Teoría de Telecomunicaciones I · 2020. 6. 12. · Teoría de Telecomunicaciones I 10...

Teoría de

Telecomunicaciones I

I.E. Evelio Astaiza Hoyos

Teoría de Telecomunicaciones I 2

Objetivo

El estudiante, al finalizar el curso estará en capacidad de

describir los efectos de la contaminación de una señal

transmitida, las limitaciones físicas y tecnológicas de los

sistemas de Telecomunicaciones, identificar las distintas

formas existentes de procesamiento de señales de

naturaleza analógica y los criterios de selección de los

mismos.


Contenido del curso (1)

GENERALIDADES• Comunicación, mensajes y señales.

• El sistemas de comunicaciones.

• Limitaciones en la comunicación eléctrica.

• La modulación y la codificación.

• Cronología de la comunicación eléctrica.

SEÑALES, ESPECTROS Y FILTROS (SISTEMAS LTI) • Señales AC.

• Señales periódicas y series de Fourier

• Señales aperiódicas y Transformada de Fourier

• Relación entre el dominio del tiempo y la frecuencia.

• Respuesta de un sistema y filtros.

• Correlación y densidad espectral.



SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO

• Introducción a la probabilidad (repaso)

• Variables aleatorias y funciones de probabilidad

• Promedios estadísticos

• Modelos útiles de probabilidad

• Señales aleatorias.

• El ruido y su filtración.

COMUNICACIÓN DE BANDA BASE

• Señales y ruido.

• Distorsión de la señal transmitida.

• Pérdida de transmisión y decibeles en el sistema.



MODULACIÓN LINEAL• Señales y sistemas pasabanda

• Modulación de doble banda: AM y DSB

• Moduladores y transmisores.

• Moduladores de banda lateral suprimida: SSB y VSB.

• Conversión de frecuencia, detección y receptores.

• Múltiplex por división de frecuencia (FDM)

• Sistemas de televisión y facsímile.

MODULACIÓN EXPONENCIAL• Conceptos fundamentales: FM y PM.

• Análisis espectral de FM

• Anchos de banda de FM

• Modulación de fase (PM)

• Transmisores y receptores.



RUIDO DE MODULACION DE ONDA CONTINUA

• Modelos y Parámetros del sistema.

• Interferencia.

• Ruido pasabanda

• Ruido en modulación lineal

• Ruido en modulación exponencial

• Comparación de los sistemas de modulación de onda continua.


Metodología

CLASES

• Clases magistrales y practicas basadas en simulación

utilizando la herramienta MATLAB.

EVALUACIÓN

• Parcial I: Evaluación escrita (25%) – Prácticas (10%)

• Parcial II: Evaluación escrita (25%) – Prácticas (10%)

• Final: Evaluación escrita (20%) – Prácticas (10%)


Bibliografía

Communication Systems – Bruce Carlson

Transmisión De Información. Modulación Y Ruido, MishaSchawartz

Sistemas De Comunicación Digitales Y Analógicos. León W.Couch Ii

Sistemas De Comunicación Electrónicas. Wayne Tomasi

Fundamentals Of Signals And System Using Matlab EdwardW. Kamen – Bonnie S. Heck

CAPITULO I

Generalidades


Información, Mensajes y

Señales

Mensaje: Representación física de la informaciónproducida por una fuente.

Tipos de Mensaje: Analógico y digital.

Un mensaje analógico puede ser entregado a un destinocon cierto grado de confiabilidad siempre y cuando este“resida” en una forma de onda variante con el tiempo.

Un mensaje digital puede ser entregado a un destino concierto nivel de precisión en una cantidad de tiempoespecífica siempre y cuando la información “resida” en unconjunto de símbolos.


Elementos de un Sistema de

Comunicación


Efectos Sobre la Señal

Producidos en el Canal

• Atenuación

• Distorsión

• Interferencia

• Ruido


Limitaciones de Diseño (1)

Ancho de banda: (Aplica como una medida de la

velocidad tanto para señales como para sistemas)

Cuando una señal varía rápidamente con el tiempo, su

espectro se extiende sobre un amplio rango, igualmente,

la habilidad de un sistema para seguir las variaciones de

una señal se refleja en su respuesta en frecuencia o en

su denominado ancho de banda de transmisión.



Ruido: Térmico

Interferencia

Ínter modulación

La medida relativa de la cantidad de potencia de ruido enuna señal de información se expresa mediante la relaciónde potencia de señal a ruido S/N

El ruido degrada la fidelidad de la señal encomunicaciones analógicas e introduce errores encomunicaciones digitales.



Considerando las limitaciones de ancho de banda y

ruido, Hartley y Shannon establecen que la tasa de

transferencia de información no puede superar la

capacidad del canal, la cual establece el límite superior

en el desempeño de un sistema de comunicaciones con

una relación señal a ruido y un ancho de banda dados.


Modulación y Codificación (1)

Modulación: Alteración sistemática de una señal

portadora en correspondencia con las variaciones de una

señal moduladora.

Métodos de Modulación.

Modulación de Onda Continua

Modulación de pulsos



Beneficios de la Modulación

El propósito primario de la modulación en un sistema

de comunicaciones es adaptar a la señal a las

características del canal de transmisión.

• Eficiencia en la transmisión (Tamaño antenas)

• Superar limitaciones de hardware

• Reducción de ruido e interferencia

• Asignación de frecuencia

• Multiplexación



CODIFICACIÓN

Es una operación de procesamiento de símbolos para mejorarla comunicación cuando la información es digital o puede serllevada a la forma de símbolos discretos.

CODIFICACIÓN DE CANAL

Es una técnica utilizada para introducir redundancia controladapara el mejoramiento del desempeño y fiabilidad en un canalruidoso.

