23088308-Corriente-alterna

8/14/2019 23088308-Corriente-alterna

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Cuaderno de Actividades: Fsica II

11) CORRIENTE ALTERNA

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 205


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( ) t


11.1) Generadores

( ) m

CORRIENTES

ALTER

t e t

N S

n

A

s

+

678

Se pueden producir con un sistema de bobinas en la regin de B debido ainduccin Faraday.**La f.e.m. alterna la circulacin de las corrientes.

11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e

inductivosi) Circuito Resistivo

( )( ) { }

?

M

i i t

t sen t

= =

2Ley de Kirchoff:

- Ri 0

( ) { } { }

( ) { }

M M

M M M

i t sen t I sen

i t I sen

t

R

R

t I

R

=



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( ) { } ( ) { }M M t sen t i t I sen t

:

( )

FASE

v i

USANDO FASORES ( =VECTORES), para describir lasrelaciones v-i

Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valoresmximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando confrecuencia angular en un plano, de tal manera que los valores instantneosde las CF se obtienen mediante su proyeccin en el eje vertical.

Para el circuito resistivo:

( ) { } { }( ) M M t v t sen sen t = = ( ) { } { }M M i t I sen I sen t

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo

( )v t

( )i t

M V

M I

t

207


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( ) t


Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)

ii) Circuito Capacitivo

C

De 2Ley de Kirchhoff:

q

- 0

( ) { } { }

{ }cos

M M

M

t V sen t q CV sen t

dqi CV t

dt

( ) { }

( )

cos

2

M

M

i t CV t

i t CV sen t

+

( )2M

i t I sen t

+

{ } 1M M M M I C V V I C

M C M V I



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, : Re1

actanciaC C

Capacit C

iva

Con lo que las ecuaciones para V e i, resulta,

( ) { }( ) M t v t V sen t = ( ) 2M i t I sen t

+

Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor adelanta en ( /2) al voltaje, en el lenguaje de fasores tendramos la siguienterepresentacin,

De igual forma en el lenguaje grafico, las curvas v-i muestran el mismoadelanto de la corriente frente al voltaje,


M V M I

209


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( ) t


iii) Circuito Inductivo

( ) ?

dt

=

De la 2Ley de Kirchhoff:

di - L 0

i i t


En la ecuacin de corrientes,

{ }M M M M V

I V L I L

M L M LV I L

: Reactancia L inductiva

Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de ( /2) de lacorriente frente al voltaje,


Este retraso es claramente descrito por los fasores,


M V

M I

210


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La informacin contenida en la grfica V-t muestra claramente este retraso dela corriente,

iv)

Observaciones

j) Grafico de reactancias

La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias c y L, enfuncin de la ,

( ) R R

1C C

L L

jj)Corriente y voltaje eficaz,I ef , Vef

Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, sedeterminan usando criterios energticos, como por ejemplo, a un circuitoresistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potenciadisipada por R sea la misma,



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( )2 2

" " max

M P

P

i t I sen t I sen t

I I pico o ima

+ +

Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia delcircuito continuo, I=I ef . Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)

genera la mitad de potencia que I m ( o I p),

( )1

22 P e f I I ei

P t f

I I P P P

Razonamiento anlogo conduce a,2

P ef

V V


I

PI

R

Pi

212

i(t)


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11.3) Circuitos RLC en serie

( ) ?i i t =

De la 2 da de Kirchhoff,

( )

( )

0

1

...C

q dit Ri L

C dt

Rq q q t L LC resolviendola E Diferencial

+ +

&& &

Resolviendo usando FasoresEl diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,

Recuerden las correlaciones entre las corrientes y los voltajes; como en elcircuito en serie la corriente es la misma, comparamos los voltajes con lacorriente. Los fasores V L, VC y VR se componen para obtener el fasor V 0=VM,

de tal forma que,

( )2 2 2 0,,

,

L C R M M

CS

L L M C C M R M

V V V V V V

yconlas E

V I V I y V RI

+ =

= = =


( ) t i

( )i t

(t)

L

R

C

213


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( ){ }

( ){ }

2 2 2 2

12 2 2:

