20 Losas en dos direcciones - Mtodo del Prtico Equivalente CONSIDERACIONES GENERALES El Mtodo del Prtico Equivalente convierte un sistema aporticado tridimensional con losas en dos direcciones en una serie de prticos bidimensionales (vigas placa y columnas), un sistema en el cual cada prtico se extiende en la totalidad de la altura de la estructura, como se ilustra en la Figura 20-1. El ancho de cada prtico equivalente se extiende hasta la mitad de la luz entre loscentrosdelascolumnas.Elanlisiscompletodelsistemadelosasendosdireccionesconsisteenanalizarunaseriede prticosinterioresyexterioresequivalentesqueatraviesanlaestructuratransversalylongitudinalmente.Paracargas gravitatorias,lasvigasplacaencadaentrepisoocubierta(nivel)sepuedenanalizardeformaindependiente,considerando empotrados los extremos ms alejados de las columnas (13.7.2.5). ElanlisiselsticomedianteelMtododelPrticoEquivalenteseaplicaaestructurasenlascualeslascolumnasestn dispuestas formando un patrn bsicamente ortogonal, con hileras de columnas dispuestas en forma longitudinal y transversal. El mtodo de anlisis se aplica a losas con o sin vigas entre apoyos. El Mtodo del Prtico Equivalente se puede utilizar para analizar una estructura solicitada por cargas laterales, siempre que las rigidecesdeloselementosdelprticosemodifiquenparatomarencuentalafisuracinyotrosfactoresrelevantes.Verla discusin sobre el artculo 13.3.1.2 en el Captulo 18 de este documento. DISEO PRELIMINAR Antes de proceder con la aplicacin del Mtodo del Prtico Equivalente es necesario determinar una altura preliminar para la losa, h, a fin de limitar las flechas de acuerdo con los requisitos de altura mnima del artculo 9.5.3. La Tabla 18-1 y la Figura 18-3sepuedenutilizarparasimplificarelclculodelaalturamnima.Paralossistemasdelosassinvigas,enestaetapadel diseoesaconsejableverificarlaresistenciadelalosaenlaproximidaddelascolumnasuotrosapoyos,deacuerdoconlos requisitos especiales para losas del artculo 11.12. Ver la discusin sobre el artculo 13.5.4 en el Captulo 18 de este documento. 13.7.2Prtico Equivalente En las Figuras 20-1 y 20-2 se ilustra la aplicacin de las definiciones dadas en los artculos 13.7.2, 13.2.1 y 13.2.2. En el caso delossistemasdelosasenloscualeslaslongitudesdelaslucesvaranalolargodelafranjadediseo,eldiseadordeber aplicar su criterio profesional para aplicar las definiciones dadas en 13.2.1. Los elementos que componen el prtico equivalente 20 - 2 son vigas placa y elementos torsionales (elementos horizontales transversales) soportados por columnas (elementos verticales). Los elementos torsionales permiten transferir momentos entre las vigas placa y las columnas. En la Figura 20-3 se ilustran los elementosdeunprticoequivalente.Elprimerpasodelanlisisdelprticoexigedeterminarlarigidezflexionaldelos elementos del prtico equivalente. Figura 20-1 Prticos equivalentes para una estructura de cinco plantas 13.7.3Vigas placa En las Figuras 20-4 y 20-5 se ilustran algunos tipos habituales de sistemas de losas con y sin vigas entre sus apoyos. Para cada tiposeindicanlasseccionestransversalesusadasparadeterminarlarigidezdelasvigasplaca,Ksb,entreloscentrosdelos apoyos.ParaelMtododelPrticoEquivalentesepuedenusarlosdiagramasderigidezdelasvigasplacaequivalentespara determinar las constantes de distribucin de momentos y los momentos de los extremos empotrados. Los clculos de la rigidez se basan en las siguientes consideraciones: a.El momento de inercia de la viga placa entre las caras de los apoyos se basa en el rea de la seccin transversal bruta del hormign. Se debe tomar en cuenta la variacin del momento de inercia a lo largo del eje de la viga placa (13.7.3.2). b.Un apoyo se define como una columna, un capitel, una mnsula o un tabique. Observar que para el prtico equivalente las vigas no se consideran elementos de apoyo (13.7.3.3). c.Elmomentodeinerciadelavigaplacaentrelacaradelapoyoyelcentrodelapoyosesuponeigualalmomentode inercia de la viga placa en la cara del apoyo, dividido por el valor (1 c2/2)2 (13.7.3.3). De hecho, la aplicacin del factor de amplificacin 1/(1 c2/2)2 al momento de inercia entre la cara del apoyo y el centro del apoyo, convierte a cada viga placa en un elemento de seccin variable con su longitud. En consecuencia, los factores de rigidez, loscoeficientesdecontinuidadylosmomentosdeinerciadelosextremosempotrados,loscualessebasanenlashiptesis habituales correspondientes a elementos de seccin prismtica uniforme, no se pueden aplicar a las vigas placa.3 vanosPrticoequivalenteinterior4 vanos20 - 3 *Cuando el borde de una franja de diseo exterior es soportada por un tabique, el momento mayorado resistido por esta franja intermedia es el definido en el artculo 13.6.6.3. Figura 20-2 Franjas de diseo de un prtico equivalente Las Tablas A1 a A6 del Apndice 20A al final de este captulo contienen coeficientes de rigidez, coeficientes de continuidad, y coeficientesparalosmomentosenlosextremosempotradoscorrespondientesadiferentesconfiguracionesgeomtricasyde cargas.Estastablasabarcanunaampliagamaderelacionestamao/luztantoparaladireccinlongitudinalcomoparala direccin transversal. La Tabla A1 se puede usar para placas planas y para losas en dos direcciones con vigas. Las Tablas A2 a A5seutilizanparalosasplanasylosasnervuradascondiferentesalturasdebaco(cabezasmacizas).LaTablaA6cubreel casopocohabitualdeunaplacaplanacombinadaconunalosaplana.Seproveencoeficientesparalosmomentosenlos extremos empotrados tanto para cargas uniformes como para cargas uniformes parciales. Los coeficientes para cargas parciales fuerondesarrolladosparacargasdistribuidasenunalongitudiguala0,21.Sinembargo,lascargasqueactansobreuna porcin mayor de la luz se pueden considerar sumando los efectos de cargas que actan en cada intervalo equivalente a 0,21. Por ejemplo, si la carga parcial se extiende en una longitud igual a 0,61 se deben sumar los coeficientes correspondientes a tres intervalosconsecutivosde0,21.Estopermitegranflexibilidadenladisposicindelascargas.Enelcasodelascargas concentradas, en la ubicacin correspondiente se puede considerar una carga parcial de mayor intensidad, y asumir que sta se

