2_2_metodos Mejorados - ado y T-f - Octubre 2010

Curso básico de Procesamiento Digital de Señales.

Herramienta de simulación: MatLab

“Quien no se resuelve a cultivar el hábito de pensar, se pierde el mayor placer de la vida”

Thomas A. Edison

Ing. Robin Alvarez Rueda, MSc, PhD

E-Mail: [email protected] / [email protected]

1. La TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO (TFTD) La SERIE DE FOURIER DISCRETA LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

2. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN ESPECTRAL:

2.1 EL PERIODOGRAMA (MÓDULO DE LA FFT)

2.2 MÉTODOS MEJORADOS: REDUCCIÓN DE FUGA ESPECTRAL 2.2.1 EL PERIODOGRAMA MEJORADO: TEORÍA DE VENTANAS

EL PROBLEMA DE RESOLUCIÓN EN FRECUENCIA EL PROBLEMA DE DETECCIÓN

2.2 .2 MÉTODOS MEJORADOS DE PROMEDIADO PARA REDUCIR EL EFECTO

DEL RUIDO: MÉTODOS DE BARTLETT Y WELCH

• 3. MÉTODOS TIEMPO – FRECUENCIA 3.1 EL ESPECTROGRAMA

TÓPICOS A TRATAR (CONTINUACIÓN …)

YA

YA

2.2: MÉTODOS MEJORADOS: REDUCCIÓN DE FUGA ESPECTRAL 2.2.1 EL PERIODOGRAMA MEJORADO: TEORÍA DE VENTANAS

EL PROBLEMA DE RESOLUCIÓN EN FRECUENCIAEL PROBLEMA DE DETECCIÓN

2.2.1 EL PERIODOGRAMA MEJORADO: TEORÍA DE VENTANAS

TRANSFORMADA DE FOURIER: LÍMITES FINITOS

VEMOS QUE EN LAS FÓRMULAS TENEMOS UN NÚMERO DE DATOS FINITO.

¿ QUÉ CONSECUENCIAS TRAE ESTO?

FOURIER Y EL PROBLEMA DE TENER DATOS FINITOS

(EFECTOS DEL ENVENTANADO)

La DTF requiere un conjunto de datos finito, entonces lo que ocurre es que nosotros simplemente tomamos una parte de los datos de la siguiente manera:

Lo cual equivale a haber realizado una multiplicación de la señal con una señal rectangular que seleccione solamente la porción a analizar, es decir, realizar un enventanado con una ventana rectangular:

¿ Qué efectos traerá el enventanado ?

Ya que cualquier señal se puede expresar como una suma de senos y cosenos ( serie de Fourier ), entonces si analizamos lo que le pasa a un tono, por SUPERPOSICIÓN ya sabríamos cómo actúa la ventana sobre la señal completa.

POR SEPARADO: TONO (SENO) Y VENTANA CUADRADA

TONO:

VENTANA:

AHORA DE LA SEÑAL * VENTANA:

TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA SEÑAL ENVENTANADA

CONCLUSIÓN:

CONCLUSIÓN IMPORTANTE:

Todo dependerá del tipo de ventana que se utilice !!

RESUMEN DE ALGUNAS VENTANAS QUE TIENEN MENOR FUGA ESPECTRAL:

FUNCIONES DE MATLAB PARA VENTANAS (VERSIÓN ANTERIOR)

VENTANAS EN MATLAB 2008 a:

COMO VEMOS, MATLAB TIENE FUNCIONES DIRECTAS PARA EL MANEJO DE VENTANAS PERO NOSOTROS IMPLEMENTAREMOS NUESTRAS PROPIAS VENTANAS Y COMPARAREMOS LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON LAS FUNCIONES DIRECTAS

ANÁLISIS EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA DE CADA UNO DE LOS TIPOS DE VENTANAS

NO HACER:

ENCONTRAR, SIN EMPLEAR HERRAMIENTAS DIRECTAS DE MATLAB, LA DIFERENCIA ENTRE MÁXIMOS PRIMARIO Y

SECUNDARIO Y EL CORTE DEL LÓBULO PRIMARIO PARA VER SU ANCHO

VENTANA RECTANGULAREn el dominio del tiempo:

La transformada de Fourier de la ventana rectangular es:

1

0

2/1

2/

2/)(

L

n

Ljwjwnjw

wsen

wLseneeeWwW

CONCLUSIÓN:Tenemos un LÓBULO PRINCIPAL Y VARIOS LÓBULOS SECUNDARIOS que van en decremento conforme nos alejamos del origen

PARA EL LÓBULO PRINCIPAL:

CONSECUENCIAS DEL EMPLEO DE VENTANA RECTANGULAR:

FUGA ESPECTRAL (SPECTRAL LEAKAGE): Consiste en que cuando realicemos la medición, no solo encontraremos el valor debido al tono real sino además registraremos FALSAS MEDIDAS debidas a la forma espectral de la ventana ( de la DTFT ).

PROBLEMA DE RESOLUCIÓN: Cualquier otro tono que esté dentro del ancho que ocupa el Lóbulo Principal, no será detectado y se creerá erróneamente que solo hay un único tono.

La ventana rectangular es la que tiene menor ancho del lóbulo principal pero también es la que tiene los lóbulos secundarios más grandes.

IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana rectangular

%VENTANA RECTANGULAR%Programa que permite generar una ventana rectangular % para las aplicaciones de enventanado.function [w]=winrect(n)r=1; % amplitud de los pulsosk=1:1:(n); % vector a ser llenado%funcion que genera la ventanaw1(k)=r; % llenado del vector con pulso de amplitud rw=w1';

Ventana Generada de longitud L=25

VISUALIZACIÓN EN EL DOMINIO DE LAFRECUENDCIA EMPLEANDO WVTOOL:

Graficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:Funcion: wvtool(winrect(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 13.21836

Función Directa de Matlab: rectwinGraficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:

Funcion: wvtool(rectwin(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 13.21836

OTRA HERRAMIENTA DE ANÁLISIS DE VENTANAS: WINTOOL

DEFINIDA POR EL USUARIO

EJEMPLOUtilizar la función desarrollada con una longitud de 100 para enventanar la siguiente función:

y = sin(2*pi*t*3)+0.35*rand*sin(2*pi*t*40)

%Ejemplo Usando la funcion winrectclose all; clear all;

% ventana rectangular implemetada de 100 puntosw =winrect(100); %Ventana Rectangular mostrada en forma continua subplot(2,2,1) plot(w) title('Winrect en forma continua') %Ventana Rectangular mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winrect en forma discreta')

% Señal original:Fs = 100;t = 0:1/Fs:1; % 1x101y = sin(2*pi*t*3)+0.35*rand*sin(2*pi*t*40); %1x101% señal enventanada por medio de una ventana rectangular:y_enventanada=(y').* winrect(length(y)); %Graficassubplot(2,2,3) plot(t,y) grid on title('Señal Original')subplot(2,2,4) plot(t,y_enventanada) title('Señal Enventanada') grid on

Resultados: Función Implementada Función directa de matlab rectwin

OBJETIVOS A CONSEGUIR CON OTRO TIPO DE VENTANAS:

Como ya lo hemos visto claramente, los parámetros ideales que debería tener una ventana serían los siguientes: 1. ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL: LO MÁS ANGOSTO POSIBLE

2. CAÍDA RÁPIDA DEL LÓBULO PRINCIPAL (FALL-OFF): LO MÁS RÁPIDA POSIBLE

3. PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO RELATIVA AL LO MÁS GRANDE POSIBLEPICO DEL LÓBULO PRINCIPAL:

Todos estos parámetros dependen de :

A) LA FORMA DE LA VENTANA

B) DE LA LONGITUD DE LA VENTANA.

QUE TENGA MÍNIMA FUGA ESPECTRAL

Por lo anterior, para poder comparar el desempeño de los diferentes tipos de ventanas (diferentes formas ) , debemos fijar la LONGITUD DE VENTANA ( L ): En nuestro estudio de las diferentes ventanas, fijaremos así:

LONGITUD DE LA VENTANA ( L ) = 25

Parámetros característicos de la Ventana Rectangular

ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL

VENTANA TRIANGULAR EN EL TIEMPO: n = - L / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2

LA MISMA VENTANA , PARA LA DTF SE DEFINE ASÍ: n = 0 , 1 , 2 , ....... , L / 2 w ( n ) =

w ( L – n ) n = L / 2 , ... , L - 1

2/

1L

nnw

2/L

n

•SuDTFT es:

2

12

2

42

Lsen

wL

sen

eL

wWw

Lj

IMPORTANTE: Vemos que su DTFT es NO NEGATIVA. La ventana triangular es la más sencilla con esta característica.

