2.5. Cálculo de la inversa de una matriz 2-10-2014.pdf
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2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. Antes de ver el cálculo de la inversa es necesario ver algunos conceptos y establecer la importancia y aplicación de la inversa de una matriz. Toda matriz invertible (que tenga inversa) es cuadrada y NO Singular. Una matriz que no sea invertible es singular. TEOREMA 1. Si es una matriz invertible, entonces su inversa es única. Demostración. Supongamos que tiene dos inversas y Entonces. y Pero con la ley asociativa: () ( ) Y la inversa es única. Advertencia: No se puede escribir ⁄ ya que NO existe la división entre una matriz. Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas puede ser: El sistema anterior se puede expresar con matrices como: ( | ) ó [ | ] En esta forma se le llama matriz aumentada. ( ) ó [ ] Es la matriz de coeficientes . Pero además podemos expresar como matriz las variables y los términos independientes, que junto con la matriz de coeficientes se lee: [ ] [ ] [ ] El sistema de ecuaciones se puede expresar como una multiplicación de las matrices ya indicadas: [ ] [ ] [ ] ó (Descripción matricial del sistema de ecuaciones). ( ) ( ) ()( ) ()( ) ()( ) Verifique los elementos y . Al multiplicar las dos matrices se obtiene:
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2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. Antes de ver el cálculo de la inversa es necesario ver algunos conceptos y establecer la importancia y aplicación de la inversa de una matriz. Toda matriz invertible (que tenga inversa) es cuadrada y NO Singular. Una matriz que no sea invertible es singular. TEOREMA 1. Si es una matriz invertible, entonces su inversa es única.
Demostración. Supongamos que tiene dos inversas y Entonces.
y
Pero con la ley asociativa: ( ) ( ) Y la inversa es única.
Advertencia: No se puede escribir ⁄ ya que NO existe la división entre una matriz.
Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas puede ser:
El sistema anterior se puede expresar con matrices como:
(
| ) ó [
| ] En esta forma se le llama matriz aumentada.
(
) ó [
] Es la matriz de coeficientes .
Pero además podemos expresar como matriz las variables y los términos independientes, que junto con la matriz de coeficientes se lee:
[
] [
] [
]
El sistema de ecuaciones se puede expresar como una multiplicación de las matrices ya indicadas:
[
]
[
]
[ ]
ó (Descripción matricial del sistema de ecuaciones).
( )(
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
Verifique los elementos y . Al multiplicar las dos matrices se obtiene:
[
]
[
]
[
]
[
] [ ] Vea que las dos matrices son iguales al sistema de ecuaciones.
Multipliquemos por la inversa de una matriz la ecuación matricial
( ) ( ) La última ecuación expresa que la multiplicación de la matriz inversa por la matriz nos da la matriz de las incógnitas, es decir, la solución del sistema de ecuaciones. Es por esto que nos interesa el estudio de la matriz inversa. Más adelante en otra unidad se resolverá con unos sistemas de ecuaciones. Es conveniente aclarar que no todas las matrices tienen inversa, por lo que veremos tres ejemplos, uno que si tiene inversa y dos que no. Aprovechamos el primer ejemplo para ver como calcular la inversa.
1. Cálculo de la inversa de una matriz de . Sea (
) Calcule
Suponer que (
) pero (
) (
) (
) (
)
Las matrices anteriores nos llevan al siguiente sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas:
4 4
Vea que 2 ecuaciones contienen a y , mientras que y están en las otras dos. Vamos a escribir los dos sistemas en la forma aumentada:
(
|
)
(
|
)
Recordemos que al reducir en renglones, del lado izquierdo se obtiene la matriz identidad y del lado derecho la solución, que para la primera matriz es , y , para la segunda.
(
|
) (
|
)
En la primera matriz ( ) es la única solución para y 4 .
En la primera matriz ( ) es la única solución para y 4 .
Como las matrices de coeficientes (
) son iguales para las dos matrices aumentadas, es
posible hacer la reducción por renglones sobre ambas al mismo tiempo, con una nueva matriz aumentada.