:Impedancia

L C M M

L C

M M ef ef

M M

R I V

Definiendo Z R

Z del circuito deCA

V ZI V ZI

V I

Z

+ =

= +

= =

=

Con lo que si,

( ) { } { }( )

,

tan( )

M M

L C

v t V sen t i t I sen t

Donde

R

=

Depende de la intensidad de los s,


X*

R

XL

XC

XL X c XL X cXL X c=

R

X *L

L a t e n s i n t o t a le s t a r a d e l a n t a d o

m e n o s d e 9 0 g r a d o sr e s p e c t o a l a

c o r r i e n t e

R

X*C

L a t e n s i n t o t a le s t a r r e t ra s a d o

m e n o s d e 9 0 g r a d o sr e s p e c t o a l a

c o r r i e n t e

R

T e n s i n t o t a l yc o r r i e n t ee n f a s e

X *L

XL XC

R

Z R XL

XC

R

X*c

XLXC

Z

214


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Observaciones:

i) Usando el plano complejo

Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumandocomplejamente R y las s ,

,

,

( )

C L

R C C L L

R C C L C

Z R

transformandoa impedancias complejas

Z R Z i y Z i

Z Z Z Z R i

= + +

= + + +

Esto es, si consideramos a las Z s , fasores en un plano complejo,

( ){ }1

2 2 2

1

?i Ln

C i

Z Z Z R Z =

= = + =

ii) Circuitos RLC en paralelo



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La Z del circuito se obtendr usando fasores de corriente, puesto que ahora seaplica el mismo voltaje a todos los Z s ,

122 2

122 2

1 1 1 1

M M M M

C L

C L

V V V V Z R

Z R

= +

= +

Tambin podramos asumir impedancias en paralelo, usando

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )

1

22

122 2

1

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1?

L C

C L C L

C L L C C L

C L C L L C

C L C L L C

C L L C

C L

n

i i

i

Z R i i Z R

R i R Z

Z R R i

R

Z Z

R i Z R

Z R

=

= + + = ++ = = +

= +

= + =


IC

IL

IR

VM

IM

216


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11.4) Potencia de un circuito de CA

i) P instantanea,P(t)

( ){ } { }

{ } { }

( )

...M M

M M

v t i t

V sen t I sen t

P V I sen t sen

P

P

t

ii) P Media, P M

{ } { } { } { }

{ } { }

{ } { }

2

2

( )

1cos 2

2

12 0

2

T

M M

M M

T

m

T

P t

P V I sen t sen t sen

P V I sen t sen t

sen t sen t

P

{ } { } { } { }

{ } { }2

2 2

0 0

12 2 0

2

1cos cos

2?m

T T

T T

M M ef ef

ef

sen t sen t dt sen t sen t dt

P I

P V I V I

R

Al factor cos( ) se le llama FACTOR DE POTENCIA , describe la influencia delas impedancias (reactancias) sobre la P m.



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11.5) ResonanciaEs un fenmeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor mximo(CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condicin,

1res

LC

En general:

( ) ( )( )

22

2

2

2 2

22 2 2 2 222

( )1

1

ef

ef ef ef

m ef

ef m m

res

V I I

R LC

P I R

V P R

R

V R P

L L

C

R

+

+

+

La grafica P m- muestra la dependencia con res . A dicha frecuencia elcircuito se comportar como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos einductivos se anulan mutuamente.


218


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En las curvas de P m se define el factor de calidad, Q 0,el cual se vincula a R,

0resQ

Donde w se mide amedia altura,P m = (P m,max /2)

Es curioso o no que en los circuitos en paralelo se obtenga?



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11.7) Circuitos Filtro

Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar seales elctricas enfuncin de la frecuencia, es decir, pueden filtrar seales de baja frecuencia, altafrecuencia o una banda determinada de frecuencias.

i) CF pasa bajas

La ganancia, g, es notable para seales de baja frecuencia.

La g se define de la siguiente manera,

, : : s e se

V V en la salida yV V de ent V

g aV rad

Tenemos el siguiente circuito,

El voltaje de salida se toma en el condensador , de tal forma que la gananciaes,

( )222

1

11

1

c

e

M

M

s I wC ZI

RwC

V g

V RwC

+

+

donde la g es casi 1 para bajas w s , como se muestra en la grafica,


R1

1.0kohm

C1

1.0uFV1

1V 1000Hz

1 2

0


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ii) CF pasa altas

La ganancia, g, es notable para seales de alta frecuencia.

