Antología de Probabilidad

2.3 AXIOMAS Y TEOREMAS

Tal vez fue el afán inextinguible del hombre por las apuestas lo que condujo al primer desarrollo

de la teoría de la probabilidad. En un esfuerzo por aumentar sus victorias, acudió a los

matemáticos para que le proporcionaran estrategias óptimas para diversos juegos de azar.

Algunos de los matemáticos que accedieron a este pedido fueron Pascal, Leibniz, Fermat y James

Bernoulli. Como resultado de este temprano surgimiento de la teoría de la probabilidad, la

inferencia estadística, con todas sus predicciones y generalizaciones, se ha extendido más allá de

los juegos de azar para cubrir muchos otros campos que se relacionan con los sucesos aleatorios,

como la política, los negocios, el pronóstico del tiempo y la investigación científica. Para que

estas predicciones y generalizaciones sean suficientemente exactas, resulta esencial contar con un

entendimiento claro de la teoría básica de la probabilidad.

Qué se quiere decir cuando se hacen afirmaciones como "Juan probablemente ganará la partida

de tenis", "Tengo el 50% de posibilidades de obtener un número par .al lanzar un dado", "No

estoy seguro de ganar en la lotería esta noche", o "La mayoría de nuestros graduados

probablemente se habrá casado dentro de 3 años". En cada caso se expresa un resultado del cual

no se tiene plena certeza, pero en virtud de la información que se tiene del pasado o de la

comprensión de la estructura del experimento, se logra cierto' grado de confianza en la validez de

la aseveración.

En el resto de esta sección se consideran únicamente aquellos experimentos para los cuales el

espacio muestral contiene un número finito de elementos. La posibilidad de que se presente un

evento resultante de tal experimento estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números

reales llamados pesos o probabilidades que caen en el rango de 0 a 1. A cada punto en el espacio

muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1. Si se

tiene la razón para creer que un cierto punto muestral tiene una gran posibilidad de ocurrir

cuando el experimento se lleva a cabo, la probabilidad que se le asigne deberá ser cercana a 1.

Por el contrario se le asigna una probabilidad cercana a cero a un punto muestral que es muy

posible que no ocurra. En muchos experimentos, tales como lanzar una moneda o un dado, todos

los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de presentarse y se les asignan probabilidades

iguales. A los puntos fuera del espacio muestral, esto es, a los eventos simples que no es posible

que se den se les asigna una probabilidad de cero.

Unidad 2 93 Axiomas y teoremas de probabilidad

Antología de Probabilidad

Para encontrar la probabilidad de un evento A, se suman todas las probabilidades asignadas a

los puntos muestrales en A. Esta suma se llama la probabilidad de A y es expresada por P(A).

Definición 2.3.1. La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos

muestrales de A. Por lo tanto,

Se lee: La probabilidad de A se encuentra entre 0 y 1, La probabilidad de que no suceda es

igual a 0 y La total probabilidad de que suceda es igual a 1.

Ejemplo 2.3.1. Una moneda se lanza dos veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga

cuando menos una vez en cara?

Solución: El espacio muestral para este experimento es:

S = {HH, HT, TH,TT}

Si se equilibra la moneda, sería igualmente posible que ocurriera cada uno de estos resultados. Por

lo tanto, se le asigna una probabilidad de w a cada punto muestral. Entonces, 4w = 1 o w = 1/4.

Si A representa el evento de que se presente cara al menos una vez, entonces

A = {HH, HT, TH}

Ejemplo 2.3.2. Se carga un dado de tal manera que un número par tiene el doble de posibilidades de

presentarse que un non. Si E es el evento en el que se da un número menor que 4 en un solo

lanzamiento, encuentre P(E).

Solución: El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se le asigna una probabilidad de w a cada

número non y de 2w a cada par. Dado que la suma de las probabilidades debe ser 1, se tiene 9w = 1 o

w = 1/9. De aquí que las probabilidades de 1/9 y 2/9 se le asignan a cada número non y par,

respectivamente. Por lo tanto,

E = {l, 2, 3}

Axiomas y teoremas de probabilidad 94 Unidad 2

Antología de Probabilidad

Ejemplo 2.3.4. En el ejemplo 2.3.2. sea A el evento de que el dado caiga en un número par y B el

evento de que resulte uno divisible entre 3. Encuentre P(A B) Y P(A B).

Solución: Para los eventos A = {2, 4, 6} y B = {3, 6} se tiene que A U B = {2, 3, 4, 6} y

A B = {6}. Al asignarle una probabilidad de 1/9 a cada impar y de 2/9 a cada par, entonces

y

Si el espacio muestral para un experimento tiene N elementos, de los cuales todos tienen la

misma posibilidad de presentarse, a cada uno de los N puntos se le asigna una probabilidad

igual a l/N. La probabilidad de cualquier evento A que contiene n del total de N puntos

muestrales es, entonces, el cociente del número de elementos en A y el número de elementos

en S.