2 2

2 /2 /2 2/2 2/4 2 2 /42 /42

/2 21 /4

22 /22 /2/4 1 1 /41

1

Prtico equivalenteinterior1/2 franja intermediaFranja de columna interiorFranja de columna exteriorPrtico equivalenteexterior1/2 franja intermediaFranja de columna interiorFranja de columna exteriorPrtico equivalenteinteriorPrtico equivalenteexteriorFranja intermedia*Franja intermedia*20 - 4 distribuyeenunaluzde0,21.Paraobtenerlosvaloresdelosparmetroscomprendidosentrelosvaloreslistadossepuede interpolarlinealmente.Encadatablaseilustrandiagramasderigidez.Aplicandoelcriterioprofesional,conayudadela informacin contenida en estas tablas es posible considerar otras numerosas condiciones diferentes. Figura 20-3 Elementos de un prtico equivalente Figura 20-4 Secciones para calcular las rigideces de las vigas placa, Ksb

2/2/22

2

2

2 cviga placaelemento torsional,viga paralelaviga placa1

1KcbctKcbKctKBAc1KtataKelemento torsional,columna por encima de la losacolumna por debajo de la losacara delapoyocara delapoyoCorte D-DCorte E-E Corte B-BDiagrama de rigidez de la viga placa equivalenteCorte C-CCorte A-ASistema de losa con bacos Sistema de losa sin vigas1I1I1hI2h2h1 h1

