¶INDICE · BA = Idn entonces decimos que B es una matriz inversa de A. Observaci¶on 9.3.2. 1. No...

INDICE

9. MATRICES 1739.1. DEFINICION Y NOTACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2. OPERACIONES CON MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3. MATRICES CUADRADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.3.1. Matrices no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.3.2. Potencias de Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.4. MATRICES ESPECIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.4.1. Matriz Traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.4.2. Matriz Simetrica y Matriz Antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.5. OPERACIONES ELEMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.6. MATRIZ INVERSA POR OPERACIONES ELEMENTALES . . . . . . . . 1899.7. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

CAPITULO 9

MATRICES

Recordaremos algunos caracterısticas de las matrices y daremos, especial enfasis, a lasoperaciones elementales tanto como al escalonamiento de matrices.

Esto nos permitira determinar matrices inversas y, posteriormente, resolver sistemasde ecuaciones lineales y aplicaciones al Algebra Lineal.

9.1. DEFINICION Y NOTACIONES

Definicion 9.1.1. Sean I = [1, n], J = [1,m] intervalos cerrados de (N,≤). Se llamamatriz de tipo (n,m) o matriz de tamano n por m sobre el cuerpo K, a toda funcion deltipo

A : I × J → K tal que (i, j) → A((i, j)) = aij .

Observacion 9.1.1.

1. Como existen nm imagenes aij por la funcion A, esta funcion se puede describircompletamente disponiendo las imagenes en un arreglo rectangular de la forma

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm

2. Distinguimos n filas y m columnas.

La i-esima fila es la sucesion {ai1, ai2, . . . , aim}.La j-esima columna es la sucesion {a1j , a2j , . . . , anj}.

3. El arreglo rectangular tiene como unico elemento que pertenece a la i-esima fila,j-esima columna al elemento aij .

173

174 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

4. Por abuso de lenguaje podemos identificar la funcion matriz A con su imagen escri-biendo

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm

o mas brevemente, A = (aij) con (i, j) ∈ I × J .

5. Nos interesan, especialmente, las matrices definidas en el cuerpo de los numerosreales, al conjunto de todas las matrices reales de tamano nm lo denotamos porM(n,m,R).

Ejemplo 9.1.1. Considere la matriz A = (aij) ∈ M(2, 3,R) tal que

aij =

{i + j si i ≥ j

ji si i < j

entonces

A =(

2 2 33 4 9

)

ya que, por ejemplo, a11 = 1 + 1 = 2, a13 = 31 = 3.

9.2. OPERACIONES CON MATRICES

Definicion 9.2.1. Sean A,B ∈ M(n,m,R) tal que A = (aij) y B = (bij), entonces

A = B ⇔ aij = bij ∀ (i, j) ∈ I × J.

Ejemplo 9.2.1. Determine los numeros reales x e y, si

3 2x + 1 82 4 7

y − 2 4 9

=

3 6 82 4 7−9 4 9

Solucion. Usando la definicion de igualdad de matrices obtenemos{

2x + 1 = 6y − 2 = −9

de donde x = 52 , y = −7.

CAPITULO 9 MATRICES 175

Definicion 9.2.2. Sean A,B ∈ M(n,m,R) tal que A = (aij) y B = (bij) entonces,definimos la suma de matrices como

A + B = C = (cij) ∈ M(n,m,R) tal que cij = aij + bij ∀ i, j.

Proposicion 9.2.1. En M(n,m,R) se cumple,

a) A + (B + C) = (A + B) + C ∀A,B, C ∈ M(n,m,R).

b) Existe 0 ∈ M(n,m,R) tal que A + 0 = 0 + A = A ∀A ∈ M(n,m,R).

c) Si A ∈ M(n,m,R) entonces existe −A ∈ M(n,m,R) tal que −A+A = A+−A = 0,∀A ∈ M(n,m,R).

d) A + B = B + A ∀A,B ∈ M(n, m,R).

Observacion 9.2.1.

1. La matriz O cuya existencia garantiza 9.2.1 b) es unica. La matriz nula 0 = (zij) estal que zij = 0, ∀ i, j.

2. La matriz −A cuya existencia garantiza 9.2.1 c) es unica. La matriz −A se llamamatriz opuesta de A = (aij) y es tal que −A = (−aij), ∀ i, j.

3. Las propiedades se pueden demostrar usando la definicion de igualdad en las matricesy las propiedades de la suma en R.

Definicion 9.2.3. Sea A = (aij) ∈ M(n,m,R), k ∈ R entonces kA = (cij) ∈ M(n, m,R)donde cij = kaij , ∀ i, j.

Observacion 9.2.2. kA es la ponderacion de la matriz A por el escalar k y se cumple

1. 1A = A; ∀A ∈ M(n,m,R), 1 ∈ R.

2. k(A + B) = kA + kB; ∀A,B ∈ M(n,m,R); ∀ k ∈ R.

3. (k1 + k2)A = k1A + k2A; ∀A ∈ M(n,m,R); ∀ k1, k2 ∈ R.

4. (k1k2)A = k1(k2A); ∀A ∈ M(n,m,R); ∀ k1, k2 ∈ R.

Definicion 9.2.4. Sean A = (aij) ∈ M(n,m,R), B = (bij) ∈ M(m, p,R) entonces defini-mos el producto de matrices como

AB = C = (cij) ∈ M(n, p,R) tal que cij =m∑

k=1

aikbkj .


Observacion 9.2.3. El elemento cij que pertenece a la i-esima fila, j-esima columna de ABes

cij =m∑

k=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aimbmj ,

se obtiene “multiplicando la i-esima fila de A por la j-esima columna de B”.

Proposicion 9.2.2. Se cumple:

a) En general, la multiplicacion de matrices no es conmutativa, es decir, AB 6= BA.

b) A(BC) = (AB)C donde A, B, C son matrices conformes.

c) A(B + C) = AB + AC donde A, B, C son matrices conformes.