Parámetros característicos de la Ventana Triangular ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL

ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL: es el doble de la VENTANA RECTANGULAR.TAMAÑO RELATIVO DEL MAYOR LÓBULO SECUNDARIO: - 27 dB ( También el doble de la VENTANA RECTANGULAR )

IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana triangular

%VENTANA TRIANGULAR (BARLETT)%Programa que permite generar una ventana triangular % para las aplicaciones de enventanado.

function [wt]=wintrig(n)%Funcion que me permite generar la ventanafor (k=1:1:n) r= rem(n,2); %En el caso de que k tome un valor impar de n if(r==1) if((k>=1)&(k<=((n+1)/2))) w(k)=(2*k)/(n+1); elseif((k>((n+1)/2))&(k<=n)) w(k)=(2*(n-k+1))/(n+1); end %En el caso de que k tome un valor par de n elseif(r==0) if((k>=1)&(k<=n/2)) w(k)=(2*k-1)/n; elseif((k>=((n/2)+1))&(k<=n)) w(k)=(2*(n-k)+1)/n; end end k=k+1; end wt=w';

Ventana Generada de longitud L=25wintrig(25)

COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN IMPLEMENTADA Y LA FUNCIÓN DIRECTA DE MATLABFunción Implementada: Graficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:

Funcion:wvtool(wintring(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 26.4029

Función Directa de Matlab: Graficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:

Funcion:wvtool(triang25)) Nivel relativo entre picos (dB): 26.4029



%Ejemplo Usando la funcion wintringclose all; clear all;

% ventana triangular de 100 puntos:w =wintrig(100); %Ventana Triangular mostrada en forma continua subplot(2,2,1) plot(w) title('Wintrig en forma continua') %Ventana Triangular mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Wintrig en forma discreta')

% Señal original:Fs = 100;t = 0:1/Fs:1; % 1x101y = sin(2*pi*t*3)+0.8*rand*sin(2*pi*t*40); %1x101

% señal enventanada por medio de una ventana triangular:y_enventanada=(y').* wintrig(length(y));

%Grafico de la señal originalsubplot(2,2,3) plot(t,y) grid on title('Señal Original')% Grafico de la señal enventanada subplot(2,2,4) plot(t,y_enventanada) title('Señal Enventanada') grid on

Resultados:Función Implementada Función directa de matlab triang

VENTANA BARTLETTLa ventana de Bartlett es muy similar a la ventana triangular. La diferencia radica en que la ventana de Bartlett siempre termina en 0 en la muestra 1 en el valor de n Función en el tiempo cuando n es impar:

Función en el tiempo cuando n es par:

IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana de Bartlett

%VENTANA DE BARLETT%Programa que permite generar una ventana de barlett % para las aplicaciones de enventanado.

function [wt]=winbart(n)%Funcion que permite desarrollar la ventanafor (k=1:1:n) r= rem(n,2); %Cuando n toma valores impares if(r==1) if((k>=0)&(k<=((n-1)/2))) w(k+1)=(2*k)/(n-1); elseif((k>=((n-1)/2))&(k<=n-1)) w(k+1)=2-(2*k/(n-1)); end %Cuando n toma valores pares elseif(r==0) if((k>=0)&(k<=((n/2)-1))) w(k+1)=2*k/(n-1); elseif((k>=(n/2))&(k<=(n-1))) w(k)=(2*(n-k-1))/(n-1); end end %x(k)=k; k=k+1; end wt=w';

Ventana Generada de longitud L=25winbart (25)


Funcion:wvtool(winbart25)) Nivel relativo entre picos (dB): 26.195898


Funcion:wvtool(bartlett(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 26.119176


y = sin(2*pi*t*3)+0.35*rand*sin(2*pi*t*40) %Ejemplo Usando la funcion winbart

close all; clear all;

% ventana de Bartlett de 100 puntos:w =winbart(100); %Ventana Bartlett mostrada en forma continua subplot(2,2,1) plot(w) title('Winbart en forma continua') %Ventana Bartlett mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winbart en forma discreta')


% señal enventanada por medio de una ventana bartlett:y_enventanada=(y').* winbart(length(y));


Resultados:Función Implementada Función directa de matlab bartlett

VENTANA cosα(X)•EN EL TIEMPO:

L

nnw cos n = - / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2

LA MISMA VENTANA , PARA LA DTF SE DEFINE ASÍ:

n = 0 , 1 , 2 , ....... , L -1

L

nsennw

Al crecer ALFA los extremos de las ventanas en el tiempo se hacen más suaves y en la frecuencia los

Lóbulos laterales decrecen.

Parámetros característicos de la Ventana con α=1 ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL



IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana de cos(x)^4Se debe ingresar la longitud L de la ventana y el valor de α.

%VENTANA DE cos^a(x)%Programa que permite generar una ventana de Hanning% para las aplicaciones de enventanado.%Se requiere ingresar lo longitud L y el afunction [wt]=wincos(n,a)m=1;%Funcion que permite generar la ventanafor(k=-n:2:n) l=-k/2; w(m)=(cos(pi*(l/n)))^(a); x(m)=k; m=m+1; k=k+1;end;length(w)wt=w';

FUNCIÓN IMPLEMENTADA Función Implementada: Graficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:

Funcion:wvtool(wincos(25,1)) Nivel relativo entre picos (dB): 23.1132

Para α=1

Para α=2Funcion:wvtool(wincos(25,2)) Nivel relativo entre picos (dB):32.19436


y = sin(2*pi*t*3)+0.35*rand*sin(2*pi*t*40)Se utiliza la funcion wincos de 4 potencia por la mayor diferencia de atenuación entre

picos


% ventana de cos(x)^4 de 100 puntos:w = wincos(100,4); figure(2)subplot(2,2,1) plot(w) title('Ventana de cos(x)^4 continua')subplot(2,2,2) stem(w) title('Ventana de cos(x)^4 discreta')

% Señal original:Fs = 100;t = 0:1/Fs:1; % 1x101y1 = sin(2*pi*t*3)+.35*rand*sin(2*pi*t*40); %1x101

% señal enventanada por wincos:y1_enventanada=y1' .*wincos(length(y1),4);

y=length(y1)figure(2)subplot(2,2,3) plot(t,y1) title('Señal Original') grid onsubplot(2,2,4) plot(t,y1_enventanada) title('Señal Enventanada por cos(x)^4') grid on

Resultados:Función Implementada

VENTANA HANNINGPARA VENTANA DE HANNING::2

Es de particular interés de la anterior familia de curvas y se denomina VENTANA DE HANN en honor al meteorólogo austriaco Julius Von Hann. El término VENTANA DE HANNING es ampliamente usado pero lo correcto es VENTANA DE HANN.

En el tiempo:

n = - L / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2

L

n

L

nnw

2cos5.05.0cos2

PARA LA DTF SE DEFINE ASÍ: n = 0 , 1 , 2 , ....... , L -1

L

n

L

nsennw

2cos5.05.02

La DTFT de la ventana de Hanning expresada como una suma de 3 Kernels Dirichlet: La suma de los lóbulos laterales de los 3 kernels están en oposición de fase y por tanto tienden a cancelar sus lóbulos laterales. Veámoslo:

La parcial cancelación de lóbulos laterales, sugiere una nueva técnica de diseño de ventanas. Las más conocidas son la de Hamming y la de Blackman

LD

LDDW

2225.05.0

IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana de Hanning

%VENTANA DE HANNING%Programa que permite generar una ventana de Hanning% para las aplicaciones de enventanado.