2

2

2

2h2

DD211c1cChCEE BBA hAc1c11 k2

n

c/21 1c/2Diagrama de rigidez de la viga placa equivalente1c/2

nc/21I1 cs EEcs 1I I2 cs E( ) I 21 2 2/ 1- c /( ) I 22 2 2/ 1- c /( ) I 2cs 1 2 2E / 1- c /( ) I 2cs 2 2 2E / 1- c /20 - 5 Figura 20-5 Secciones para calcular las rigideces de las vigas placa, Ksb 13.7.4Columnas En la Figura 20-6 se ilustran condiciones de apoyo habituales. La rigidez de las columnas se basa en una altura de columna, c, medida entre el plano medio de la losa superior y el plano medio de la losa inferior. Para determinar la rigidez flexional de una columna,Kc,sepuedenusarlosdiagramasderigidezparacolumnas.Losdiagramasderigidezsebasanenlassiguientes consideraciones: a.El momento de inercia de la columna fuera de la unin con la viga placa se basa en el rea de la seccin transversal bruta del hormign. Se debe considerar la variacin del momento de inercia a lo largo del eje de la columna entre las uniones conlasvigasplaca.Enelcasodelascolumnasconcapiteles,seasumequeelmomentodeinerciavaralinealmente desde la base del capitel hasta el fondo de la viga placa (13.7.4.1 y 13.7.4.2). b.Se asume que en una unin el momento de inercia entre la parte superior y la parte inferior de la viga placa es infinito (I = ). Como en el caso de las vigas placas, el factor de rigidez de las columnas Kc no se puede basar en la hiptesis de elemento prismtico uniforme (13.7.4.3). Para determinar las rigideces reales de las columnas y los coeficientes de continuidad se puede usar la Tabla A7 del Apndice 20A. 13.7.5Elementos torsionales En la Figura 20-7 se ilustran algunos elementos torsionales. La seccin transversal de un elemento torsional es la mayor de las secciones definidas por las tres condiciones dadas en el artculo 13.7.5.1. En la Figura 20-7, debajo de cada ilustracin se indica la condicin determinante, (a), (b) o (c).

1 1

2

1hh1h1h1h2h33 hh2h2h2

2 2

2

2

2h1

n2

2 k1acc1bI2I1I1c1ACCBBAcara delapoyo cara delapoyoSistema de losa con vigasSistema de losa con capiteles de columnaDiagrama de rigidez de la viga placa equivalenteCorte A-A Corte B-BCorte D-D Corte E-ECorte C-CCorte F-F Corte G-GDD GGEEFFA BI21c/2Ecs 1 Ic/21I2 cs EDiagrama de rigidez de la viga placa equivalentec /21a 1bc /2n

I1 cs E Ecs 2 I( ) I 22 2 2/ 1- c /( ) I 2cs 2 2 2E / 1- c /( ) I 2cs 2 2a 2E / 1- c /( ) I 2cs 1 2b 2E / 1- c /( ) I 22 2a 2/ 1- c /( ) I 21 2b 2/ 1- c /20 - 6 Figura 20-6 Secciones para calcular la rigidez de las columnas, Kc La rigidez torsional Kt de un elemento torsional se calcula mediante la siguiente expresin: ( ) | |cst32 2 29E CK1 c /= (1) donde la sumatoria abarca los elementos torsionales que concurren a una unin: dos en el caso de los prticos interiores, y uno en el caso de los prticos exteriores. EltrminoCesunaconstantedelaseccintransversalquedefinelaspropiedadestorsionalesdecadaunodeloselementos torsionales que concurren a una unin: 3x x yC 1 0, 63y 3= | | |\ . (2) siendo x la menor dimensin de un componente rectangular e y la mayor dimensin de un componente rectangular. El valor de C se calcula dividiendo la seccin transversal del elemento torsional en componentes rectangulares independientes y asumiendo los valores de C para cada rectngulo. La seccin transversal se debera subdividir de manera de obtener el mayor valor de C posible. En la Figura 20-8 se ilustra la aplicacin de la expresin para C. Si a un apoyo concurren vigas en la direccin en la cual se estn determinando los momentos, la rigidez torsional Kt dada por la Ecuacin (1) se debe incrementar de la siguiente manera: t sbtasK IKI=

cc

c

c

cI EccSistema de losasin vigasfondo de la viga placa en la uninparte superior de la viga placaI = I = Diagrama de rigidezde la columnaDiagrama de rigidezde la columnaI = I = ccIcEI = ccE IcI = Diagrama de rigidezde la columnaSistema de losacon bacosSistema de losa con vigasDiagrama de rigidezde la columnaI = cI EccI = Sistema de losa con capiteles20 - 7 donde: Kta =rigidez torsional aumentada debido a la viga paralela (observar la viga paralela ilustrada en la Figura 20-3) Is=momento de inercia de un ancho de losa igual a la totalidad del ancho entre los ejes de los paneles, 2, excluyendo laporcindelalmadelavigaqueseprolongaporencimaypordebajodelalosa(observarlaparteAenla Figura 20-3) = 32h12