(
|
) ( | )
Si es invertible, entonces el sistema tiene una solución única y la reducción por renglones da:
(
|
) ( | )
Vamos a realizar el cálculo de la inversa iniciando con ( | ) → ( | )
Para reducir la matriz ( | ) se usan los mismos 3 pasos que ya vimos en el escalonamiento de una matriz. 1.- Multiplicar (o dividir) todo un renglón, (para que no se altere) por un número diferente de cero, sirve para hacer 1 pivote. Se escribe , significa reemplaza el renglón por . 2.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, sirve para hacer cero ( ). Se escribe significa reemplaza el renglón por .
3.- Intercambiar dos renglones, (se usa para tener un 1 pivote ó un cero). Se escribe ,
significa reemplaza el renglón por .
2. Sea (
) Calcule usando ( | ) → ( | )
(
|
) ⁄ → (
⁄
| ⁄
) → (
⁄
⁄| ⁄
⁄ ) →
⁄ ⁄
⁄ ⁄
( ⁄
| ⁄
) ⁄ → (
|
) (
)
⁄ ⁄
⁄ ⁄
(
) (
) (
)
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
(
) (
) (
) Verifique la multiplicación.
Obtener confirma el valor de
Como se cumple y , entonces es invertible y (
)
En el ejemplo es de , al reducirse llegó a . ¿Cuál es el rango de A? El rango es 2, porque son dos uno pivote. 3. Dos matrices que no son invertibles de Demuestre que las siguientes matrices NO son invertibles.
(
) (
)
La primera matriz no puede tener inversa, ya que no importan los valores de alguna matriz no se puede lograr ya que al multiplicar la matriz con cualquier matriz sólo se obtiene la matriz Esto aplica para cualquier tamaño
Vamos a suponer que tiene inversa (
) Al multiplicar se tiene
(
) (
) (
) (
).
Al desarrollar la multiplicación obtenemos las ecuaciones:
3 3
Multiplicando por la ecuación 1 y sumando a la 3 da: lo que es imposible. Por lo cual NO hay solución, es decir, no existe y en consecuencia no es invertible (no tiene
inversa). Aun cuando no es necesario revisar con ( | ) → ( | ), lo vamos a
hacer para confirmar que no existe.
(
|
) → (
|
) Ya no se puede lograr del lado izquierdo. ¿Por qué?
Se tiene que: para el sistema de ecuaciones con ó , para el sistema de ecuaciones con por lo que el sistema es inconsistente y no es invertible.
Con los ejemplos ya vistos podemos indicar un procedimiento para encontrar la inversa de una matriz.
Procedimiento para encontrar la inversa ( ) de una matriz cuadrada
1.- Se anota la matriz aumentada ( | ) 2.- Por reducción en los renglones, aplicados tanto a como a se modifica la matriz hasta
obtener la matriz , logrando así a la derecha de . ( | ) → ( | )
3.- Si no llegamos a del lado izquierdo porque se tenga un renglón de ceros, entonces la matriz no es invertible (no tiene inversa). 4.- Resolvamos otros dos ejercicios de .
4. Encuentre la inversa de (
) ( | ) (
|
)
(
|
) → (
|
) → (
|
)
→ (
|
) → (
|
) →
(
|
) → (
|
) →
(
|
) ( | ) (
|
) (
)
En el ejemplo es de , al reducirse llegó a . ¿Cuál es el rango de ? El rango es 3, porque son tres uno pivote. Al calcular y con el software MATHCAD se obtiene:
1
2
1
2
3
1
2
6
7
27
8
5
16
5
3
6
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Compruebe solo el 2º. renglón de esta multiplicación
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
27
8
5
16
5
3
6
2
1
1
2
1
2
3
1
2
6
7
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Compruebe solo el 3er. renglón de esta multiplicación
Obtener confirma el valor de
Como se cumple y , entonces es invertible y (
)
5. Encuentre la inversa de (
) ( | ) (
|
)
(
|
) ⁄ → (
|
⁄
) →
⁄
⁄
(
|
⁄
⁄
) → (
|
⁄
⁄
⁄
) ⁄ →
⁄
⁄
(
⁄
|
⁄
⁄ ⁄
⁄
) → (
⁄
|
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
El tercer renglón tiene tres ceros del lado izquierdo y no hay forma de hacer 1 pivote ¿Porqué?; porque no existe un número que al multiplicar por cero se obtenga uno. Por lo anterior no se puede lograr la matriz identidad y en consecuencia la matriz no es invertible, es singular.