(A, B,C son matrices conformes cuando tienen los tamanos adecuados para operarentre ellas)

Demostracion.

a) Si consideramos las matrices

A =(

1 23 4

), B =

(5 67 8

)

entonces, si AB = C = (cij), BC = D = (dij) tenemos que

c11 = (1)(5) + (2)(7) = 19 y d11 = (5)(1) + (6)(3) = 23

ası, AB 6= BA.

b) y c) lo demuestran ustedes.

9.3. MATRICES CUADRADAS

Si una matriz es de tamano n por n entonces ella es una matriz cuadrada de tamanon y al conjunto que las contiene lo denotamos M(n,R).

Proposicion 9.3.1. El conjunto M(n,R) con la suma y la multiplicacion es un anillo noconmutativo con unidad.

Demostracion. Debemos demostrar que el trıo (M(n,R),+, ·) es tal que

1) (M(n,R),+) es un grupo abeliano.

2) La multiplicacion es una operacion binaria interna que cumple


a) A(BC) = (AB)C, ∀A,B, C ∈ M(n,R).

b) A(B + C) = AB + AC, ∀A, B,C ∈ M(n,R).

3) En general AB 6= BA.

4) Existe Idn ∈ M(n,R) tal que Idn ·A = A · Idn = A, ∀A ∈ M(n,R).

Los puntos 1), 2) y 3) ya se conocen en M(n,m,R), estudiemos el punto 4).La matriz identidad en las matrices de tamano n es Idn = (δij) donde

δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j

demostremos que A · Idn = A.Sea A · Idn = B = (bij), debemos demostrar que bij = aij ∀ i, j,

bij =n∑

k=1

aikδkj =j−1∑

k=1

aikδkj + aijδjj +n∑

k=j+1

aikδkj = aij

ya que la primera suma tiene valor cero puesto que δkj = 0, ∀ k 6= j, esto tambien ocurrepara la ultima sumatoria.

Observacion 9.3.1. Si bien es cierto que, en general, la multiplicacion de matrices no esconmutativa, podemos encontrar las infinitas matrices que conmutan con una matriz dada.

Ejemplo 9.3.1. Determine todas las matrices que conmutan con

A =(

1 −10 2

)∈ M(2,R).

Solucion. Sea B = ( x yz w ) ∈ M(2,R), imponiendo la condicion obtenemos AB = BA, ası,

AB = BA ⇒(

1 −10 2

) (x yz w

)=

(x yz w

)(1 −10 2

)

(x− z y − w2z 2w

)=

(x −x + 2yz −z + 2w

)

⇒

x− z = x

y − w = −x + 2y

2z = z

2w = −z + 2w

⇒{

z = 0y = x− w


ası,

B =(

x x− w0 w

)x,w ∈ R,

luego, el conjunto formado por todas de las matrices que conmutan con A =(

1 −10 2

)es

{B /B =

(x x− w0 w

)x,w ∈ R

}.

Observe que, dando valores a las variables x, w podemos determinar algunas matricesque conmutan inmediatamente con la matriz A; como son la propia matriz A, la matriznula y la matriz identidad. La misma matriz A se obtiene cuando x = 1, w = 2; lamatriz identidad, la obtenemos cuando x = w = 1 y la matriz nula la obtenemos cuandox = w = 0.

Otra matriz es, por ejemplo, B = ( 5 30 2 ).

9.3.1. Matrices no singulares

Hemos visto que, en general la multiplicacion no es conmutativa, y que, sin embargo,existen matrices que conmutan con otras; mas aun, si A ∈ M(n,R), es posible que existauna matriz B ∈ M(n,R) tal que AB = BA = Idn, por ejemplo,

(2 51 3

)(3 −5−1 2

)=

(3 −5−1 3

)(2 51 3

)=

(1 00 1

)

Definicion 9.3.1. Sea A ∈ M(n,R), si existe una matriz B ∈ M(n,R) tal que AB =BA = Idn entonces decimos que B es una matriz inversa de A.

Observacion 9.3.2.

1. No toda matriz cuadrada admite inversa, por ejemplo, la matriz A = ( 1 20 0 ) ∈ M(2,R)

no tiene inversa ya que no existe una matriz B = ( x zy w ) ∈ M(2,R) tal que

AB =(

1 20 0

)(x zy w

)=

(1 00 1

).

2. Cuando una matriz A ∈ M(n,R) admite inversa, esta es unica.

En efecto, si B,C ∈ M(n,R) son ambas inversas de la matriz A entonces AB =BA = Idn y ademas AC = CA = Idn. De aquı tenemos que

B = B · Idn = B(AC) = (BA)C = Idn · C = C.

Denotamos por A−1 a la matriz inversa de A.

Ejemplo 9.3.2. Determine A−1, si existe, para A = ( 3 21 1 ).


Solucion. Sea A−1 =(

a bc d

), entonces, imponiendo la condicion de inversa tenemos

A−1A = AA−1 = Id2.De A−1A = Id2 conseguimos

(a bc d

)(3 21 1

)=

(1 00 1

),

esto indica que (3a + b 2a + b3c + d 2c + d

)=

(1 00 1

).

Con esto conseguimos el sistema

3a + b = 12a + b = 03c + d = 02c + d = 1

cuya solucion esa = 1 , b = −2 , c = −1 , d = 3.

Ası A−1 =(

1 −2−1 3

). Usted debe verificar que AA−1 = Id2.

Observacion.

1. Para el caso n = 2 obtenemos la siguiente formula que nos entrega, directamente, lainversa

(a bc d

)−1

=

(d −b−c a

)

ad− bc, con ad− bc 6= 0.

2. Si el tamano de la matriz es 3 entonces generarıamos un sistema con 9 incognitas,suficiente para desalentarnos. Pronto al interior de este capıtulo, usando operacioneselementales calcularemos la inversa de manera mas directa.

Algunas propiedades

1. Si la matriz A es invertible (no singular) entonces(A−1

)−1 = A.

2. Si A,B son invertibles entonces AB y BA son invertibles y se cumple

(AB)−1 = B−1A−1 y (BA)−1 = A−1B−1.

