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Cuaderno de Actividades: Fsica II
11) CORRIENTE ALTERNA
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( ) t
Cuaderno de Actividades: Fsica II
11.1) Generadores
( ) m
CORRIENTES
ALTER
t e t
N S
n
A
s
+
678
Se pueden producir con un sistema de bobinas en la regin de B debido ainduccin Faraday.**La f.e.m. alterna la circulacin de las corrientes.
11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e
inductivosi) Circuito Resistivo
( )( ) { }
?
M
i i t
t sen t
= =
2Ley de Kirchoff:
- Ri 0
( ) { } { }
( ) { }
M M
M M M
i t sen t I sen
i t I sen
t
R
R
t I
R
=
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( ) { } ( ) { }M M t sen t i t I sen t
:
( )
FASE
v i
USANDO FASORES ( =VECTORES), para describir lasrelaciones v-i
Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valoresmximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando confrecuencia angular en un plano, de tal manera que los valores instantneosde las CF se obtienen mediante su proyeccin en el eje vertical.
Para el circuito resistivo:
( ) { } { }( ) M M t v t sen sen t = = ( ) { } { }M M i t I sen I sen t
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( )v t
( )i t
M V
M I
t
207
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( ) t
Cuaderno de Actividades: Fsica II
Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)
ii) Circuito Capacitivo
C
De 2Ley de Kirchhoff:
q
- 0
( ) { } { }
{ }cos
M M
M
t V sen t q CV sen t
dqi CV t
dt
( ) { }
( )
cos
2
M
M
i t CV t
i t CV sen t
+
( )2M
i t I sen t
+
{ } 1M M M M I C V V I C
M C M V I
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
, : Re1
actanciaC C
Capacit C
iva
Con lo que las ecuaciones para V e i, resulta,
( ) { }( ) M t v t V sen t = ( ) 2M i t I sen t
+
Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor adelanta en ( /2) al voltaje, en el lenguaje de fasores tendramos la siguienterepresentacin,
De igual forma en el lenguaje grafico, las curvas v-i muestran el mismoadelanto de la corriente frente al voltaje,
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M V M I
209
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( ) t
Cuaderno de Actividades: Fsica II
iii) Circuito Inductivo
( ) ?
dt
=
De la 2Ley de Kirchhoff:
di - L 0
i i t
( ) { }( ) M t v t V sen t = ( ) 2M i t I sen t
En la ecuacin de corrientes,
{ }M M M M V
I V L I L
M L M LV I L
: Reactancia L inductiva
Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de ( /2) de lacorriente frente al voltaje,
( ) { }( ) M t v t V sen t = ( ) 2M i t I sen t
Este retraso es claramente descrito por los fasores,
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
M V
M I
210
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
La informacin contenida en la grfica V-t muestra claramente este retraso dela corriente,
iv)
Observaciones
j) Grafico de reactancias
La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias c y L, enfuncin de la ,
( ) R R
1C C
L L
jj)Corriente y voltaje eficaz,I ef , Vef
Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, sedeterminan usando criterios energticos, como por ejemplo, a un circuitoresistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potenciadisipada por R sea la misma,
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )2 2
" " max
M P
P
i t I sen t I sen t
I I pico o ima
+ +
Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia delcircuito continuo, I=I ef . Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)
genera la mitad de potencia que I m ( o I p),
( )1
22 P e f I I ei
P t f
I I P P P
Razonamiento anlogo conduce a,2
P ef
V V
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I
PI
R
Pi
212
i(t)
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11.3) Circuitos RLC en serie
( ) ?i i t =
De la 2 da de Kirchhoff,
( )
( )
0
1
...C
q dit Ri L
C dt
Rq q q t L LC resolviendola E Diferencial
+ +
&& &
Resolviendo usando FasoresEl diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,