¿Cuál es su rango de la matriz? (
⁄
). El rango es 2.
6. Utilice los métodos de esta sección para encontrar la inversa de la siguiente matriz con elementos complejos.
(
)
(
|
) → (
|
) → (
|
) →
( ) ( )
(
|
) → (
|
) (
)
Comprobemos con: (
) (
) [( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
]
[
] [( )
( )] (
) No se ocupa verificar
Al calcular con el software MATHCAD se obtiene:
i
1
2
i
i
1
2
i
1
0
0
1
Se confirma que nuestro resultado es correcto.
7. Utilice los métodos de esta sección para encontrar la inversa de la siguiente matriz con elementos complejos.
(
)
(
|
) ( ) → (
|
) ⁄
→ (
| ⁄ ( ⁄ )
)
( )( ) ( )
( ) → (
| ⁄ ( ⁄ )
) ⁄ → (
| ⁄ ( ⁄ )
⁄ ( ⁄ )
)
Comprobemos con:
(
) ( ⁄ ( ⁄ )
⁄ ( ⁄ )
) NOTA: ( ⁄ ) ⁄
[( )( ⁄ ⁄ ) ( )( ) ( )( ) ( )( ⁄ ⁄ )
( )( ⁄ ⁄ ) ( )( ) ( )( ) ( )( ⁄ ⁄ )]
( )( ⁄ ⁄ ) ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ( ⁄ )
( )( ⁄ ⁄ ) ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ( ⁄ )
(
) Compruebe
Al calcular con el software MATHCAD se obtiene: i( ) i( ) 1
1 i
0
0
1 i
1
2
i
2
0
0
1
2
i
2
1
0
0
1
Se confirma que nuestro resultado es correcto.
Al calcular con el software MATHCAD se obtiene:
1
2
i
2
0
0
1
2
i
2
1 i
0
0
1 i
1
0
0
1
Se confirma que nuestro resultado es correcto.
TEOREMA 2 Propiedades de las matrices inversas. 1.- El producto de dos matrices que tienen inversas, es invertible y su inversa es el producto de las inversas en orden inverso. Entonces, si y son matrices invertibles también lo será, teniendo así la siguiente ecuación:
( )
2.- Toda matriz inversa también es invertible, su inversa es la matriz original.
( )
3.- Si una matriz es invertible, lo seguirá siendo aún cuando se multiplique por un escalar distinto de cero. La inversa de es igual al producto del recíproco del escalar por la inversa de la matriz
( )
1.- Ocupamos demostrar que ( ) , se sabe que , sea Entonces ( ) ( ) pero , ó también ( )( ) ( ) ( ) Pero como ( ) , al sustituir en ( )( ) ( ) ( ) se tiene:
( )( ) ( )( ) pero con la ley asociativa se puede escribir: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2.- Como es invertible, Esto demuestra que también lo es y ( ) 3.- Como es invertible, ; si se multiplica por un escalar , sólo el lado izquierdo entonces se debe multiplicar también por el recíproco de para que la ecuación no cambie.