%Funcion generadora de la ventanafunction [wt]=winhann(n)k=1:1:n;w(k)=(1/2)*(1-cos(2*pi*(k/(n-1))));wt=w';subplot(2,1,1)

Ventana Generada de longitud L=25winhann (25)


Funcion:wvtool(winhann25)) Nivel relativo entre picos (dB): 31.53336


Funcion:wvtool(hanning25)) Nivel relativo entre picos (dB): 31.587733



%Ejemplo Usando la funcion winhannclose all; clear all;

% ventana de Hanning de 100 puntos:w =winhann(100); %Ventana de Hanning mostrada en forma continua figure(1)subplot(2,2,1) plot(w) title('Winhann en forma continua') %Ventana de Hanning mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winhann en forma discreta')


% señal enventanada por medio de una ventana de hanning:y_enventanada=(y').* winhann(length(y));

%Grafico de la señal originalfigure(1)subplot(2,2,3) plot(t,y) grid on title('Señal Original')% Grafico de la señal enventanada subplot(2,2,4) plot(t,y_enventanada) title('Señal Enventanada') grid on

Resultados:Función Implementada Función directa de matlab hanning

VENTANA HAMMING Para la ventana de Hanning: En el tiempo:

n = - L / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2 Entonces, la DTFT de la ventana de Hanning expresada como una suma de 3 Kernels Dirichlet:

L

n

L

nnw

2cos5.05.0cos2

LD

LDDW

2225.05.0

Para conseguir una cancelación mejor:

n = - L / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2 Entonces, la DTFT de la ventana de Hamming expresada como una suma de 3 Kernels Dirichlet: Una perfecta cancelación del primer lóbulo lateral (en ) ocurre para

nL

nw 2

cos1

LD

LDDW

2215.0

L/25.2

54.0543478261.046/25

Entonces, la VENTANA DE HAMMING queda expresada así:En el tiempo:

n = - L / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2 En el tiempo, PARA LA DTF, SE DEFINE ASÍ: n = 0 , 1 , 2 , ....... , L -1 La gráfica del tiempo y de su DTFT las vemos a continuación:

L

nnw

2cos46.054.0

L

nnw

2cos46.054.0

Parámetros característicos de la Ventana de Hamming ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL

IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana de Hamming

%VENTANA DE HAMMING%Programa que permite generar una ventana de Hamming% para las aplicaciones de enventanado.

%Funcion generadora de la ventanafunction [wt]=winhamming(n)k=1:1:n-1;w(k+1)=0.54-0.46*(cos(2*pi*(k/(n-1))));wt=w';

Ventana Generada de longitud L=25winhamming (25)


Funcion:wvtool(winhamming(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 42.74432


Funcion:wvtool(hamming25)) Nivel relativo entre picos (dB): 43.2608



%Ejemplo Usando la funcion winhammingclose all; clear all;

% ventana de hamming de 100 puntos:w =winhamming(100); %Ventana de Hamming mostrada en forma continua figure(1)subplot(2,2,1) plot(w) title('Winhamming en forma continua') %Ventana de Hamming mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winhammig en forma discreta')


% señal enventanada por medio de una ventana de Hamming:y_enventanada=(y').* winhamming(length(y));

%Grafico de la señal originalfigure(1)subplot(2,2,3) plot(t,y) grid on title('Señal Original')% Grafico de la señal enventanada subplot(2,2,4) plot(t,y_enventanada) title('Señal Enventanada') grid on

Resultados:Función Implementada Función directa de matlab hamming

VENTANA BLACKMAN Es una generalización de la ventana de Hann, expresado como una suma de kernels Dirichlet:En el tiempo:

n = - L / 2, ... , -1 , 0 , 1 , .... , L / 2 En el tiempo, PARA LA DTF, SE DEFINE ASÍ: n = 0 , 1 , 2 , ....... , L -1

mnL

anwL

mm

2cos

2/

0

mnL

anwL

mm

m 2cos1

2/

0

Entonces, la DTFT de la ventana de Blackman expresada como una suma de Kernels Dirichlet es:

Sujeta a la condición:

mL

DmL

Da

WL

m

mm 22

21

2/

0

2/

0

1L

mma

Podemos construir ventanas con K coeficientes y así tener ( 2 K – 1 ) sumas de kernels Dirichlet.Blackman examinó la ventana para K = 3:La posición del tercero y cuarto lóbulos secundarios del kernel Dirchlet ubicados en:

L/25.3 L/25.4

08.007684867.018608

1430

50.049656062.018608

9240

42.042659071.018608

7938

2

1

0

a

a

a

y en Entonces, los coeficientes encontrados son:

•Si empleamos los coeficientes aproximados, tenemos una VENTANA DE BLACKMAN:

n

Ln

LnW 2

2cos08.0

2cos50.042.0

n = - L / 2 , ... , -1, 0 , 1 , ... , L / 2

Si empleamos los coeficientes exactos, tenemos una VENTANA DE BLACKMAN EXACTA

Parámetros característicos de la Ventana de Hamming ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL

3w

OBSERVACIÓN: En cuanto a la verificación de la suma de los coeficientes:•Blackman: 0.42 + ( - 0.5 ) + 0.08 = 1La VENTANA DE BLACKMAN es continua con una primera derivada continua. En los límites o bordes cae como 1 / w3 ó de 18 dB / octava.•Blackman Exacta: La suma es DIFERENTE DE 1.Los términos exactos ( como en la Ventana de Hamming ), y tienen discontinuidad en las fronteras y tienen una caída de aproximadamente 1 / w ó de 6 dB / octava.

La gráfica del tiempo y de su DTFT las vemos a continuación:

IMPLEMENTACIÓN EN MATLABPrograma que permite la generación de una ventana de Hamming

%VENTANA DE BLACKMAN%Programa que permite generar una ventana de Blackman% para las aplicaciones de enventanado.

function [wt]=winblack(n)k=1:1:n-1;w(k+1)=0.42-(1/2)*(cos(2*pi*(k/(n-1))))+(0.08)*(cos(4*pi*(k/(n-1))));wt=w';

Ventana Generada de longitud L=25winblack(25)


Funcion:wvtool(winblack (25)) Nivel relativo entre picos (dB): 58.35617


Funcion:wvtool(blackman(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 58.18185



%Ejemplo Usando la funcion winblackclose all; clear all;

% ventana de Blackman de 100 puntos:w =winblack(100); %Ventana de Blackman mostrada en forma continua subplot(2,2,1) plot(w) title('Winblack en forma continua') %Ventana de Blackman mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winblack en forma discreta')


% señal enventanada por medio de una ventana blackman:y_enventanada=(y').* winblack(length(y));


Resultados:Función Implementada Función directa de matlab blackman

VENTANA BLACKMAN-HARRISONFAMILIA DE VENTANAS BLACKMAN - HARRISONSe construye ventanas de 3 ó 4 términos en las cuales se negocia:ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL VS NIVEL DEL LÓBULO SECUNDARIO.Estas ventanas están definidas para la DTF por:

n

Lan

Lan

Laanw 3

2cos2

2cos

2cos 3210

n = 0 , 1 , ... , N-1

3 Términos.(- 67 dB)

3 Términos( - 61 dB )



ao 0.42323 0.44956 0.35875 0.40217

a1 0.49755 0.49364 0.48829 0.49703

a2 0.07922 0.05677 0.14128 0.09392

a3 0.01168 0.00183

BLACKMAN - HARRIS ( 3 TERMS.)La gráfica del tiempo y de su DTFT las vemos a continuación:

Parámetros característicos de la Ventana de Blackman-Harris (3 terms. ) ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL

IMPLEMENTACIÓN EN MATLAB DE BLACKMAN-HARRIS (3 TERMS)Programa que permite la generación de una ventana de Blackman-Harris de 3 terminos

%VENTANA DE BLACKMAN-HARRISON DE 3 TERMINOS%Programa que permite generar una ventana de Blackman-Harrison de 3% terminos para las aplicaciones de enventanado.

function [wt]=winbkh3(n)a=[0.42323 0.49755 0.07922];k=1:1:n-1;w(k+1)=a(1)-(a(2)*(cos(2*pi*(k/(n-1)))))+(a(3)*(cos(4*pi*(k/(n-1)))));wt=w';

Ventana Generada de longitud L=25winbkh3(25)

FUNCIÓN IMPLEMENTADA BLACKMAN – HARRISON DE 3 TÉRMINOSFunción Implementada: Graficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:

Funcion:wvtool(winbkh3(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 64.9253



%Ejemplo Usando la funcion winbkh3close all; clear all;

% ventana de Blackman-Harrison de 3 terminos de 100 puntos:w =winbkh3(100); %Ventana de Blackman-Harrison de %3 terms mostrada en forma continua subplot(2,2,1) plot(w) title('Winbkh3 en forma continua') %Ventana de Blackman-Harrison de 3 terms %mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winbkh3 en forma discreta')


% señal enventanada por medio de una %ventana black-harr de 3 terms:y_enventanada=(y').* winbkh3(length(y));


Resultados:Función Implementada

BLACKMAN - HARRIS ( 4 TERMS.)La gráfica del tiempo y de su DTFT las vemos a continuación:

Parámetros característicos de la Ventana deBlackman-Harris (4 terms.) ANCHO DEL LÓBULO PRINCIPAL CAÍDA RÁPIDA DEL PICO DEL LÓBULO SECUNDARIO LÓBULO PRINCIPAL RELATIVA AL PICO DEL LÓBULO PRINCIPAL

Sorpresivamente son muy buenas ventanas para un número muy pequeño de coeficientes.Nota: La ventana de Hamming, podría ser considerada como una VENTANA DE BLACKMAN – HARRISON DE 2 TÉRMINOS.

