2·26· 40 sen 33,42 segundos 9,8...ACTIVIDADES de la página 201 1. Un golfista golpea la pelota en...

Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO

1

ACTIVIDADES de la página 201

1. Un golfista golpea la pelota en la salida del hoyo a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40º y cae dentro de la calle del hoyo, halla la altura máxima que alcanza y el alcance. ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?

La altura máxima, ymáx, que alcanza la bola es .25,148,9·2

º40·26 22

max msen

y ==

El alcance máximo, xmáx, horizontal es .93,678,9

80·262

max msen

x ==

El tiempo que permanece la bola en el aire es: t = segundossen

42,338,9

40·26·2=

La trayectoria que describe la bola es una parábola de ecuación y = 0,8391x – 0,0124x2 cuya gráfica puede verse a continuación.


2

2. Un portero de fútbol golpea el balón desde el césped con un ángulo de 55º. Si el balón cae sobre el campo a una distancia de 65 metros sin que antes la toque ningún jugador, averigua la velocidad inicial del lanzamiento y el tiempo que permanece el balón en el aire.

Utilizando la expresión del alcance máximo horizontal (xmax),g

senvx

α2·20

max = , sustituyendo los datos del

enunciado y operando, obtenemos:

./04,2688,677º110

8,9·658,9

º110·65 0

20

20

20 smvv

senv

senv=⇒=⇒=⇒=

La velocidad inicial del lanzamiento ha sido de 26,04 m/s.

El tiempo que permanece el balón en el aire es: t = segundossen

66,428,9

55·04,26·2=

3. D ibuja las trayectorias de lanzamiento para ángulos α = 10º, 20º, 30º…, 80º y 90º con una velocidad inicial de lanzamiento fija, v0 = 25 m/s ≈ 90 km/h. Utiliza algún programa de geometría dinámica.

Para dibujar las trayectorias descritas con Geogebra seguimos los siguientes pasos:

1º. Creamos dos deslizadores:

- Uno relacionado con la velocidad inicial, de nombre v0, como número, con valor mínimo 10, valor máximo 100 e incremento 5.

- Otro relacionado con el ángulo de lanzamiento, de nombre α, como ángulo, con valor mínimo 10º, valor máximo 90º e incremento 10.

2º Con el comando Función (<Función>, <Valor inicial>, <Valor final>) introducimos la función

cuadrática con la expresión 22

0

2

)(cos··2·8,9

·α

αv

xtgxy −= , con Valor inicial, 0 y Valor final

8,9)2(·2

0max

αsenvx = .

3º Ponemos en los deslizadores los valores que deseemos, por ejemplo, v0 = 25 m/s y α = 20º, y obtenemos la trayectoria del lanzamiento correspondiente a esas condiciones.


3

4º. Para calcular el alcance máximo vertical, con el comando Máximo (<Función>, <Valor inicial>,

<Valor final>) tecleamos como Función f, Valor inicial 0 y Valor final 8,9

)2(·20

maxαsenv

x = . En las

Propiedades o Configuración del punto lo llamamos ymax y hacemos que aparezca su Nombre y valor.

5º. Para calcular el alcance máximo horizontal, introducimos el punto A = (0, xmax) siendo

8,9)2(·2

0max

αsenvx = . En las Propiedades o Configuración del punto lo llamamos xmax y hacemos que

aparezca su Nombre y valor.

En el dibujo podemos ver la trayectoria para una velocidad inicial v0 = 25 y un ángulo de lanzamiento α = 20º. Se obtiene como alcance máximo vertical ymax = 3,73 metros y como alcance máximo horizontal xmax = 40,99 metros.

● Si fijamos la velocidad inicial, por ejemplo v0 = 25 m/s y variamos los ángulos de lanzamiento, desde α = 10º hasta α = 90º, obtenemos las trayectorias que aparecen en el gráfico.

Para que aparezcan todas las trayectoria, en las Propiedades o Configuración de una de ellas hay que tildar la opción Mostrar rastro.


4

Fijada una velocidad inicial, por ejemplo v0 = 25 m/s, el mayor alcance horizontal se alcanza para un ángulo de 45º.

● Si fijamos un ángulo de lanzamiento, por ejemplo 30º, y variamos las velocidades iniciales, desde 10 hasta 70, obtenemos las trayectorias que aparecen en el gráfico.

Para que aparezcan todas las trayectorias, en las Propiedades o Configuración de una de ellas hay que tildar la opción Mostrar rastro.


5

4. En cada una de las trayectorias anteriores, determina el alcance y la altura máxima alcanzada por el balón.

En las gráficas del apartado anterior podemos ver el alcance y la altura máxima pedidas.

5. ¿Para qué valor del ángulo α se obtiene el alcance máximo horizontal?

Como vemos en las gráficas el alcance máximo se produce para α = 45º. Mediante Optimización de funciones también podemos hallar para qué valor del ángulo el alcance es máximo.


6

CUESTIONES INICIALES de la página 202

1. Calcula los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

a) 2

2 nnan+

=

b) 22·3 −= nnb

c) nc nn ·)1( 1+−=

d) nnn ddddd +=== ++ 1221 ,1,1

Los términos pedidos son:

a) 2

2 nnan+

= : 1, 3, 6, 10 y 15.

b) 22·3 −= nnb :

23 , 3, 6, 12 y 24.

c) nc nn ·)1( 1+−= : 1, - 2, 3, - 4 y 5.

d) nnn ddddd +=== ++ 1221 ,1,1 : 1, 1, 2, 3 y 5

2. Calcula la suma de los n primeros números naturales y la suma de los n primeros cuadrados.

a) Las sumas parciales y la suma total son:

1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, … , 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 2

2 nn +


7

b) Las sumas parciales y la suma total son:

12 = 1, 12 + 22 = 5, 12 + 22 + 32 = 14, 12 + 22 + 32 + 42 = 30, … , 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = 632 23 nnn ++

3. Un oficial de caballería vende su caballo purasangre con la condición de que le paguen 1 céntimo de euro por el primer clavo de una herradura del caballo; 2 céntimos, por el segundo clavo; 4 por el tercero; 8 por el cuarto; y así, sucesivamente hasta el último clavo de los 32 de las cuatro herraduras. ¿Cuánto pide por el caballo?

Obtenemos:

1er clavo = 0,01 euros.

2º clavo = 0,02 euros.