3. (ABC)−1 = C−1B−1A−1 A,B, C invertibles.


Demostracion.

2. Si logramos probar que, tanto (AB)−1 como B−1A−1 son inversas de otra matrizentonces, por la unicidad de la inversa concluimos que estas son iguales, tal matrizes AB, veamoslo.

Es inmediato que (AB)(AB)−1 = (AB)−1(AB) = Idn, por otro lado

(AB)(B−1A−1

)=

[(AB)B−1

]A−1 =

[A

(BB−1

)]A−1 = (A·Idn)A−1 = AA−1 = Idn,

analogamente se puede demostrar que (B−1A−1)(AB) = Idn

3. Usando 2. tenemos que

(ABC)−1 = [A(BC)]−1 = (BC)−1A−1 =(C−1B−1

)A−1 = C−1B−1A−1.

9.3.2. Potencias de Matrices Cuadradas

Definicion 9.3.2. Sea A ∈ M(n,R) entonces An, n ∈ N ∪ {0} es tal que

An =

{Idn si n = 0An−1A si n ≥ 1

Observacion 9.3.3. Si A ∈ M(n,R), p, q ∈ N entonces se cumple

a) Ap ·Aq = Ap+q.

b) (Ap)q = Apq.

Demostracion.

a) Realizaremos la demostracion por induccion sobre q manteniendo fijo el valor de p.

Sea P (q) : Ap ·Aq = Ap+q, debemos demostrar:

i) P (1) es V.

ii) Si P (k) es V entonces P (k + 1) es V.

i) P (1) es V ya que Ap ·A = Ap+1.

ii) Si P (k) es V, es decir, si Ap ·Ak = Ap+k, debemos demostrar que Ap · Ak+1 =Ap+(k+1). Veamoslo

Ap ·Ak+1 = Ap(AkA) = (ApAk)A = (Ap+k)A = A(p+k)+1 = Ap+(k+1)


Ejemplo 9.3.3. Sean A,B ∈ M(n,R) matrices tales que AB = BA, demuestre queA2B = BA2.

Solucion. A2B = (AA)B = A(AB) = A(BA) = (AB)A = (BA)A = B(AA) = BA2.

Ejemplo 9.3.4. Sea

A =(

a 10 a

)∈ M(2,R), a 6= 0.

Determine una formula para An, n ∈ N y demuestre la validez de dicha formula en losnaturales.

Solucion.

A2 = A ·A =(

a 10 a

)(a 10 a

)=

(a2 2a0 a2

)

A3 = A2 ·A =(

a2 2a0 a2

)(a 10 a

)=

(a3 3a2

0 a3

)

A4 = A3 ·A =(

a3 3a2

0 a3

)(a 10 a

)=

(a4 4a3

0 a4

)

Es facil deducir que An =(

an nan−1

0 an

).

Demostremos ahora, por induccion, la validez de la formula. Sea

P (n) : An =(

an nan−1

0 an

),

a) P (1) se cumple ya que

A1 =(

a1 1a1−1

0 a1

)=

(a 10 a

).

b) Si Ak =(

ak kak−1

0 ak

)debemos demostrar que Ak+1 =

(ak+1 (k + 1)ak

0 ak+1

). Veamoslo,

Ak+1 = Ak ·A =(

ak kak−1

0 ak

)(a 10 a

)=

(ak+1 ak + kak

0 ak+1

)=

(ak+1 (k + 1)ak

0 ak+1

)

Ejemplo 9.3.5. Sea A =

1 1 10 0 01 1 1

∈ M(3,R). Determine

a) An, n ∈ N, verifique la formula por induccion.

b) Determinen∑

i=1Ai.


Solucion.

a)

A2 = A ·A =

1 1 10 0 01 1 1

1 1 10 0 01 1 1

=

2 2 20 0 02 2 2

A3 = A2 ·A =

2 2 20 0 02 2 2

1 1 10 0 01 1 1

=

4 4 40 0 04 4 4

A4 = A3 ·A =

4 4 40 0 04 4 4

1 1 10 0 01 1 1

=

8 8 80 0 08 8 8

,

podemos deducir que

An =

2n−1 2n−1 2n−1

0 0 02n−1 2n−1 2n−1

= 2n−1A;

la induccion se verifica facilmente.

b)n∑

i=1

Ai =n∑

i=1

2i−1A = An∑

i=1

2i−1 = (2n − 1)A.

Ejemplo 9.3.6. Considere la familia de matrices M = aId2 + bB, a, b ∈ R − {0},B = ( 0 1

0 0 ).

a) Determine Bn.

b) Determine Mn.

Solucion.

a) Es inmediato obtener

B2 =(

0 00 0

)de donde Bn =

(0 00 0

)∀n ≥ 2.

b) Como A y Id2 conmutan, entonces podemos aplicar el Teorema del Binomio, obte-nemos,

Mn = (aId2 + bB)n =n∑

p=0

(n

p

)an−pIdn−p

2 bpBp

=(

n

0

)anIdn

2 +(

n

1

)an−1Idn−1

2 bB

= anId2 + nan−1bB

=(

an nan−1b0 an

)


9.4. MATRICES ESPECIALES

Mostraremos algunos tipos de matrices que aparecen con mucha frecuencia en lasaplicaciones de las matrices en las Ciencias Aplicadas.

Definicion 9.4.1. Considere la matriz Idn ∈ M(n,R), decimos que la matriz B es unamatriz escalar si B = αIdn, α ∈ R− {0}.

Ejemplo 9.4.1. B =(

2 00 2

)∈ M(2,R) es una matriz escalar ya que B = 2

(1 00 1

).

Observacion 9.4.1. Si B ∈ M(n,R) es una matriz escalar entonces conmuta conA ∈ M(n,R), ∀A.

Definicion 9.4.2. A ∈ M(n,R) se llama matriz idempotente si y solo si A2 = A.

Ejemplo 9.4.2. Se puede verificar, con facilidad, que las matrices

A =(

1 −10 0

)∈ M(2,R) , B =

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

∈ M(3,R)

son idempotentes.