IMPLEMENTACIÓN EN MATLAB DE BLACKMAN-HARRIS (4 TERMS)Programa que permite la generación de una ventana de Blackman-Harris de 4 terminos

%VENTANA DE BLACKMAN-HARRISON DE 4 TERMINOS%Programa que permite generar una ventana de Blackman-Harrison de 4% terminos para las aplicaciones de enventanado.function [wt]=winbkh4(n)a=[0.35875 0.48829 0.14128 0.01168];k=1:1:n-1;w(k+1)=a(1)-(a(2)*(cos(2*pi*(k/(n-1)))))+... (a(3)*(cos(4*pi*(k/(n-1)))))-... (a(4)*(cos(6*pi*(k/(n-1)))));wt=w';

Ventana Generada de longitud L=25winbkh4(25)

COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN IMPLEMENTADA DE 4 TERMIINOS Y LA FUNCIÓN DIRECTA DE MATLABFunción Implementada: Graficas en el dominio del tiempo y la frecuencia obtenidas a través de la herramienta wvtool:

Funcion:wvtool(winbkh4 (25)) Nivel relativo entre picos (dB): 98.9997


Funcion:wvtool(blackman(25)) Nivel relativo entre picos (dB): 99.452



%Ejemplo Usando la funcion winbkh4close all; clear all;

% ventana de Blackman-Harrison de 4 terminos de 100 puntos:w =winbkh4(100); %Ventana de Blackman-Harrison de %4 terms mostrada en forma continua subplot(2,2,1) plot(w) title('Winbkh4 en forma continua') %Ventana de Blackman-Harrison de %4 terms mostrada en forma discreta subplot(2,2,2) stem(w) title('Winbkh4 en forma discreta')


% señal enventanada por medio de una ventana black-harr de 4 terms:y_enventanada=(y').* winbkh4(length(y));


Resultados:Función Implementada Función directa de matlab blackmanharris

VENTANA - 6 dB BIN( Resolución )

Nivel relativo de picos (dB)

Fall – off ( dB / octava )

Rectangular + / - 1.21 - 13 - 6(triangular) + / - 1.78 - 27 - 12

Hanning + / - 2 - 32 - 18Hamming + / - 1.81 - 43 - 6Blackman + / - 2.13 - 51 - 6

Blackman-Harris (3 term)

+ / - 1.81 - 67 - 6

Blackman-Harris (4 term)

+ / - 2.72 - 92 - 6

TABLA COMPARATIVA

APLICACIONES DE LA TEORÍA DE ENVENTANADO:

TENEMOS DOS PROBLEMAS BÁSICOS :

A. PROBLEMA DE RESOLUCIÓN EN FRECUENCIASB. PROBLEMA DE DETECCIÓN

EN AMBOS CASOS NO SE CONSIDERA LA INFLUENCIA DEL RUIDO PARA PODER VISUALIZAR DE MEJOR MANERA LAS VENTAJAS DEL ENVENTANADO.

DICHO EFECTO DEL RUIDO Y LOS MÉTODOS PARA DISMINUIR SU INFLUENCIA EN EL RESULTADO DEL ESPECTRO, LO VEREMOS DESPUÉS EN TÉCNICAS DE BARTLETT Y DE WELCH

1. TEORÍA DE ENVENTANADO APLICADO AL PROBLEMA DE RESOLUCIÓN EN FRECUENCIA

CONVIENE USAR VENTANA RECTANGULAR, ES DECIR, EL SIMPLE PERIODOGRAMA QUE SIEMPRE USAMOS.

PROBLEMA DE RESOLUCIÓN:DISTINGUIR DOS TONOS DE AMPLITUDES SIMILARES,

QUE SE ENCUENTRAN MUY JUNTOS

EL PERIODOGRAMA: ES EL MÓDULO DEL VECTOR COMPLEJO OBTENIDO CON LA FFT

close all;clear all;

% Señal contaminada con ruido:Fs = 1000; % frequencia de muestreoFmax= Fs/2; % frecuencia maxima de la señalt = 0:1/Fs:1; % eje de tiempoxn = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);plot(t,xn)

% Cálculo del espectro de potencia: nFFT= 1024; % El numero de muestras de la DTFT que queremos calcular Y=fft(xn,nFFT); % La transformada de Fourier: es vector complejoP1=Y.*conj(Y)/nFFT; % El periodograma es el modulo del vector complejo

%Daría igual calcularlo así:P2 = abs(fft(xn,nFFT)).^2/nFFT;

% Visualización la mitad del espectro de potencia:% La otra mitad es simetrica:

f=0:Fmax/(length(P1)/2):Fmax; % eje de frecuencias: queremos la mitad de lo que devuelve FFT% pues nos da el espectro duplicado

figuresubplot(2,2,1)plot(f,P1(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('DEP: MÉTODO 1 (lineal)')

subplot(2,2,2)plot(f,P2(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('P2( f )')title('DEP: MÉTODO 2(lineal)')

subplot(2,2,3)plot(f,20*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('DEP: MÉTODO 1 (dB)')

subplot(2,2,4)plot(f,20*log10(abs(P2(1:length(f)))),'r'); xlabel('Hz')ylabel('P2( f )')title('DEP: MÉTODO 2 (dB)')

Iniciamos con dos tonos (de amplitudes iguales) de F1= 50 Hz y F2=120 Hz:

RESULTADO DEL PERIODOGRAMA:

VAMOS ACERCANDO EL TONO SUPERIO HACIA EL TONO INFERIOR: F1 = 50 HZ, F2 = 60 Hz

F1 = 50 HZ, F2 = 55Hz:

F1 = 50 HZ, F2 = 52Hz:

50 Y 51Hz: YA NO SE PUEDE DISTINGUIR LOS DOS TONOS !!!!!!!!

NO ES DEBER:Demostrar que con cualquier otra

ventana, el resultado se empobrece

B. TEORÍA DE ENVENTANADO APLICADO AL PROBLEMA DE DETECCIÓN

PARA VER LAS VENTAJA CONSEGUIDAS EN LA DETERMINACIÓN DEL ESPECTRO DE POTENCIAS, ENFRENTAREMOS AL ENVENTANADO RECTANGULAR

(PERIODOGRAMA USUALMENTE USADO) VS ENVENTANADO CON BALACKMAN HARRIASON (4T) (PERIODOGRAMA MEJORADO)

CONVIENE USAR VENTANA DE BALACKMAN HARRISON (4T), ES DECIR, EL SIMPLE PERIODOGRAMA QUE SIEMPRE USAMOS PERO PREVIAMENTE ENVENTANANDO LA SERIE TEMPORAL CON UNA

VENTANA BALACKMAN HARRIASON (4T).

PROBLEMA DE DETECCIÓN:DISTINGUIR DOS TONOS DE AMPLITUDES MUY DIFERENTES,

QUE SE ENCUENTREN JUNTOS O NO

Problema de deteccion de un tono de amplitud pequeña junto a otro de amplitud grande: interesa la mayor diferencia entre el pico del lóbulo principal y el secundario, es decir, fuga espectral mínima.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Se desea detectar un tono de 0.001 (v) ubicado en 100 Hz que está con otro tono de amplitud 1v ubicado en 50 Hz.

- Mostrar una gráfica de la ventana de Blackman – Harrison de 4 T, de 100 puntos. - Mostrar la señal original y el periodograma simple: ver si se detecta el tono pequeño??- Mostrar la señal enventanada y el periodograma modificado: ahora se puede detectar el tono pequeño ??- Demostrar que el periodograma modificado permitiría detectar mucho más fácilmente el tono pequeño: sobreponer las dos gráficas.

clc, close all, clear all; % ventana de Blackman-Harrison de 3 terminos de 100 puntos:w =winbkh4(100); %Ventana de Blackman-Harrison de %3 terms mostrada en forma continua subplot(2,1,1) plot(w) title('Winbkh4 en forma continua') %Ventana de Blackman-Harrison de 3 terms %mostrada en forma discreta subplot(2,1,2) stem(w) title('Winbkh4 en forma discreta')

% USO EN EL PROBLEMA DE DETECCIÓN: % Señal original: suma de dos tonos:% Tono 1: f = 50 hz y Amplitud = 1 V% Tono 2: f = 100 hz y Amplitud = 0.001 V Fmax = 500; % frequencia maximaFs= 2*Fmax; % frecuencia de muestreo

t = 0:1/Fs:1; % eje de tiempoxn = sin(2*pi*50*t) + 0.001 * sin(2*pi*100*t);figureplot(t,xn)title('señal original: suma de dos tonos')

En el dominio del tiempo, no se puede detectar o distinguir el tono pequeño: aparentemente solo existe el tono grande.

