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Situación:

Asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas.

Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m) cuando se asigna a la máquina j (=1,2,....,n) incurre en un costo cij.

El objetivo es asignar los trabajos a las máquinas uno a uno al menor costo.

La formulación de este problema puede considerarse como un caso especial del modelo de transporte.

2.2 Modelo de Asignación

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Descripción

Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los “destinos”

La oferta disponible en cada fuente es 1 como también lo es la demanda en cada destino.

cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a la máquina j

El costo puede representar también características de competencia de cada trabajador

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Descripción

En el caso que un trabajo no deba ser asignado (porque no cumple con los requisitos) a una máquina (actividad) en particular, este costo debe tener un valor alto (M)

En el caso de existir desequilibrio, esto es, más trabajos que máquinas o más máquinas que trabajos, hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados (ficticios), logrando de esta forma que m = n

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Expresión matemática del modelo

0, si el i-ésimo trabajo no se asigna a la j-ésima máquina

1, si el i-ésimo trabajo se asigna a la j-ésima máquinaXij =

Máquina1 2 ….. n

C11 C12 ….. C1n

C21 C22 ….. C2n

….. ….. ….. …..

Cn1 Cn2 ….. Cnn

1

2

…..

n

Trabajo

1

1

…..

1

1 1 ….. 1

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Por lo tanto el modelo está dado por:

minimizar z =

n

i

n

jijij xc

1 1

sujeto a 11

n

jijx i=1,2, ...,n

11

n

iijx j=1,2,..n

xij = 0 ó bien 1

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Ejemplo:

La gerencia general de RPG (ejemplo de transporte) con sede en Bruselas, este año, como parte de su auditoría anual, decidió que cada uno de sus cuatro vicepresidentes visite e inspeccione cada una de sus plantas de ensamblaje durante las primeras dos semanas de junio. Las plantas están ubicadas en Leipzig (Alemania), Nancy (Francia, Lieja (Bélgica) y Tilburgo (Holanda).

Para decidir a que vicepresidente enviar a una planta determinada, se asignaron puntospuntos (costos) a cada uno de ellos de acuerdo a su experiencia, habilidades lenguísticas, tiempo que durará la inspección y otros. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:

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Ejemplo

PLANTALeipzig (1) Nancy(2) Lieja (3) Tilburgo(4)

Finanzas (F) (1) 24 10 21 11Mercadotecnia(M) (2) 14 22 10 15Operaciones (O) (3) 15 17 20 19Personal(P) (4) 11 19 14 13

Plantear el modelo de PL

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Ejemplo: Modelo de PL

MIN Z = 24 X11 + 10 X12 + ... + 14 X43 + 13 X44

sujeto a:

a) Oferta X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

b) Demanda X11 + X21 + X31 + X41 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1

c) No negatividad Xij >= 0 i=1,...,4, j=1,....,4

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Métodos de Solución

Existen varias formas de obtener la solución:

a) Listar todas las alternativas posibles con sus costos y seleccionar la de menor costo (algoritmo exhaustivo)

b) Método Húngaro: método iterativo

a) Listar todas las alternativas:

¿Cuántas alternativas posibles existen?

- El primer trabajo se puede asignar de n formas formas posibles

- El segundo de n-1 formas

- El último sólo de 1 forma

En total existen n! formas de hacer la asignación completa

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Método Húngaro:Paso 0: Construir la matriz de asignación

Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignación debe satisfacer:

Propiedad 1: Todos los números son no negativosPropiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con

un valor cero

Paso 1:

a) Reducción de filas:a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la fila correspondiente y/o

b) Reducción de columnas:b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columna a la columna correspondiente

Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2

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Método Húngaro:

Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad).

Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas para cubrir todos los ceros.

Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se dice que esta matriz es reducida.

Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4

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Método Húngaro:

Paso 3: Movimiento

De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menor valor y haga lo siguiente:

a) Restar el valor a cada celda no cruzada

b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas

Volver al paso 2

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Método Húngaro:

Paso 4: Solución óptima (Asignación)

Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se van marcando y así sucesivamente

Determinar el costo: Se suman todos los costos correspondientes a las asignaciones (o sumar todos los pi y qj).

¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaron en las reducciones de filas y columnas?

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Ejemplo: Aplique el método Húngaro al ejemplo

1 2 3 4 pi

F 24 10 21 11M 14 22 10 15O 15 17 20 19P 11 19 14 13

qj

Paso 0: Matriz de Asignación

Nota: En negrita los menores de cada fila

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Paso 1: Reducción de filas y columnas

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 1 10M 4 12 0 5 10O 0 2 5 4 15P 0 8 3 2 11

qj 1

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10M 4 12 0 4 10O 0 2 5 3 15P 0 8 3 1 11

qj 1

Fil

as

Columnas

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Paso 2: Determinar si la matriz es reducida

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10M 4 12 0 4 10O 0 2 5 3 15P 0 8 3 1 11

qj 1

No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4)

Ir al paso 3

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Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las no tachadas, sumar a las intersecciones)

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10M 4 12 0 4 10O 0 2 5 3 15P 0 8 3 1 11

qj 1

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10M 4 11 0 3 10O 0 1 5 2 15P 0 7 3 0 11

qj 1 + 1

Volver al paso 2 !!

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Iteración paso 2:

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10M 4 11 0 3 10O 0 1 5 2 15P 0 7 3 0 11

qj 1 + 1

Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es óptima

Ir al paso 4 !!

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Paso 4: Asignación

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10M 4 11 0 3 10O 0 1 5 2 15P 0 7 3 0 11

qj 1 + 1

Costo = c12 + c23 + c31 +c44

= 10+10+15+13 = 48

ji qpCosto

=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48

Ver Asignación RPG

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Modelo de Asignación: Otras consideraciones

El modelo de asignación de RPG es un modelo de minimización en el cual el número de vicepresidentes es igual al número de plantas, y todas las asignaciones posibles son aceptables.

Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas las condiciones anteriores se cumplen. En particular se considerarán situaciones en las que:

1 Hay una desigualdad entre el número de “personas” por asignar y el número de “destinos” que requieren personas asignadas.

2 Hay un modelo de maximización

3 Existen asignaciones inaceptables