Usando el mismo circuito,

El voltaje de salida se toma en la resistencia , de tal forma que la ganancia es,

222

11

11e

M

M

s RI RV g

RwC

ZI R

V

wC

+

+

observamos que la g es casi1 para altas w s , como semuestra en la grafica,


g 1

0 w

g

1

0 w

223

R1

1.0kohm

C1

1.0uFV1

1V 1000Hz

1 2

0


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? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.

? Como se construira un circuito pasa banda, (w 1, w 2).

? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.

? Aplicaciones tecnolgicas del los CF.

Aplicaciones:



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S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito LCRserie con R = 1 k , L = 50 mH y C = 2,5 F.a) Cul es la frecuencia de resonancia del circuito?b) Cul es el valor de Q?c) A qu frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el

generador es la mitad de su valor mximo?

SOLUCION:

a) CA, RCL ene serie: 3 6 310 , 2,5 10 50 10 R C y L

( ) ( )0

3 6

1 1

50 10 ,5 0?

2 1resw w

LC

b) y c) ,max1

? ? / ( )2 s m m

Q y w P w P

El factor de calidad Q, se obtiene por,

( )

? L rese resr sw Lw

Rw

Qw R

donde, w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra lafigura, 2 1 ,w w w

1 2 1 2 ,max1

?, ? / ( ) ( )2m m m

w w w P w P w P

yendo a la ecuacion de m P w , e imponiendo la condicin de w s ,


Pm

P m,max

(1/2)P m,max

0 w w1 wres w2

225


22/27


( ) ( )

2 2

22 2 2 2 2ef

m

res

V R P

R L

+

( )( )

2 2 2

22 2 2 2 2

12

ef ef

m

res

V R V P

R R L

+

( )22 2 2 2 2 2 2

res res

R R Lw w L w

2 2 2 2

2 2

...

...

0

0

res res

res

w w w w

w

R Rw w

L L

Rw

L

I

w II

+

22

22

1 3

4 4

2:

2

res res R R R R L L L L

w ww w

DeI

+ + +

22

2

22

4

4 4

2:

2

res resw w D

R R R R

e II L L L L

w w

+ + + + +

Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,

1

2

?

?

?

resw L Rw L

Q R

w

w



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24/27


2 2 2 2

,

8 125 125,3

0, 92 125, 3 115, 1,3 8 82

C RC

M RC p

f RC eM

R

V I V

V

+ +

e) Combinacin CL,

,

109

0,92 109 100 12

, 13 7 , pef

LC

M LC M LC V I V

V



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S6P25)En relacin al circuito mostrado,a) Halle la resistencia equivalente.b) Halle corriente por la resistencia.c) Halle la corriente por la inductancia.

d) Si se toma una seal por la resistencia Es unfiltro? Why.

SOLUCION:

Datos: 3 660, 150, 10, 5 10 , 20 10 pV R L C ,

a) La impedancia del sistema estara dada por,

( )

12 2

2 L C

C L

Z R

+

Calculando para,1

,C L y wLwC

( )( )

( )( )

6

3

1 1132,7

2 60 20 10

2 60 5 10 1,9

C

L

ywC

wL

Reemplazando en Z,

10,2 Z

b) Usando M M V I Z , resulta,

15014,7

10,2M I

c) Determinando el voltaje en el inductor,

( ) ( )2 22 2 2 2150 10 14,7 p R LC LC V V V V + +

( )29,8 29,8 1, 5,79 1 LC L L L L L I V V I I


10

150 V20 F

5mH60Hz

229


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S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste deimpedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador estreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante untransformador. En la ecuacin V 1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarselas corrientes I 1 e I 2 con la impedancia del secundarios ya que I 2 =

V2/Z. Utilizando las ecuaciones2

2 11

N V V N

= demostrar que

( )1 2

1 2/ I

N N Z

= y, por consiguiente, Z ef = (N 1/N2)2Z.

SOLUCION:

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