Es necesario desarrollar un método que permita detectar al tono pequeño.

% Cálculo del espectro de potencia: % 1. MÉTODO PERIODOGRAMA SIMPLE: nFFT= 1024; % El numero de muestras de la DTFT que queremos calcular Y1=fft(xn,nFFT); % La transformada de Fourier: es vector complejoP1=Y1.*conj(Y1)/nFFT; % El periodograma es el modulo del vector complejo % %Daría igual calcularlo así:% P2 = abs(fft(xn,nFFT)).^2/nFFT; % Visualización la mitad del espectro de potencia:% La otra mitad es simetrica: f=0:Fmax/(length(P1)/2):Fmax; % eje de frecuencias: queremos la mitad de lo que devuelve FFT% pues nos da el espectro duplicado figure subplot(2,1,1)plot(f,P1(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: lineal') subplot(2,1,2)plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB')

El periodograma simple, no puede detectar o distinguir el tono pequeño: aparentemente solo existe el tono grande.Es necesario desarrollar un método que permita detectar al tono pequeño.

% Cálculo del espectro de potencia: % 2. MÉTODO PERIODOGRAMA MODIFICADO USANDO VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t): % señal enventanada por medio de una ventana blackman-harrison de 4 terms:y_enventanada=(xn').* winbkh4(length(xn)); %Grafico de la señal originalfiguresubplot(2,1,1) plot(t,xn) grid on title('Señal Original')% Grafico de la señal enventanadasubplot(2,1,2) plot(t,y_enventanada) title('Señal Enventanada') grid on

% PERIODOGRAMA MODIFICADO USANDO VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t): Y2=fft(y_enventanada,nFFT);P2=Y2.*conj(Y2)/nFFT; figuresubplot(2,1,1)plot(f,P1(1:length(f)));title('PERIODOGRAMA SIMPLE')subplot(2,1,2)plot(f,P2(1:length(f)));title('PERIODOGRAMA MODIFICADO CON B-H (4T)')

EN ESCALAS LINEALES, NO SE PUEDE VER NADA

figuresubplot(2,1,1)plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); title('PERIODOGRAMA SIMPLE')subplot(2,1,2)plot(f,10*log10(abs(P2(1:length(f)))),'r:'); title('PERIODOGRAMA MODIFICADO CON B-H (4T)')

EL PERIODOGRAMA SIMPLE NO PERMITE DISTINGUIR LOS DOS TONOS MIENTRAS QUE EL PERIODOGRAMA MODIFICADO SI PUEDE DETECTAR EL TONO PEQUEÑO.

figureplot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); hold onplot(f,10*log10(abs(P2(1:length(f)))),'r:'); xlabel('Hz')legend('PERIDOGRAMA SIMPLE','PERIODOGRAMA MODIFICADO')title('PERIODOGRAMA SIMPLE VS PERIODOGRAMA MODIFICADO CON B-H (4T)')grid on

SUPERPOSICIÓN DEL PERIODOGRAMA SIMPLE VS PERIODOGRAMA MODIFICADO:

• 1: LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA: EL PERIODOGRAMA (MÓDULO DE LA FFT)

• 2: MÉTODOS MEJORADOS: REDUCCIÓN DE FUGA ESPECTRAL 2.1 EL PERIODOGRAMA MEJORADO: TEORÍA DE VENTANAS

EL PROBLEMA DE RESOLUCIÓN EN FRECUENCIAEL PROBLEMA DE RESOLUCIÓN EN TIEMPO

2.2 MÉTODOS MEJORADOS DE PROMEDIADO PARA REDUCIR EL EFECTO DEL RUIDO: MÉTODOS DE BARTLETT Y WELCH


ANÁLISIS ESPECTRAL Y MÉTODOS TIEMPO FRECUENCIA

YA

YA

MÉTODOS MEJORADOS DE PROMEDIADO PARA REDUCIR EL EFECTO DEL RUIDO: MÉTODOS DE BARTLETT Y WELCH

TÉCNICAS DE MEJORADO DEL PERIODOGRAMA

PERIODOGRAMA MODIFICADO: VENTANA DIFERENTE A LA RECTANGULAR

Con este método se redujo la fuga espectral pero no hace nada para reducir los efectos del ruido. Con este propósito nacen los métodos basados en promediado de periodogramas (Bartlett) o periodogramas modificados traslapados (Welch) cuya idea fundamental consiste en dividir la señal discreta en varias porciones y calcular los espectros de cada una de ella. Los tonos que están presentes en todas las porciones, no sufrirán alteraciones pues se suman n veces y para promediar se dividen para n, es decir, no se modifica el resultado final. Este promediado sí reduce la presencia del ruido en el espectro promediado pues en cada espectro parcial la forma del ruido es diferente por lo que al dividir para n, el resultado final será que el espectro debido al ruido ha sido reducido. Básicamente tenemos dos métodos de promediado de espectros:

MÉTODO DE BARTLETT: PROMEDIADO DE PERIODOGRAMAS SIMPLES (VENTANA RECTANGULAR)

MÉTODOS DE WELCH: PROMEDIADO DE PERIODOGRAMAS MODIFICADOS (VENTANAS DIFERENTES A LA RECTANGULAR)

1) División en varias porciones.

2) Uso de ventanas diferentes a la rectangular: Hamming, Hanning, Blackmann, etc.

3) Solapamiento (recomendado del 50%)

Bartlett y Welch:

USO DE VENTANAS DISTINTAS A LA RECTANGULAR.

WELCH: TRASLAPE + OTRAS VENTANAS

1. Empleando ventanas alternativas a la rectangular y traslapando para reducir la varianza.

% Método manual:

Fs = 1000; t = 0:1/Fs:1; xn = sin(2*pi*50*t) + 2*sin(2*pi*120*t) + randn(size(t));

w = hanning(256)';Pxx = ( abs(fft(w.*xn( 1:256))).^2 + ...abs(fft(w.*xn(129:384))).^2 + ...abs(fft(w.*xn(257:512))).^2 + ...abs(fft(w.*xn(385:640))).^2 + ...abs(fft(w.*xn(513:768))).^2 + ...abs(fft(w.*xn(641:896))).^2 ) / (norm(w)^2*6);plot((0:255)/256*Fs,10*log10(Pxx))title('ventana de hanning de L = 256; traslape de 128 ( 50%)')

USO DE LA FUNCIÓN DE PWELCH CON OTRO TIPO DE VENTANA: POR EJEMPLO CON BLACKMAN – HARRISON DE 4T:

LA FUNCIÓN PWELCH: help (pwelch)

% Usando la función pwelch:Fs = 1000; t = 0:1/Fs:1; xn = sin(2*pi*50*t) + 2*sin(2*pi*120*t) + randn(size(t));

nfft = 256; % length of FFTwindow = hanning(256); noverlap = 128; % numero de muestras de traslape[Pxx,f] = pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs);

plot(f,10*log10(Pxx))title('usando la función pwelch')

OBSERVACIÓN: El pico en 50 Hz está 6dB por debajo del pico en 120 Hz. Entonces, se verifica que el segundo pico es el doble en amplitud que el primero.

COMPARACIÓN ENTRE PERIODOGRAMA SIMPLE – WELCH CON HAMMING - WELCH SON BLACKMAN HARRISON 4T

clc, close all, clear all; % SEÑAL ORIGINAL: SUMA DE DOS TONOS CON RUIDOFmax = 500; % frequencia de muestreoFs= 2*Fmax; % frecuencia maxima de la señalt = 0:1/Fs:1; xn = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + randn(size(t));%xn = sin(2*pi*50*t) + 0.001 * sin(2*pi*100*t); plot(t,xn)title('señal original: suma de dos tonos con ruido') % ---------------------------------------------------

NO SE DISTINGUE QUE SEA LA SUMA DE DOS TONOS: TODO PARECE RUIDO.

NECESITAMOS UN MÉTODO QUE PERMITA VER LOS DOS TONOS Y NADA MÁS, ES DECIR, SIN POSIBLES PICOS QUE HAGAN CREER QUE SON DEBIDOS A OTROS TONOS.