Isb =momentodeinerciadelaseccindelosaespecificadaparaIsincluyendolaporcindelalmadelavigaquese prolonga por encima y por debajo de la losa (para la viga paralela ilustrada en la Figura 20-3, Isb corresponde a la totalidad de la seccin Te ilustrada) Figura 20-7 Elementos torsionales c1 1c1c1cfhw h1chwhfhwhfh< 4hwbwwbc1f=Condicin (a) Condicin (a)Condicin (a) Condicin (c)Condicin (c) Condicin (b)b+ 2h< b+ 8hw w w f=20 - 8 | | | | ||\ . \ .3 31 1 1 2 2 21 2x x y x x yc = 1- 0,63 + 1- 0,63y 3 y 3 Figura 20-8 Constante C, que define las propiedades torsionales de un elemento torsional Columnas equivalentes (R13.7.4) Con la publicacin de ACI 318-83 se elimin del Cdigo el concepto de columna equivalente que defina un elemento de una rigideznicaconsistenteenlascolumnasrealesporencimaypordebajodelasvigasplacasmselementostorsionales transversalesunidosalasmismas.Desdequegraciasalusodelascomputadorascomenzaronapopularizarselosanlisisde losas en dos direcciones mediante el Mtodo del Prtico Equivalente, la idea de combinar las rigideces de las columnas con las rigidecesdeloselementostorsionalesparaobtenerunarigideznicaperdigranpartedesuatractivo.Sinembargo,el conceptodecolumnaequivalenteseretuvoenelcomentariohastalaedicindelCdigode1989,conelobjetivodeque sirvieradeayudaparaanalizarvigasplacasadiferentesnivelesdepisosolicitadasexclusivamenteacargasgravitatorias, particularmentecuandoparaelanlisisseusabadistribucindemomentosuotrosprocedimientosdeclculomanuales. AunqueenelartculoR13.7.5ansereconoceelconceptodecolumnaequivalente,enlaedicinde1995delCdigose elimindelartculoR13.7.5elprocedimientodetalladoparacalcularlarigidezdelacolumnaequivalente,Kec,quesehaba incluido en 1983. TantoenelEjemplo20-1comoenelEjemplo20-2seutilizaelconceptodecolumnaequivalentecondistribucinde momentos para anlisis bajo cargas gravitatorias. El concepto de columna equivalente modifica la rigidez de la columna para tomar en cuenta la flexibilidad torsional de la unin losa-columnaquereducesueficienciaparatransmitirmomentos.EnlaFigura20-3seilustraunacolumnaequivalente.La columnaequivalenteconsisteenlascolumnasrealesporencimaypordebajodelasvigasplacas,mselementostorsionales "unidos"a ambos lados de las columnas, los cuales se extienden hasta los ejes de los paneles adyacentes. Observar que para los prticos de borde, slo hay un elemento solicitado a torsin unido en uno de los lados. La presencia de vigas paralelas tambin afecta la rigidez de la columna equivalente. x11y1x1x 1x1x2xy1y1y2y1y1x2x22y2y(1) (2)Usar el mayor valor de C obtenido de (1) (2)20 - 9 La rigidez flexional de la columna equivalente, Kec, se da en trminos de su inversa, o flexibilidad, de la siguiente manera: ec c t1 1 1K K K= + Para los propsitos del clculo, el diseador tal vez prefiera la siguiente expresin, directamente en trminos de la rigidez: c tecc tK KKK K=+ Las rigideces de las columnas reales, Kc, y de los elementos torsionales, Kt, deben satisfacer lo indicado en los artculos 13.7.4 y 13.7.5. Una vez determinados los valores de Kc y Kt se calcula la rigidez de la columna equivalente, Kec. En base a la Figura 20-3: ( )( )ct cb ta taecct cb ta taK K K KKK K K K+ +=+ + + donde Kct=rigidez flexional en la parte superior de la columna inferior que concurre a la unin; Kcb=rigidez flexional en la parte inferior de la columna superior que concurre a la unin; Kta=rigidez torsional de cada elemento torsional, uno a cada lado de la columna, incrementada debido a la presencia de vigas paralelas (si es que hay vigas paralelas) 13.7.6Ubicacin de la sobrecarga Enelcasohabitualenquenoseconocelaubicacinexactadetodaslascargas,losmximosmomentosmayoradosse determinan para las condiciones de carga ilustradas en el prtico parcial de tres tramos de la Figura 20-9, las cuales se describen de la siguiente manera: a.Silasobrecargadeservicioesmenoroigualquetrescuartosdelacargapermanentedeservicio,paradeterminarlos momentosnegativosypositivosmayoradossloesnecesarioanalizarladistribucindecargas(1)suponiendoqueen todos los tramos acta la totalidad de la sobrecarga mayorada. b.Silarelacinentrelasobrecargadeservicioylacargapermanentedeservicioesmayorquetrescuartos,para determinar todos los momentos mayorados en las vigas placa es necesario considerar las cinco distribuciones de cargas ilustradas.Lasdistribucionesdecargas(2)a(5)consideransobrecargasmayoradasparcialesparadeterminarlos momentosmayorados.Sinembargo,cuandohaysobrecargasparciales,losmomentosmayoradosnosepuedentomar menores que los que ocurren cuando la totalidad de la sobrecarga mayorada acta en todos los tramos. En consecuencia, el anlisis tambin debe incluir la distribucin (1). Paralossistemasdelosasconvigas,puedequenoseaconvenienteincluirlascargassoportadasdirectamenteporlasvigas (tales como el peso propio del alma de la viga o de un tabique soportado directamente por las vigas) en el anlisis de prtico para las cargas de la losa, wd + w. Es posible que se requiera un anlisis de prtico adicional, diseando la viga para que resista estas cargas adems de la porcin de los momentos de la losa asignados a las vigas. 20 - 10 Figura 20-9 Anlisis de prtico parcial para cargas verticales 13.7.7Momentos mayorados Es probable que la distribucin de momentos sea el mtodo de clculo manual ms conveniente para analizar prticos parciales queinvolucranvariostramoscontinuosyenloscualeslosextremossuperioreseinferioresdelascolumnasalejadosdelas losas se consideran empotrados. En estas pginas no describiremos lamecnica del mtodo, salvo una breve discusin de los dospuntossiguientes:(1)elusodelconceptodelacolumnaequivalenteparadeterminarlosfactoresdedistribucinenlas uniones, y (2)el procedimiento correcto para distribuir el momento de la columna equivalente obtenido del anlisis de prtico a las verdaderas columnas ubicadas por encima y por debajo de la viga placa. Ver los Ejemplos 20.1 y 20.2. A B C DB A C DB A C DB A CB A C DColumnas supuestas empotradas en estos extremos(1) Disposicin de las cargas para los momentos de diseo en todos los tramos con L < 3/4Dwdw +

