema{ } )()( tytxT =)(tx

( )iV t { }( ) ( )o iV t T V t=

Sistemas: Transforman señalesEjemplo: canal atmosférico


Generalización

Sistema0( ) ( )y t x t tα= −)(tx

{ }( )T x t 1α ≤

cf

λ =

10 m 100 mHFλ≤ ≤

2.2 Clasificación de señales

Por la naturaleza de la variable independienteDefinidas en tiempo continuo

Notación: x(t)

Ejemplos: Temperatura en función de la alturaVoltaje senoidal

: ( )x

t x t→

→R C

x(t) es una función de variable real

x(t)

t

)46(x)9834232,64(x


Por la naturaleza de la variable independienteDefinidas en tiempo discreto

Notación: x[n]

x[n]

n

][ :

nxn x

→→CZ

x[n] es una función de variable discreta

]0[x

]1[x

]2[x

[ ]21 existe No x

2.2 Clasificación de señalesPor la naturaleza de la variable independiente

Definidas en tiempo discretoIndicadores económicos: IBEX 35

Predicción: [ ] [ ] [ ] [ ]( ),2,1,1ˆ −−=+ nxnxnxFnx

n

80218113

8032

n-1

7857

n+1 día

2.2 Clasificación de señalesPor la naturaleza de la función

Reales

0 ),10sin()( 99.0 ≥= − ttetx t

[ ] nx n α=

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

][nx0 1α≤ ≤

0

1

2 n-1

-2

1

α

α2

α

α2

][nx1 0α− ≤ ≤

( )r t


Por la naturaleza de la funciónComplejas

Conjugado{ } { }[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n j x n= +

{ } ( )*1Re [ ] [ ] [ ]2

x n x n x n= +

{ } ( )*1Im [ ] [ ] [ ]2

x n x n x nj

= −

{ }( ) { }( )2 2[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n x n= +

{ }{ }

1 Im [ ]arg( [ ]) tan

Re [ ]x n

x nx n

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

{ }•Re

{ }•Im

][nx

n0ω

)1(0 +nω

]1[ +nx

{ } { }*[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n j x n= −

{ }Im •2 2z x y= +

: arg arctan yz zx

θ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Módulo:

También llamado “valor absoluto”(el módulo de un real es su valor absoluto)

Fase:z

x

yθ

z

{ }Re •Eje real

Eje imaginario

El plano complejo (Plano z, o de Gauss)

θ

r

13

)2()3( 22

=

−+−== zr

},7.213,7.33,3.146{32arctan

32arctanarg

°°°−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

== zθ3−

2−rad73.3

3 2 j− −

La calculadora no distingue

{ }Im •

{ }Re •

Representación de números complejos

Dibujar el número complejo z = -3-2jen el plano complejo y evaluar módulo y fase

Módulo

Fase

1z

2z21 zz +

12 zz −En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores

Suma y resta de números complejos en el plano complejo

{ }Im •

{ }Re •

Desigualdad triangular

|| 21 zz +

1z

2z

21 zz +|| 1z

|| 2z

|||||| 2121 zzzz +≤+{ }Im •

{ }Re •

2.3 Propiedades de las señales

SimetríaPar

Impar

Parte (im)par de una señal

)()( txtx −=

0 1 2 n-1-2

1

αα2

][][ nxnx −=

0)0()()( =⇒−−= xtxtx

][][ nxnx −−=

( ))()(21)( txtxtxpar −+=

( ))()(21)( txtxtximpar −−=

)()()( txtxtx imparpar +=

0 t

)(tx

αα2

2.3 Propiedades de las señales

SimetríaCalcular la parte par e impar de...

0 t

)(tx

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2.3 Propiedades de las señalesPeriodicidad tTtxtxT ∀+=>∃ ),()(,0

{ } nNnxnxNN ∀+=∈>∃ + ],[][,,...3,2,1:,0 N

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ttx π

32cos)(

2 2( ) ( ) cos cos ( )3 32 2 cos 2 cos 2 33 3 3

x t x t T t t T

Tt t k T

π π

π π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

¿ 0, ( ) ( ), ?T x t x t T t∃ > = + ∀t

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2.3 Propiedades de las señalesPeriodicidad

Si x(t) es periódica de periodo T, también lo es de periodo 2T, 3T, Periodo fundamental:

Menor valor de T (ó N) para el que se cumple que x(t)=x(t+T) (ó x[n]=x[n+N]).

tTtxtxT ∀+=>∃ ),()(,0{ } nNnxnxNN ∀+=∈>∃ + ],[][,,...3,2,1:,0 N

tT T2T−

=+=+= )2()()( TtxTtxtx

Valor medioMedia parcial

2.4 Caracterización de señales

∫+

−

=2

2

,

0

00

)(1)(Tt

TtTt

dttxT

tx ][12

1][0

0

0 12,nx

Nnx

Nn

NnnNn ∑

+

−=

+ +=

0 t

)(tx

0t20Tt +20

Tt −

Intervalo de integración

Valor medioMedia total

Señales periódicas: se considerará la media parcial restringida a un periodo.Ejemplo: x[n]=x[n+N]


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∞→= ∫

+

−

2

2

0

0

)(1lim)(

Tt

Tt

dttxTT

tx⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∞→= ∑

+

−=

][12

1lim][

0

0

nxNN

nxNn

Nnn

][1][1

,

0

0

0nx

Nnx

Nn

nnNn ∑

−+

=

=

0 1 2 n-1-2

1α

α2α

α2

3 4 5

α1

]5[][ += nxnx

Intervalo de suma

Potencia media de una señalSeñales aperiódicas

Señales periódicas de periodo T (ó N)