% Cálculo del espectro de potencia: % 1. MÉTODO PERIODOGRAMA SIMPLE: nFFT= 256; % El numero de muestras de la DTFT que queremos calcular Y1=fft(xn,nFFT); % La transformada de Fourier: es vector complejoP1=Y1.*conj(Y1)/nFFT; % El periodograma es el modulo del vector complejo % %Daría igual calcularlo así:% P2 = abs(fft(xn,nFFT)).^2/nFFT; % Visualización la mitad del espectro de potencia:% La otra mitad es simetrica: f=0:Fmax/(length(P1)/2):Fmax; % eje de frecuencias: queremos la mitad de lo que devuelve FFT% pues nos da el espectro duplicado figure subplot(2,1,1)plot(f,P1(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: lineal') subplot(2,1,2)plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') % ---------------------------------------------------

EL PERIODOGRAMA SIMPLE ES UN MÉTODO DEMASIADO “RUIDOSO” PUES SE VERÍAN FALSAS COMPONENTES DE FRECUENCIA O TONOS INEXISTENTES.

% Cálculo del espectro de potencia: % METODO DE WELCH USANDO VENTANA DE hamming: nfft = 256; % length of FFT por defecto en la instrucción pwelchwindow = hanning(256); noverlap = fix(length (window) / 2); % numero de muestras de traslape %[Pxx,f] = pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs);[Pxx1,f] = pwelch(xn,window,[],nfft,Fs); figure subplot(2,1,1)plot(f,Pxx1(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('Pxx( f )')title('WELCH CON HAMMING: LINEAL') subplot(2,1,2)plot(f,10*log10(Pxx1(1:length(f))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('Pxx( f )')title('WELCH CON HAMMING: dB') % ---------------------------------------------------

% comparacion entre el periodograma simple y welch: figureplot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') hold onplot(f,10*log10(Pxx1))title('COMPARACIÓN ENTRE PERIODOGRAMA SIMPLE Y WELCH CON VENTANA hamming ')legend('periodograma simple','welch - hamming')grid on % ---------------------------------------------------

YA SE VE LA VENTAJA DE WELCH SOBRE EL PERIODOGRAMA SIMPLE: ES MENOS “RUIDOSO”

% METODO DE WELCH USANDO VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t): ventana= winbkh4(length(xn)/8); noverlap = fix(length(ventana))/2 % numero de muestras de traslape que debe ser enteronfft = 256; % length of FFT [Pxx2,f] = pwelch(xn,ventana,noverlap,nfft,Fs); % --------------------------------------------------- % comparacion entre el periodograma simple - welch con hamming - welch con blackman harrison 4T: figure subplot(3,1,1)plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') subplot(3,1,2)plot(f,10*log10(Pxx1))ylabel('P2( f )') title('usando la función pwelch CON VENTANA hamming ') subplot(3,1,3)plot(f,10*log10(Pxx2))ylabel('P3( f )')title('usando la función pwelch CON VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t) ')

% ---------------------------------------------------

% comparacion entre el periodograma simple - welch con hamming - welch con blackman harrison 4T: % pero todo sobrepuesto figure plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') hold onplot(f,10*log10(Pxx1),'b')title('usando la función pwelch CON VENTANA hamming ') hold onplot(f,10*log10(Pxx2),'r:')title('usando la función pwelch CON VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t) ') legend('periodograma simple','welch - hamming','welch-BH4T')grid on

SE VE LA VENTAJA DE WELCH CON BALCKMAN HARRISON 4T SOBRE EL PERIODOGRAMA SIMPLE Y WELCH CON HAMMING: ES MENOS “RUIDOSO”

MEZCLA DE MINIMA FUGA ESPECTRAL CON PROMEDIADO

clc, close all, clear all; % SEÑAL ORIGINAL: SUMA DE DOS TONOS CON RUIDOFmax = 500; % frequencia de muestreoFs= 2*Fmax; % frecuencia maxima de la señalt = 0:1/Fs:1; %xn = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + randn(size(t)); %perfecto%xn = sin(2*pi*50*t) + 0.001*sin(2*pi*120*t); %+ randn(size(t)); %perfectoxn = sin(2*pi*50*t) + 0.01*sin(2*pi*120*t)+ 0.1*randn(size(t)); % ya no se nota la diferencia entre hanning y BH4T plot(t,xn)title('señal original: suma de dos tonos con ruido') % --------------------------------------------------- % Cálculo del espectro de potencia: % 1. MÉTODO PERIODOGRAMA SIMPLE: nFFT= 256; % El numero de muestras de la DTFT que queremos calcular Y1=fft(xn,nFFT); % La transformada de Fourier: es vector complejoP1=Y1.*conj(Y1)/nFFT; % El periodograma es el modulo del vector complejo % %Daría igual calcularlo así:% P2 = abs(fft(xn,nFFT)).^2/nFFT; % Visualización la mitad del espectro de potencia:% La otra mitad es simetrica: f=0:Fmax/(length(P1)/2):Fmax; % eje de frecuencias: queremos la mitad de lo que devuelve FFT% pues nos da el espectro duplicado figure subplot(2,1,1)plot(f,P1(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: lineal') subplot(2,1,2)plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB')

% --------------------------------------------------- % Cálculo del espectro de potencia: % METODO DE WELCH USANDO VENTANA DE hamming: nfft = 256; % length of FFT por defecto en la instrucción pwelch%window = hanning(256); window= hanning(length(xn)/8); noverlap = fix(length (window) / 2); % numero de muestras de traslape %[Pxx,f] = pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs);[Pxx1,f] = pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs); figure subplot(2,1,1)plot(f,Pxx1(1:length(f)));xlabel('Hz')ylabel('Pxx( f )')title('WELCH CON HAMMING: LINEAL') subplot(2,1,2)plot(f,10*log10(Pxx1(1:length(f))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('Pxx( f )')title('WELCH CON HAMMING: dB') % --------------------------------------------------- % comparacion entre el periodograma simple y welch: figureplot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') hold onplot(f,10*log10(Pxx1))title('COMPARACIÓN ENTRE PERIODOGRAMA SIMPLE Y WELCH CON VENTANA hamming ')legend('periodograma simple','welch - hamming')grid on % ---------------------------------------------------

% METODO DE WELCH USANDO VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t): ventana= winbkh4(length(xn)/8); noverlap = fix(length(ventana))/2 % numero de muestras de traslape que debe ser enteronfft = 256; % length of FFT [Pxx2,f] = pwelch(xn,ventana,noverlap,nfft,Fs); % --------------------------------------------------- % comparacion entre el periodograma simple - welch con hamming - welch con blackman harrison 4T: figure subplot(3,1,1)plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') subplot(3,1,2)plot(f,10*log10(Pxx1))ylabel('P2( f )') title('usando la función pwelch CON VENTANA hamming ') subplot(3,1,3)plot(f,10*log10(Pxx2))ylabel('P3( f )')title('usando la función pwelch CON VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t) ')

% --------------------------------------------------- % comparacion entre el periodograma simple - welch con hamming - welch con blackman harrison 4T: % pero todo sobrepuesto figure plot(f,10*log10(abs(P1(1:length(f)))),'k'); xlabel('Hz')ylabel('P1( f )')title('PERIODOGRAMA SIMPLE: dB') hold onplot(f,10*log10(Pxx1),'b')title('usando la función pwelch CON VENTANA hamming ') hold onplot(f,10*log10(Pxx2),'r:')title('usando la función pwelch CON VENTANA DE BLACKMAN - HARRISON (4t) ') legend('periodograma simple','welch - hamming','welch-BH4T')grid on

RESULTADOS:

clc, close all, clear all; % SEÑAL ORIGINAL: SUMA DE DOS TONOS CON RUIDOFmax = 500; % frequencia de muestreoFs= 2*Fmax; % frecuencia maxima de la señalt = 0:1/Fs:1; xn = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + randn(size(t)); %perfecto%xn = sin(2*pi*50*t) + 0.001*sin(2*pi*120*t); %+ randn(size(t)); %perfecto%xn = sin(2*pi*50*t) + 0.01*sin(2*pi*120*t)+ 0.1*randn(size(t)); % ya no se nota la diferencia entre hanning y BH4T

NO SE NOTAN LAS VENTAJAS DE BG-4T SOBRE HANNING

RESULTADOS:

clc, close all, clear all; % SEÑAL ORIGINAL: SUMA DE DOS TONOS CON RUIDOFmax = 500; % frequencia de muestreoFs= 2*Fmax; % frecuencia maxima de la señalt = 0:1/Fs:1; %xn = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + randn(size(t)); %perfectoxn = sin(2*pi*50*t) + 0.001*sin(2*pi*120*t); %+ randn(size(t)); %perfecto%xn = sin(2*pi*50*t) + 0.01*sin(2*pi*120*t)+ 0.1*randn(size(t)); % ya no se nota la diferencia entre hanning y BH4T

SE NOTAN LAS VENTAJAS DE BG-4T SOBRE HANNING

RESULTADOS:

clc, close all, clear all; % SEÑAL ORIGINAL: SUMA DE DOS TONOS CON RUIDOFmax = 500; % frequencia de muestreoFs= 2*Fmax; % frecuencia maxima de la señalt = 0:1/Fs:1; %xn = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + randn(size(t)); %perfecto%xn = sin(2*pi*50*t) + 0.001*sin(2*pi*120*t); %+ randn(size(t)); %perfectoxn = sin(2*pi*50*t) + 0.01*sin(2*pi*120*t)+ 0.1*randn(size(t)); % ya no se nota la diferencia entre hanning y BH4T

SE PIERDEN LAS VENTAJAS DE BG-4T SOBRE HANNING

EXPERIMENTACIÓN DE NIVEL DE RUIDO PERMISIVO PARA QUE SE NOTEN LOS RESULTADOS

SE NOTA CLARAMENTE (-35dB). SEGUIMOS REDUCIENDO:

xn = sin(2*pi*50*t) + 0.1*sin(2*pi*120*t)+ 0.05*randn(size(t));


YA NO SE NOTA CLARAMENTE. ESTE SERÍA EL LÍMITE: EL TONO PEQUEÑO: LA 5TA PARTE DEL RUIDO

EN ESTE PUNTO: QUÉ PASA SI AUMENTAMOS EL NÚMERO DE VENTANAS:

Mejora los resultados o se empeoran ???

