25 exponentes y radicales

Exponentes yRadicalesScherzer

Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático

Raúl ScherzerAlcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México

33 36 14 68 15

En el entorno matemático los exponentes y radicales

son la quinta y sexta operación básicas.

¿Cuáles son sus doce reglas y cómo se aplican en la notación científica y los logaritmos? ¿cómo se hace una

raíz cuadrada y una cúbica?

1. XnXm = Xn+m

2. Xn/Xm = Xn–m

3. (Xn)m = Xnm

4. m√Xn = Xn/m

5. X0 = 16. X–n = 1/Xn

Leyes de los exponentes y radicales (básicas).

1. XnXm = Xn+m

Ejemplos de las Leyes de los exponentes y radicales.

Ejemplos:2327 = 23+7 = 210

7–477 = 7–4+7 = 73

X2/3X4/5 = X2/3 + 4/5 = X22/15

5–25–7 = 5–2–7 = 5–9


2. Xn/Xm = Xn–m

Al exponente de abajo se le cambia de signo.

Ejemplos:58/56 = 58–6 = 52

58/5–6 = 58+6 = 514

5–8/5–6 = 5–8+6 = 5–2

5–8/56 = 5–8–6 = 5–14

7–3/75 = 7–3–5 = 7–8

X–5/X4 = X–5–4 = X–9

63/4/61/2 = 61/4


3. (Xn)m = Xnm

Ejemplos:(53)4 = 512

(6–2)3 = 6–6

(7–4)−2 = 78

(X–9)5 = X−45

(a2)−2 = a–4

[(3/4)–4]−2 = (3/4)8

[(X/Y)5]−3 = (X/Y)−15

4. m√Xn = Xn/m


Ejemplos:3√54 = 54/3

10√220 = 220/10 = 22 = 43√(3/4)5 = (3/4)5/3

√2 = 2√21 = 21/2

6√X7 = X7/6

2√Y3 = Y3/2

5. X0 = 1


Ejemplos:50 = 1

(1/2)0 = 1

(√4 )0 = 1

(− 3)0 = 1

(X2Y3)0 = 1

(Sen x/Log x)0 = 1

()0 = 1

6. X–n = 1/Xn


Ejemplos:5−3 = 1/53

(2/3)−4 = (3/2)4

74 = 1/7−4

X−5 = 1/X5

X−5Y3Z−2 M−4N−6P8 = M4Y3N6

X5Z2P8

X−5 Y−4

−6 = Y−4

X−5

6 = X5

Y4

6

7. (X ± Y)n≠ Xn ± Yn

8. (XY)n = XnYn

9. (X/Y)n = Xn/Yn

10. n√X ± Y ≠ n√X ± n√Y11. n√XY = n√X n√Y12. n√(X/Y) = n√X /n√Y

Leyes de los exponentes y radicales (complementarias).

exponentes

suma y resta

multiplicación

división

radicales

suma y resta

multiplicación

división

7. (X ± Y)n≠ Xn ± Yn


Ejemplos:(2 + 5)3 ≠ 23 + 53

(m − n)4 ≠ m4 − n4

(x + y)5 ≠ x5 + y5

(7 − 3)8 ≠ 78 − 38

8. (XY)n = XnYn


Ejemplos:(2 x 5)3 = 23 x 53

(mn)4 = m4n4

(xy)5 = x5y5

(7 x 3)8 = 78 x 38

9. (X/Y)n = Xn/Yn


Ejemplos:(2 ÷ 5)3 = 23 ÷ 53

(m/n)4 = m4/n4

(x ÷ y)5 = x5 ÷ y5

(7 / 3)8 = 78 / 38

10. n√X ± Y ≠ n√X ± n√Y


Ejemplos:3√3 + 4 ≠ 3√3 ± 3√43√m − n ≠ 3√m − 3√n5√x + y ≠ 5√x + 5√y6√7 − 3 ≠ 6√7 − 6√3