CODIFICACION PARA CONTROL DE ERRORES

Permite la reducción del ancho de banda de ruido mediante laadición de dígitos de verificación a cada palabra codificada.


Cronología en comunicaciones

(1)

1800 – 1837 Desarrollos preliminares en electricidad, magnetismo y matemáticas

1838 – 1866 Telegrafía

1876 – 1879 Telefonía

1887 – 1907 Telegrafía inalámbrica

1904 – 1920 Comunicación electrónica

1920 – 1928 Teoría de transmisión

1923 – 1938 Televisión

1944 – 1947 Teoría de la comunicación estadística

1953 Televisión a color


Cronología en comunicaciones

(2)

1948 – 1950 Teoría de la información

1962 Comunicaciones satelitales

1962 – 1966 Comunicaciones digitales

1966 – 1975 Comunicaciones de banda ancha

1969 Arpanet

1972 Teléfono celular

1990 – 2000 Sistemas de comunicación digital

CAPITULO II

Señales, Espectros y Filtros


Señales A.C. (1)

Considere la familia de señales sinusoidales descritas de

la forma

Donde A es el valor pico o amplitud, ωo es la frecuencia

en radianes y ø el ángulo de fase. La ecuación [1] implica

que la señal tiene un periodo de repetición


Señales A.C. (2)

El reciproco del periodo es igual a la frecuencia en ciclos.


Señales A.C. (3)

La representación fasorial de la señal proviene del

teorema de Euler.

Luego, se puede representar cualquier señal sinusoidal

como la parte real de una función exponencial compleja


Señales A.C. (4)

Para describir el mismo fasor en el dominio de la

frecuencia, se deben asociar la correspondiente amplitud

y fase con la frecuencia de rotación del fasor fo.


Convenciones utilizadas en

análisis espectral

En todos los diagramas la variable independiente es

frecuencia (f).

Los ángulos de fase son medidos referenciados a

señales coseno, o equivalentemente con respecto al

semieje real positivo del diagrama fasorial.

Se debe considerar siempre a la amplitud de la señal

como una cantidad positiva, en caso de ser negativa

debe ser representada en la fase.

Los ángulos de fase son expresados en grados incluso

cuando otros ángulos se encuentren expresados en

radianes.


Ejemplo (1)

Considere la señal

Utilizando las convenciones y expresándola en términos

de funciones coseno tenemos


Ejemplo (2)

Obteniendo el diagrama de espectro un lado de la señal


Ejemplo (3)

Sin embargo, otra representación de mayor valor

denominada diagrama de espectro de doble lado,

involucra valores negativos de frecuencia, representación

que puede obtenerse conociendo que

Luego se puede obtener aplicando [4]


Ejemplo (4)

Por consiguiente aplicando [7] a la expresión de

tenemos los diagramas


Señales periódicas y potencia

promedio (1)

Sinusoides y fasores son miembros de una clase generalde funciones periódicas, las cuales obedecen a larelación

Por consiguiente una señal periódica se describecompletamente especificando su comportamiento en unode sus periodos.

La representación de una señal periódica en el dominiode la frecuencia es el espectro obtenido por su expansiónen series de fourier, y se requiere que la señal posea unapotencia promedio finita.



promedio (2)

Dada una función v(t) su valor promedio para todo el

tiempo se define como

En el caso de una señal periódica con periodo To el

promedio se redefine como



promedio (3)

La definición de potencia promedio asociada a cualquierseñal periódica es

Digamos que v(t) es una señal periódica de potencia conperiodo To, su expansión en series complejas de fourieres



promedio (4)

Los coeficientes de la serie se relacionan con v(t) a

través de

Estos coeficientes pueden ser expresados de forma polar

como



promedio (5)

Luego la expansión en series complejas de fourier [13]

expande una señal de potencia periódica como una suma

infinita de fasores de la forma

Se hace énfasis en la interpretación espectral escribiendo



promedio (5)

Donde representa la amplitud del espectro como

una función de la frecuencia y arg representa la fase

del espectro como una función de la frecuencia.

Existen 3 propiedades importantes del espectro de

señales de potencia periódicas

• Todas las frecuencias son múltiplos enteros o armónicos

de la frecuencia fundamental fo.

• La componente d.c. es el valor promedio de la señal

cuando n=0.



promedio (6)

Si v(t) es una función real en el dominio del tiempo

Lo cual indica que el espectro de amplitud presenta

simetría par y el espectro de fase simetría impar



promedio (7)

Dado lo anterior, la expansión en series complejas de

fourier de señales reales, permite el reagrupamiento en

pares complejos conjugados, excepto por C0, luego la

señal v(t) puede ser expresada como

La cual es denominada serie trigonométrica de fourier y

sugiere un espectro de un solo lado. Sin embargo la

mayoria de las veces se utilizan series exponenciales y

espectros de dos lados.



promedio (8)

La integración para Cn generalmente involucra un

promedio fasorial de la forma



promedio (9)

Dado que esta expresión aparece una y otra vez cuando

se realiza el análisis espectral de una señal, se introduce

la función Sinc, la cual se define como

Donde λ representa la variable independiente


Ejemplo: Descomposición en series

de Fourier de un tren de pulsos

rectangulares (1)

Para calcular los coeficientes de fourier, el rango de

integración se toma sobre el periodo central

Así mismo, sabiendo que la función v(t) se define como




rectangulares (2)

Los coeficientes de fourier están dados por




rectangulares (3)

Luego el espectro de magnitud está dado por

Si




rectangulares (4)

Y el espectro de fase se obtiene por la observación de

Cn, el cual siempre es real, pero en algunas ocasiones es

negativo, lo cual indica que arg toma valores de 0,

+180 y -180 dependiendo del signo de la función Sinc.