Pasamos de considerar 8 ventanas a 20:

window= hanning(length(xn)/20); ventana= winbkh4(length(xn)/20);

Con 20: se empeoró el resultado.

Con 8: -48 dB.



Con 4: se mejoró el resultado (-44 dB).

Con 8: -45 dB.



Con 2: se mejoró el resultado (-42 dB). Pero crece el ruido: establecer un equilibrio. Todo depende dee la cantidad de ruido…..

Con 8: -45 dB.

APLICADO A LOS DATOS REALES DE LOS VEGETALES:

CONDICIONES INICIALES:

Con ventanas de 4:

Se hace muy ruidoso. Entonces, luego de probar con 10, mejor lo dejamos en 20

Con ventanas de 20: poner atención en la marca

Con ventanas de 30 poner atención en la marca

Zoom de ventanas de 30

Se nota excelentemente los picos fijos debidos a la red o situaciones fijas que ya enfrentaremos con los nuevos archivos

Zoom de ventanas de 40: poner atención en la marca

Zoom de ventanas de 50: poner atención en la marca

CONCLUSIÓN:

AL AUMENTAR EL NÚMERO DE VENTANAS A PROMEDIAR:

SE GANA EN DETECCIÓN DE EFECTOS REPETITIVOS PERO SE PIERDE EN RESOLUCIÓN EN FRECUENCIA.

UN VALOR DE 40 PARECE QUE MANTIENE UN EQUILIBRIO PERO MEJOR PROBAR CON POCAS Y MUCHAS VENTANAS

PARA RESOLVER AMBAS SITUACIONES, COM YA SABÍAMOS!!!







YA

YA

YA

MÉTODOS TIEMPO – FRECUENCIA• STFT (Short Time Fourier Transform)

EL ESPECTROGRAMA (módulo de STFT)

• WAVELETS

• WIGNER-VILLE

• CHOI – WILLIAMS

• MATCHING PURSUIT

ANÁLISIS FRECUENCIAL DE UNA SEÑAL NO ESTACIONARIA:

....

SEÑAL A ANALIZAR:

ESPECTROS EVALUADOS CON UNA VENTANA DESLIZANTE

PROBLEMA: VISUALIZACIÓN DE MUCHAS GRÁFICAS

% Análisis de la señal cada t segundos:


porcion=1000; % Porción de X puntos => analiza bloques de t= X/100 segundos

fmax=50; % Frecuencia máxima de la señalfm=2*fmax; % Teorema de muestreonFFT= 1024; % Zero-padding si nFFT mayor que longitud de ventanaLongVentana=100;Solapamiento=50;

%Lectura de datos:load signal_1.mat;x=A; x1=x(1:6000); % solo analizar los primeros 6000 puntos o muestrasclear A x;

% filtrado:WcN=[4 45]/fmax;[b,a]=butter(2,WcN); x_filt=filter(b,a,x1);clear x1;

% SEPARAMOS EN PORCIONES DE 10 SEG (1000 MUESTRAS) Y LAS ANALIZAMOS.Num_porciones=0;Num_porciones=fix(length(x_filt)/porcion)

inicio = 1fin =porcion

% EJE DE FRECUENCIA NORMALIZADO:frecNorm=fm*(0:(nFFT/2))/nFFT;frecNorm=frecNorm';

incremento=0; for i=1:Num_porciones if fin<=length(x_filt) for p=inicio:fin x_porc(p,1)=x_filt(p+incremento,1); end end % Aplicamos Welch a cada segmento: [P_welch,F_welch] = pwelch(x_porc,LongVentana,Solapamiento,nFFT,fm);

%Eje del tiempo: tiempo=(1:porcion)/fm; figure subplot(3,1,1) plot(tiempo(1:porcion/2),x_porc(1:porcion/2)) axis([0.1 5 -50 50]); ylabel('TIME 0-5 SEC') subplot(3,1,2) plot(tiempo((porcion/2+1):porcion),x_porc((porcion/2+1):porcion)) axis([5.01 10 -50 50]); ylabel('TIME 6-10 SEC') subplot(3,1,3) plot(frecNorm,P_welch,'b') ylabel('DSP visto en porciones') grid on incremento=incremento+porcion; end

EJEMPLO: Visualización de la señal cada t segundos (usando welch).

Resultados:

PROBLEMA: VISUALIZACIÓN DE MUCHAS GRÁFICAS, NO ES PRÁCTICO. NECESITAMOS UN MÉTODO QUE PERMITA VER LA EVOLUCIÓN DEL CONTENIDO DE FRECUENCIAS EN FUNCIÓN DEL TIEMPO.

Una forma conveniente de ver toda la información en una sola gráfica, es la utilización del ESPECTROGRAMA

SOLUCIÓN: EL ESPECTROGRAMA:

COMPROMISO ENTRE:

RESOLUCIÓN EN FRECUENCIA

VS

RESOLUCIÓN EN TIEMPO

EJEMPLO 1: Analizar dos tonos continuos de 20 y 40 Hz con las siguientes duraciones: VER LA RESOLUCIÓN EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA.

RESOLUCIÓN:

clear all; close all;

fs = 500; % frecuencia de muestreoN = 1024; % Longitud de la señalf1 = 20; % Frecuencia del primer tonof2 = 40; % SFrecuencia del segundo tononFFT = 1024; %64; % 512; %64; % nFFT

% Ver COMPROMISO: resolucion tiempo - frecuencia:% Para un caso: mejorresolucion en tiempo y para % el otro, mejor resolucion en frecuencia

% -------------------------------------------------LongVentana=256; %32Solapamiento=128; %16% -------------------------------------------------

% Construct a step change in frequencytn = (1:N/4)/fs; % Time vector used to create sinusoidsx = [zeros(N/4,1); sin(2*pi*f1*tn)'; sin(2*pi*f2*tn)';...zeros(N/4,1)];t = (1:N)/fs; % Time vector used to plotplot(t,x,'k');% ....labels....

% El espectrograma:

figurespecgram(x,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento)colorbar('vert')

%[B,f,t] = specgram(x,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento);B = abs(B); % Get spectrum magnitudefigure;mesh(t,f,B); % Plot Spectrogram as 3-D meshview(160,40); % Change 3-D plot viewaxis([0 2 0 100 0 20]); % Example of axis andxlabel('Time (sec)'); % labels for 3-D plotsylabel('Frequency (Hz)');figurecontour(t,f,B); % Plot spectrogram as contour plot% ....labels and axis....

LongVentana=256; Solapamiento=128;

LongVentana=32; Solapamiento=16;

EJEMPLO 2

Genere un tono de 5 segundos de 500 Hz, seguido por un tiempo de silencio de 3 segundos y luego un tono de 1000 Hz de 4 segundos. Realice el análisis espectral por medio de la técnica de Welch. Ahora invierta el orden de los dos tonos de 500 y 1000 Hz y vuelva a realizar el análisis espectral y concluya qué pasa con la información entregada por dicho análisis espectral en ambos casos. Ahora utilice una técnica tiempo – frecuencia para analizar ambos casos y verificar que ahora sí que este método nos permite diferenciar las dos secuencias.

• PASO 1Necesitamos ingresar variables que se utilizarán en el programa como es la frecuencia de muestreo que necesitamos por lo menos 10 veces la frecuencia.