+ 3/4 wdwdwwdwdwdwd3/4 w +

wd3/4 w +

wd3/4 w +

dwViga placa supuesta empotrada en el apoyo a una distancia de dos luces(2) Disposicin de las cargas para el momento de diseo positivo en el tramo AB*(3) Disposicin de las cargas para el momento de diseo positivo en el tramo BC*(4) Disposicin de las cargas para el momento de diseo negativo en el apoyo A*(5) Disposicin de las cargas para el momento de diseo negativo en el apoyo B*20 - 11 En la Figura 20-10 se ilustra una unin de un prtico con los factores de rigidez K para cada elemento que concurre a la unin. AcontinuacinpresentamosexpresionesparadeterminarlosfactoresdedistribucindemomentoFDenlaunin,usandola rigidezdelacolumnaequivalente,Kec.Enelprocedimientodedistribucindemomentosseaplicandirectamenteestos coeficientes. Rigidez de la columna equivalente, c tecc tK KKK K=+ ( ) ( )ct cb t tct cb t tK K K KK K K K+ +=+ + + Factor de distribucin para las vigas placa, ( )b1b1 b2 ecKluz 2 1K K KFD =+ + ( )b2b1 b2 ecKluz 2 3K K KFD =+ + Factor de distribucin para la columna equivalente (momento no balanceado de la viga placa), ecb1 b2 ecKFDK K K=+ + El momento no balanceado determinado para la columna equivalente en los ciclos de distribucin de momentos se distribuye a lasverdaderascolumnasporencimaypordebajodelavigaplacaenproporcinalasrigidecesrealesdelascolumnasenla unin. Con referencia a la Figura 20-10: Figura 20-10 Factores de distribucin de momentos, FD Fraccin de momento no balanceado a la columna superior ( )cbcb ctK=K K + Fraccin de momento no balanceado a la columna inferior ( )ctcb ctK=K K +

11

KKb1KKcbKKb2Kc1Kb1KcbKb2

cc

123K = kEI/ cttt20 - 12 Luego las columnas "reales" se disean para estos momentos. 13.7.7.1 - 13.7.7.3 Momentos negativos mayorados Los momentos negativos mayorados de diseo se deben tomar en lascarasdelosapoyosrectilneos,peroaunadistancianomayorque0,1751apartirdelcentrodeunapoyo.Estevalor absolutoesunlmiteparalosapoyoslargosyangostos,paraimpedirunareduccinindebidadelmomentodediseo.Un elemento de apoyo se define como una columna, un capitel, una mnsula o un tabique. Los apoyos no rectangulares se deben tratar como apoyos cuadrados con secciones transversales de igual rea. Observar que para los sistemas de losas con vigas las caras de las vigas no se consideran como ubicaciones de las caras de los apoyos. En la Figura 20-11 se ilustra la ubicacin de lasseccionescrticasparamomentomayoradonegativocorrespondientesadiferentescondicionesdeapoyo.Observarlos requisitos especiales para apoyos exteriores. Figura 20-11 Secciones crticas para determinar los momentos negativos de diseo 13.7.7.4RedistribucindelosmomentosSieldiseadoroptaporutilizarelMtododelPrticoEquivalentepara analizar un sistema de losas que satisface las limitaciones del Mtodo de Diseo Directo, los momentos mayorados se pueden reducirdemaneratalqueelmomentoestticomayoradototal(sumatoriadelosmomentospositivosyelpromediodelos momentosnegativos)noseamayorqueelvalordeMocalculadomediantelaEcuacin(13-3).Estareduccinadmisiblese ilustra en la Figura 20-12. Debido a que el Mtodo del Prtico Equivalente no es un mtodo aproximado, se puede aplicar la redistribucin de momentos permitida por el artculo 8.4. Pero si estos requisitos se aplican de manera imprudente es posible que se produzca una fisuracin excesiva. Es el diseador quien debe tomar la decisin de redistribuir los momentos o no redistribuirlos, y en caso de hacerlo en qu cantidad. a2a

