Derivadas parciales

Definición 3.1

Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funcionesfx y fy respectivamente, definidas mediante

siempre y cuando existan los límites.

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y

es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para

obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.

Ejemplo 3.1

Calcular fx y fy para la función 

Solución

Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación

damos una lista de las más comunes:

Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

Ejemplo 3.2

Para la función  encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el

punto (1, ln2)

Solución

Como  la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2)

es

Como  la derivada parcial de f con respecto a y en (1,

ln2) es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una

interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva

formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como

muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

figura 3.1

representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva

como la tangente pertenecen al plano y=c).

De forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el

plano x=c como se observa en la figura 3.2.

figura 3.2

Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente.

Ejemplo 3.3

Encontrar la pendiente de la superficie dada por  en el

punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.

Solución

En la dirección x, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.3)

En la dirección y, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.4)

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas

parciales pueden interpretarse como razones de cambio.

figura 3.3 figura 3.4

Derivadas parciales de orden superior

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas

parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y

superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de

orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas

de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se

debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas,

según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas

notaciones se drivaprimero respecto de la variable que está más cercana a f.

Ejemplo 3.4

Encontrar las derivadas parciales segundas de  y calcular

el valor de fxy(-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede

frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema 3.1

Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo 3.5

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la

función 

Solución

Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

 

Ejercicios

Ejercicio 3.1

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ejercicio 3.2

Evaluar fx y fy en el punto que se indica

1. , (2,-2)

2. , (1,0)

3. , (2,-2)

4. , (1,0)

Ejercicio 3.3

Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, fyy, f xy y fyx

1.

2.

3.

4.

Ejercicio 3.4

Demostrar que fxy=fyx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio 3.5

Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace

Ejercicio 3.6

Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para

encontrar fx(x,y) y fy(x,y)

Ejercicio 3.7

Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la

pendiente de la curva en el punto que se especifica

superficie plano puntox=2 (2,3,6)y=1 (2,1,8)y=3 (1,3,)x=1 (1,3,0)

Evaluación

1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y

alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y

de t talque Np<0 y Nt<0. ¿Cómo interpretaría el hecho de que ambas derivadas

parciales fueran negativas?

2) El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevación  sobre la

horizontal y con velocidad

Evaluar  cuando v0=2000 m/s y  =5º

3) La temperatura en todo punto (x,y) de una placa metálica viene dada por

donde x e y se miden en metros. En el punto (2,3), encontrar la razón de cambio de

la temperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las

direcciones de los ejes x e y.

4) Según la ley de los gases ideales, PV=kT, donde P es la presión, V el volumen, T

la temperatura y k una constante de proporcionalidad. Hallar 

5) Consideremos la función definida por

a) Encontrar fx(x,y) y fy(x,y) para (x,y) distinto de (0,0)

b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fx(0,0) y fy(0,0)

c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fxy(0,0) y fyx(0,0)