Observacion 9.4.2. A idempotente ⇒ An = A, ∀n ∈ N.

Definicion 9.4.3. A ∈ M(n,R) se llama matriz nilpotente de grado p si existe p ∈ N talque Ap = 0 y Ap−1 6= 0.

Ejemplo 9.4.3. Usted puede verificar que

A =

0 0 11 0 00 0 0

∈ M(3,R)

es nilpotente de grado 3.


9.4.1. Matriz Traspuesta

Definicion 9.4.4. Sea A = (aij) ∈ M(n, m,R), definimos la matriz traspuesta de A,denotada At como At = (at

ij) ∈ M(m,n,R) tal que atij = aji, ∀ i, j.

Ejemplo 9.4.4. Si A =(

1 2 34 5 6

)∈ M(2, 3,R) entonces At =

1 42 53 6

∈ M(3, 2,R).

Proposicion 9.4.1. Sean A, B matrices “conforme”, λ ∈ R, se cumple

1) (At)t = A.

2) [λA]t = λAt.

3) (A + B)t = At + Bt.

4) (AB)t = BtAt.

5) Si A es invertible entonces(A−1

)t =(At

)−1.

Demostracion.

3) Sean A = (aij), B = (bij) ∈ M(n, m,R) entonces A+B = (cij) ∈ M(n,m,R) tal que

cij = aij + bij , ∀ i, j, ası, (A + B)t =(ctij

)∈ M(m,n,R) donde ct

ij = cji = aji + bji,tenemos,

(A + B)t = (aji + bji) = (aji) + (bji) = At + Bt.

4) Sean A = (aij) ∈ M(n,m,R), B = (bij) ∈ M(m, r,R) entonces AB = C = (cij) ∈M(n, r,R) tal que cij =

m∑k=1

aikbkj .

Como

cij ∈{

i-esima filaj-esima columna

de AB, entonces este elemento tambien pertenece a{

j-esima filai-esima columna

de (AB)t.

Debemos demostrar que

cij ∈{

j-esima filai-esima columna


de BtAt.

La j-esima fila de Bt es la j-esima columna de B, es decir, (bij b2j . . . bnj) y lai-esima columna de At es la i-esima fila de A, es decir, (ai1 ai2 . . . ain) por lo queel elemento que pertenece a

{j-esima filai-esima columna

de BtAt es b1jai1 + b2jai2 + · · ·+ bnjain, este termino es igual a ai1bij +ai2b2j + · · ·+ainbnj , precisamente cij .

Observacion 9.4.3. Se cumple que (ABC)t = CtBtAt, A, B, C matrices conforme.

Para realizar la demostracion usamos las propiedades ya vistas, ası entonces,

(ABC)t = [(AB)C]t = Ct(AB)t = Ct(BtAt

)= CtBtAt.

9.4.2. Matriz Simetrica y Matriz Antisimetrica

Definicion 9.4.5. Sea A ∈ M(n,R), decimos que

a) A es una matriz simetrica si y solo si At = A.

b) A es una matriz ansimetrica si y solo si At = −A.

Ejemplo 9.4.5. Si A ∈ M(n,R), demuestre que

a) A + At es simetrica.

b) A−At es antisimetrica.

Solucion. Debemos demostrar que

a)(A + At

)t = A + At, veamoslo

(A + At

)t = At +(At

)t = At + A = A + At.

b)(A−At

)t = − (A−At

), veamoslo

(A−At

)t = At − (At

)t = At −A = − (A−At

).


Ejemplo 9.4.6. Las matrices

A =(

1 22 7

), B =

1 −2 3−2 7 −103 −10 4

son simetricas.

Ejemplo 9.4.7. En la matriz

A =

2 α −35 6 −2β −2 4

,

es inmediato concluir que, para que A sea simetrica se debe cumplir que α = 5 y β = −3.

Ejemplo 9.4.8. Considere la ecuacion matricial(A−ABtXt

)t = XBAt donde X, A, B ∈M(n,R) son matrices no singulares

a) Resuelva la ecuacion planteada para X.

b) Si n = 2,

A =(

3 −12 2

)y B =

(1 33 4

)

determine X.

Solucion.

a)(A−ABtXt

)t = XBAt

At −XBAt = XBAt

2XBAt = At

⇒ X =12At

(BAt

)−1

=12At

((At

)−1B−1

)

=12

(At

(At

)−1)

B−1

=12B−1.

b) Si n = 2 y como

B−1 =(

1 33 4

)−1

=

(4 −3−3 1

)

4− 9=

(−45

35

35 −1

5

)

entonces

X =(− 4

10310

310 − 1

10

).


Ejemplo 9.4.9. Si A, B ∈ M(n,R), A matriz simetrica, demuestre que BtAB es simetri-ca.

Solucion. Debemos demostrar que(BtAB

)t = BtAB si At = A,

(BtAB

)t = BtAt(Bt

)t = BtAB.

9.5. OPERACIONES ELEMENTALES

Definicion 9.5.1. Se llama operacion elemental a la funcion e : M(n, m,R) → M(n, m,R)tal que e(A) = B, definida por las siguientes acciones

i) Intercambiar la i-esima fila con la j-esima fila de A (columnas); denotamos, respec-tivamente fij , (cij).

ii) Multiplicar la i-esima fila (columna) de A por una constante k 6= 0; denotamos,respectivamente fi(k), (ci(k)).

iii) Multiplicar la i-esima fila de A por una constante k 6= 0 y sumar esta a la j-esimafila de A; denotamos, respectivamente fji(k), (cji(k)).

Observacion 9.5.1. Las operaciones elementales son funciones biyectivas y su funcion in-versa es

f−1ij = fij ; f−1

i (k) = fi(1k) ; f−1

ji (k) = fji(−k).

Las notaciones para las operaciones elementales columna son analogas.

Definicion 9.5.2. Sean A, B ∈ M(n,m,R). Se dice que A es equivalente con B si Bse deduce de A por medio de una cantidad finita de operaciones elementales. Denotamos

Af∼B o A

c∼B.