3er clavo = 0,04 euros.

4º calvo = 0,08 euros.

…

32º clavo = 0,01 · 231 euros.

Por el caballo pide la suma de todos los términos anteriores:

)12(·01,012

01,02·2·01,0 3231

−=−

−=S euros.

La sucesión es una progresión geométrica de razón r = 2. En total pedía 42 949 672, 95 euros.


8

ACTIVIDADES de la página 205 1. Escribe los primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son los que siguen:

a) n

nan 312 +

=

b) 2

3 2 nnbn−

=

c) c1 = 2, c2 = -2, cn = cn-1 – cn-2


a) n

nan 312 +

= : 1, 1511,

129,

97,

65

b) 2

3 2 nnbn−

= :1, 5, 12, 22 y 35.

c) 2121 ,2,2 −− −=−== nnn ccccc : 2, -2, -4, -2, 2.

2. Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 3, 7, 11, 15, 19… c) 1, 4, 9, 16, 25…

b) - 2, 4, - 8, 16, -32… d) 5, 2, - 1, - 4, - 7…

a) Esta sucesión es una sucesión aritmética de diferencia 4, por lo que el término general es: an = 4n – 1.

b) Esta sucesión es una sucesión geométrica de razón (- 2), por lo que el término general es: bn = (- 2)n.

c) Esta sucesión es la sucesión de los cuadrados de los números, por lo que el término general es: cn = n2.

d) Esta sucesión es una sucesión aritmética de diferencia (- 3), por lo que el término general es: dn = 8 - 3n.


9


3. Sean las sucesiones de números pares ( ) ( )nan 2= y de números impares ( ) ( )12 −= nbn . Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, hallando los cinco primeros términos y el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

SUCESIONES TÉRMINOS TÉRMINO GENERAL

( ) ( )nn ba + 3, 7, 11, 15, 19 (4n – 1)

( ) ( )nn ab − - 1, - 1, - 1, - 1, - 1 (-1)

( )na·3 6, 12, 18, 24, 30 (6n)

( )nb·2− - 2, - 6, - 10, - 14, - 18 (- 4n + 2)

( ) ( )nn ba · 2, 12, 30, 56, 90 (4n2 – 2n)

( ) ( )nn ba ·: 2, 9

10,78,

56,

34

−122

nn

( )nanb 1, 81, 15625, 5764801, 3486784401 ( ) nn 212 −


4. Encuentra los primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones y, a partir de ellos, estudia su acotación y su monotonía:

a) n

nan1−

= b) n

bn +=

23

c) ( ) 211 nc nn

+−=

a) ...54,

43,

32,

21,0

Esta sucesión está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0 y es monótona creciente.


10

b) ...73,

63,

53,

43,1

Esta sucesión está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0 y es monótona decreciente.

c) 1, - 4, 9, - 16, 25...

Esta sucesión no está acotada y no es monótona creciente ni decreciente.

5. Calcula el límite de las siguientes sucesiones e indica si estas son o no convergentes:

a) ...161,

81,

41,

21,1 b) 3, - 3, 6, - 6, 12, - 12… c)

12+

=n

nan d) 2

3+=

nbn

a) Esta sucesión tiende a 0. Es convergente.

b) Esta sucesión no es convergente.

c) Esta sucesión tiende a 2. Es convergente.

d) Esta sucesión tiende a ∞+ . No es convergente.


6. Para cada una de las siguientes sucesiones halla los términos que se indican y, a partir de ellos, encuentra el límite de las mismas:

a) n

na

=

21 ; a10 000; a5 000 000 b)

−

=n

nbn 214 ; b100 000; b1000 000



11

a) a10 000 = 0 y a5 000 000 = 0. El límite de esta sucesión es 0.

b) b100 000 = 1,999995 y b1000 000 = 1,9999995. El límite de esta sucesión es 2.

7. Resuelve las indeterminaciones presentes en los límites siguientes:

a) 16

42

2

++

nnnlím c)

−2·

123 n

nlím e)

−

+ nn

nlím3

12 2

b) 2732

3

2

−+−

nnnlím d) ( )323 −−+ nnlím f) [ ]nnnlím 234 2 −−

El valor de los límites es:

a) 32

164

2

2

=++

nnnlím c) ∞+=

−2·

123 n

nlím e) ∞−=

−

+ nn

nlím3

12 2

b) 02732

3

2

=−+−

nnnlím d) ( ) ∞+=−−+ 323 nnlím f) [ ]

43234 2 −=−− nnnlím


8. Resuelve los siguientes límites:

a) n

nlím

6

351

+ c)

3

757

n

nnlím

− e)

2

2

22

31 −

−+ n

n

nnlím

b) n

nlím

3

221

+− d)

nn

nnlím

22

8383

−

−+ f)

nn

nnlím

−+

−− 4

43

3634



12

a) n

nlím

6

351

+ = 10

13516lim

ee nn

=

−+

b) n

nlím

3

221

+− = 6

12

213lim−

−

+−

=ee nn

c) 3

757

n

nnlím

− = 21

521

5lim17

573

lim −−

−

−

== eee nn

nnn

d) n

n

nnlím

22

8383

−

−+ = 3

16833216lim1

83832lim

2

22

eee nnn

nn

nn

== −

−

−

−+−

e) 2

2

22

31 −

−+ n

n

nnlím = 10632

4lim131´

2lim

23

2

2

22

=== +−−

−

−

+− eee nnn

nnn

nn

f) n

n

nnlím

−+

−− 4

43

3634 = 024813

82lim13634

44lim

2

33

=== ∞−+−

−−

−

−−

−+

eee nnn

nn

nn

9. Resuelve cada uno de los siguientes límites a partir de la sucesión dada en ellos:

a) Si an = nn , halla 1−n

n

aa

lím b) Si bn = ( )nn 2+ , halla n

n

bb

lím 1+


a) 1−n

n

aa

lím = ( )

1133

lim11 23

3

=−+−

=−− nnn

nnn

nnlím

b) n

n

bb

lím 1+ = ( )( )

( ) ( ) ∞+=+=

++

+=+

+ +

ennnn

nnlím

n

n

n

·3lim233lim

23 1


13


1. Múltiplos de cinco. Demuestra que para todo número natural n, n5 – n es divisible por 5.

Utilizamos el método de inducción.

● Se comprueba para n = 1, en efecto, •

===− 50·50115 .

● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, es decir, •

=− 55 hh

Veamos si es cierto para n = h + 1, es decir, si se cumple que •

=+−+ 5)1()1( 5 hh .

Para probar que la expresión anterior es múltiplo de 5, tenemos que hacer que la expresión h5 – h aparezca en el desarrollo.

En efecto:

=−−+++++=+−+ 11510105)1()1( 23455 hhhhhhhh

( ) ( ) •••

=+=++++−=−++++= 55522·5510105 23452345 hhhhhhhhhhhh

Esto concluye la demostración por inducción y la expresión del enunciado es divisible por cinco para cualquier número natural.


14

2. Sumas de números naturales. Se define Sn = 1 + 4 + 7 + 10 +…+ (3n – 2).

a) Calcula el valor de S1, S2, S3, S4 y S5. Encuentra tres números a, b y c de manera que para n = 1, 2, 3, 4 y 5 se verifique: Sn = an2 + bn + c.

b) Demuestra que existen tres números a, b y c tales que para todos los valores de n se verifica:

Sn = an2 + bn + c.

a) Los primeros valores de las sumas son: S1 = 1, S2 = 5, S3 = 12, S4 = 22 y S5 = 35.

Para que se verifique la igualdad Sn = an2 + bn + c para los primeros valores de n, en particular se impone que lo cumplan para n = 1, n = 2 y n = 3. Esto proporciona un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

++==++==

++==

cbanparacbanpara

cbanpara

391232452

11

Resolviendo el sistema se obtiene 23

=a , 21

−=b y c = 0. Para estos valores de a, b y c se comprueba que

la igualdad nnSn 21

23 2 −= es cierta para n = 4 y n = 5:

224214

23 2

4 =−=S y 355215

23 2

5 =−=S

b) Para demostrar que la igualdad se cumple para cualquier valor de n utilizamos el método de inducción.

● Los primeros casos los hemos comprobado ya.

● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, entonces se verifica: hhSh 21

23 2 −= .

Veamos que la igualdad es cierta para n = h + 1:


15

Por definición de las sumas se tiene que Sh + 1 = Sh + [3 · (h + 1) – 2] = Sh + 3h + 1.

Al sustituir la igualdad hhSh 21

23 2 −= en la igualdad anterior Sh + 1 = Sh + [3 · (h + 1) – 2] = Sh + 3h + 1,

se obtiene:

1321

23 2

1 ++−=+ hhhSh

Operando:

( )[ ] ( ) ( )1211

23

2113·)1(

225313

21

23 2

22

1 +−+=−++

=++

=++−=+ hhhhhhhhhSh

que es la expresión correspondiente a n = h + 1. Esto concluye la demostración.

3. Potencias y múltiplos de dos. Prueba que 2n ≥ 2n siendo n cualquier número natural.

Utilizamos el método de inducción.

● Veamos que para n = 1 se cumple: 21 = 2 ≥ 2 · 1 = 2.

De igual forma se cumple para n = 2: 22 = 4 ≥ 2 · 2 = 4.

● Supongamos que la desigualdad es cierta para n = h, es decir, 2h ≥ 2h.

Veamos qué es cierta para n = h + 1:

Como 2h ≥ 2h; multiplicando por 2 la desigualdad obtenemos 2 · 2h ≥ 2 · 2h, es decir, 2h + 1 ≥ 4h.

Se tiene que 4h = 2h + 2h ≥ 2h + 2, ya que h ≥ 1: así que se cumple:


16

2h + 1 ≥ 4h ≥ 2 (h + 1), de donde, 2h + 1 ≥ 2 (h + 1).

Lo que significa que la desigualdad es cierta para n = h + 1 y, por tanto, para cualquier número n natural.

4. Igualdad con fracciones. Demuestra que para cualquier número natural n se verifica:

14321 21

22

2...

24

23

22

21

−−−=+++++ nnnnn

Utilizaremos el método de inducción.

● Veamos qué ocurre para los primeros valores de n:

Para n = 1, se tiene que: 211

212

21

212

21

21

011 =−−=−−= y

Para n = 2, obtenemos: 121

212

21

2221

21

21

22

21

1221 =−−=−−=+=+ y

Puede comprobarse con facilidad que la igualdad se verifica para n = 3 y n = 4.

● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, entonces se verifica:

14321 21

22

2...

24

23

22

21

−−−=+++++ hhhhh

Veamos que la igualdad es cierta para n = h + 1. Para ello, utilizamos la hipótesis de inducción anterior y operamos adecuadamente, obteniendo:

=+

+

−−=

++

++++ +−+ 111321 2

12

12

22

12

...23

22

21

hhhhhhhhh


17

(*)

111 21

221

22 =++−−= ++− hhhh

hh (**)

1111 22

21

21

222

222 =−+++−− ++++ hhhhhh

hh

hhhhhhhh

hhh21

212

21

22

22

21

2222 1

*)*(*

1111

(**)−

+−=+−−++−= +++++

Esto demuestra que la igualdad es cierta para cualquier valor de n.

Notas:

1. En (*)= hemos introducido las fracciones

122

21

21

21

+−+=−+ hhhh.

2. En (**)= hemos agrupado las fracciones con el mismo denominador.

3. En *)*(*= hemos operado las fracciones con el mismo denominador.


1. Encuentra los 5 primeros términos de las sucesiones ( ) nna 3·2= y ( ) 532 −−= nnbn .

Halla en cada una de ellas la suma de los diez primeros términos y la expresión de la suma de los k primeros términos.

Los 5 primeros términos de la sucesión ( ) nna 3·2= son 6, 18, 54, 162 y 486.

La suma de los 10 primeros términos de esta sucesión es 177 144. La suma de los k primeros términos de la sucesión an es 3k + 1 – 3.


18

Los 5 primeros términos de la sucesión ( ) 532 −−= nnbn son – 7, - 7, - 5, - 1, 5.

La suma de los 10 primeros términos de esta sucesión es 170. La suma de los k primeros términos de la sucesión bn es kkk

319

31 23 −− .

Todos los resultados anteriores pueden verse en las imágenes que siguen.

En ellas se han introducido las dos sucesiones y se han calculado, como se explica en el libro de texto, los diferentes términos y sumas del enunciado.