11. n√XY = n√X n√Y


Ejemplos:3√3 x 4 = 3√3 x 3√44√mn = 4√m 4√n5√ xy = 5√x 5√y6√7 x 3 = 6√7 x 6√3

12. n√(X/Y) = n√X /n√Y


Ejemplos:3√3 / 4 = 3√3 / 3√44√m/n = 4√m / 4√n5√x/y = 5√x / 5√y6√7 / 3 = 6√7 / 6√3


Ejemplos:3−2 3−4 3−8 = 3−14 = 1/314

7435 78 3−2 = 71233

X7 X3 X−4 X2 X−5 = X3

Y4 Y2 Y−1 Y−7 Y−5 = Y−7 = 1/Y7


Ejemplos:X2/3 X1/2 = X2/3 + 1/2 = X7/6

( 57 )3 = 521

( b5 )6 = b30

( 5a3b4 )3 = 125a9b12


Ejemplos:( X7 Y4 Z7 )2 = X14 Y8 Z14

( − 2a4b6 )4 = 16a16b24

( − 1.5x2y3z4 )5 = − 7.59375x10y15z20

( x3/y2 )6 = x18/y12


Ejemplos:( X2 Y7 / Z5 )3 = X6 Y21 / Z15

( X6 / Y5 Z3 )6 = X36 / Y30 Z18

(X7 Y4 Z5)/(X3 Y3 Z6) = X4 Y/Z

(X3 Y5 Z6)/(X5 Y3 Z6) = Y2/X2


Ejemplos:(8a4b5)/(−2a2b) = −4a2b4

(−9m5n6)/(−3m5n6) = 3

(−18x2y6)/(−36x4y2) = ½ x−2y4 = y4/(2x2)

(X6Y8)/(−2X4Y2) = (X2Y6)/(−2)


Ejemplos:(5a2n−1bm−3)/(−6a2n−2bm−4) =(−5/6)a2n−1−2n+2bm−3−m+4 = (−5/6)ab

(−7/8)an−3bm+5/(5/2)an−4bm−1 =(−14/40)an−3−n+4bm+5−m+1 =(−7/20)ab6


Ejemplos:√2 √162 = √2 √2(81) = (2)(9) = 18

3√8x6y9z12 = 2x2y3z4

√294x3y5z1

√6x5yz−5 = √49x−2y4z6 = (7y2z3/x)

Sirve para escribir números muy grandes (con exponente positivo) o muy pequeños (con el exponente negativo).

Notación Científica.

Ejemplo de un número muy grande:

714000000000000000000000000 = 7.14 x 1026

Ejemplo de un número muy chico:

0.00000000000000000000245 = 2.45 x 10−21

Otros ejemplos:


Convertir a notación científica:0.000 000 123 implica recorrer a la derecha siete lugares el punto decimal 1.23 x 10−7

Convertir a notación científica:1 732 500 000 000 000 implica recorrer a la izquierda quince lugares el punto decimal 1.7325 x 1015

Otros ejemplos:


Convertir a notación científica:0.000 000 000 000 000 000 024 5 = 2.45 x 10−20

Convertir a notación científica:714 000 000 000 000 000 000 000 000 =7.14 x 1026

Otros ejemplos:


Convertir a notación decimal:37 x 1014 =3 700 000 000 000 000

Convertir a notación decimal:17.325 x 1018 = 17 325 000 000 000 000 000

Otros ejemplos:


Convertir a notación decimal:19 x 10−11 =.000 000 000 19 = 0.000 000 000 19

Convertir a notación decimal:4.51 x 10−24 = .000 000 000 000 000 000 000 004 51

Operaciones con notación científica: suma y resta.

Sólo se puede realizar si el 10 esta elevado a la misma potencia.


Ejemplos:(3 x 107) + (8 x 107) = 11 x 107 (24 x 10−3) − (9 x 10−3) = 15 x 10−3

(5.17 x 104) + (3.107 x 104) = 8.277 x 104 (2 x 10−5) − (9 x 10−5) = − 7 x 10−5


Si nos piden realizar una suma y resta y no coinciden los exponentes, hay que hacer que lo hagan, recorriendo el punto decimal.