Condiciones de convergencia y

fenómeno de Gibbs (1)

Condiciones de Dirichlet

Si una función periódica v(t) posee un número finito de

máximos, mínimos y discontinuidades por periodo, y v(t)

es absolutamente integrable, luego la serie de fourier

existe y converge uniformemente donde quiera que v(t)

sea continua.

Si v(t) es cuadrado integrable, luego tiene un área

finita por periodo (equivalente a la potencia de la señal)




De acuerdo a las anteriores condiciones la serie

converge en la media si




xx


Teorema de Parseval (1)

El teorema de Parseval relaciona la potencia promedio

de una señal periódica con sus coeficientes de fourier.


Teorema de Parseval (2)

De la expresión anterior tenemos que la integral dentro

de la sumatoria es Cn

la expresión anterior indica que la potencia promedio de

una señal periódica puede ser encontrada por la suma

del cuadrado de las magnitudes de las líneas del

espectro de la señal.


Transformación de Fourier (1)

Si una señal no periódica tiene una energía total finita, su

representación en el dominio de la frecuencia, será un

espectro continuo obtenido a partir de la transformada de

fourier.

Así mismo, es mas apropiado hablar de la energía de

una señal no periódica que hablar de la potencia

promedio de la señal, puesto que en este tipo de señales,

su magnitud tiende a cero cuando el tiempo tiende a

infinito, igual sucede con el cuadrado de la magnitud y

por consiguiente con su promedio de potencia.



La energía de una señal se obtiene de acuerdo a

Si la integral existe y converge a un valor mayor que ceroy menor que infinito, se dice que la señal tiene unaenergía bien definida y se la denomina señal no periódicade energía. Es una condición esencial que una señal seano periódica de energía para realizar su análisis espectralutilizando la transformación de fourier.



Para introducir la transformada de fourier se parte de larepresentación en series de fourier de una señalperiódica de potencia.

Considerando el ejemplo de la descomposición en seriesde fourier del tren de pulsos, se puede observar que lascomponentes de frecuencia se encuentran espaciadas enintervalos



Luego se puede observar que las componentes deespectro se acercan conforme el periodo se hace mayor,en el caso de el pulso rectangular, puede considerarseposee periodo infinito, por lo tanto, el espaciamientoentre las componentes del espectro tiende a cero,aproximándose a una variable continua de frecuencia f.



En la expresión anterior de v(t) el término entre corchetes

simboliza la transformada de fourier de la señal v(t), y se

define como una integración sobre todo el tiempo que se

encuentra definida la función de la variable f

La función en el dominio del tiempo puede ser

recuperada a partir de la transformada inversa de fourier.



Propiedades de la transformación de Fourier.

• La transformada de Fourier es una función compleja,

donde es la amplitud del espectro de v(t), y

argV(f) es el espectro de fase.

• El valor de V(f) en f=0 es igual al área neta de v(t).



Si v(t) es real

Luego, se presenta simetría par en el espectro de

magnitud e impar en el espectro de fase; las funciones

complejas que obedecen a esta propiedad se las

denomina poseen simetría hermitiana.


Ejemplo: Espectro de un pulso

rectangular (1)

Sea un pulso rectangular

estándar centrado en t=0 y de duración , luego v(t) se

expresa de la forma


Ejemplo: Espectro de un pulso

rectangular (2)

Luego


Señales simétricas y causales

(1)

En general una señal puede ser expresada de la forma

Donde

Dado que

Y representan las componentes par e impar de la señal

V(f).



(2)

Si v(t) es real se cumple que

Y por consiguiente

Ahora, si v(t) es simétrica en el dominio del tiempo



(3)

Donde w(t) es válida para ambas v(t)coswt y v(t)sinwt.

Si v(t) presenta simetría par v(-t)=v(t)

Si v(t) presenta simetría impar v(-t)=-v(t)

Ahora considérese el caso de una señal causal

Con lo cual preclude cualquier tipo de simetría



(3)

Por lo tanto el espectro está formado por una parte real y una imaginaria, luego

Integral que se asemeja a la transformada unilateral de Laplace

La cual implica que v(t)=0 para t<0, luego si v(t) es una señal causal de energía V(f) puede determinarse a partir de la transformada unilateral de Laplace reemplazando s por jw


Ejemplo: Pulso causal

exponencial (1)

Sea la señal causal

Para la cual es espectro esta dado por

racionalizando

Luego


Ejemplo: Pulso causal

exponencial (2)

Convirtiendo a coordenadas polares para obtener los

espectros de magnitud y fase


Teorema de energía de Rayleigh

Establece que la energía E de una señal v(t) está

relacionada con su espectro V(f) por

Dado lo anterior se puede establecer que para un pulso

rectangular la densidad espectral de energía para

Donde la energía total del pulso es


Relaciones tiempo – frecuencia

(Superposición)

Si a1 y a2 son constantes y

Luego

Generalizando

El teorema establece que combinaciones lineales en el

dominio del tiempo son expresadas igualmente como

combinaciones lineales en el dominio de la frecuencia



(Desplazamiento en el tiempo y

cambio de escala) (1)

Desplazamiento en el dominio del tiempo causa

adiciones lineales de fase



(Desplazamiento en el tiempo y

cambio de escala) (2)

Cambios de escala en el dominio del tiempo producen

cambios de escala recíprocos en el dominio de la

frecuencia


Ejemplo (1)

Sea la señal donde

Aplicando el teorema de superposición y desplazamiento

en el tiempo tenemos

Con


Ejemplo (2)

Tenemos que

Luego si y entonces

y donde

entonces


Ejemplo (3)

Donde

Si y se convierte en


Ejemplo (4)

Y el espectro es

Donde se puede apreciar que es puramente imaginario

dada la simetría impar de la señal en el domino del

tiempo



(Traslación de frecuencia y

modulación)(1)

Multiplicar un función en el dominio del tiempo por

causa que su espectro sea trasladado en frecuencia por

+fc



(Traslación de frecuencia y

modulación)(2)

De acuerdo a la gráfica anterior tenemos:

• Las componentes significativas de frecuencia se

encuentran alrededor de fc.