Recuerden las correlaciones entre las corrientes y los voltajes; como en elcircuito en serie la corriente es la misma, comparamos los voltajes con lacorriente. Los fasores V L, VC y VR se componen para obtener el fasor V 0=VM,
de tal forma que,
( )2 2 2 0,,
,
L C R M M
CS
L L M C C M R M
V V V V V V
yconlas E
V I V I y V RI
+ =
= = =
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( ) t i
( )i t
(t)
L
R
C
213
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( ){ }
( ){ }
2 2 2 2
12 2 2:
:Impedancia
L C M M
L C
M M ef ef
M M
R I V
Definiendo Z R
Z del circuito deCA
V ZI V ZI
V I
Z
+ =
= +
= =
=
Con lo que si,
( ) { } { }( )
,
tan( )
M M
L C
v t V sen t i t I sen t
Donde
R
=
Depende de la intensidad de los s,
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X*
R
XL
XC
XL X c XL X cXL X c=
R
X *L
L a t e n s i n t o t a le s t a r a d e l a n t a d o
m e n o s d e 9 0 g r a d o sr e s p e c t o a l a
c o r r i e n t e
R
X*C
L a t e n s i n t o t a le s t a r r e t ra s a d o
m e n o s d e 9 0 g r a d o sr e s p e c t o a l a
c o r r i e n t e
R
T e n s i n t o t a l yc o r r i e n t ee n f a s e
X *L
XL XC
R
Z R XL
XC
R
X*c
XLXC
Z
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
Observaciones:
i) Usando el plano complejo
Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumandocomplejamente R y las s ,
,
,
( )
C L
R C C L L
R C C L C
Z R
transformandoa impedancias complejas
Z R Z i y Z i
Z Z Z Z R i
= + +
= + + +
Esto es, si consideramos a las Z s , fasores en un plano complejo,
( ){ }1
2 2 2
1
?i Ln
C i
Z Z Z R Z =
= = + =
ii) Circuitos RLC en paralelo
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
La Z del circuito se obtendr usando fasores de corriente, puesto que ahora seaplica el mismo voltaje a todos los Z s ,
122 2
122 2
1 1 1 1
M M M M
C L
C L
V V V V Z R
Z R
= +
= +
Tambin podramos asumir impedancias en paralelo, usando
( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )
1
22
122 2
1
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1?
L C
C L C L
C L L C C L
C L C L L C
C L C L L C
C L L C
C L
n
i i
i
Z R i i Z R
R i R Z
Z R R i
R
Z Z
R i Z R
Z R
=
= + + = ++ = = +
= +
= + =
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IC
IL
IR
VM
IM
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11.4) Potencia de un circuito de CA
i) P instantanea,P(t)
( ){ } { }
{ } { }
( )
...M M
M M
v t i t
V sen t I sen t
P V I sen t sen
P
P
t
ii) P Media, P M
{ } { } { } { }
{ } { }
{ } { }
2
2
( )
1cos 2
2
12 0
2
T
M M
M M
T
m
T
P t
P V I sen t sen t sen
P V I sen t sen t
sen t sen t
P
{ } { } { } { }
{ } { }2
2 2
0 0
12 2 0
2
1cos cos
2?m
T T
T T
M M ef ef
ef
sen t sen t dt sen t sen t dt
P I
P V I V I
R
Al factor cos( ) se le llama FACTOR DE POTENCIA , describe la influencia delas impedancias (reactancias) sobre la P m.
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11.5) ResonanciaEs un fenmeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor mximo(CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condicin,
1res
LC
En general:
( ) ( )( )
22
2
2
2 2
22 2 2 2 222
( )1
1
ef
ef ef ef
m ef
ef m m
res
V I I
R LC
P I R
V P R
R
V R P
L L
C
R
+
+
+
La grafica P m- muestra la dependencia con res . A dicha frecuencia elcircuito se comportar como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos einductivos se anulan mutuamente.
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
En las curvas de P m se define el factor de calidad, Q 0,el cual se vincula a R,
0resQ
Donde w se mide amedia altura,P m = (P m,max /2)
Es curioso o no que en los circuitos en paralelo se obtenga?
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
11.7) Circuitos Filtro
Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar seales elctricas enfuncin de la frecuencia, es decir, pueden filtrar seales de baja frecuencia, altafrecuencia o una banda determinada de frecuencias.
i) CF pasa bajas
La ganancia, g, es notable para seales de baja frecuencia.