Ejemplos:2.5176 x 105 = 25.176 x 104 = 251.76 x 103

2.5176 x 10−5 = 25.176 x 10−6 = 251.76 x 10−7



Ejemplo:Restar 724.17 x 10−4 de 27.09 x 10−3

Se puede hacer de tres formas por lo menos:27.09 x 10−3 − 72.417 x 10−3 = −45.327 x 10−3 270.9 x 10−4 − 724.17 x 10−4 = −453.27 x 10−4

2709. x 10−5 − 7241.7 x 10−5 = −4532.7 x 10−5

2.709 x 10−2 − 7.2417 x 10−2 = −4.5327 x 10−2

Operaciones con notación científica: multiplicación.


Ejemplos:(2 x 10−7)(3 x 105) = 6 x 10−7+5 = 6 x 10−2

(− 2 x 10−4)(5 x 10−3) = − 10 x 10−7 (5 x 10−2)(7 x 103)(2 x 10−4) = 70 x 10−3 (3 x 107)(8 x 105) = 24 x 1012 (24 x 10−3)(9 x 10−1) = 216 x 10−4

(5.17 x 104)(− 3.2 x 10−5) = − 16.544 x 10−1 (2 x 10−5)(9 x 105) = 18 x 100 = 18 x 1 = 18

Operaciones con notación científica: división.


Ejemplos:(20 x 108) / (4 x 103) = 5 x 108−3 = 5 x 105

(45 x 10−7) ÷ (15 x 10−3) = 3 x 10−7+3 = 3 x 10−4

(7 x 10−2) / (5 x 103)= 1.4 x 10−5

(3 x 107) ÷ (8 x 105) = 0.375 x 102

Operaciones con notación científica: potencia y raíz.


Ejemplos:(5 x 10−6)2 = 25 x 10−12

(4 x 103)2 = 16 x 106

√64 x 108 = 8 x 104

√121 x 106 = 11 x 103

Nombres especiales a tamaños especiales.


Nombre Símbolo Valor MultiplicativoEXA E 1018

PETA P 1015

TERA T 1012

GIGA G 109

MEGA M 106

KILO K 103

HECTO H 102

DECA D 101

Nombres especiales a tamaños especiales.


Nombre Símbolo Valor MultiplicativoDECI dm 10−1

CENTI cm 10−2

MILI mm 10−3

MICRO m 10−6

NANO n 10−9

PICO p 10−12

FENTO f 10−15

ATO a 10−18

Algunas longitudes en metros.


6 x1025 Distancia al cuásar más alejado.2 x1022 Distancia a nebulosa más cercana.6 x1019 Radio de nuestra galaxia.4.3 x1016 Distancia a la estrella más cercana.5.9 x1012 Radio medio de la órbita de Plutón.6.9 x108 Radio del Sol.6.4 x106 Radio de la Tierra.

Algunas longitudes en metros.


4.6 x104 Máxima altura alcanzada por un globo.1.8 x100 Estatura de un hombre.4 x10−2 espesor de un libro de 950 hojas.1 x10−4 Espesor de una página de un libro.1.2 x10−8 Tamaño del virus de la poliomielitis.5 x10−11 Radio de un átomo de hidrógeno.1.2 x10−15 Radio efectivo de un protón.

Algunos intervalos de tiempo en segundos.


1.3 x1017 Edad de la Tierra.1.5 x1011 Edad de la pirámide de Keops.3.16 x107 Un año.8.6 x104 Un día.5.1 x103 Periodo del satélite.7 x102 Vida media del neutrón libre.8 x10−1 Intervalo entre dos pulsaciones del

corazón.

Algunos intervalos de tiempo en segundos.