• A pesar que V(f) tiene una banda limitada de W, V(f - fc)

tiene un espectro amplio de 2W.

• V(f - fc) es no hermitiana pero posee simetría con respecto

al origen trasladado f – fc.

Teorema de la modulación


Ejemplo: Pulso de RF

Sea la señal

Aplicando la propiedad de modulación tenemos



(Diferenciación e integración)(1)

Derivar una función en el dominio del tiempo, implica la

multiplicación por un factor complejo en el dominio de la

frecuencia

Para comprobarlo tenemos



(Diferenciación e integración)(2)

Generalizando

Integrar una función en el dominio del tiempo, implica la

división por un factor complejo en el dominio de la

frecuencia

si


Ejemplo: Pulso Triangular

La forma de onda zb(t) posee área neta cero, y su

integración produce un pulso triangular.

Aplicando el teorema de integración


Convolución (1)

La convolución de dos funciones de la misma variable

v(t) y w(t) se define como

La integral de convolución no es difícil de calcular si las

dos funciones son continuas en el tiempo, pero si una o

ambas presentan discontinuidades, la interpretación

gráfica de la convolución es de gran ayuda, por ejemplo

sean las señales


Convolución (2)

Luego


Convolución (3)

En la figura anterior se puede apreciar que cuando t<0,

las funciones no se traslapan, luego

cuando 0 < t < T, las funciones se traslapan para 0 < λ < t

por lo tanto t es el límite superior de integración


Convolución (4)

Finalmente cuando t > T las funciones se traslapan para

t-T< λ < t

Luego la gráfica de la función resultante es


Teoremas de la convolución

La convolución satisface múltiples propiedades derivadas

de su definición o de su interpretación gráfica, tales como

Teniendo presentes las anteriores propiedades se listan

los teoremas de convolución


Ejemplo: Pulso Trapezoidal (1)

El pulso rectangular puede ser expresado como la

convolución de los pulsos rectangulares

Si el problema se puede estudiar en tres partes

• No hay traslape

• Hay traslape parcial

• Hay traslape total



En el caso de no traslape tenemos

En la región de traslape parcial



En la región de traslape total

Luego, el resultado es el pulso trapezoidal, del cual su

transformada puede expresarse como


Impulsos y transformada en el límite

(Propiedades del impulso unitario)

Considerando

Donde v(t) es continua en t=0, y si v(t)=1, tenemos

Las propiedades integrales mas significativas del impulso

son



(Impulsos en frecuencia)(1)

Una señal constante en el dominio del tiempo posee un

espectro definido por un impulso, luego

Generalizando



(Impulsos en frecuencia)(2)

Si v(t) es una señal periódica arbitraria

Luego su transformada de fourier es

Lo anterior indica que cualquier conjunto de espectro de

dos lados puede ser convertido a un espectro continuo,

permitiendo la representación de señales periódicas y no

periódicas por espectros continuos.


Ejemplo: Señal modulada en

frecuencia

Sea la señal

Con


Funciones escalón y signo (1)

La función signo se define como

Esta función es un caso particular de la función

Donde



Luego

Ahora, la función signo y la función escalón se relacionan



Convolucionando una función v(t) cualquiera con elescalón tenemos

Luego

Lo anterior indica que el teorema de integración es válidocuando V(0)=0


Impulso en el tiempo (1)

La transformada de un impulso en el dominio del tiempo

es una función constante en el dominio de frecuencia

De manera general aplicando la propiedad de

desplazamiento en el tiempo tenemos

Sea v(t) una función continua en el tiempo con

transformada bien definida V(f), luego



Luego

Así mismo se puede relacionar el impulso unitario con el

escalón unitario mediante

Por lo tanto



De lo anterior y aplicando el teorema de diferenciación

tenemos

Donde w(t) es una función no impulsiva; expresiones que

permiten analizar el espectro de alta frecuencia de una

señal para el diseño de sistemas, cuando alguna de las

derivadas de la señal presenta discontinuidades.


Respuesta de sistemas LTI (Respuesta

al impulso y superposición integral)(1)

Sea el sistema LTI

Donde la salida y(t) es la respuesta del sistema a la

entrada x(t) y representada por

La propiedad de linealidad indica que el sistema obedece

al principio de superposición, luego si (ak son constantes)




La propiedad de invarianza en el tiempo del sistema

indica que las características del sistema permanecen

fijas con el tiempo, por lo tanto

La mayoría de los sistemas LTI son sistemas

compuestos por elementos que se pueden caracterizar

como conjuntos de resistencias, inductores y capacitores,

el análisis directo de este tipo de sistemas relaciona la

entrada con la salida mediante una ecuación diferencial

lineal de la forma




Para obtener una relación explícita entre la entrada y

salida del sistema, se debe definir la respuesta al impulso

de dicho sistema

Y de acuerdo a que cualquier señal continua a la entrada

del sistema puede ser expresada como

entonces




Lo anterior, de acuerdo a la propiedad de linealidad del

sistema, y dada la propiedad de invarianza en el tiempo

tenemos

Por lo tanto, la salida del sistema se expresa como la

convolución de la respuesta al impulso del sistema con la

señal de entrada.




Existen formas de calcular h(t) a partir de ecuaciones

diferenciales, pero es mas cómodo calcularla a partir de

la respuesta al escalón, luego, sea

Lo anterior cumple con la propiedad general de

convolución

luego


Respuesta en tiempo de un

sistema de primer orden

En el circuito de la figura, la ecuación diferencial que

describe el comportamiento del sistema, su respuesta al

escalón y al impulso son

Nótese que las respuestas g(t) y h(t) son respuestas

causales.