Observacion 9.5.2. La relacion ∼ definida en M(n,m,R) es una relacion de equivalencia.

Definicion 9.5.3. Sea A = (aij) ∈ M(n,m,R), decimos que la matriz A esta escalonadapor filas si

i) Las primeras k filas de A son no nulas, k ≤ n.

ii) Para cada k-esima fila, el primer elemento no nulo es un 1.

iii) Si los 1 de las primeras k filas no nulas estan en las columnas ck1 , ck2 , . . . , ckm entoncesk1 < k2 < . . . < km.

Si ademas, cada elemento de la columna ckn es un cero excepto el 1 de la fila corre-spondiente entonces decimos que la matriz escalonada esta reducida.


Ejemplo 9.5.1.

A =

1 2 30 1 −10 0 0

esta escalonada (tiene dos escalones) pero no esta reducida.

B =

1 0 00 1 00 0 10 0 0

esta escalonada y reducida.

Observacion 9.5.3. Toda matriz no nula es equivalente fila con una matriz escalonada yreducida por filas.

Debemos seguir un metodo que nos conduzca con exito en esta tarea.Primero debemos encontrar la primera columna no nula y allı, por intermedio de

operaciones elementales conseguir un 1 en la primera fila, a continuacion y, tomando comopivote este 1 debemos producir ceros bajo este 1.

Enseguida repetimos el proceso para la submatriz que se obtiene fijando la primerafila y esta primera columna (y las eventuales anteriores) no nula; con este procedimientohemos escalonada la matriz.

Para reducir la matriz procedemos desde el ultimo 1 produciendo ceros sobre el.Este algoritmo es la demostracion (simplificada) de la Observacion 9.5.3.

Ejemplo 9.5.2. Determine la matriz equivalente, escalonada y reducida por filas de

A =

2 1 41 1 32 0 1

.

Solucion.

A =

2 1 41 1 32 0 1

f12∼

1 1 32 1 42 0 1

f21(−2)∼

1 1 30 −1 −22 0 1

f31(−2)∼

1 1 30 −1 −20 −2 −5

f2(−1)∼

1 1 30 1 20 −2 −5

f32(2)∼

1 1 30 1 20 0 −1

f3(−1)∼

1 1 30 1 20 0 1

La matriz ya esta escalonada, ahora debemos reducirla, para ello debemos “pivotear”con el 1 que esta en la tercera fila para producir ceros sobre el. Si multiplicamos la tercerafila por −2 y despues por −3 conseguimos los ceros deseados, despues debemos producirceros sobre el 1 de la segunda fila; denotaremos mas directamente como sigue:

1 1 30 1 20 0 1

f23(−2)∼

f13(−3)

1 1 00 1 00 0 1

f12(−1)∼

1 0 00 1 00 0 1

.


En realidad es facil.

9.6. MATRIZ INVERSA POR OPERACIONES ELEMENTALES

Definicion 9.6.1. Se llama matriz elemental a toda matriz que se deduce de Idn porintermedio de una operacion elemental.

Ejemplo 9.6.1.

E1 =(

1 02 1

)

es matriz elemental ya que

Id2 =(

1 00 1

)f21(2)∼

(1 02 1

)= E1.

Proposicion 9.6.1. Sea A ∈ M(n,m,R) y B deducida de A al efectuar una operacionelemental fila e, entonces, B = EA, donde E es la matriz elemental deducida de Idn alefectuar la misma operacion elemental fila e.

Por otro lado, B = AE donde E es la matriz elemental deducida de Idm al efectuar lamisma operacion elemental columna e.

Ejemplo 9.6.2. Sea A =(

1 4 32 1 6

)∈ M(2, 3,R). Como

A =(

1 4 32 1 6

)f12(−1)∼

(−1 3 −32 1 6

)= B,

entonces

B = EA =(

1 −10 1

)(1 4 32 1 6

)=

(−1 3 −32 1 6

)

donde E se obtiene a partir de Id2 como sigue:

Id2 =(

1 00 1

)f12(−1)∼

(1 −10 1

)= E.

Sea A =(

1 2 34 5 6

)∈ M(2, 3,R). Como

A =(

1 2 34 5 6

)c12∼

(2 1 35 4 6

)= B

entonces

B = AE =(

1 3 52 4 6

)

0 1 01 0 00 0 1


donde E se obtiene a partir de Id3 como sigue,

Id3 =

1 0 00 1 00 0 1

c12∼

0 1 01 0 00 0 1

= E.

Notacion.

B = e(A) = EA cuando la operacion elemental es operacion elemental fila.

B = e(A) = AE cuando la operacion elemental es operacion elemental columna.

Proposicion 9.6.2. Las inversas de matrices elementales son matrices elementales.

Demostracion. Sea e una operacion elemental tal que E es su correspondiente matriz ele-mental, sea e′ la operacion elemental inversa de e y E′ su correspondiente matriz elemental,debemos demostrar que EE′ = E′E = Idn (por filas)

Idn = Id(Idn) = (e ◦ e′)(Idn) = e(e′(Idn)) = e(E′Idn) = e(E′) = EE′,

Idn = Id(Idn) = (e′ ◦ e)(Idn) = e′(e(Idn)) = e′(EIdn) = e′(E) = E′E.

ası entonces, EE′ = E′E = Idn.

Note que Id es la funcion identidad y Idn es la matriz identidad.

Observacion 9.6.1. Se puede demostrar que,

1) Si A,B ∈ M(n,R) entonces, A ∼ B ⇔ B = Ek Ek−1 . . . E1 A (por filas).

2) Si A,B ∈ M(n,R) entonces, A ∼ B ⇔ B = A E1 E2 . . . Ek (por columnas).

3) Si A ∈ M(n,R) entonces, A es no singular ⇔ Af∼ Idn.

Demostracion.

1) ⇒) Si A ∼ B entonces existe una cantidad finita de operaciones elementales paratransformar A en B, luego A1 = E1A, A2 = E2A1 = E2E1A, A3 = E3A2 =E3E2E1A ası sucesivamente hasta conseguir B = Ak = EkEk−1 . . . E2E1A.

⇐) Si B = Ak = EkEk−1 . . . E2E1A entonces existen k operaciones elementales paratransformar A en B, luego, A ∼ B.

2) Se demuestra de manera analoga.


3) ⇐) Si Af∼ Idn entonces Idn = EkEk−1 . . . E2E1A, despejando la matriz A obtenemos

A = E−11 E−1

2 . . . E−1k Idn y A es invertible por ser producto de matrices invertibles.

⇒) Si A es invertible debemos demostrar que Af∼ Idn. Sea A

f∼B con B una matrizescalonada y reducida por filas, entonces B = Idn ya que si no es ası, B tendrıa almenos una fila nula, lo que indicarıa que A no es invertible.

Estamos ahora en condiciones de presentar un Algoritmo que nos permite encontrarla inversa de una matriz, usando operaciones elementales.

Algoritmo.

Sea A ∈ M(n,R) tal que (A |Idn )f∼ (Idn |P ), entonces P = A−1.

En efecto

(A |Idn )f∼ (EnEn−1 . . . E1A |EnEn−1 . . . E1Idn ) =

(Idn

∣∣A−1).

Ejemplo 9.6.3. Calcule A−1 si

A =

1 0 22 −1 34 1 8

.

Solucion.

(A|Id3) =

1 0 22 -1 34 1 8

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 00 0 1

f21(−2)∼

f31(−4)

1 0 20 -1 -10 1 0

∣∣∣∣∣∣

1 0 0-2 1 0-4 0 1

f2(−1)∼

1 0 20 1 10 1 0

∣∣∣∣∣∣

1 0 02 -1 0-4 0 1

f32(−1)∼

1 0 20 1 10 0 -1

∣∣∣∣∣∣

1 0 02 -1 0-6 1 1

f23(1)∼f13(2)

1 0 00 1 00 0 -1

∣∣∣∣∣∣

-11 2 2-4 0 1-6 1 1

f3(−1)∼

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣

-11 2 2-4 0 16 -1 -1

.

Ası entonces

A−1 =

−11 2 2−4 0 16 −1 −1

.

Se puede verificar que

A ·A−1 =

1 0 22 −1 34 1 8

−11 2 2−4 0 16 −1 −1

=

1 0 00 1 00 0 1

.


9.7. EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 9.1. Sean

A =

8 0 13 4 11 0 1

, B =

0 1 23 0 10 0 1

, C =

3 1 14 −5 16 −1 3

, A,B,C ∈ M(3,R).

Determine

a) A + B − C c) 12 A− 3

4 C e) A2 + A ·B −B2

b) A ·B d) (A ·B)t f) (A + B)t · C

Ejercicio 9.2. Sean

A = (aij)10×15, tal que aij =

0 si i < j

−1 si i = j

i si i > j

B = (bij)15×12, tal que bij =

{0 si i ≥ j + 2i si i < j + 2

C = (cij)10×15, tal que cij =

{5 si i 6= j

7 + j si i = j

Calcule

a) s5,9 en A + C = (sij).

b) t4,10 en AB = (tij).

c) r4,3 en (A + C)t = (rij).

Ejercicio 9.3. Sea A = (aij) ∈ M(n,R), definimos la traza de A, denotada tr(A) como

tr(A) =n∑

i=1aii. Demuestre que:

a) tr(kA) = ktr(A), ∀ k ∈ R, ∀A ∈ M(n,R).

b) tr(At

)= tr(A), ∀A ∈ M(n,R).

c) tr(A + B) = tr(A) + tr(B), ∀A,B ∈ M(n,R).

d) tr(AB) = tr(BA), ∀A,B ∈ M(n,R).

e) tr(AAt

)=

n∑i=1

n∑j=1

a2ij .


Ejercicio 9.4. ¿Bajo que condiciones las matrices A,B ∈ M(n,R) cumplen

a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2?

b) (A + B)(A−B) = A2 −B2?.

Ejercicio 9.5. Determine a, b ∈ R, para que se cumpla:

(a 6−2 b

)+ 2Id2 =

(1 0 30 1 2

)·

1 00 1−1 2

Resp. a = −4, b = 3.

Ejercicio 9.6. Si

A =

1 −12 21 0

, B =

(3 1−4 4

)

¿ Existe matriz C tal que CA = B?. Justifique.

Resp. C =( 2−c

24−c4 c

−f−82

−f4 f

), c, f ∈ R.

Ejercicio 9.7. Sean A,B ∈ M(2,R) tal que AB = Id2. Demuestre que tambien BA =Id2.

Ejercicio 9.8. Hallar todas las matrices que conmutan con

A =(

1 10 1

)

Resp. B ={(

d b0 d

)/d, b ∈ R

}.

Ejercicio 9.9. Sean A,B ∈ M(2,R). Si cada una de ellas conmuta con la matriz(

0 1−1 0

),

demuestre que conmutan entre si.

Ejercicio 9.10. Si A, B ∈ M(n,R) tal que A = B + C, C2 = 0, B y C conmutan,demuestre que:

An+1 = Bn [B + (n + 1)C] .

Ejercicio 9.11. Sea A =(

a bc d

) ∈ M(2,R). Declarando los supuestos necesarios determineA−1 y aplique esto ultimo para determinar A−1 (si existe) cuando:

A =(

3 1−1 0

), A =

(3 1−1 6

), A =

(3 16 2

), A =

(3 0−1 0

).


Resp. A−1 =

(d −b−c a

)

ad− bcsi ad− bc 6= 0.

Ejercicio 9.12. Sean A ∈ M(2, 1,R) , B ∈ M(1, 2,R). Demuestre que AB no es invert-ible.