10,1751

c> 0,351

1seccin crtica paramomento negativoapoyo cuadrado que tienela misma reacara de los apoyos rectilneosEje del apoyo(a) Apoyo en columas o tabiquesinteriores y exteriores(b) Apoyos exteriores conmnsulsa o cartelascara del elemento de apoyo20 - 13 Figura 20-12 Momento esttico total de diseo 13.7.7.5 Momentos mayorados en las franjas de columna y las franjas intermedias Los momentos mayorados negativosypositivossepuedendistribuiralafranjadecolumnayalasdossemifranjasintermediasdeacuerdoconlos artculos 13.6.4, 13.6.5 y 13.6.6, siempre que se satisfaga el requisito del artculo 13.6.1.6. Ver la discusin sobre los artculos 13.6.4, 13.6.5 y 13.6.6 en el Captulo 19 de este documento. APNDICE 20A - AYUDAS PARA DETERMINARLAS CONSTANTES DE DISTRIBUCIN DE MOMENTOS Referencias para las tablas del Apndice 20A: (1)k= Factores de rigidez (2) C

= Coeficientes de continuidad (3) m= Coeficiente de momento para los extremos empotrados correspondiente a carga unitaria (4)FEM= Momento en el extremo empotrado NOTA: Los subndices N y F se refieren al extremo prximo y al extremo empotrado, respectivamente. Tabla A1 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa n1 /2 c1u3+ M+ Mo- Mu1- Mu21c /2

1N2CN1CF1CF2C2

1

ww11 aExtremo prximo (N) Extremo alejado (F)s sE ICF1/2 /2N1C(4)I

n2NF NFi i 1i=1NF NF cs s 1FEM = m wK =k E /( ) I 2s N2 2sE 1-C /20 - 14 Tabla A1 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa* Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 CN1/1 CN2/2(1) kNF (2) CNF (3) mNF a = 0,0a = 0,2a = 0,4a = 0,6a = 0,8 CF1 = CN1; CF2 = CN2 0,00---4,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,00226 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,00226 0,104,180,510,08470,01540,02930,02510,01260,00214 0,204,360,520,08600,01580,03000,02550,01260,00201 0,304,530,540,08720,01610,03010,02590,01250,00188 0,10 0,404,700,550,08820,01650,03140,02620,01240,00174 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,00226 0,104,350,520,08570,01550,02990,02540,01270,00213 0,204,720,540,08800,01610,03110,02620,01260,00197 0,305,110,560,09010,01660,03240,02690,01250,00178 0,20 0,405,510,580,09210,01710,03360,02760,01230,00156 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,00226 0,104,490,530,08630,01550,03010,02570,01280,00219 0,205,050,560,08930,01600,03170,02670,01280,00207 0,305,690,590,09230,01650,03340,02780,01270,00190 0,30 0,406,410,610,09510,01710,03520,02870,01240,00167 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,00226 0,104,610,530,08660,01540,03020,02590,01290,00225 0,205,350,560,09010,01580,03180,02710,01310,00221 0,306,250,600,09360,01620,03370,02840,01310,00211 0,40 0,407,370,640,09710,01680,03590,02970,01280,00195 CF1 = 0.5CN1; CF2 = 0.5CN2 0,00---4,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,104,160,510,08570,01550,02960,02540,01300,0023 0,204,310,520,08790,01580,03040,02610,01330,0023 0,304,450,540,09000,01620,03120,02670,01350,0023 0,10 0,404,580,540,09180,01650,03190,02730,01380,0023 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,104,300,520,08720,01560,03010,02590,01320,0023 0,204,610,550,09120,01610,03170,02720,01380,0023 0,304,920,570,09510,01670,03320,02850,01430,0024 0,20 0,405,230,580,09890,01720,03470,02980,01480,0024 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,104,430,530,08810,01560,03050,02630,01340,0023 0,204,890,560,09320,01610,03240,02810,01420,0024 0,305,400,590,09860,01670,03450,03000,01500,0024 0,30 0,405,930,620,10420,01730,03670,03200,01580,0025 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,104,540,540,08840,01550,03050,02650,01350,0024 0,205,160,570,09410,01590,03260,02860,01450,0025 0,305,870,610,10050,01650,03500,03100,01550,0025 0,40 0,406,670,640,10760,01700,03770,03360,01660,0026 CF1= 2CN1; CF2 = 2CN2 0,00---4,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,104,270,510,08170,01530,02890,02410,01160,00180,10 0,204,560,520,07980,01560,02900,02340,01030,0013 0,004,000,500,08330,01510,02870,02470,01270,0023 0,104,490,510,08190,01540,02910,02400,01140,00190,20 0,205,110,530,07890,01580,02930,02280,00960,0014