19

2. Dadas las sucesiones n

nan32 −

= y 2

3+

=n

nbn, encuentra la expresión de las sucesiones:

a) (an + bn) b) (an - bn) c) (an · bn) d) (an : bn) e) bn : an

Introducimos las sucesiones y conservamos la entrada.

En cada casilla realizamos una operación, tal y como aparece en la imagen.

Los resultados de las operaciones son:

a) nn

nnn

nn

nba nn 265

2332

2

2

+−+

=+

+−

=+

b) nn

nnn

nn

nba nn 26

2332

2

2

+−+−

=+

−−

=−

c) 296

23·32·

+−

=+

−=

nn

nn

nnba nn

d) 2

2

362

23

32

nnn

nnn

n

ba

n

n −+=

+

−

=

e) 62

3322

3

2

2

−+=

−+

=nn

n

nn

nn

ab

n

n


20

3. Halla los límites de las sucesiones:

a) 26

472

2

−+−

=nnnan

b) ( )[ ]15·3 +−++= nnnbn c) 4

12

5434

−

+−

=

n

n nnc

Para calcular los límites utilizamos el comando Límite(<Expresión>, <Variable>, <Valor>), tecleando Límite(a(n), n, ∞).

Los límites de las sucesiones son:

a) 426

472

2

−=−+

−∞+→ nn

nlímn

b) ( )[ ] 215·3 =+−++∞+→

nnnlímn

c) 14

12

5434 −

−

∞+→=

+− e

nnlím

n

n

ACTIVIDADES FINALES de la página 221

1. Continúa las siguientes sucesiones:

a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1… d) ...2526,

1617,

910,

45,2 g) 3, 6, 12, 24, 48…

b) 2, 7, 12, 17… e) 0, 7, 26, 63, 124… h) 0,8; 0,88; 0,888…

c) 4, 8, 16, 32, 64… f) 1, 2, 3, 5, 8, 13… i) 1, 3, 7, 13, 21…

Las sucesiones son:

a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4…


21

b) 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, … , 5n – 3.

c) 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … , 2n + 1

d) 2

2 1...,,6465,

4950,

3637,

2526,

1617,

910,

45,2

nn +

e) 0, 7, 26, 63, 124, 215, 342, 511, … , (n3 – 1).

f) 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34…

g) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 3 · 2n - 1

h) 0,8; 0,88; 0,888, 0,8888, 0,88888, …

i) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, …, (n2 + n + 1).

2. Halla los seis primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes:

a) an = 2n2 – n – 1 e) nne31

=

b) nnbn 21

21+−

= f) nnnf

24+

=

c) cn = (- 2)n g) gn = n3 + 1

d) dn = 2 · 3n h) nnh21...

41

21

+++=

Los términos de las sucesiones son:

a) 0, 5, 14, 27, 44 y 65. e) 72911

2431,

811,

271,

91,

31 y


22

b) 1311

119,

97,

75,

53,

31 −−−−−− y f)

6410

329,

168,

87,

46,

25 y

c) – 2, 4, - 8, 16, - 32 y 64 g) 2, 9, 28, 65, 126 y 217

d) 6, 18, 54, 162, 486 y 1458 h) 6463

3231,

1615,

87,

43,

21 y

3. Escribe los seis primeros términos de las siguientes sucesiones dadas por las leyes de recurrencia:

a) a1 = 2; an + 1 = an – n

b) 2

;3;2 1221

nnn

bbbbb

+=== +

+

Los términos de las sucesiones son:

a) 2, 1, - 1, - 4, - 8 y - 13

b) 1643

821,

411,

25,3,2 y

4. Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

a) ...1811,

138,

85,

32

c) ...827,

69,

43,

21

b) 2, 5, 10, 17, 26... d) 0,2; 0,02; 0,002;…

Los términos generales son:

a)2513

−−

=nnan b) 12 += nbn c)

nc

n

n 23 1−

= d) nnnd −== 10·2

102


23

5. Los números hexagonales se construyen, como muestra la figura, uniendo números cuadrados y triangulares. Halla los diez primeros términos y el término general.

Los diez primeros términos son: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190…

Observamos que estos términos, por como los hemos hallado, son:

(1 + 2 · 0), (4 + 2 · 1), (9 + 2 · 3), (16 + 2 · 6), (25 + 2 · 10)…

La sucesión 0, 1, 3, 6, 10… es una sucesión aritmética de segundo orden y su término general es:

an = x · n2 + y· n + z

Hallamos x, y, z dando valores a n y resolviendo el siguiente sistema:

=++=⇒==++=⇒=

=++=⇒=

33931242

01

3

2

1

zyxanParazyxanPara

zyxanPara

De este sistema obtenemos los resultados: 0;21;

21

=−

== zyx

De modo que el término general de la sucesión 0, 1, 3, 6, 10, … es nn21

21 2 −

Y el término general de la sucesión (1+2· 0), (4+2·1), (9 + 2·3), (16 + 2·6), (25 + 2·10), …

Es: nnnnn −=

−+ 222 2

21

21·2


24

6. Escribe, en cada caso, una sucesión:

a) (an) acotada superiormente por 2.

b) (bn) acotada inferiormente por - 1.

c) (cn) acotada superiormente y creciente

d) (dn) acotada y no monótona.

e) (en) monótona decreciente.

f) (fn) monótona decreciente y no acotada.

Las sucesiones son:

a) (an) = (2, 1, 0, - 1, … , 3 – n)

b) (bn) = (- 1, 0, 1, 2, …, n – 2)

c) (cn) =

++112,...,

59,

47,

35,

23

nn

d) (dn) = (2, - 2, 2, - 2, … , (-1)n + 1 · 2)

e) (en) = (- 1, - 2, - 2, - 3, - 4, - 4…)

f) (fn) = (- 1, - 3, - 5, - 7, … , - 2n + 1)


25

7. Estudia la acotación de las siguientes sucesiones:

a)

+

=1

3)(n

an

b)

−−−−

= ...89,

67,

45,

23)( nb

c)

−+

=122)(

nncn

La acotación de las sucesiones queda:

a) (an) acotada superiormente por 23 e inferiormente por 0.

b) (bn) acotada superiormente por – 1 e inferiormente por 23

− .

c) (cn) acotada superiormente por 3 e inferiormente por 21 .