Funciones de transferencia y

respuesta en frecuencia (1)

La función de transferencia de un sistema se define como

la transformada de fourier de la respuesta al impulso del

sistema

Esta definición hace que sea necesario que H(f) exista,

dado que si h(t) es creciente con el tiempo (sistema

inestable) H(f) no existe. Cuando h(t) es real H(f) es

hermitiana. La interpretación en el dominio de la

frecuencia proviene de la convolución de la señal de

entrada al sistema con la respuesta al impulso del

mismo.




Luego, sea donde la

condición que x(t) exista para todo tiempo t está asociada

con las condiciones de estado estable del sistema, por lo

tanto la respuesta de estado estable del sistema está

dada por




Llevando H(fo) a forma polar se tiene

donde

luego

por lo tanto

son las repuestas en magnitud y fase del sistema como

funciones de la frecuencia.




Por consiguiente, sea una señal x(t) con espectro X(f), se

tiene que y aplicando transformada se tiene

que y los correspondientes espectros de

magnitud y fase son

Si x(t) es una señal de energía, luego y(t) también será

una señal de energía con densidad espectral de energía

y energía total igual a




Finalmente, se puede determinar H(f) en un sistema sin

conocer h(t), conociendo la ecuación diferencial del

sistema, expresando H(f) como la relación de polinomios

Igualmente se puede obtener la respuesta de estado

estable de un fasor como

cuando


Respuesta en frecuencia de un

sistema de primer orden (1)

Redibujando el circuito del ejemplo anterior, con

impedancias y tenemos

donde

cuando




Graficando el espectro de la respuesta del sistema

Para ilustrar mejor el comportamiento del sistema, sea

x(t) una señal de entrada arbitraria con espectro

contenido en Pueden ser estudiados 3 casos


Análisis de diagramas en

bloques


Ejemplo: Retenedor de orden

cero

Sea

El resultado anterior es aparentemente inusual, realizando el

proceso en el dominio del tiempo tenemos

la entrada al integrador es

cuando


Distorsión de señal en transmisión

(Transmisión sin distorsión) (1)

Se dice que se presenta transmisión sin distorsión

cuando la señal de salida del canal de transmisión difiere

de la señal de entrada solamente en un multiplicación por

una constante y en un retardo finito, por lo tanto

un sistema sin distorsión debe tener una respuesta

constante en magnitud y un desplazamiento lineal

negativo de fase, luego



(Transmisión sin distorsión) (2)

La gráfica muestra la densidad espectral de energía de

una señal promedio de voz

Típicamente se definen 3 tipos de distorsión

• Distorsión de amplitud

• Distorsión de retardo

• Distorsión no lineal cuando hay elementos no lineales.

De la gráfica se puede concluir

que un sistema que cumpla las

condiciones anteriores en el

rango de frecuencias desde

200Hz a 3200Hz puede

considerarse sin distorsión



(Distorsión Lineal)(1)

La distorsión lineal incluye cualquier distorsión de

amplitud o retardo en un sistema de transmisión lineal.

Señal de prueba

Distorsión de fase θ=-90Distorsión de amplitud




La distorsión de amplitud ocurre cuando no es

constante con la frecuencia, si el desplazamiento de fase

no es lineal, cada componente de la señal sufre

diferentes cantidades de retardo causando distorsión de

fase o distorsión de retardo, dado que

Que será independiente de la frecuencia solamente si

arg H(f) es lineal con la frecuencia.

Veamos cual es el impacto de la distorsión de fase en

una señal modulada.




La función de transferencia de un canal arbitrario puede

ser expresada como

donde

si la entrada al canal es

Luego por la propiedad de retardo de la transformada

donde

por lo tanto, la portadora ha sido retardada td y las

señales moduladas retardadas tg

y




td corresponde al desplazamiento de fase de la portadora

y se denomina retardo de fase del canal o retardo de

portadora, el retardo entre la envolvente de la señal de

entrada y la señal de salida tg es denominado retardo de

envolvente o retardo de grupo del canal.

Para poder recuperar las señales originales, el retardo de

grupo debe ser constante, luego

donde


Ecualización (1)

La distorsión lineal teóricamente es reversible mediante

redes de ecualización

Para el cual la salida total sería sin distorsión si se

cumple que de donde

Difícilmente se consigue el diseño de un ecualizador que

cumpla la condición anterior, pero se obtiene una buena

aproximación.


Ecualización (2)

Una de las técnicas mas antiguas de ecualización para

líneas telefónicas es la utilización de bobinas de

pupinización, un método mas reciente consiste en la

utilización de ecualizadores de líneas de retardo o filtros

transversales

Generalizando


Ejemplo: Distorsión

Multitrayectoria

Supóngase la salida de un canal de radio sea

Donde el segundo término corresponde a un eco del

primero si t1<t2, luego

Por lo tanto las características del ecualizador requerido

son

Si lo cual

revela que si fuese un medio cableado serviría un

ecualizador con TAP de la forma y

donde


Distorsión no lineal y

compansión (1)

En un sistema no lineal, su comportamiento no puede ser

descrito por una función de transferencia, en lugar de ello

los valores instantáneos de entrada y salida son

relacionados por una curva o función

comúnmente llamada característica de transferencia.