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13. 20 - 15 Tabla A2 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa (Altura de baco = 0,25h) * CoeficientemNF para (b-a) = 0,2 CN1/1 CN2/2(1) kNF (2) CNF (3) mNF a = 0,0a = 0,2a = 0,4a = 0,6a = 0,8 CF1 = CN1; CF2 = CN2 0,00---4,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,004,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,104,990,550,08900,01600,03160,02660,01280,0020 0,205,180,560,09010,01630,03220,02700,01270,0019 0,10 0,305,370,570,09110,01670,03280,02730,01260,0018 0,004,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,105,170,560,09000,01610,03200,02690,01280,0020 0,205,560,580,09180,01660,03320,02760,01260,0018 0,20 0,305,960,600,09360,01710,03440,02820,01240,0016 0,004,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,105,320,570,09050,01610,03230,02720,01280,0021 0,205,900,590,09300,01660,03380,02810,01270,0019 0,30 0,306,550,620,09550,01710,03540,02900,01240,0017 CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2 0,00---4,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,004,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,104,960,550,09000,01600,03170,02690,01310,00220,10 0,205,120,560,09200,01640,03250,02760,01340,0022 0,004,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,105,110,560,09140,01620,03230,02750,01330,00220,20 0,205,430,580,09500,01670,03370,02860,01380,0022 CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2 0,00---4,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,004,790,540,08790,01570,03090,02630,01290,0022 0,10 0,105,100,550,08600,01590,03110,02560,01170,0017

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13.

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bCF1/2

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/61hI Es dExtremo prximo (N) Extremo alejado (F) /61sIsE/2N1CF1CF2C2 /3 N2C /61 /61CN1(4)I

n2NF NFi i 1i=1NF NF cs s 1FEM = m wK =k E /I 2s d N2 2E /(1- C / )20 - 16 Tabla A3 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa (Altura de baco = 0,50h) * Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 CN1/1 CN2/2(1) kNF (2) CNF (3) mNF a = 0,0a = 0,2a = 0,4a = 0,6a = 0,8 CF1 = CN1; CF2 = CN2 0,00---5,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,005,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,106,040,600,09360,01670,03410,02820,01260,0018 0,206,240,610,09400,01700,03470,02850,01250,0017 0,10 0,306,430,610,09520,01730,03530,02870,01230,0016 0,005,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,106,220,610,09420,01680,03460,02850,01260,0018 0,206,620,620,09570,01720,03560,02900,01230,0016 0,20 0,307,010,640,09710,01770,03660,02940,01200,0014 0,005,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,106,370,610,09470,01680,03480,02870,01260,0018 0,206,950,630,09670,01720,03620,02940,01230,0016 0,30 0,307,570,650,09860,01770,03750,03000,01190,0014 CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2 0,00---5,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,005,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,106,000,600,09450,01670,03430,02850,01300,00200,10 0,206,160,600,09620,01700,03500,02910,01320,0020 0,005,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,106,150,600,09570,01690,03480,02900,01310,00200,20 0,206,470,620,09870,01730,03600,03000,01340,0020 CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2 0,00---5,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,005,840,590,09260,01640,03350,02790,01280,0020 0,10 0,106,170,600,09070,01660,03370,02730,01160,0015

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13.