8. Prueba la acotación de las siguientes sucesiones:

a)

+

=1

2)(n

nan b)

−

=n

nbn 32)( c)

−=

ncn

3)(

a) (an) está acotada entre 1 y 2: .21

21 ≤+

≤n

n

Demostración:


26

ciertonnnn

n≤⇔≤+⇔

+≤ 121

121

ciertonnn

n 2022221

2≤⇔+≤⇔≤

+

b) (bn) está acotada entre - 31 y

31 : .

31

32

31

≤−

≤−

nn

Demostración:

ciertonnn

n⇔≤⇔−≤−⇔

−≤− 60363

32

31

ciertonnnnnn

n 1666633631

32

≥⇔≥⇔−≤−⇔≤−⇔≤−

c) (cn) está acotada entre – 3 y 0: .033 ≤−≤−n

Demostración:

ciertonnnn

1333333 ≥⇔≥⇔−≤−⇔−≤−

.03,0,03≤−>≤−

nentoncesncomo

n


9. Estudia el tipo de monotonía de las sucesiones:

a)

−=

2)( nan d)

+

=1

2)(n

d n

b) (bn) = (2; 2,1; 2,1 ; 2,11; 2,2; 2,2; 2,22…) e) ( )2)( 2 −= nen

c) (cn) = (+ 1; + 1,2; + 1,22; + 1,222…) f) (fn) = (- 1, - 1, - 1…)

Las sucesiones son:


27

a)

−−−−=

−= ...,

24,

23,1,

21

2)( nan . Estrictamente decreciente.

b) (bn) = (2; 2,1; 2,1 ; 2,11; 2,2; 2,2; 2,22…). Creciente.

c) (cn) = (+ 1; + 1,2; + 1,22; + 1,222…). Estrictamente creciente.

d)

=

+

= ...,62,

52,

42,

32,1

12)(

ndn . Estrictamente decreciente.

e) ( )2)( 2 −= nen = (-1, 2, 7, …). Estrictamente creciente.

f) (fn) = (- 1, - 1, - 1…). No es monótona, es constante.

10. Las siguientes sucesiones son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes. Pruébalo:

a)

−

=4

31)( nan b)

+=

1)( 2

2

nnbn c) ( )[ ]21)( nc n

n +−=

Las soluciones son:

a)

−

=4

31)( nan . Estrictamente decreciente.

Vamos a probar que an > an + 1:

30331314

)1(314

31−>⇔−−>−⇔

+−>

− nnnn

Con lo que, como esta desigualdad es siempre cierta, queda probado que an > an + 1.


28

b)

+=

1)( 2

2

nnbn . Estrictamente creciente.

Vamos a probar que bn < bn + 1:

( )

( )0

)22(·)1(120

111

11)1()1(

1 222

2

2

2

2

2

2

2

<+++

−−⇔<

+++

−+

⇔++

+<

+ nnnn

nn

nn

nn

nn

La última desigualdad es siempre cierta.

c) ( )[ ]21)( nc nn +−= . Estrictamente creciente.

Vamos a probar que cn < cn + 1:

nnnnnn nnnn 2012)1(·)1()1()1()1()1( 22212 <⇔+++−−<+−⇔++−<+− +

Esta desigualdad es siempre cierta, puesto que n ≥ 1.

11. Dadas las sucesiones

−

=n

nan23)( y

+

=3

2)(n

nbn , determina las sucesiones:

a) (an) + (bn) c) )(·21

na e) ( )( )n

n

ba g)

( )( )n

n

aa 1+

b) (bn) - (an) d) (an) · (bn) f) ( )( )n

n

ab

h) ( )( )11 −+ nn ab

Las sucesiones buscadas son:

a) (an) + (bn) =

+

−+=

+

+−

nnnn

nn

nn

3675

3223

2

2

e) ( )( )n

n

ba

=

−+=

+

−

2

2

2673

32

23

nnn

nn

nn


29

b) (bn) - (an) =

+

+−−=

−−

+ nnnn

nn

nn

36723

32

2

2

f) ( )( )n

n

ab

=

−+

=

−+

6732

233

2

2

2

nnn

nnn

n

c) )(·21

na =

−

=

−

nn

nn

22323·

21 g)

( )( ) =+

n

n

aa 1

−+

+=

−++

233

23113

2

2

nnnn

nnnn

d) (an) · (bn) =

+−

=

+

−nnnn

nn

nn

346

32·23

2

2

h) (bn + 1) · (an- 1) =

−+−−

=

−−

++

431046

153·

422

2

2

nnnn

nn

nn

12. Dadas las sucesiones convergentes

+−

=nnan 41

44)( ,

−

=1

2)( 2

2

nnbn y ( )4)( −=nc , calcula

los siguientes límites:

a) lim (an – bn) b) lim (an · bn ) c) lim

n

n

ca

d) lim ( )nn ca ·

Los límites de las sucesiones convergentes dadas son:


30

14144lim −=

+−

nn

; 21

2lim 2

2

=

−n

n; ( ) 44lim −=−

Por tanto los límites pedidos son:

a) lim (an – bn) = -1 – 2 = -3 c) lim 41

=

n

n

ca

b) lim (an · bn ) = -1 · 2 = -2 d) lim ( ) ( )( ) 24·1· =−−=nn ca

13. ¿A partir de qué término todos los demás términos de la sucesión

+

=n

nan52)( son menores

que 3?

Resolvemos la inecuación 352<

+n

n y obtenemos que es cierta a partir del 5º término de la sucesión.

14. Halla el valor de n para el cual se verifica que an = an+2 siendo an = 8n – 3 – n2.

Resolvemos la igualdad: 8n – 3 – n2 = 8(n + 2) – 3 – (n + 2)2

Obtenemos n = 3. Por tanto, la igualdad es cierta para el 3º término.