Bajo condiciones de entrada

de pequeña señal, es

posible linealizar la función

como se muestra en la

figura, bajo expresiones de

la forma.



compansión (2)

A pesar de que no existe una función de transferencia, el

espectro de la salida puede ser obtenido a partir del

teorema de convolución

Si la señal x(t) es limitada en banda W, la respuesta de

un sistema lineal no podría contener componentes mas

allá de la banda , pero en el caso de sistemas

no lineales, la salida incluye componentes

de la forma

que se encuentran en bandas 2W,3W, etc., las cuales

pueden ser eliminadas a partir de filtrado.



compansión (3)

Sin embargo, aún queda el problema de la eliminación de

componentes aditivas en la banda lo cual

produce la distorsión no lineal en cuestión. Por ejemplo

sea la señal la cual se introduce al

sistema anterior, luego



compansión (4)

La solución a la situación anterior es la introducción de

dos sistemas tales que

Perdidas de transmisión y decibeles

(ganancia de potencia)(1)

Además de la distorsión un canal de comunicaciones

también reduce el nivel de potencia de la señal, lo cual

puede ser compensado por amplificación.

En un sistema LTI sin distorsión se tiene que

Donde Pin es la potencia promedio de la señal de

entrada

Luego

Los dB siempre representan razones de potencias y los

dBW o los dBm representan potencia.


Perdidas de transmisión y decibeles

(ganancia de potencia)(2)

Considerando un sistema descrito por su función de

transferencia H(f), si a la entrada del sistema se introduce

una señal sinusoidal con amplitud Ax y produce una

amplitud de salida y las potencias

normalizadas son y no

necesariamente iguales a Pin y Pout, sin embargo

cuando hay adaptación de impedancias es igual a

, por lo tanto si luego

en este caso la ganancia de potencia también aplica a las

señales de energía en el sentido que , además

se tiene que la ganancia relativa de potencia se define

como


Perdidas de transmisión y

repetidores (1)

Las pérdidas de transmisión o atenuación se definen

como

Donde

En el caso de las líneas de transmisión, cable coaxial,

fibra óptica y guías de onda, la potencia de salida

decrementa exponencialmente con la distancia, luego

Donde es la distancia del canal de transmisión y α es

el coeficiente de atenuación en dB por unidad de

longitud, luego



repetidores (2)



repetidores (3)

La figura representa un sistema de transmisión por cable

con un amplificador de salida y un amplificador operando

como repetidor en la mitad del trayecto de transmisión,

luego


Sistemas de radio (1)

Se examinarán las perdidas de transmisión en un

sistema de radio propagación por línea de vista.

Las pérdidas de espacio libre en un enlace por línea de

vista son debidas a la dispersión atmosférica, y dadas

por


Sistemas de radio (2)

Expresando en kilómetros y f en gigahertz

las antenas tienen un efecto focalizador que actúa como

amplificador en el sentido que

la máxima ganancia de antena para una apertura de área

efectiva es


Ejemplo: Sistema de

transmisión por satélite (1)

La figura muestra un enlace satelital que utiliza un

satélite geoestacionario operando en la banda C con

frecuencia de subida de 6Ghz y de bajada de 4Ghz.


Ejemplo: Sistema de

transmisión por satélite (2)

Las pérdidas en el enlace de subida están dadas por

y en el enlace de bajada

el satélite tiene un amplificador repetidor que produce

una salida típica de 18dBW, si la potencia de entrada al

transmisor es de 35dBW, la potencia recibida en el

satélite es de

Luego la potencia de salida de la antena del receptor es


Filtros y filtrado (Filtros ideales)

(1)

Un filtro ideal por definición posee las características de

un sistema sin distorsión para una o varias bandas de

frecuencias y respuesta cero para todas las demás

frecuencias.

Los parámetros y son las frecuencias de corte

inferior y superior respectivamente, y el ancho de banda

del filtro esta dado por


Filtros y filtrado (Filtros ideales)

(2)

Sin embargo, todos los filtros ideales son irrealizables,

debido a que sus características de transferencia no

pueden ser obtenidas a partir de un conjunto finito de

elementos. Por ejemplo, la función de transferencia y

repuesta al impulso de un filtro pasabajos (LPF) se puede

escribir como


Limitación en banda y en tiempo

Se dice que una señal v(t) es limitada en banda si existe

una constante W tal que

De manera similar v(t) es limitada en tiempo si para las

constantes t1<t2

Por lo tanto cualquier señal limitada en banda existe para

cualquier tiempo y viceversa, luego las señales

perfectamente limitadas en banda y limitadas en tiempo

son mutuamente excluyentes, entonces abandonaremos

el concepto de señales limitadas en banda porque por

ello se debería aceptar modelos de señal que existan

para todo tiempo (señales no causales).


Filtros reales (1)

La figura muestra el espectro de magnitud de un filtro

real pasa banda

Los puntos en los cuales termina la banda pasante son

definidos por

Además en los filtros reales, se pueden observar 3

regiones bien definidas, región de banda pasante,

transición y banda detenida.


Filtros reales (2)

El filtro estándar mas simple es el filtro pasabajas de

Butterworth de orden n, el cual tiene n elementos

reactivos y si K=1 se tiene

Donde B es el ancho de banda de 3dB y Pn es un

polinomio complejo; la familia de polinomios de

Butterworth se definen por la propiedad

Por consiguiente las primeras n derivadas de son

cero para f=0 y se dice que es máximamente

plana.


Filtros reales (3)

Un filtro de Butterworth de primer orden tiene las mismas

características de un filtro RC pasa bajos, con una pobre

aproximación a un LPF ideal.

Pero la aproximación mejora a medida que se incrementa

n, la siguiente tabla muestra algunos de los polinomios

de Butterworth para n=1 hasta 4 con


Filtros reales (4)

Una idea clara de la relación de amplitud en la región de

transición se obtiene a partir del diagrama de bode, luego

a medida que se incrementa n la respuesta en magnitud

del filtro es mas aproximada a la ideal, pero la respuesta

de fase en la banda pasante es menos lineal.


