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26 CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN x ∈ D,r ≥ f ( x ) } , es una parte convexa de R n × R . Ver Figura 1.18. Proposición 7 Sean D ∈ R
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26
CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN
x
∈
D,r
≥
f
(
x
)
}
,
es una parte convexa de
R
n
×
R
.
Ver Figura 1.18.
Proposición 7
Sean
D
∈
R
n
convexo, y
f
i
(
x
)
∀
i
= 1
,...,p
convexas sobre
D,
entonces
f
(
x
) =max
{
f
i
(
x
)
}
define una función convexa sobre
D.
1.8. NOCIONES BÁSICAS DE CONVEXIDAD
27
)(
f E
D
1
f
2
f
3
f
)(
f E
D
1
f
2
f
3
f
Figure 1.19: Intersección de epígrafos
Demostración.
Dado que la intersección (cualquiera) de conjuntos convexos es un conjuntoconvexo, podemos
decir:
f
(
x
) = max
i
=1
,...,p
{
f
i
(
x
)
}
E
D
(
f
) =
∩
pi
=1
E
D
(
f
i
)
.
Como cada uno de los epígrafos de las funciones
f
i
(
x
)
es convexo, su intersección también lo es.Así,
E
D
(
f
)
es convexo, por lo que
f
(
x
)
es convexa sobre
D
(ver Figura 1.19).Las funciones convexas presentan favorables propiedades al optimizar. Por
ejemplo, un puntomínimo local es siempre mínimo global. Sin embargo, no necesariamente este
óptimo será único.Por ejemplo, la función
f
(
x
)
en la Figura 1.20 tiene varias soluciones óptimas.
Conjunto de soluciones óptimas
r f(x)
Figure 1.20: Ejemplo de múltiples soluciones óptimasAsí, surge la necesidad de definir las
funciones estrictamente convexas.
Definición 9
(
Función estrictamente convexa
) Sea
f
(
x
) :
D
→
R
,
con
D
convexo. Entonces,
f
(
x
)
es estrictamente convexa sobre
D
si:
f
((1
−
λ
)
x
1
+
λx
2
))
<
(1
−
λ
)
f
(
x
1
) +
λf
(
x
2
)
∀
x
1
,x
2
∈
D,λ
∈
[0
,
1]
.
28
CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN
Es decir toda función estrictamente convexa es también convexa. En forma análoga se definenlas
funciones estrictamente cóncavas.La Figura 1.21a presenta una nueva función convexa, pero no
estricta. Cabe mencionar quetoda función lineal
f
(
x
) =
ax
+
b
es cóncava y convexa a la vez, pero ni estrictamente cóncava niestrictamente convexa. Por otra
parte, la Figura 1.21b muestra una función que no es ni cóncavani convexa, pero que localmente
cerca de
x
1
es cóncava y localmente cerca de
x
2
es convexa.
(x) x f(x)
(a)(b)
x
1
x
2
Figure 1.21: Casos especiales de funcionesA continuación se demostrará que si
f
(
x
)
es convexa, entonces el lugar geométrico de los puntosque satisfacen
f
(
x
)
≤
α
debe constituir un conjunto convexo para cualquier
α.
Proposición 8
Si
θ
:
D
→
R
,D
⊂
R
n
,D
convexo,
θ
convexa, entonces los conjuntos de nivel
C
α
(
θ
) =
{
x
∈
D/θ
(
x
)
≤
α
}
son convexos
∀
α
∈
R
.
Demostración.
Sean
x
1
,x
2
∈
C
α
(
θ
)
,
con
α
∈
R
fijo, y
λ
∈
[0
,
1]
.
Mostremos que
(1
−
λ
)
x
1
+
λx
2
∈
C
α
(
θ
)
.
Si
x
1
y
x
2
∈
C
α
(
θ
)
⇒
x
1
,x
2
∈
D,
y
θ
(
x
1
)
≤
α y θ
(
x
2
)
≤
α.
(1.3)Como
D
es convexo
⇒
(1
−
λ
)
x
1
+
λx
2
∈
D, λ
∈
[0
,
1]
y como
θ
(
·
)
es convexa sobre
D,
entonces
θ
((1
−
λ
)
x
1
+
λx
2
)
≤
(1
−
λ
)
θ
(
x
1
)+
λθ
(
x
2
)
.
Por lo tanto de (1.3) tenemos que
θ
((1
−
λ
)
x
1
+
λx
2
)
≤
(1
−
λ
)
α
+
λα
=
α.
Así,
(1
−
λ
)
x
1
+
λx
2
∈
C
α
(
θ
)
.
Corolario 9
Si el dominio de restricción está definido como:
D
=
{
x
∈
R
n
:
g
i
(
x
)
≤
0
, i
=1
,...,m
}
con
g
i
:
R
n
→
R
funciones convexas, entonces
D
es una parte convexa de
R
n
.
Demostración.
Dado que las funciones
g
i
(
x
)
son convexas, las regiones definidas por las re-stricciones
g
i
(
x
)
≤
0
son también convexas (conjuntos de nivel). El dominio
D
queda definido comola intersección de las regiones de puntos definidos por cada una de las
m
restricciones, formalmente
D
=
∩
mi
=1
C
0
(
g
i
)
. Como cada uno de las regiones
C
0
(
g
i
)
es convexa y la intersección de conjuntosconvexos es convexa, entonces
D
es convexo.Es importante destacar que restricciones del tipo
h
i
(
x
) = 0
,
sólo definen regiones convexas si lafunción es lineal (no basta que
h
i
(
x
)
sea convexa).