15. Calcula los siguientes límites, teniendo en cuanta las propiedades que aparecen en el epígrafe 9.

a) lím (3n – 2) g)

+− 2·

23 n

nlím m) nlím 32−

b)

++

−12764 2

nnnlím h)

+ 2

17n

lím n) n

nnlím

−

++

231

c)

−

nlím 7 i)

−

+)(·

24 n

nlím o)

422

31

+

nnlím


31

d)

++

nnlím 724 j)

123

22 +

n

n

nlím p)

351

2

3 2

2

72 +

−

++ n

n

nnlím

e) lím (- n3 – n) k) ( ) nn

nlím12

52+−

− q) 2)2(

2

2

++

nnlím

f)

− 83nlím l)

n

lím2

21

r)

nnn

nnlím

+

+

+

3

3 54

2 61

Los límites son:

a) lím (3n – 2) = ∞+

b)

++

−12764 2

nnnlím = ∞+

c)

−

nlím 7 = 0

d)

++

nnlím 724 = ∞+

e) lím (- n3 – n) = ∞−

f)

− 83nlím = ∞+

g) [ ] ∞−=

+−

=∞+

+−

23·0·

23 2

2

nnlímn

nlím

h)

+ 2

17n

lím = 7


32

i) [ ] 42

4·0)(·2

4−=

+

−=∞+

−

+ nnlímn

nlím

j) 12

3

22 +

n

n

nlím = 0

k) ( ) nn

nlím12

52+−

− = 0

l) n

lím2

21

= 0

m) nlím 32− = 0

n) n

nnlím

−

++

231 = ∞+

o) 42

2

31

+

nnlím = ∞+

p) 3

51

2

3 2

2

72 +

−

++ n

n

nnlím = 0

q) 2)2(

2

2

++

nnlím = 1

r) nn

n

nnlím

+

+

+

3

3 54

2 61 = 0


33


16. Calcula los siguientes límites:

a) 56

433

2

+−

nnnlím h)

+−+ )23(79 2 nnlím o)

+++

2

...21n

nlím

b) 26

472

2

−+−

nnnlím i)

32521

−−+ nnlím p)

nnn

nnlím

25

2

2 2

3

852 +

+

++

c) 152365

2

45

++−+

nnnnlím j)

24745

5

++−nn

nnlím q)

+++ 222

2...42n

nnn

lím

d)

−+ nnnlím 234 2 k)

nn

nnnlím

52

3

232

332

+

−

+− r)

nn

nnlím

−+

+ 121

e)

+−

−1

22

3

2

3

nn

nnlím l)

3

3

27

2

2

564 n

n

nnlím

+

+− s) n

n

lím2

2...8421 +++++

f) ( ) ( )[ ]32 22 −−+ nnlím m)

−−+ nnnnlím t)

( )222...8642

−+++++

nnlím

g) ( )( )

−

−+ 1

11· 2

2

nnnlím n) ( )[ ]21·1 222 −−−+ nnnlím u)

2

2

22

2323 −

+− n

n

nnlím

Los límites son:

a) 056

433

2

=

∞∞

+−

nnnlím

b) 426

472

2

−=

∞∞

−+−

nnnlím


34

c) ∞+=

∞∞

++−+

152365

2

45

nnnnlím

d) [ ]43

234

4342342

222 =

∞∞

++

−+=∞−∞

−+

nnn

nnnlímnnnlím

e)

+−

−1

22

3

2

3

nn

nnlím [ ] ( )

022)1(·

·)1(224

23

22

2323

=+

−−=

∞∞

+−+−

=∞−∞nn

nnlímnn

nnnnlím

f) ( ) ( )[ ] [ ] ∞−=+−+−=∞−∞−−+ )1287(22 2332 nnnlímnnlím

g) ( )( )

−

−+ 1

11· 2

2

nnnlím ( )[ ] ( ) 4

124lim

)1(1)1(

2

2

2

22

=

∞∞

+−=

−−−+

=∞−∞∞nn

nn

nnnlím

h) [ ] 2612

)23(79

312)23(792

2 −=−

=

∞∞

+++

+−=∞−∞

+−+

nn

nlímnnlím


35

i) [ ] ∞+=−++

=∞−∞−−+ 8

3252

32521 nn

límnn

lím

j) 21

41

24745

5

==

∞∞

++−nn

nnlím

k) 4330241

332·5252

3

234

24

3

2322

332 −−

++−

−

−

+−++

===

−

+− eeen

nnlím nnnnlím

nnn

nnlímn

n

l) 245

64 2127

2

2 3

3

==

+− + n

n

nnlím

m) [ ] 12=

∞∞

−++=∞−∞

−−+

nnnn

nlímnnnnlím

n) ( )[ ] ( ) [ ] =∞−∞−−−−=−−−+ 2121·1 244222 nnnlímnnnlím

21

211

244

2

=

∞∞

−−+−

+=

nnnnlím

o) 21

22...21

2

2

2

2

2 =

∞∞+

=

+

=

+++

nnnlím

n

nn

límn

nlím

p) ∞+==

++ ∞+

+

+

2852 2

5

2

2 2

3

nnn

nnlím


36

q) 12...422...422

2

2222 =

∞∞+

=

+++

=

+++

nnnlím

nnlím

nn

nnlím

r) 11 011·)12(12

===

+

−

+−+−+

een

nlím nnnnlímnn

s) n

n

lím2

2...8421 +++++ =

( )2

212lim

212

12·11

1

=−

=−−

+

+

n

n

n

n

lím

t) ( )22

2...8642−

+++++n

nlím =

( )1

44lim

442

1·2

2

2

2 =+−

+=

+−

+

nnnn

nn

nn

lím

u) 2

2

22

2323 −

+− n

n

nnlím = 104263

4lim12323·

2 23

2

2

22

=== −+−

−

−

+

−− eee nnn

nnn

nnlím


37

17. El primer día de perforación de un túnel, la empresa constructora avanza 3 m. Sabiendo que el túnel medirá 6 kilómetros y que cada día se avanza un 5% más que el día anterior, ¿cuánto tiempo tardará la empresa en finalizar la perforación del túnel?

Los metros de perforación del túnel siguen una progresión geométrica de razón 1,05 ya que los primeros días se perfora:

a1 = 3 m, a2 = 3 · 1,05 m, a3 = 3 · 1,052 m, a4 = 3 · 1,053 m…

Teniendo en cuenta la suma de n términos de una progresión geométrica, 1

· 11

−−

=r

araSn

, obtenemos:

⇒=⇒=⇒−

−= ++

+

10105,130305,1·3105,1

305,1·36000 111

nnn

díasn 9559,9405,1log

101log1 ≈==+ . Es decir se tardarán 96 días.

18. Calcula los siguientes límites:

a) 235

2

22

23543 +

−

++− n

n

nnnlím

b)

−+

nn

nn

lím2323

c)

−−

−+

nnn

nnlím

254

22

2

d)

= +

n

nn

n aa

límnnaSí 1;

!

Los límites son:

a) [ ] 9423

5

2

2

123

5432

−∞+−

=

++− e

nnnlím

nn


38

b) 11

23

123

2323

=

∞∞

−

+

=

∞∞

−+

n

n

nn

nn

límlím

c) [ ] ( )( ) 0

2·5

254·2

254

22

2

2

2

=

∞∞

++−

+−=∞−∞

−−

−+

nnn

nnnlím

nnn

nnlím

d) ( ) en

nlímnnnnnlím

nnnnlím

nn

nnlím

aa

límn

n

n

n

nnn

n

n =

+

=++

=+

+=

++

=

++++ 1

·!·)1(!·)1(

!)1(·!·)1(

!:

!)1(1 111

1

19. Uniendo los puntos medios del cuadrado inicial de la figura, de 1 m de lado, se forma otro cuadrado; uniendo los puntos medios de los lados de este se forma otro cuadrado más, y así sucesivamente. Determina la sucesión de los perímetros de los infinitos cuadrados y la de las áreas.

Las sucesiones asociadas a los cuadrados son:

Lados

1

21

21

221

41

…

1

21

−

n

Perímetros

4 24

2 22

1

…

1

214

−

n

Áreas

1 21

41

81

161

…

1

21 −

n


39

20. En un libro de arte moderno se muestra un cuadro compuesto por figuras geométricas. Está formado por una sucesión de esferas y cilindros encajados. La primera figura es una esfera de radio 10 m y, a partir de ella, se han ido encajando, alternativamente, cilindros y esferas hacia dentro. Halla:

a) La sucesión de los radios de las esferas y del volumen de las mismas.

b) La scesión de los radios de los cilindros y del volumen de los mismos.

Las respuestas a estos apartados son:

a) El primer cilindro ha de tener la altura de longitud doble que el radio de la base. La segunda esfera tendrá por radio el radio de al base del cilindro en el que se encaja.

Primer cilindro: .2

1010 122

12

1 mrrr =⇒=+

Segundo cilindro: .52

102

22

22

2 mrrr =⇒

=+

Tercer cilindro: .2

55 322

32

3 mrrr =⇒=+

La sucesión de los radios de los cilindros es: ( )

= ...

225,

25,

25,5,

210

cr .

b) La sucesión del radio de las esferas es: ( )

= ...

225,

25,

25,5,

210,10eR .


40

La sucesión de los volúmenes de las esferas es: ( )

= ,...

23250,

3500,

232000,

34000 ππππ

eV , es una sucesión

geométrica de razón .22

1

La sucesión de los volúmenes de los cilindros es: ( )

= ,...

41250,

2125,250,

21000 ππππ

cV , es una sucesión

geométrica de razón .42


21. Calcula le valor de a, para que se cumpla:

a) ( ) ( )21·· 2

12212 =

−−+ nannanlím b) 1

·

2

2

1−=

++ e

nnnlím

na

Operando, obtenemos, en cada caso:

a) El valor del límite es:

( ) ( ) [ ] aannann

anlímnannanlím =

∞∞

−++=∞−∞

−−+

222

12212 2··

Por tanto, con a ≠ 0 obtenemos 21

=a .

b) El valor del límite es: [ ] ana

en

nnlím =

++ ∞1

1

·

2

2

.

Tenemos que si con a ≠ 0 obtenemos a = - 1.


41

22. En un almacén de frutas se disponen las manzanas formando una pirámide de base un triángulo equilátero. Así una pirámide de tres pisos está formada por 6 manzanas en la base y en total por 10 manzanas. ¿Cuántas manzanas se necesitarán para formar una pirámide de 20 pisos?

El número de manzanas de las bases, según el número de pisos, sigue una sucesión de términos: 1, 3, 6, 10, 15, 21…

En total, según el número de pisos, la pirámide tendrá: 1, 4, 10, 20, 35…

Esta es una sucesión aritmética de tercer orden y su término general es: an = x · n3 + y· n2 + z · n + t

Hallamos x, y ,z, t dando valores a n y resolviendo el siguiente sistema:

=+++=⇒==+++=⇒==+++=⇒=

=+++=⇒=

204166441039273

4248211

4

3

2

1

tzyxanParatzyxanPara

tzyxanParatzyxanPara

De este sistema obtenemos los resultados: 0;31;

21;

61

==== tzyx

De modo que el término general de la sucesión 1, 4, 10, 15,20, … es nnn31

21

61 23 ++

Por tanto una pirámide de 20 pisos tendrá un total de: manzanas214020·3120

2120

61 23 =++

23. Calcula el límite de la sucesión: ,...2,2,2

La sucesión dada la podemos escribir: n21

161

81

41

21

2...,,2,2,2,2

El límite de esta sucesión es: lim 12 21

=n


42

24. En un cuadrado de 10 m de lado se inscribe un círculo, en este otro cuadrado y en este otro círculo, y así sucesivamente.

a) Encuentra la sucesión que da los radios de los infinitos círculos.

b) Halla la suma de las áreas de los infinitos cuadrados.

Las sucesiones asociadas a los cuadrados son:

Radios círculos

5 225

25

4

25 4

5

…

1

225

−

n

Lados cuadrados

10 25 5

225

25

…

1

2210

−

n

Áreas cuadrados

100

50

25

25/2

25/4

…

La suma de las áreas de los infinitos cuadrados es una sucesión geométrica de razón 1/2 y vale:

S = 21 200

211

1001

mr

a=

−=

−

25. Una laguna contiene sedimentos uniformemente distribuidos que reducen la transmisión de la luz a través del agua. La luminosidad se reduce en un 20% cada vez que se avanza 1 metro hacia la profundidad de la laguna. Es decir, cualquiera que sea el nivel de profundidad en el que se encuentre un buzo, al descender un metro pierde el 20% de la luminosidad que tenía.

Un buzo va a sumergirse en dicha laguna. Si consideramos la intensidad de la luz (medida en unidades lumínicas) como de 100 unidades en la superficie:

a) Realiza una tabla que indique la luminosidad para cada uno de los primeros 10 metros.

b) ¿Se podrá calcular qué intensidad de luz tendrá el buzo al bajar 0,5 metros?


43

c) Nuestro buzo tiene instrumentos de medición que pueden detectar luz hasta una intensidad de 0,2 unidades lumínicas. Teniendo en cuenta este dato, ¿podrá detectar luz si baja 20 m?

d) ¿Hasta qué profundidad podrá descender con su instrumento y aún detectar cierta luminosidad?