Filtros reales (5)

Luego, en los casos en los cuales la linealidad de la fase

es un factor fundamental, los filtros de Bessel – Thomson

son una mejor opción, de acuerdo a que presentan una

característica de máximo desplazamiento de fase lineal,

pero presentan una amplia región de transición. Por otro

lado las clases de filtro de igual rizado (equiripple) tales

como Chebysheb y elípticos proporcionan mejores

caídas en la región de transición, pero presentan

pequeños rizados en la región pasante y significativo

desplazamiento de fase no lineal.


Ejemplo: Filtro de Butterworth

de segundo orden (1)

El siguiente circuito es un filtro pasa bajos de Butterworth

de segundo orden con

Por lo tanto su función de transferencia es


Ejemplo: Filtro de Butterworth

de segundo orden (2)

Luego de acuerdo a los polinomios de Butterworth

tenemos que se requiere

Por lo tanto, la relación entre R, L, C que satisface la

ecuación es

Lo cual implica que


Respuesta al pulso y tiempo de

rizado (1)

Un pulso rectangular, o cualquier otra señal con

transiciones abruptas contienen una cantidad significativa

de componentes de alta frecuencia que pueden ser

atenuadas o eliminadas por filtros pasabajos.

El filtrado del pulso produce un efecto de “aplanamiento”

que puede ser estudiado en el dominio del tiempo, este

estudio se puede iniciar considerando a la entrada de un

filtro un escalón unitario que representaría el borde del

pulso, luego la respuesta al impulso del filtro será



rizado (2)

Luego la respuesta al impulso de un filtro de primer orden

es

Donde B es el ancho de banda del filtro, pero el filtro de

primer orden no tiene restricciones severas con respecto

a la limitación en banda, por consiguiente un filtro ideal

su respuesta al impulso es , luego

Donde



rizado (3)

Donde la primer integral es igual a ½, pero la segunda

requiere integración numérica, luego



rizado (4)

El tiempo de rizado es una medida de la velocidad de la

respuesta al impulso de un filtro, usualmente definido

como el intervalo tr entre g(t)=0.1 y g(t)=0.9, el tiempo de

rizado para un filtro de primer orden es de y

para un filtro ideal es de por lo tanto se

considera en general

ahora si la señal de entrada al filtro es un pulso

rectangular con duración e inicio en t=0


y


rizado (5)

Luego

Donde se observa que la respuesta tiene una forma

aproximadamente rectangular cuando mientras

es completamente distorsionado cuando



rizado (6)

Por lo tanto para transmitir pulsos rectangulares se

requiere un ancho de banda grande para reproducir su

forma

Pero para detectar el envío de un pulso o medir su

amplitud es suficiente con

Además la detección y resolución de pulsos están

generalmente relacionadas con la medida relativa a un

tiempo de referencia de posición de pulsos.


Filtros de cuadratura y

transformada de Hilbert (1)

La transformada de fourier es muy útil cuando deseamos

descomponer señales de acuerdo a su contenido de

frecuencia, sin embargo a veces es conveniente

descomponer las señales en función de su fase, para

estas aplicaciones se utiliza la transformada de Hilbert, la

cual se introduce en conjunción con los filtros en

cuadratura, el cual es una red pasa todo que

simplemente desplaza la fase de las componentes

positivas de frecuencia en -90° y las componentes

negativas de frecuencia un ángulo de +90°, luego un

desplazamiento de fase de es equivalente a

multiplicar a la función de transferencia por




Luego la función de transferencia del filtro puede ser

escrita en términos de la función signo como

y su correspondiente repuesta al impulso

obtenida por dualidad dado que luego




Si se introduce al filtro una señal arbitraria x(t), luego la

salida del filtro puede ser definida como

la transformada de Hilbert de x(t) denotada como

Nótese que la transformada de Hilbert es una

convolución y por lo tanto transforma una función en el

dominio tiempo a otra también en el dominio tiempo, no

está efectuando un cambio de dominio, por lo tanto el

espectro de como




Se puede observar de la ecuación de que es un

sistema no causal, y por lo tanto físicamente no

realizable, aunque su comportamiento puede ser

aproximado en una banda finita de frecuencias.

Presumiendo que la señal de entrada al filtro x(t) es real

1. El espectro de magnitud de una señal y el de su transformada de

Hilbert es igual, luego la energía o potencia de la señal y de su

transformada también es igual.

2. Si es la transformada de Hilbert de la señal luego

es la transformada de Hilbert de

3. Una señal y su transformada de Hilbert son ortogonales


Ejemplo: Transformada de

Hilbert de una señal coseno

Sea luego

Por lo tanto

Este par de transformadas son muy utilizadas para

encontrar la transformada de Hilbert de cualquier señal

que consiste de la suma de sinusoides.


Ejemplo: Transformada de Hilbert

de un pulso rectangular (1)

Sea su transformada de Hilbert

Gráficamente tenemos


Ejemplo: Transformada de Hilbert

de un pulso rectangular (2)

Como se aprecia en la gráfica para el caso en el cual

las áreas se cancelan entre y y

luego

Por ultimo no existe cancelación de área para

Combinando en una expresión


Correlación y densidad

espectral

La correlación se enfoca en el estudio de promedios

temporales y señales de energía o potencia, tomando la

transformada de Fourier de una función de correlación se

obtiene una representación en el dominio de la

frecuencia en términos de funciones de densidad

espectral, teniendo como ventaja que las señales por si

mismas no necesariamente deben ser Fourier

transformables, por ello, la densidad espectral permite

modelar un amplio rango de señales incluyendo las

señales aleatorias.