2.3 x10−3 Periodo del diapasón tono La.2.2 x10−6 Vida media del muón. .1 x10−10 Oscilación de microondas de 0.03 m.1 x10−12 Periodo de rotación de una molécula.2.2 x10−16 Vida media del pión neutro.4 x10−21 Oscilación de un rayo Gamma de 1 mev.2 x10−23 Tiempo medio que tarda una partícula elemental en cruzar un núcleo.

Algunas masas medidas en kilógramos.


2.2 x1041 Nuestra galaxia.2 x1030 El Sol.6 x1024 La Tierra.7.4 x1022 La Luna.1.4 x1021 Toda el agua de los océanos.7.2 x107 Un trasatlántico.4.5 x103 Un elefante.7.8 x101 Un hombre.

Algunas masas medidas en kilógramos.


3 x10−3 Una uva.6.7 x10−10 El virus del mosaico de tabaco.2.3 x10−13 Una brizna de polvo.5 x10−17 Una molécula de penicilina.4 x10−25 Un átomo de uranio.1.7 x10−27 Un protón.9.1 x10−31 Un electrón.

Las reglas para realizarla son:

Raíz Cuadrada.

1. Se divide dicho número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha, pudiendo el último grupo de la izquierda tener una sola cifra.

2. Se extrae la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda, y se obtiene la primera cifra de la raíz, que se escribe a la derecha del radicando.


Raíz Cuadrada.

3. Se resta del primer grupo el cuadrado de la raíz, y al lado de la diferencia se escribe el siguiente grupo.

4. Del número así formado se separa la primera cifra de la derecha, y se divide la parte restante entre el doble de la raíz hallada; el cociente que resulte es la segunda cifra de la raíz, o una cifra mayor que ella.


Raíz Cuadrada.

5. Para comprobarla, se escribe dicho cociente al lado del doble de la raíz, y el número así formado se multiplica por rl mismo cociente: si el producto puede restarse del dividendo seguido de la cifra separada, la cifra hallada es la verdadera; en el caso contrario, se le rebaja una unidad, hasta poder efectuar la resta.


Raíz Cuadrada.

6. Al lado de la diferencia obtenida, se escribe el grupo siguiente, y se repiten las mismas operaciones hasta haber bajado el último grupo del radicando.

Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985

Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2Paso 1Separa en grupos de dos al número de derecha a izquierda.

Paso 2Se extrae la raíz cuadrada de 5, y se obtiene la primera cifra que es 2.


Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2Paso 3Se eleva al cuadrado el 2 y se le resta al 5, se baja el siguiente grupo el 49.

Paso 4Del 149 se quita el 9 y quedan 14, el cual se divide entre el doble de la raíz hallada, o sea, 14 entre 4 nos da 3.

−4

1 49

3


Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2Paso 5Para comprobar, se duplica el 2 y se baja el 3, nos queda 43 y se multiplica por 3, si no pasa de 149, vamos bien, si pasa hay que rebajarle uno al 3. En este caso, 43 por 3 nos da 129.

−4

1 49

3

43

−1 29


Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2 Paso 6Al lado de la diferencia 20, se escribe el siguiente grupo 85, y se repiten las mismas operaciones.

−4

1 49

3

43

−1 292085


Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2 Paso 4Del 2085 se quita el 5 y quedan 208, el cual se divide entre el doble de la raíz hallada, o sea, 208 entre 46 nos da 4.

−4

1 49

3

43

−1 292085

4


Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2Paso 5Para comprobar, se duplica el 23 y se baja el 4, nos queda 464 y se multiplica por 4, si no pasa de 2085, vamos bien, si pasa hay que rebajarle uno al 4. En este caso, 464 por 4 nos da 1856.

−4

1 49

3

43

−1 292085

4

464

−1856


Raíz Cuadrada.

5 49 85√ 2Paso 6Al lado de la diferencia 229, se debe escribir el siguiente grupo, y como ya no hay, hemos terminado.La raíz es 234 y el residuo es 229.

−4

1 49

3

43

−1 292085

4

464

−1856229

Las reglas para realizarla son:Raíz Cuadrada.