La respuesta a las cuestiones es:

a) Para realizar la tabla pedida, en Vista hacemos aparecer Hoja de Cálculo.

Escribimos en ella lo que aparece en la tabla adjunta.

Aparecen los valores 1 y 80, respectivamente.

Seleccionamos cada una de estas dos celdas y desde el vértice inferior derecho, y con el botón derecho de ratón presionado, arrastramos hacia abajo hasta el valor que deseemos.

A B

1 Profundidad Luminosidad

2 0 100

3 =A2+1 (Enter) =B2-(20/100)*B2 (Enter)


44

En la tabla que sigue aparecen los diez primeros valores.

Una vez realizada la tabla, seleccionamos ambas columnas y con el botón derecho del ratón desplegamos el menú y elegimos Crea lista de puntos.

Aparecen los puntos dibujados en la Vista Gráfica (será necesario ajustar los ejes para poder ver los puntos).

También podemos ver en la Ventana algebraica la lista de dichos puntos.

Podemos encontrar la curva que se ajuste a los puntos dibujados y su ecuación, tecleando en la Ventana de entrada:

Si[x>0,AjusteExp[lista1]]


45

Obtenemos la función de expresión:

f (x) = 100 · e- 0,22x

La curva puede verse en el dibujo de abajo.

b) La intensidad de luz que tiene el buzo al bajar 0,5 metros será: 100 · (0,80)0,50 = 89,44.

También la podemos calcular con la función anterior, es decir, f (0,50) = 100 · e(- 0,22 · 0,50) = 89,58.

c) Si baja a 20 metros la luz que detectará será: 100 · (0,80)20 = 1,15

También, f (20) = 100 · e(- 0,22 · 20) = 1,22


46

Gráficamente podemos hallarlo cortando la curva con la recta x = 20 y determinando el punto de corte que es P (20; 1,15).

d) Para determinar la profundidad a la que puede bajar y aún detectar cierta luminosidad la podemos calcular de la forma que sigue:

85,2780,0ln002,0ln002,0ln80,0ln·002,0

1002,0)80,0(2,0)80,0(·100 ==⇒=⇒==⇒= xxxx

25,2822,0002,0ln002,0lnln·22,0002,0

1002,02,0·100 22,022,0 =

−=⇒=−⇒==⇒= −− xexee xx

Gráficamente podemos hallarlo cortando la curva con la recta y = 0,2 y determinando el punto de corte que es Q (27,85; 0,2).


47

26. La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética (an) viene dada por Sn = 4n2 - 2n. Halla los primeros términos de la sucesión y el término que ocupa el lugar 23. ¿A partir de que término de la sucesión todos los siguientes términos son mayores de 418?

A partir de la expresión de la suma obtenemos:

S1= 2 = a1

S2= 12 = a1 + a2; por tanto a2 = 10

S3= 30 = a1 + a2 + a3; por tanto a3 = 18

Así sucesivamente obtenemos los primeros términos de la sucesión: 2, 10, 18, 26, 34, …

El término que ocupa el lugar 23 es: a23 = 2 + (23 – 1) · 8 = 178

El término general de la sucesión es: an = 8n – 6

Hemos de resolver la inecuación: 8n – 6 > 418; n > 53

A partir del término que ocupa el lugar 53 todos los términos son mayores de 418.

27. La figura muestra un típico castillo de naipes de cuatro pisos. En este castillo hay 26 naipes. Determina:

a) La sucesión que muestra el número de naipes en cada piso.

b) ¿Cuántos naipes habrá en una torre de 50 pisos?

c) Un grupo de amigos han construido un castillo con 21 660 naipes para participar en un concurso en su ciudad. ¿Cuántos pisos tiene este gran castillo?


48

a) La sucesión que da el número de naipes de cada piso es: 2, 5, 8, 11, 14,…

b) Una torre de 50 pisos tendrá: ( )[ ] 377550·2

3·1502250·2

50150 =

−++=

+=

aaS naipes

c) ( )[ ] 120·2

3·12221660·2

21660 1 =⇒−++

=⇒+

= nnnnaa n pisos tendrá la torre construida con 21

660 naipes.

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN Página 225 La curva copo de nieve

El copo de nieve de Koch o estrella de Koch es una curva cerrada y continua formada a partir de un triángulo equilátero de lado a. Su nombre se debe al matemático suizo Helge von Koch que la descubrió en 1904. Hoy día diríamos que es una curva fractal, cuya construcción se debe a un proceso iterativo que se inicia dividiendo cada lado del triángulo equilátero en tres partes y levantando nuevos triángulos como muestra la figura:

Explica cómo se ha formado e investiga sobre la sucesión de los perímetros ¿qué propiedad tienen?y sobre las áreas.

Haz lo mismo con la curva anticopo de nieve.


49

Explicamos la formación del copo de nieve: Dibujamos un triángulo equilátero, dividimos cada lado en tres

partes y sobre la parte central, dibujamos otro triángulo equilátero, en el siguiente paso sobre cada uno de

los 6 triángulos equiláteros repetimos el proceso e iterando obtenemos esta curva.

Consideramos que el triángulo equilátero inicial tiene de lado a unidades.

NÚMERO DE

CURVA

PERÍMETRO

ÁREA

1 3a

43·2a

2 12a/3

43·2a

+336

3·2a

3 48a/9

43·2a

+336

3·2a+12

4·813·2a

4 192a/27

43·2a

+336

3·2a+12

4·813·2a

+484

3·2a+3

363·2a

+124·7293·2a

enésima an

n

2

1

34

−

−

4

3·2a

+

−1

94

311

n


50

Como vemos en la tabla la sucesión de los perímetros es una sucesión geométrica de razón 4/3. Por lo que su

longitud es infinita pues ∞+=−

−

∞+→alím n

n

n 2

1

34 .

La sucesión de las áreas es una sucesión geométrica de razón 4/9. Su superficie es finita pues:

∞+→nlím

43·2a

+

−1

94

311

n

= 4

3·2a

La propiedad que tienen estas curvas es que siendo su longitud infinita encierran una superficie finita.

La curva “Anticopo de nieve” es la que vemos en el dibujo:

Es la configuración opuesta al copo de nieve. Se forma del mismo modo pero metiendo los triángulos hacia

adentro.

Se obtienen los mismos resultados que en la anterior y tienen la misma propiedad.

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