Energía media de una señal


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∞→= ∫

+

−

2

2

20

0

)(1limTt

TtX dttx

TTP

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∞→= ∑

+

−=

2][12

1lim 0

0

nxNN

PNn

Nnn

X

∫+

−

=2

2

20

0

)(1Tt

TtX dttx

TP

21

][1 0

0

nxN

PNn

nn

X ∑−+

=

=

2( )XE x t dt∞

−∞= ∫

2[ ]Xn

E x n∞

=−∞

= ∑

Señales definidas en energía:Son aquellas para las que

Señales definidas en potenciaSon aquellas para las que

Señales periódicas


0

0

22

2

lim 1 ( )Tt

TX tP x t dt

T T+

−

⎧ ⎫= < ∞⎨ ⎬→∞⎩ ⎭

∫

2( )XE x t dt∞

−∞= < ∞∫

2[ ]Xn

E x n∞

=−∞

⎛ ⎞= < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

0

0

22

2

1 ( )Tt

TX tP x t dt

T+

−= < ∞∫

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Valor eficaz (valor cuadrático medio)

Señales sinusoidales


0

0

22

2

1 ( )Tt

TEFF RMS tx x x t dt

T+

−= = ∫

0

0

121 [ ]

n N

EFFn n

x x nN

+ −

=

= ∑

2( ) cos( ) cosp px t V t V tTπω ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ ] ( )2

2 2 2( ) cos ( ) 1 cos(2 )2p

p

Vx t V t tω ω= = +

2

0 0

1 1 4( ) 1 cos2 2

T Tp pEFF

V Vx x t dt t dt

T T Tπ⎛ ⎞⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

( )x t

[ ]2( )x t

EFFx

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000 ( )p t


Potencia media en circuitos

R

+

−

( )v t( )i t

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

( )i t

( )v t

2 ( )( ) ( ) ( ) [W]v tp t v t i tR

= =

222

2 2 2

( ) cos ( )

(1 cos(2 ))2 2

PR T T

P P EFFT

Vv tP dt t dtR R

V V Vt dtR R R

ω

ω

= =

= + = =

∫ ∫

∫

RP

( ) cos( ) [V]pv t V tω=

Transformaciones (lineales) de la variable independienteReflexión (abatimiento) en t = 0

Escalado

Operación reversible en tiempo continuo

2.5 Operaciones básicas con señales

0T1 T2

)(tx

t 0 -T1-T2

)( tx −

t

0T1 T2

)(tx

t

0

)(atx

t

aT2

aT1

1 compresióna > ⇒

0

)(atx

taT2

aT1

1 expansióna < ⇒

2.5 Operaciones básicas con señalesTransformaciones (lineales) de la variable independiente

Ejemplo: Reflexión (abatimiento) en t = 0


Escalado temporal Ejemplo: Dado x(t), encontrar y(t) = x(2t).


Escalado temporal Ejemplo: Dado x(t), encuentra z(t) = x(t/2).


Escalado temporal: Dada y(t), encuentra w(t) = y(3t); v(t) = y(t/3).

Transformaciones (lineales) de la variable independienteEscalado (tiempo discreto)

Importante: ¡Operación no reversible!


0

][nx

n

0

]2[][ nxny =

n

1 compresióna > ⇒

1 expansióna < ⇒

2

]4[]2[ xy =

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=caso otroen ,0

k de múltiplo ,][ nknxny

n

2

2

]1[]2[ xy =

1

1-1

Transformaciones de la variable independienteEscalado (tiempo discreto)

Diezmado

Interpolación


0

]2[][ nxny =

n

compresión 1⇒>a2

]4[]2[ xy =

expansión 1⇒<a0 n2

]1[]2[ xy =

1

0

][nx

n2

1-1

0

][nx

n2

1-1

↓2

↑2

>> y = x(1:2:length(x));Matlab

>> y=zeros(2*length(x),1);>> y(1:2:2*length(x)) = x;

Matlab

Diezmado de señales

Diezmado por un factor 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

n

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

n

α3

Transformaciones (lineales) de la variable independienteDesplazamiento


0T1 T2

)(tx

t 0

)( 0ttx −

t20 Tt +0t10 Tt +

00 >t

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

][nx

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

]3[ +nx

-3-4-5

00 <t


Desplazamiento: Dada x(t), encuentra x(t-t0)x(t+t0)

Regla: Haz t - t0=0 ⇒ desplazar el origen de x(t) hasta t0.Regla: Haz t + t0=0 ⇒ desplazar el origen de x(t) hasta -t0.

2.5 Operaciones básicas con señalesCombinaciones de escalado y desplazamiento:

Ejemplo: Encuentra x(2t+1) donde x(t) es: Método I: x(at+b)

Desplazamiento: v(t)=x(t+b)Escalado: y(t) =v(at)= x(at+b).

2.5 Operaciones básicas con señalesCombinaciones de escalado y desplazamiento:

Ejemplo: Encuentra x(2t+1) donde x(t) es: Método II:

Escalado: w(t) = x(a t)Desplazamiento: y(t)=w(t+b/a) = x(a (t + b/a)) = x(at + b):


Ejercicios

Encontrar

0 1 2 t

)(tx

)1( +tx

)1( tx −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − tx

231

1

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