(
) ( ) (
)
( ) (
) ( )
8. Sean las matrices (
) (
) compruebe que:
( ) ( ) ( )
(
) (
) (
)
( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
( ) (
)
( ) (
)
(
)
( ) (
)
( )
(
) (
)
( ) (
)
( ⁄
⁄ ⁄)
(
) ( ⁄
⁄ ⁄)
( ) ( ⁄
⁄ ⁄)
9. Con la matriz ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
) compruebe factorizando en la matriz :
( )
( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
) ( ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
(
)
( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
(
)
⁄
( )
( ) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
(
)
( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
(
⁄ ⁄
⁄ ⁄
) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
( ) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
EJERCICIOS PROPUESTOS DEL SUBTEMA 2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. LOS PRIMER EJERCICIO A RESOLVER DE TAREA INICIA EN LA PÁGINA 5 DE ESTE SUBTEMA. RESUELVAN LOS EJERCICIOS EN COLOR AMARILLO DE TAREA EN SU LIBRETA. RESUELVAN LOS EJERCICIOS EN COLOR VERDE POR SEPARADO PARA EL TRABAJO, EN EQUIPOS DE 3 QUE SE DEBEN ENTREGAR UN DÍA ANTES DEL EXAMEN. EN ESTA UNIDAD Y LAS SIGUIENTES NO SE ACEPTARÁN FOTOCOPIAS DE EJERCICIOS DE TRABAJO EN EQUIPO. LOS EJERCICIOS SIN COLOR NO ES OBLIGATORIO HACERLOS, SON PARA AQUELLOS ALUMNOS QUE DESEEN PRACTICAR MAS. LES RECOMIENDO IR AVANZANDO CON LOS EJERCICIOS EN COLOR VERDE PARA QUE AL FINAL DE LA UNIDAD NO SE SIENTAN PRESIONADOS. NOTA IMPORTANTE: ANTES DE RESOLVER LOS EJERCICIOS, LEAN LOS EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS PÁGINAS ANTERIORES. RECUERDEN QUE AL LADO IZQUIERDO DEL SIGNO IGUAL SIEMPRE DEBE ESTAR ESCRITO ALGO. CADA VEZ QUE PASEN A OTRO RENGLÓN PONGAN AL PRINCIPIO LA ECUACIÓN INICIAL. LA PRÓXIMA CLASE EXPLICO CUALQUIER EJERCICIO QUE TENGAN DUDA.
1. Use el procedimiento ( | ) para comprobar la inversa de las siguientes matrices.
(
) ( ⁄
⁄
⁄) (
) ( ⁄
⁄
)
2. Use el procedimiento ( | ) para comprobar la inversa de las siguientes matrices.
(
) (
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
(
) (
⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
(
) (
)
3. Use el procedimiento ( | ) para encontrar la inversa de las siguientes matrices.
(
) (
)
4. Con las matrices (
) (
) compruebe: ( )
(
) ( ) ( ⁄ ⁄
)
( ⁄
⁄
) (
⁄ ⁄
⁄)
( ⁄
⁄
)( ⁄
⁄
⁄) (
⁄ ⁄
)
5. Con las matrices (
) (
) y compruebe:
(a) ( ) (b) ( )
( ⁄
⁄
⁄) ( ) (
)
(
) (
) ( ) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄)
( ⁄
⁄
⁄) (
⁄ ⁄
⁄ ⁄)
6. Con las matrices (
) (
) compruebe:
( )
(
)
( ) (
⁄ ⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄
)
(
⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
) (
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
(
⁄ ⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄
)
( ) (
⁄ ⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄
)
7. Con las matrices (
) (
) y compruebe:
(a) ( ) , (b) ( )
(
⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
) ( ) (
)
( ) (
)
(
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
)
(
⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
(
)
(
) (
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄
⁄
)
⁄
( )
(
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄
⁄
) (
)
(c) ( )
(
) ( ) (
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
(
) (
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
(
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
( )
(
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
)
8. Con la matriz ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
) compruebe factorizando en la matriz :
( )
Recuerde encontrar el Mínimo Común Múltiplo para factorizar.
( ) ( ⁄ ⁄
⁄ ⁄
)
(
⁄ ⁄)
(
) ( ⁄
⁄
⁄ ⁄)