• fs = 5000; % frecuencia de muestreo• N = 512; % Longitud de la señal• f1 = 500; % Frecuencia del primer tono• f2 = 1000; % Frecuencia del segundo tono• % 2.- Costruccion de la señal con las respectivas interrupciones• tn = (1:195*N/4)/fs; % vector de tiempo para crear las sinusoid 5 seg• tn_1=(1:155*N/4)/fs;% vector de tiempo para crear las sinusoid 4 seg• x = [sin(2*pi*f1*tn)'; zeros(120*N/4,1); sin(2*pi*f2*tn_1)';...• zeros(120*N/4,1)];• size (zeros(10*N/4,1)) %Verificar el tamaño de los vectores interrupciones• size(sin(2*pi*f1*tn)') %Verificar el tamaño de los vectores sinusoides 5 seg• size(x) %Verificar el tamaño del vector total• t = (1:75520)/fs; % vexctor de tiempo usado para el plot con el mismo tamaño del vector x• size (t)• figure• plot(t,x);

Utilizamos una función que nos de valores de tiempo que duren 4 y 5 seg por lo que los llamaremos tn tn_1, estas las utilizaremos para graficar las funciones sinusoidales a las frecuencias pedidas en el ejercicio.

Con la función zero creamos un intervalo de ceros que duren el tiempo que se indica y que comienza a utilizarse cuando la función seno termina su tiempo, luego hacemos lo mismo con la otra función seno con la otra frecuencia.

Luego graficamos las funciones como vimos en clase con el plot y vemos estos resultados.

• PASO 2Como se vió en el problema anterior graficamos el espectro de la señal para

darnos lo siguiente:• %3.- Realice el análisis espectral por medio de la técnica de Welch• nFFT = 1024; • LongVentana=256; • Solapamiento=128; • [P_welch_BB,F_welch_BB] = pwelch(x,LongVentana,Solapamiento,nFFT,fs);• figure• plot(F_welch_BB,P_welch_BB,'g')

• PASO 4Invertimos los datos de las frecuencias pero en las mismas funciones de las

sinusoides.• x_invertida = [sin(2*pi*f2*tn_1)'; zeros(120*N/4,1);sin(2*pi*f1*tn)' ;...• zeros(120*N/4,1)];• size(x_invertida) %Verificar el tamaño del vector total• t_1= (1:75520)/fs; % vector de tiempo usado para el plot con el mismo tamaño del vector

x_invertida• size (t)• plot(t,x_invertida,'k');

Como podemos observar la gráfica es distinta a la que se obtuvo en un comienzo, la duración es diferente y si se agranda las señales se puede ver las frecuencias.

Similar al paso anterior graficaremos los espectros y veremos sus resultados.

• PASO 5: incapacidad para diferenciar las dos señales por medio de un simple análisis espectral.

Como se esperaba, la grafica del espectro es la misma y la técnica mejorada de Welch fue incapaz de diferenciar las dos señales.

Para poder diferenciar en el tiempo y frecuencia utilizaremos las funciones vistas en clase specgram y contour.

Ingresando los valores iguales a los que se ingresan en el espectro como:X:señalnFFT,fs,LongVentana,Solapamiento los mismo que se ingresa en el espectro.

• % El espectrograma: • figure• subplot (2,1,1)• specgram(x,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento)• colorbar('vert')• subplot (2,1,2)• specgram(x_invertida,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento)• colorbar('vert')

• [B,f,t] = specgram(x,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento);• B = abs(B); % Get spectrum magnitude• figure• subplot (2,1,1)• contour(t,f,B); • title ('tiempo-frecuencia')• [B1,f1,t1] = specgram(x_invertida,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento);• B1= abs(B1); % Get spectrum magnitude• subplot (2,1,2)• contour(t1,f1,B1);• title ('tiempo-frecuencia')

En los resultados podemos ver ya la diferencia en los datos ingresados ya que el espectro no nos indicaba una diferencia, mediante las funciones anteriores nos pueden enseñar las graficas en función del tiempo.

Ejemplo 3:En el siguiente programa se va a realizar el análisis de una señal con distintas frecuencias: a) primero en orden ascendente y luego

b) aleatoriamente,

Para ello utilizaremos las instrucciones:specgram, mesh y contour.

clear all; close all;clc; f1 = 100;fs = 10000; % frecuencia de muestreoN = 100000; % Longitud de la señal % Frecuencia del primer tononFFT = 8192; % Ver COMPROMISO: resolucion tiempo - frecuencia:% Para un caso: mejorresolucion en tiempo y para % el otro, mejor resolucion en frecuencia % -------------------------------------------------LongVentana=2500; Solapamiento=1250; % ------------------------------------------------- % Construct a step change in frequencytn = (1:N/10)/fs; % Time vector used to create sinusoids

% generación se una señal con frecuencias en orden ascendentes:

x = [];for i=1:1:10 xi = sin(2*pi*f1*i*tn); x = cat(2,x,xi);end

t = (1:N)/fs; % Time vector used to plotsound(x,fs)plot(t,x,'k');% ....labels.... % El espectrograma: figurespecgram(x,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento)colorbar('vert')

[B,f,t] = specgram(x,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento);B = abs(B); % Get spectrum magnitudefigure;mesh(t,f,B); % Plot Spectrogram as 3-D meshview(160,40); % Change 3-D plot viewaxis([0 2 0 100 0 20]); % Example of axis and

xlabel('Time (sec)'); % labels for 3-D plotsylabel('Frequency (Hz)');figurecontour(t,f,B); % Plot spectrogram as contour plot% ....labels and axis....

%*********************************************************** %AHORA HACEMOS LO MISMO PERO PARA UNA SEÑAL CON FRECUENCIAS ALEATORIAS frand=randperm(10);x1 = [];for i=1:1:10 xi = sin(2*pi*f1*frand(i)*tn); x1 = cat(2,x1,xi);end sound(x1,fs)t = (1:N)/fs;plot(t,x1,'k');

% El espectrograma: figurespecgram(x1,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento)colorbar('vert') [B,f,t] = specgram(x1,nFFT,fs,LongVentana,Solapamiento);B = abs(B); % Get spectrum magnitudefigure;mesh(t,f,B); % Plot Spectrogram as 3-D meshview(160,40); % Change 3-D plot viewaxis([0 2 0 100 0 20]); % Example of axis andxlabel('Time (sec)'); % labels for 3-D plotsylabel('Frequency (Hz)');figurecontour(t,f,B); % Plot spectrogram as contour plot

Se observa la señal en tiempo que dura 10 y cuyas frecuencias van en orden ascendente. El gráfico inferior se realizó un zoom en la región de 0 a 2,5 s donde se encuentran las frecuencias más bajas para mejor visualización.

En el primer gráfico se observa las frecuencias en diferentes tiempos obtenidas con la función specgram, en la figura de la derecha se verifica el contorno de la gráfica hecha con especgram gracias a la función contour, para terminar la figura en 3D se obtiene gracias a la función mesh aplicada a la gráfica de specgram.

En la gráfica superior se observa la señal en tiempo que dura 10 con el cambio de las frecuencias en orden aleatorio, las gráficas inferiores tienen un zoom en la regiones donde se encuentran las frecuencias más bajas para mejor visualización.

En estos gráficas como en el caso anterior se observan las gráficas hechas con las funciones specgram, contour y mesh de la señal que contiene frecuencias en orden aleatorio en un período de 10 de segundos, pero aquí se capturó las graficas para una ventana de 6000, por lo que hay menor resolución en tiempo.

Conclusión:

Mientras más pequeña sea la ventana, la resolución en frecuencia disminuye y aumenta en tiempo, y si es al contrario la ventana es muy grande, la resolución en tiempo disminuye mientras de resolución en frecuencia aumenta, esto debido a los efectos del enventanado ya que mientras más pequeña la ventana, más grande el lóbulo principal y menor su efecto sobre los lóbulos secundarios y viceversa.

Fin







YA

YA

YA

YA

RESUMEN DE PROBLEMAS:1. Problema de resolución en frecuencia: ventana rectangular2. Problema de detección: ventana distinta a la rectangular: BH4T3. Problema de ruido (variabilidad excesiva): técnicas de promediado espectral Bartlett y

Welch4. Problema de información en tiempo y en frecuencia: técnicas tiempo – frecuencia (el

espectrograma)5. Problema de información en tiempo y en frecuencia más el problema de detección:

técnicas tiempo – frecuencia (el espectrograma) más BH4T.6. Problema de información en tiempo y en frecuencia más el problema de ruido

(variabilidad excesiva): técnicas de tiempo – frecuencia (el espectrograma) más promediado espectral Bartlett y Welch

2_2_metodos Mejorados - ado y T-f - Octubre 2010

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