Ejercicio 9.13. Resuelva los siguientes sistemas para las matrices X e Y .

a)

X + 2Y =

(2 1 01 −1 2

)

2X + 3Y =

(1 2 −12 0 1

) b)

X − Y =

(1 −2−1 3

)

X + Y =

(3 03 1

)

Resp.

a) X =(−4 1 −2

1 3 −4

), Y =

(3 0 10 −2 3

)

b) X =(

2 −11 2

), Y =

(1 12 −1

)

Ejercicio 9.14. Sean A,B ∈ M(n,R) tal que AB = kB,∈ R. Demuestre que AnB =knB, n ∈ N.

Ejercicio 9.15. Sean

A =(

1 00 1

), B =

(4 00 4

), C =

(3 −2−1 2

).

¿Cual(es) de las matrices dadas es(son) soluciones de la ecuacion X2 − 5X + 4Id2 = 0?.


1 23 4−1 4

), determine todas las matrices B tal que BA = Id2.

Resp. B ={(−2− 8c 1 + 3c c

32 − 8f −1

2 + 3f f

)/c, f ∈ R

}.

Ejercicio 9.17. Sean A,B, X ∈ M(n,R), B una matriz no-singular, determine X siBtXt = (A−XB)t. Si n = 2,

A =(

1 03 1

), B =

(1 03 2

)

determine X.


Resp. X = 12AB−1.

Ejercicio 9.18. Sea E ∈ M(n,R) tal que EtE = Idn. Demuestre que si AB = BAentonces XY = Y X, donde X = EAEt , EBEt.

Ejercicio 9.19. Demuestre que

a) (At)t = A.

b) (A + B)t = At + Bt.

c) (AB)t = BtAt.

d) (kA)t = kAt.

e) (ABC)t = BtCtAt, donde A, B, C son matrices “conformes”, k ∈ R.

Ejercicio 9.20. Sean A, B matrices cuadradas. Demuestre que An y Bm, n,m ∈ Nconmutan si A, B conmutan.


1 1 00 1 10 0 1

). Encuentre una formula para An, n ∈ N. Demuestre la

formula por induccion y calcule 20A12.

Resp. An =

1 n n(n−1)2

0 1 n0 0 1

.

Ejercicio 9.22. Determine una formula para An, n ∈ N, donde A =(

0 −11 0

).

Resp. An =

A si n = 4k − 3−Idn si n = 4k − 2−A si n = 4k − 3Idn si n = 4k

Ejercicio 9.23. Sea M = {A ∈ M(2,R)/A = ( 1 a0 1 ) , a ∈ R}.

a) Demuestre que (M, ·) es un grupo conmutativo.

b) Determine Ap, p ∈ N.

Ejercicio 9.24. Sea A =

1 1 11 1 11 1 1

∈ M(3,R).


a) Determine una formula para An, n ∈ N, demuestre la formula por induccion.

b) Calculen∑

i=1Ai.

Resp. a) An = 3n−1A. b) 3n−12 A.


1 0−1 1

)∈ M(2,R).

a) Determine una formula para An, n ∈ N, demuestre la formula por induccion.

b) Calculen∑

i=1Ai.

Resp. a) An =(

1 0−n 1

). b)

n∑

i=1

Ai =(

n 0−n(n+1)

2 n

).

Ejercicio 9.26. Determine X ∈ M(2,R) tal que

a) X2 = Id2.

b) X2 = X.

c) AX = B si A =(

1 00 0

)y B =

(a bc d

).

Ejercicio 9.27. Sea B = (bij) ∈ M(n,R) tal que

bij =

{0 si i = j

1 si i 6= j

a) Determine B2.

b) Si a = kIdn + tB, determine k, t para que A2 = Idn. Verifique.

Ejercicio 9.28. Considere el sistema matricial{

(XA)t + BtY t = At + (2Y B)t −AtXt

XA + Y B = 2(XA + B)

a) Resuelva para X, Y ∈ M(n,R) en el sistema, dando condiciones a A, B.

b) Ademas, evalue X e Y si

A =(

1 10 1

), B =

(1 00 1

2

)


Ejercicio 9.29. Sea A ∈ M(n,R), decimos que

i) A es nilpotente de orden p si y solo si Ap = 0, donde p es el mayor entero positivopara el cual Ap = 0.

ii) A es idempotente si y solo si A2 = A.

a) De 3 ejemplos de cada tipo de matriz.

b) ¿Es A =(

1 1 35 2 6−2 −1 −3

)nilpotente de orden 3?.

c) Si A es idempotente demuestre que

i) B = Idn −A es idempotente.

ii) AB = BA.

d) Si A es nilpotente de orden 2, demuestre que A(Idn ±A)n = A, ∀n ∈ N.

Ejercicio 9.30. La matriz A ∈ M(n,R) se dice involutiva si y solo si A2 = Idn.

a) De 3 ejemplos de una matriz involutiva.

b) Si A es involutiva, demuestre que

i) 12(Idn + A) y 1

2(Idn −A) son idempotentes.

ii) 12(Idn + A) · 1

2(Idn −A) = 0.

Ejercicio 9.31. La matriz A ∈ M(n,R) se dice simetrica si y solo si At = A.La matriz A ∈ M(n,R) se dice antisimetrica si y solo si At = −A.Demuestre que

a) A2 es simetrica si A es simetrica.

b) AAt es simetrica.

c) BtAB es simetrica si A es simetrica, B ∈ M(n,R).

d) Si A ∈ M(n,R) es antisimetrica, B ∈ M(n,R) entonces AtBA es antisimetrica.

e) Si A ∈ M(n,R) es simetrica, entonces A2, A4, A6, . . . son simetricas.

f) Si A ∈ M(n,R) es antisimetrica entonces A3, A5, A7, . . . son matrices antisimetricasy A2, A4, A6, . . . matrices simetricas.

Ejercicio 9.32. Calcule x, y ∈ R para que la matriz

i) A =

1 x 21 2 4y 4 5

sea simetrica ii) B =

0 2x 1x2 0 −4x

y + 1 x 0

sea antisimetrica.


Resp. i) x = 1, y = 2. ii) x = 0, y = −2.

Ejercicio 9.33. Sea A ∈ M(n,R). Escriba la matriz A como la suma de una matrizsimetrica con una matriz antisimetrica. Aplique lo anterior a la matriz A =

(1 2 34 5 67 8 9

).

Resp. A =12(A + At) +

12(A−At) , A =

1 2 34 5 67 8 9

=

1 3 53 5 75 7 9

+

0 −1 −21 0 −12 1 0

.

Ejercicio 9.34. Sean A,B ∈ M(n,R) matrices simetricas. Demuestre

a) A + B es simetrica.

b) AB es simetrica si y solo si A y B conmutan.

Ejercicio 9.35. Si B = (bij) ∈ M(n, 1,R) tal que bij = 1, ∀ i, j y A = Idn− 1nBBt, n ∈ N,

a) Demuestre que A es simetrica.

b) Demuestre que A es idempotente.

Ejercicio 9.36. Sean A y B matrices tal que AB = A, BA = B. Demuestre que,

a) BtAt = AtBt.

b) At es idempotente.

Ejercicio 9.37. Sean A,B ∈ M(n,R) invertibles tal que conmutan entre si, demuestreque A−1 y B−1 tambien conmutan entre si.

Ejercicio 9.38. Sea A ∈ M(n,R) tal que A2 + A + Idn = 0. Determine A−1.

Resp. A−1 = −A− Idn.

Ejercicio 9.39. Si A ∈ M(n,R) tal que Am = 0, para algun m natural, compruebe quela matriz inversa de la matriz Idn −A es Idn + A2 + A3 + · · ·+ Am−1.

Ejercicio 9.40. Sean A,B ∈ M(n,R) no-singulares. Demuestre que el producto es no-singular y que (AB)−1 = B−1A−1.

Ejercicio 9.41. Sea A = (aij) ∈ M(n,m,C), se llama matriz conjugada de A, denotadaA, a la matriz B = (bij) ∈ M(n,m,C) tal que bij = aij . Demuestre que


a) A = A, ∀A ∈ M(n,m,C).

b) kA = kA, ∀ k ∈ R, ∀A ∈ M(n,m,C).

c) A + B = A + B, ∀A, B ∈ M(n,m,C).

d) A ·B = B ·A, ∀A,B matrices “conforme” complejas.

Ejercicio 9.42. Considere la matriz cuadrada compleja A ∈ M(n,C). A se llama matrizhermitiana si A

t = A, es decir, A = (aij) ∈ M(n,C) es hermitiana si aij = aji.Verifique que las siguientes matrices son hermitianas,

A =(

0 i−i 0

), B =

2 i 1− 2i

−i√

3 61 + 2i 6 0

, C =

(3 1− i

1 + i −2

).

Ejercicio 9.43. Si At se denota por A∗ verifique que (AB)∗ = B∗A∗ si

A =(

2− 3i 4 + 2i3i 5

), B =

( −2 −2 + i3− 2i 4 + 2i

).

Ejercicio 9.44. Sean A, B ∈ M(n,C) dos matrices hermitianas, demuestre que A + Btambien es hermitiana y (A + B)∗ = A∗ + B∗.

Ejercicio 9.45. Si AB = −BA entonces decimos que las matrices A y B son anticonmu-tativas. Demuestre que cada matriz

σx =(

0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

), i2 = −1

es anticonmutativa con las otras matrices (matrices del Spin de Pauli).

Ejercicio 9.46. Sean A,B ∈ M(n,R), la matriz AB −BA se llama “conmutador” de Ay B. Usando el ejercicio anterior compruebe que los conmutadores de σx ∧ σy, σy ∧ σz,σz ∧ σx son, respectivamente, 2iσz, 2iσx, 2iσy.

Ejercicio 9.47. Calcule A−1 si A =(

1 + i 2i4− 61 2 + 3i

).

Resp. A−1 =1

−13− 3i

(2 + 3i −2i−4 + 6i 1 + i

).


Ejercicio 9.48. Si A(t) = (aij(t))m×n es una matriz cuyos elementos son funciones difer-enciables en un dominio comun entonces dA

dt =(

ddtaij

)m×n

.Si A(t) = (aij(t))m×n es una matriz cuyos elementos son funciones continuas en un

dominio comun que contiene a t y t0, entonces∫ tt0

A(s)ds =(∫ t

t0aij(s)ds

)m×n

.

Usando lo anterior, si

A(t) =

sen2te3t

8t− 1

,

determine dAdt ,

∫ t0 A(s)ds.

Ejercicio 9.49. En el espacio de las funciones continuas de R en R considere la funcion

f(x) = peax cos(bx) + qeax sen(bx) =(

pq

).

a) Verifique quedf

dx=

(a b−b a

) (pq

).

b) Verifique que∫

f(x)dx =(

a b−b a

)−1 (pq

)+ Cte.

c) Usando a) calcule ddx(e2x cos(3x)).

d) Usando b) calcule∫

e3x sen(2x)dx.

Ejercicio 9.50. Determine la matriz inversa (si existe) para cada una de las siguientesmatrices, use operaciones elementales. Verifique.

A =

1 4 23 7 91 5 1

, B =

1 1 54 10 162 5 8

C =

1 −1 2 1−2 3 −4 15 −8 11 −4−2 3 −4 2

, D =

α β γ0 α 00 δ ε

si α · ε 6= 0.

Resp. D−1 =1

α2ε

αε γδ − βε −αβ0 αε 00 −αδ α2

.


1 41 2

)∈ M(2,R).

a) Exprese A como producto de matrices elementales.


b) Exprese A−1 como producto de matrices elementales.

Resp.

A =(

1 01 1

)(1 00 −2

)(1 40 1

), A−1 =

(1 −40 1

)(1 00 −1

2

)(1 0−1 1

).

Ejercicio 9.52. Demuestre que toda matriz A ∈ M(n,R) se puede factorizar como A =BC donde B es no-singular y C es la matriz escalonada equivalente fila con A.

Aplique lo anterior a la matriz

A =

1 0 00 1 20 2 4

.

¶INDICE · BA = Idn entonces decimos que B es una matriz inversa de A. Observaci¶on 9.3.2. 1. No...

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