UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR 01/Oct /2013

TEOREMAS DE BOOLE Un álgebra de Boole es un conjunto en el que:

1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'.

2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)3- Tiene las siguientes propiedades:

a) Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x b) Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx c) Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) d) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) e) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz f) Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) g) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x h) Identidad respecto a la segunda función: x1 = x i) Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1 j) Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades del álgebra de Boole

Idempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x'' = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y' Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Función booleana

Una función booleana es una aplicación de A x A x A x.... A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.

Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar sí o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el número de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.

Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.

Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es 2n. Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:

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Votos ResultadoABCD

1111 11110 11101 11100 01011 11010 01001 01000 00111 10110 00101 00100 00011 00010 00001 00000 0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana será:

f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

TEOREMAS DE MORGAN

Primer Teorema de DeMorgan

• El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables.• De forma equivalente:

– El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR a los complementos de cada variable.

• Fórmula para expresar el teorema para dos variables:XY = X + Y

• Puerta equivalente y tabla de verdad:

Segundo Teorema de DeMorgan

El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.

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De forma equivalente:– El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación

OR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos de cada variable.Fórmula para expresar el teorema para dos variables:

X + Y = X Y

Puerta equivalente y tabla de verdad:

PROGRAMAS PARA RESOLVER MAPAS DE KARNAUGH Y CIRCUITOS LÓGICOS

En clase de organización del computador estamos viendo este tema y me puse a buscar algún software para trabajar con los mapas de Karnaugh, por tanto dejo este par de programas para verificar nuestros ejercicios.

En clase los hacemos manualmente, pero nunca está de más algún software :)

¿Qué son los mapas de Karnaugh?

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como K-Mapa o KV-Mapa) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Los mapas K aprovechan la capacidad del cerebro humano de trabajar mejor con patrones que con ecuaciones y otras formas de expresión analítica. Externamente, un mapa de Karnaugh consiste de una serie de cuadrados, cada uno de los cuales representa una línea de la tabla de verdad. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Cada cuadrado alberga un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.

Software:

GKMap: software libre disponible para linux y windows: http://sourceforge.net/projects/gkmap/Para instalar este programa en ubuntu debemos complilarlo a partir del código fuente, ya de paso explicamos cómo hacer para instalar aplicaciones por este método:

1. Descragamos el paquete con la extensión .tr.gz2. Lo descomprimimos3. Luego desde la terminal ingresamos a la carpeta descomprimida de la siguinete manera:cd /home/usuario/nombre de la carpeta, y luego damos enter, en mi caso a su vez la carpeta

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está en el escritorio:

4. Luego de esto debemos escribir en la terminal ./configure (sirve para comprobar las características del sistema que afectan a la compilación)5. Escribimos sudo make (el comando make se encarga de la compilación) 6. Escribimos sudo make install (instala la aplicación en el sistema)

y listo!:

Karnaugh Map Minimizer: http://k-map.sourceforge.net/También está disponible para Windows.

Minimalizador de mapas de Karnaugh - para minimalizar funciones lógicas de 3 a 8 variables. Una negación de variable se pone con letra mayúscula grande.

Es freeware

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http://www.freedownloadmanager.org/es/downloads/mapa_de_karnaugh_gratis/

Boole- Deusto: http://paginaspersonales.deusto.es/zubia/ Freeware, también muy bueno!, no sólo podemos simplificar funciones mediante los mapas de Karnaugh, si no que podemos representar la función algebraíca mediante compuertas lógicas:

SIMPLIFICACION DE FUNCIONESBOOLEANAS.(MAPAS DE KARNAUGH) .

Una función booleana expresada en forma algebraica puede aparecer de muchas formas diferentes, sin embargo, la representación con una tabla de verdad es única. Se pueden utilizar los postulados de Huntington y teoremas booleanos para simplificar una función booleana expresada en forma algebraica, pero no existe un mecanismo específico utilizando este método.

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El método de mapas representa una forma simple y directa de minimizar las funciones booleanas expresadas en su tabla de verdad. El mapa es un diagrama compuesto por cuadros, cada uno de los cuales representa un mini término.

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