Teorema 2.3.1. Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes igualmente

factibles, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces

la probabilidad de este último es:

Ejemplo 2.3.6. Una mezcla de dulces contiene 6 'mentas, 4 chiclosos y 3 chocolates, Si una

persona realiza una selección al azar de uno de ellos, encuéntrese la probabilidad de obtener:

a) una menta, o b) un chicloso o un chocolate.

Solución: Sean M, T y C los eventos en que la persona selecciona una menta, un dulce de

melcocha o un chocolate, respectivamente, El número total de dulces es 13, todos con la misma

posibilidad de que se les escoja.

Unidad 2 95 Axiomas y teoremas de probabilidad

Antología de Probabilidad

a) Dado que 6 de los 13 dulces son de menta, la probabilidad del

evento M (seleccionar una menta al azar) es:

b) Dado que 7 de los 13 dulces son chiclosos o chocolates, se tiene que

Ejemplo 2.3.7. En una mano de póquer consistente de 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener

2 ases y 3 sotas.

Solución El número de formas de obtener 2 ases de 4 es:

y el número de formas de tener 3 sotas de 4 es:

Por la regla de la multiplicación, hay n = (6)(4) = 24 manos con 2 ases y 3 sotas. El número total de

manos de póquer de 5 cartas, todas igualmente probables, es:

Por lo tanto, la probabilidad del evento C: tener 2 ases y 3 sotas en una mano de 1 póquer de 5

cartas, es:

-5

Si los resultados de un experimento no tienen la misma posibilidad de ocurrir, las

probabilidades deben asignarse sobre la base de un conocimiento previo o una evidencia

experimental. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, se puede estimar la

probabilidad de caras y cruces al repetirlo un gran número de veces y registrar los

Axiomas y teoremas de probabilidad 96 Unidad 2

Antología de Probabilidad

resultados. De acuerdo con la definición de frecuencia relativa de probabilidad, las

probabilidades reales serían las fracciones de caras y cruces que ocurren en el largo plazo.

Para encontrar un valor numérico que represente adecuadamente la probabilidad de

victorias en tenis, se depende del comportamiento pasado como jugador y del que haya

mostrado el oponente, así como, hasta cierto punto, de la creencia de que se es capaz de

ganar. De la misma manera, para encontrar la probabilidad de que un caballo gane una

carrera, se debe llegar a una probabilidad basada en los registros previos de todos los

caballos que participan en la carrera, así como en los antecedentes de los jinetes que los

montan. La intuición, indudablemente, juega también un papel importante en la

determinación del monto de la apuesta que se estuviera dispuesto a colocar. El uso de la

intuición, de las creencias personales y de alguna otra información indirecta para determinar

probabilidades forma parte de la definición subjetiva de probabilidad.

En la mayor parte de las aplicaciones de la probabilidad, se utiliza la interpretación de la

frecuencia relativa de la probabilidad. Su fundamento descansa en el experimentó estadístico

más que en la subjetividad. Se le considera más bien como frecuencia relativa limitante. En

consecuencia, muchas aplicaciones de probabilidad en las Ciencias y en la Ingeniería deben

basarse en experimentos que pueden repetirse. Se encuentran nociones menos objetivas de

probabilidad cuando se asignan probabilidades con base en información previa y en opiniones.

Como ejemplo se presenta la afirmación "Es muy posible que los Leones pierdan el supertazón".

Cuando tales datos difieren de un individuo a otro, la probabilidad subjetiva se convierte en una

herramienta de gran relevancia.

Reglas aditivas

Frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad de algún evento a partir las probabilidades

de otros. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión puede representarse como la unión de otros

dos eventos o como el complemento de alguno. Enseguida se presentan varias leyes importantes

que a menudo simplifican el cálculo de las probabilidades. La primera, llamada la regla de

adición, se aplica a las uniones de los eventos.

Unidad 2 97 Axiomas y teoremas de probabilidad

Antología de Probabilidad

Teorema 2.3.2. Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

Demostración Considérese el diagrama de Ven n de la figura 1.7. La P(A B) es la suma de las

probabilidades de los puntos muestrales en A B. P(A) + P(B) es la suma de todas las

probabilidades enA más la suma de todas las probabilidades en B. Por lo tanto, se han sumado

dos veces las probabilidades en (A B). Dado que éstas se suman para dar P(A B), se debe

restar esta probabilidad una vez, para obtener la suma de las probabilidades en A B, es decir,

P(A B).

Figura 1.7 Regla aditiva de probabilidad.

Corolario 1 Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(A B) = P(A) + P(B).

El corolario 1 es resultado inmediato del teorema 2.3.2., ya que si A y B son mutuamente excluyentes, A B = 0 y entonces P(A B) = P( ) = 0. En general se escribe

Corolario 2 Si Al, A2, A3, ... ,An son mutuamente excluyentes, entonces

P(A1 U A2 U ….. U An)= P(A1)+P(A2)+……+P(An).

Corolario 3 Si Al, A2, A3, ... , ,An es una partición de un espacio muestral S, entonces

P(A1 U A2 U ….. U An)= P(A1)+P(A2)+……+P(An).

Axiomas y teoremas de probabilidad 98 Unidad 2

A

Antología de Probabilidad

= P(S)

= 1

Como puede esperarse, el teorema 2.3.2. se generaliza de manera análoga.

Teorema 2.3.3. Para tres eventos A, B y C

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) -P(A C) - P(B C) + P(A B C).

Ejemplo 2.3.8. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que

apruebe inglés es de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 1/4, ¿cuál es la

probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos?

Solución: Si M es el evento "aprobar matemáticas" y E el de "aprobar inglés", entonces, por la

regla de adición, se tiene que

P(M E) = P(M) + P(E) - P(M E)

Ejemplo 2.3.9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de

dados?

Solución Sea A el evento de que ocurra el 7 y B el de que se dé el 11. El 7 resulta en 6 de los 36

puntos muestrales y el 11, en sólo 2 de ellos. Dado que todos los puntos muestrales son igualmente

posibles, se tiene que P(A) = 1/6 y P(B) = 1/18. Los eventos son mutuamente excluyentes, dado que 7

y 11 no pueden presentarse en el mismo lanzamiento. Por lo tanto,

P(A B) = P(A) + P(B)

Este resultado también pudo obtenerse contando el número total de puntos para el evento A B,

Unidad 2 99 Axiomas y teoremas de probabilidad

Antología de Probabilidad

o sea 8, y escribir

El teorema 2.3.2. y sus tres corolarios deben ayudar al lector a tener un mayor conocimiento

de la probabilidad y de su interpretación. Los corolarios 1 y 2 sugieren el resultado muy

intuitivo de la probabilidad de que se presente al menos uno del total de eventos, sin que

puedan darse dos al mismo tiempo. La probabilidad de que al menos uno suceda es la suma

de las probabilidades de que ocurran los eventos individuales. El tercer corolario establece,

simplemente, que el valor más alto de una probabilidad (uno) se asigna al espacio muestral

entero S.

Ejemplo 2.3.10. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil,

seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son, respectivamente, 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23 ¿cuál

es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil en uno de esos colores?

Solución: Sean G, W, R y B los eventos de que un comprador seleccione, respectivamente, un

automóvil verde, blanco, rojo o azul. Dado que estos cuatro son mutuamente excluyentes, la

probabilidad es:

P(G U W U R U B) =P(G) +P(W) +P(R) +P(B) =0.09 +0.15 +0.21 +0.23 =0.68.

Muchas veces es más difícil calcular la probabilidad de que un evento suceda que de que no lo

haga. Si éste es el caso para cierto evento A, simplemente se encuentra la P(A') primero y

después se utiliza el teorema 2.3.4., para encontrar P(A) por substracción.

Teorema 2.3.4. Si A y A' son eventos complementarios,

entonces P(A) + P(A')

= 1.

Demostración: Dado que A ∪ A' = S y los conjuntos A y A' son disjuntos, entonces 1 =P (S) =P (A UA')

= P (A) + P (A').

Ejemplo 2.3.11. Si las probabilidades de que un mecánico automotriz repare 3, 4. 5, 6, 7, 8 o

más vehículos en un día hábil cualquiera de la semana son, respectivamente, 0.12, 0.19, 0.28,

Axiomas y teoremas de probabilidad 100 Unidad 2

Antología de Probabilidad

0.24, 0.10 Y 0.07, ¿cuál es la probabilidad de que le dé servicio al menos a 5 carros el siguiente

día de trabajo?

Solución Sea E el evento de que se arreglen al menos 5 carros. Entonces, la P(E) = 1 - P(E'),

donde E' es el evento de que se reparen menos de 5 autos. Dado que P (E') = 0.12 + 0.19 = 0.31,

se sigue con la ayuda del teorema 2.3.4. que

P( E) = 1 - 0.31 = 0.69.

Unidad 2 101 Axiomas y teoremas de probabilidad