MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 1 / 8

Leyes de los exponentes

Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define

an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n veces

Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1

a y a−n = 1an

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Leyes de los exponentes

Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define

an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n veces

Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1

a y a−n = 1an

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n

Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn

(ab

)n= an

bn

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Leyes de los exponentes

Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn

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Radicales

Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.

Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a

Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal

que bn = a

Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.

Si a = 0, entonces n√a = 0

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Radicales

Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.

Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a

Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal

que bn = a

Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.

Si a = 0, entonces n√a = 0

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Radicales

Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.

Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a

Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal

que bn = a

Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.

Si a = 0, entonces n√a = 0

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Radicales

Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.

Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a

Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal

que bn = a

Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.

Si a = 0, entonces n√a = 0

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Propiedades de los radicales

( n√a)n = a, si n

√a es un numero

real

n√an = a, si a ≥ 0

n√an = a, si a < 0 y n es impar

n√an = |a|, si a < 0 y n es par

( 2√

25)2 = 25

3√

23 = 23√

(−2)3 = −22√

(−4)2 = 4 = |−4|

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Propiedades de los radicales

( n√a)n = a, si n

√a es un numero

realn√an = a, si a ≥ 0

n√an = a, si a < 0 y n es impar

n√an = |a|, si a < 0 y n es par

( 2√

25)2 = 253√

23 = 2

3√

(−2)3 = −22√

(−4)2 = 4 = |−4|

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Propiedades de los radicales

( n√a)n = a, si n

√a es un numero

realn√an = a, si a ≥ 0

n√an = a, si a < 0 y n es impar

n√an = |a|, si a < 0 y n es par

( 2√

25)2 = 253√

23 = 23√

(−2)3 = −2

2√

(−4)2 = 4 = |−4|

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Propiedades de los radicales

( n√a)n = a, si n

√a es un numero

realn√an = a, si a ≥ 0

n√an = a, si a < 0 y n es impar

n√an = |a|, si a < 0 y n es par

( 2√

25)2 = 253√

23 = 23√

(−2)3 = −22√

(−4)2 = 4 = |−4|

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Propiedades de los radicales

n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64

OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n

√a y n√b no existe.

NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.

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Propiedades de los radicales

n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64

OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n

√a y n√b no existe.

NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.

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Propiedades de los radicales

n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64

OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n

√a y n√b no existe.

NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.

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Propiedades de los radicales

n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64

OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n

√a y n√b no existe.

NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.

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Propiedades de los radicales

n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64

OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n

√a y n√b no existe.

NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.

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Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(

a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a

entonces, segun la definicion de la raız n-esima

a1/n = n√a.

En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos

am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.

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Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(

a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a

entonces, segun la definicion de la raız n-esima

a1/n = n√a.

En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos

am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.

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Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(

a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a

entonces, segun la definicion de la raız n-esima

a1/n = n√a.

En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos

am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.

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Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(

a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a

entonces, segun la definicion de la raız n-esima

a1/n = n√a.

En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos

am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.

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Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(

a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a

entonces, segun la definicion de la raız n-esima

a1/n = n√a.

En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos

am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.

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Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54

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Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104

=(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54

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Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54

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Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54

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Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54

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Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54

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Exponentes

Ejercicio

Simplifique las siguientes expresiones.

1(3×5)4×415

26×38

(35

)9

2 22/3×51/4

45/3

35√8×83/2

25/4 · 8√

164

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