La g se define de la siguiente manera,
, : : s e se
V V en la salida yV V de ent V
g aV rad
Tenemos el siguiente circuito,
El voltaje de salida se toma en el condensador , de tal forma que la gananciaes,
( )222
1
11
1
c
e
M
M
s I wC ZI
RwC
V g
V RwC
+
+
donde la g es casi 1 para bajas w s , como se muestra en la grafica,
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 222
R1
1.0kohm
C1
1.0uFV1
1V 1000Hz
1 2
0
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
ii) CF pasa altas
La ganancia, g, es notable para seales de alta frecuencia.
Usando el mismo circuito,
El voltaje de salida se toma en la resistencia , de tal forma que la ganancia es,
222
11
11e
M
M
s RI RV g
RwC
ZI R
V
wC
+
+
observamos que la g es casi1 para altas w s , como semuestra en la grafica,
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
g 1
0 w
g
1
0 w
223
R1
1.0kohm
C1
1.0uFV1
1V 1000Hz
1 2
0
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.
? Como se construira un circuito pasa banda, (w 1, w 2).
? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.
? Aplicaciones tecnolgicas del los CF.
Aplicaciones:
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito LCRserie con R = 1 k , L = 50 mH y C = 2,5 F.a) Cul es la frecuencia de resonancia del circuito?b) Cul es el valor de Q?c) A qu frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el
generador es la mitad de su valor mximo?
SOLUCION:
a) CA, RCL ene serie: 3 6 310 , 2,5 10 50 10 R C y L
( ) ( )0
3 6
1 1
50 10 ,5 0?
2 1resw w
LC
b) y c) ,max1
? ? / ( )2 s m m
Q y w P w P
El factor de calidad Q, se obtiene por,
( )
? L rese resr sw Lw
Rw
Qw R
donde, w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra lafigura, 2 1 ,w w w
1 2 1 2 ,max1
?, ? / ( ) ( )2m m m
w w w P w P w P
yendo a la ecuacion de m P w , e imponiendo la condicin de w s ,
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
Pm
P m,max
(1/2)P m,max
0 w w1 wres w2
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( ) ( )
2 2
22 2 2 2 2ef
m
res
V R P
R L
+
( )( )
2 2 2
22 2 2 2 2
12
ef ef
m
res
V R V P
R R L
+
( )22 2 2 2 2 2 2
res res
R R Lw w L w
2 2 2 2
2 2
...
...
0
0
res res
res
w w w w
w
R Rw w
L L
Rw
L
I
w II
+
22
22
1 3
4 4
2:
2
res res R R R R L L L L
w ww w
DeI
+ + +
22
2
22
4
4 4
2:
2
res resw w D
R R R R
e II L L L L
w w
+ + + + +
Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,
1
2
?
?
?
resw L Rw L
Q R
w
w
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2 2 2 2
,
8 125 125,3
0, 92 125, 3 115, 1,3 8 82
C RC
M RC p
f RC eM
R
V I V
V
+ +
e) Combinacin CL,
,
109
0,92 109 100 12
, 13 7 , pef
LC
M LC M LC V I V
V
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
S6P25)En relacin al circuito mostrado,a) Halle la resistencia equivalente.b) Halle corriente por la resistencia.c) Halle la corriente por la inductancia.
d) Si se toma una seal por la resistencia Es unfiltro? Why.
SOLUCION:
Datos: 3 660, 150, 10, 5 10 , 20 10 pV R L C ,
a) La impedancia del sistema estara dada por,
( )
12 2
2 L C
C L
Z R
+
Calculando para,1
,C L y wLwC
( )( )
( )( )
6
3
1 1132,7
2 60 20 10
2 60 5 10 1,9
C
L
ywC
wL
Reemplazando en Z,
10,2 Z
b) Usando M M V I Z , resulta,
15014,7
10,2M I
c) Determinando el voltaje en el inductor,
( ) ( )2 22 2 2 2150 10 14,7 p R LC LC V V V V + +
( )29,8 29,8 1, 5,79 1 LC L L L L L I V V I I
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10
150 V20 F
5mH60Hz
229
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste deimpedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador estreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante untransformador. En la ecuacin V 1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarselas corrientes I 1 e I 2 con la impedancia del secundarios ya que I 2 =
V2/Z. Utilizando las ecuaciones2
2 11
N V V N
= demostrar que
( )1 2
1 2/ I
N N Z
= y, por consiguiente, Z ef = (N 1/N2)2Z.
SOLUCION: