2.5. EL EXPERIMENTO DE DARCY2.5. EL EXPERIMENTO DE DARCY

2.5.2. EJEMPLOS DEL C2.5.2. EJEMPLOS DEL CÁÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS LCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRSUBTERRÁÁNEAS EN DOS DIMENSIONES NEAS EN DOS DIMENSIONES

2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES 2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES

2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY 2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY

2.5.1. 2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCYFORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY

El experimento de El experimento de DarcyDarcy relaciona la descarga total relaciona la descarga total QQ del gradiente del gradiente de carga, el cual es de carga, el cual es ΔΔhh/l./l.

El factor de proporcionalidad es El factor de proporcionalidad es KAKA, donde , donde KK es la es la conductividad conductividad hidrhidrááulicaulica y y AA es el es el áárea de la columnarea de la columna por donde el agua fluye.por donde el agua fluye.

La La descarga especificadescarga especifica o o flujo volumflujo voluméétricotrico, es el fluido que pasa a , es el fluido que pasa a travtravéés del medio porosos en una seccis del medio porosos en una seccióón de n de áárea rea AA perpendicular al perpendicular al flujo por unidad de tiempo:flujo por unidad de tiempo:

Esta medida puede ser separada por Esta medida puede ser separada por dldl, por un cambio en , por un cambio en dhdh::AQq =

dldhK

AQq ≈=

dldhKq −=

La ecuaciLa ecuacióón anterior es una relacin anterior es una relacióón constitutiva y es equivalente al n constitutiva y es equivalente al momento en la ecuacimomento en la ecuacióón de balance.n de balance.

La relaciLa relacióón cln cláásica entre la ecuacisica entre la ecuacióón de momento de balance para un n de momento de balance para un fluido en medios porosos fue dada por fluido en medios porosos fue dada por HubbertHubbert en 1954 y a partir de en 1954 y a partir de la derivacila derivacióón la ley de n la ley de DarcyDarcy a trava travéés de la ecuacis de la ecuacióón de n de NeiverNeiver--Stock, Stock, se llega a la expresise llega a la expresióón de flujo de un fluido en un material saturado:n de flujo de un fluido en un material saturado:

Donde el termino Donde el termino ∇∇h es igual ah es igual a

( )( ) hgNdq 2 ∇⋅μρ−=

kzhj

yhi

xhh

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Figura 2.26. Definición esquemática del concepto de vector unitario

HubbertHubbert definidefinióó el producto de el producto de NdNd22 como la como la permeabilidad del permeabilidad del mediomedio (k), la cual depende de la geometr(k), la cual depende de la geometríía de los granos y a de los granos y representa la conductividad hidrrepresenta la conductividad hidrááulica K como:ulica K como:

Si el medio es Si el medio es isotrisotróópicopico se dice que se dice que KK es un escalar, pero si el es un escalar, pero si el medio es medio es anisotranisotróópicopico, entonces se tiene que adaptar el concepto de , entonces se tiene que adaptar el concepto de la la KK a una matriz que contenga diferentes valores en diferentes a una matriz que contenga diferentes valores en diferentes puntos, los valores de la matriz se le llama tensorpuntos, los valores de la matriz se le llama tensor

( )( )μρ

=μρ≡gkgNdK 2

hKq ∇⋅−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zz

yy

xx

K000K000K

K

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zhyhxh

K000K000K

qqq

zz

yy

xx

z

y

x

Figura 2.27. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad

hidráulica cuando los ejes coordenados estas orientados igual a los estratos

Figura 2.28. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad

hidráulica cuando los ejes coordenados no estas orientados igual a los estratos

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zhyhxh

KKKKKKKKK

qqq

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

ÍÍndicendice

Las dimensiones del vector de la Las dimensiones del vector de la descarga especificadescarga especifica qq es [L/T], es [L/T], esta no es una medida de la velocidad del agua, sino es una mediesta no es una medida de la velocidad del agua, sino es una medida da del volumen que pasa a travdel volumen que pasa a travéés de una superficie de s de una superficie de áárea rea AA en en tiempo tiempo ΔΔTT dividido por el dividido por el áárea rea AA y y ΔΔTT..

Puesto que la porosidad es la relaciPuesto que la porosidad es la relacióón de espacios vacn de espacios vacííos y espacio os y espacio total, el total, el áárea del agua puede ser expresado como el rea del agua puede ser expresado como el áárea total rea total multiplicado por la porosidad, asmultiplicado por la porosidad, asíí obtenemos la velocidad para una obtenemos la velocidad para una partpartíícula de agua en un medio poroso la cual se expresa con la cula de agua en un medio poroso la cual se expresa con la relacirelacióón:n:

ε=

qv

2.5.2. 2.5.2. EJEMPLOS DEL CEJEMPLOS DEL CÁÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE LCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRFLUJO DE AGUAS SUBTERRÁÁNEAS EN DOS NEAS EN DOS DIMENSIONESDIMENSIONES

Figura 2.30. Experimento de flujo en espacio de dos dimensiones. El agua subterránea se mueve de derecha a izquierda a través de la caja llenada con arena. El nivel del agua

en la arena esta denotada por la elevación en los manómetros.

bxa)x(h +=

a0bah3 =×+=

311 Lbah −×+=

Resolvemos para obtener a y b

Tenemos

3ha = ( ) 3113 Lhhb −−−=

Los sustituimos en la primera ecuación, tenemos que:

( ) 31313 Lxhhhh −×−+=

De la ecuación anterior la localización de h=h2 y resolvemos para la posición x2 tenemos que:

( ) ( ) 3131322 Lhhhhx −×−−=

X2

Si consideramos el problema como sistema de ecuaciones lineales tenemos que:

1111 cybxa)y,x(h ++=

2222 cybxa)y,x(h ++=

3333 cybxa)y,x(h ++=

Para obtener los coeficientes b y c tenemos:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )21323221

21323221

yyxxyyxxyyhhyyhhb

−−−−−−−−−−

=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )21323221

21323221

xxyyxxyyxxhhxxhhc

−−−−−−−−−−

=

Habiendo obtenido los coeficientes, podemos determinar del gradiente:

Figura 2.30. Nodal arreglo para el uso aproximaciones algebraicasen el cálculo de gradientes

El gradiente de aguas subterráneas esta dado por:

jyhi

xhh

∂∂

+∂∂

=∇

bxh=

∂∂ c

yh=

∂∂

Si tenemos Si tenemos

Figura 2.31. Ejemplo del problema mostrando el cálculo de la constante

de la línea de nivel estático y la resultante del vector velocidad

10001b

xh −

==∂∂

10001c

yh −

==∂∂

Para el triangulo inferior donde K=4ft/dPara el triangulo inferior donde K=4ft/díía:a:

004.0xhKq xxx =∂∂

×−= 004.0xhKq yyy =∂∂

×−=

Si la Si la εε=0.25, la velocidad es:=0.25, la velocidad es:ε

=qv

[ ]díaft)016.0,016.0(v1 = [ ]díaft0226.v1 =

Para el triangulo inferior donde K=2ft/dPara el triangulo inferior donde K=2ft/díía:a:

002.0xhKq xxx =∂∂

×−= 002.0xhKq yyy =∂∂

×−=

Si la Si la εε=0.25, la velocidad es:=0.25, la velocidad es:ε

=qv

[ ]díaft)008.0,008.0(v2 = [ ]díaft0113.v2 =ÍÍndicendice

2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS 2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALESPOTENCIALES

Revisando el concepto de fluido potencial, el cual esta definidoRevisando el concepto de fluido potencial, el cual esta definido por por la ecuacila ecuacióón:n:

Se remplaza la variable de presiSe remplaza la variable de presióón por la variable p, y se introduce n por la variable p, y se introduce en la ley de en la ley de DarcyDarcy::

( )∫πρπ

+∫= p

atmPz

0z gddzh

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛∫

πρπ

+∫=∇⋅−=∇⋅−= p

atmPz

0z gddzhKhKq

Para la evaluaciPara la evaluacióón posterior de la expresin posterior de la expresióón es necesario introducir n es necesario introducir una relaciuna relacióón matemn matemáática que describe como diferenciar una integral, tica que describe como diferenciar una integral, la cual se le conoce como la regla de la cual se le conoce como la regla de LeibnitzLeibnitz::

Utilizando la regla de Utilizando la regla de LeibnitzLeibnitz en la ecuacien la ecuacióón n qq, es igual a, es igual a

∫ ∇⋅−∇⋅+ξξ∇=∫ ξξ∇ )x(b)x(a

)x(b)x(a a))x(a,x(fb))x(b,x(fd),x(fd),x(f

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛∫

πρπ

+∫∇⋅− )x(p)x(atmP

)x(z

)x(0z gddzK

( )[ ]∫ ∇−∇+∇⋅−= )x(z)x(0z 0z1z1dz1K

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡∫

ρ∇

−ρ∇

+πρπ

∇⋅−= )x(P)x(Patm

atm

atm

PgP

PgP

gdK

Si las condiciones iniciales zSi las condiciones iniciales z00=0 y =0 y PPatmatm=0 entonces:=0 entonces:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ρ∇

+∇⋅−=PgPzKq

( ) ( )[ ]PzPgPg

Kq ∇+∇ρ⋅ρ−

=

ÍÍndicendice