7. La raíz cuadrada de los números decimales se extrae como la de los enteros, pero la separación en grupos de dos cifras se efectúa del punto decimal, hacia la izquierda para los enteros y hacia la derecha para los decimales. Si el último decimal tiene una sola cifra se completa con un cero, y en la raíz se separan tantas cifras decimales como grupos hayan en la parte decimal del radicando.


Raíz Cuadrada.

18 69 34√ 4−16

269

3

83

−2 492034

2

862

−1724310

Obtengamos la raíz cuadrada de: 3.1416

Raíz Cuadrada.

3. 14 16√ 1−1

2 14

.7

2 7

−1 892516

7

3 4 7

−242987

Logaritmos.El proceso de logaritmos es una operación inversa de la

potenciación.Si con la radicación encontramos la base, con el proceso de

los logaritmos, obtenemos el exponente.

De la expresión bx = n que es de la potenciación, tiene como componentes:x = exponente b = base n = resultado o potencia

De la expresión Logbn = x que es de la logaritmación, tiene como componentes: x = resultado o logaritmo b = base n = número real positivo

Logaritmos.En notación exponencial 102 = 100En notación logarítmica Log10100 = 2

El logaritmo de un número en su misma base es igual a uno:Logbb = 1

En cualquier base el logaritmo de la unidad es igual a cero:Logb1 = 0 pues b1 = b

Como la base es un número positivo, no existe el logaritmo de los números negativos. No se pueden hallar exponentes para los números positivos que los transformen en números negativos. Es decir: Logb(−n) = no existe.

Logaritmos.Existen dos tipos de logaritmos que se usan mucho:

Los de base 10 o logaritmos decimales o neperianos.Log10x = y que en forma abreviada no se le escribe la baseLog x = yLos de base e o logaritmos naturales.Logex = y que en forma abreviada no se le escribe la baseLn x = yEl número e = 2.718281828… se usa mucho en ingeniería.

Característica y la mantisa.Al obtener un logaritmo su parte entera se llama

característica, su parte decimal mantisa.

Logaritmos.Reglas para los logaritmos.

1. Log AB = Log A + Log B2. Log A/B = Log A − Log B3. Log An = n Log A4. Log n√A = (Log A)/n5. LogBA = (Log A)/(Log B)

Logaritmos.¿Cómo se usan los logaritmos?Me ayuda si me imagino que existen dos mundos:

Mundo 1El de nosotros,el decimal.

Mundo 2El de los

logaritmos.

Aquí tenemos un problema

difícil de aritmética

Lo enviamos con LOG a el mundo de los logaritmos.

Lo enviamos con LOG a el mundo de los logaritmos.

Aquí las multiplicaciones se hacen sumas,

las divisiones restas, las potencias

multiplicaciones y las raíces divisiones

Se regresa al mundo decimal con ANTILOGSe regresa al mundo

decimal con ANTILOG

Nos llega la solución, el

problema fue resuelto con logaritmos.

Logaritmos.24√[(13.14)18(9.3)8 / (2.37)16]

El problema en el mundo decimal es resolver :

Log24√[(13.14)18(9.3)8 / (2.37)16] =

El problema en el mundo de los logaritmos es resolver :

Log[(13.14)18(9.3)8/ (2.37)16] / 24 ={Log[(13.14)18(9.3)8] − Log(2.37)16 }/ 24 =

{Log13.1418+ Log 9.38 − Log2.3716} / 24 ={18Log 13.14 + 8Log 9.3 − 16Log 2.37} / 24 ={18(1.11859) + 8(0.96848) − 16(0.37475)} / 24 =

21.88661 / 24 = 0.91194 Antilog 0.91194 = 8.165

= 8.165

Logaritmos.Los logaritmos también sirven para resolver ecuaciones

llamadas exponenciales o logarítmicas.

Por ejemplo:102x−1 = 1000

En notación logarítmica es:Log 1000 = 2x − 1

3 = 2x − 14 = 2x2 = x

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