Correlación y densidad espectral

(correlación de señales de potencia)(1)

Sea v(t) una señal de potencia no necesariamente real o

periódica, solamente se establece que debe tener bien

definida su potencia promedio

El promedio temporal de una señal debe interpretarse

Con las siguientes propiedades




Si v(t) y w(t) son señales de potencia, el promedio

se denomina producto escalar de v(t) y w(t), el producto

escalar es un número, posiblemente complejo que sirve

como una medida de similaridad entre dos señales; la

desigualdad de Schwarz relaciona el producto escalar

con las potencias de las señales

Ahora, sea




la potencia promedio de z(t) será

Si a=1 y

Donde se observa que un gran valor del producto escalar

implica señales similares, de igual manera un pequeño

producto escalar implica señales disimilares y




Definiendo la correlación cruzada (crosscorrelation) de

dos señales de potencia como

La cual es el producto escalar con la segunda señal

retardada con relación a la primera, donde el

desplazamiento es la variable independiente, donde

la variable t ha sido omitida del promedio temporal; las

propiedades generales de son

Luego la correlación cruzada mide la similaridad entre

y como una función de




Por lo tanto la correlación cruzada es una medida mas

sofisticada de la similaridad de dos señales que el

producto escalar dado que detecta similaridades de las

señales desplazadas en el tiempo que el producto

escalar puede obviar. Si se correlaciona una señal con si

misma, se genera la función de autocorrelación, la cual

nos da una idea de la variación en el tiempo de la señal

en un sentido promedio.

Si es grande, se puede inferir que es

muy similar a para un valor de particular.




Algunas propiedades de la función de autocorrelación

luego posee simetría hermitiana y máximo valor en

el origen igual que la señal de potencia. Si es real,

luego será real y par. Si es periódica

tendrá la misma periodicidad.

Considerando la señal , obteniendo su

autocorrelación se encuentra que

y si y son no correlacionadas para todo luego

y haciendo


Ejemplo: Correlación de fasores

y sinusoides (1)

El producto escalar de dos fasores o señales

sinusoidales se describe como

Resultado que se aplicará mas adelante, luego sean

Donde y son constantes complejas que afectan la

magnitud del fasor y su fase.


Ejemplo: Correlación de fasores

y sinusoides (2)

Luego la correlación cruzada es

Luego, los fasores son no correlacionados a menos que

tengan frecuencias idénticas. Por lo tanto la función de

autocorrelación es

Por lo tanto, para una señal sinusoidal


Correlación de señales de

energía (1)

Productos de promedios de señales de energía durante

todo el tiempo producen valor cero, pero se puede hablar

de energía total de una señal, la cual se define como

De manera similar la correlación de señales de energía

se puede definir como



energía (2)

Luego, las propiedades matemáticas de la operación

son las mismas que la operación de promedio

temporal , luego todas las relaciones previas se

cumplen reemplazando por por ejemplo, la

propiedad

Examinando de manera mas detallada la definición de

correlación para señales de energía, se puede observar

que es un tipo de convolución, entonces, para

y la correlación



energía (3)

Por lo tanto

Otras relaciones obtenidas a partir de la transformada de

Fourier

combinando con


Correlación y sistemas LTI (1)

Una señal x(t) tiene una autocorrelación conocida

la cual es aplicada a un sistema LTI con respuesta al

impulso h(t) produciendo la señal de salida

luego la función de correlación cruzada entre la entrada y

salida del sistema es

y la función de autocorrelación de la salida es



luego

asumiendo que x(t) y y(t) son señales de potencia (igual

aplica para señales de energía) tenemos que

introduciendo la superposición integral para

e intercambiando el orden de las operaciones

pero si para cualquier λ




luego

de la misma manera

en la cual haciendo el

cambio de variable

Funciones de densidad

espectral (1)

Dada una señal de potencia o energía v(t) su función de

densidad espectral representa la distribución de

potencia o energía en el dominio de la frecuencia y tiene

dos propiedades esenciales, la primera indica que el área

bajo es igual a la potencia promedio o energía

total de la señal

la segunda indica que si x(t) es la entrada a un sistema

LTI con , luego las funciones de densidad

espectral de entrada y salida están relacionadas por



espectral (2)

donde es la ganancia de potencia o energía a

cualquier frecuencia f , luego

ecuación que expresa la salida de potencia o energía en

términos de la densidad espectral de la señal de entrada

Para arbitraria y actuando como un filtro de

banda angosta de ganancia unidad se tiene



espectral (3)

gráficamente

si es lo suficientemente pequeño el área bajo

será y de lo cual

se concluye que a cualquier frecuencia es

igual a la potencia o energía de la señal por unidad de

frecuencia.



espectral (4)

De lo anterior se puede concluir que cualquier función de

densidad espectral debe ser real y no negativa para

cualquier valor de f.

Para calcular la función de densidad espectral de una

señal v(t), el teorema de Wiener – Kinchine establece

luego se define el par transformado



espectral (5)

Si v(t) es una señal de energía con luego

y se obtiene la densidad espectral de energía.

Si v(t) es una señal periódica de potencia con expansión

en series de Fourier

luego la densidad espectral de potencia o potencia

espectral está dada por


Ejemplo: Densidad espectral de energía

de señales en sistemas LTI (1)

Sea la entrada a un sistema con función

de transferencia

calculando la densidad espectral de energía de x(t)

y calculando la correspondiente densidad espectral de

y(t)




se sabe que

también se pudo haber calculado

de donde

de manera similar para y(t)




se tiene

y de manera correspondiente

calculando


Ejemplo: Filtro de peine (1)

Considere el filtro de peine con respuesta al impulso


Conociendo la densidad espectral

de la señal de entrada, la densidad

espectral de la señal de salida y la

autocorrelación se obtienen como

Ejemplo: Filtro de peine (2)

conociendo la autocorrelación de la señal de entrada

y convirtiendo a notación exponencial

luego

y la salida de potencia o energía es


Teoría de Telecomunicaciones I · 2020. 6. 12. · Teoría de Telecomunicaciones I 10...

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