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bCF1/2

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/61hI Es dExtremo prximo (N) Extremo alejado (F) /61sIsE/2N1CF1CF2C2 /3 N2C /61 /61CN1(4)I

n2NF NFi i 1i=1NF NF cs s 1FEM = m wK =k E /I 2s d N2 2E /(1- C / )20 - 17 Tabla A4 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa (Altura de baco = 0,75h) * Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 CN1/1 CN2/2(1) kNF (2) CNF (3) mNF a = 0,0a = 0,2a = 0,4a = 0,6a = 0,8 CF1 = CN1; CF2 = CN2 0,00---6,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,006,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,107,120,640,09720,01740,03650,02950,01220,0016 0,207,310,640,09780,01760,03700,02970,01200,0014 0,10 0,307,480,650,09840,01790,03750,02990,01180,0013 0,006,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,107,120,640,09770,01750,03690,02970,01210,0015 0,207,310,650,09880,01780,03780,03010,01180,0013 0,20 0,307,480,670,09990,01820,03860,03040,01150,0011 0,006,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,107,290,650,09810,01750,03710,02990,01210,0015 0,207,660,660,09960,01790,03830,03040,01170,0013 0,30 0,308,020,680,10090,01820,03940,03090,01130,0011 CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2 0,00---6,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,006,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,107,080,640,09800,01740,03660,02980,01250,00170,10 0,207,230,640,09930,01770,03720,03020,01260,0016 0,006,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,107,210,640,09910,01750,03710,03020,01260,00170,20 0,207,510,650,10140,01790,03810,03100,01280,0016 CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2 0,00---6,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,006,920,630,09650,01710,03600,02930,01240,0017 0,10 0,107,260,640,09460,01730,03610,02870,01120,0013

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13.

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bCF1/2

21

/61hI Es dExtremo prximo (N) Extremo alejado (F) /61sIsE/2N1CF1CF2C2 /3 N2C /61 /61CN1(4)I

n2NF NFi i 1i=1NF NF cs s 1FEM = m wK =k E /I 2s d N2 2E /(1- C / )20 - 18 Tabla A5 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa (Altura de baco = h) * Coeficiente (mNF) para (b-a) = 0,2 CN1/1 CN2/2(1) kNF (2) CNF (3) (mNF) a = 0,0a = 0,2a = 0,4a = 0,6a = 0,8 CF1 = CN1; CF2 = CN2 0,00---7,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,007,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,108,070,660,09980,01800,03850,03050,01160,0013 0,208,240,670,10030,01820,03890,03600,01150,0012 0,10 0,308,400,670,10070,01830,03930,03070,01130,0011 0,007,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,108,220,670,10020,01800,03880,03060,01150,0012 0,208,550,680,10100,01830,03950,03090,01120,0011 0,20 0,309,870,690,10180,01860,04020,03110,01090,0009 0,007,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,108,350,670,10050,01810,03900,03070,01150,0012 0,208,820,680,10160,01840,03990,03110,01110,0011 0,30 0,309,280,700,10260,01870,04090,03140,01070,0009 CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2 0,00---7,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,007,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,108,030,660,10060,01800,03860,03070,01190,00140,10 0,208,160,670,10160,01820,03900,03100,01200,0014 0,007,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,108,150,670,10140,01810,03890,03100,01200,00140,20 0,208,410,680,10320,01840,03980,03160,01210,0013 CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2 0,00---7,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,007,890,660,09930,01770,03800,03030,01180,0014 0,10 0,108,200,670,09810,01790,03820,02970,01130,0010

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13.

1w1a

1

bCF1/2

21

/61hI Es dExtremo prximo (N) Extremo alejado (F) /61sIsE/2N1CF1CF2C2 /3 N2C /61 /61CN1(4)I

n2NF NFi i 1i=1NF NF cs s 1FEM = m wK =k E /I 2s d N2 2E /(1- C / )20 - 19 Tabla A6 Constantes de distribucin de momentos para vigas placa*

(Se asume que las dimensiones en ambos extremos de la columna son iguales cF1 = cN1, cF2 = cN2) t = 1,5ht = 2h CN1/1 CN2/2 kNFCNFmNFkFNCFNmFNkNFCNFmNFkFNCFNmFN 0,00---5,390,490,10234,260,600,07496,630,490,11904,490,650,0676 0,005,390,490,10234,260,600,07496,630,490,11904,490,650,0676 0,105,650,520,10124,650,600,07947,030,540,11455,190,660,0757 0,205,860,540,10124,910,610,08187,220,560,11405,430,670,0778 0,10 0,306,050,550,10255,100,620,08387,360,560,11425,570,670,0786 0,005,390,490,10234,260,600,07496,630,490,11904,490,650,0676 0,105,880,540,10065,040,610,08267,410,580,11115,960,660,0823 0,206,330,580,10035,630,620,08747,850,610,10946,570,670,0872 0,20 0,306,750,600,10086,100,640,09038,180,630,10936,940,680,0892 0,005,390,490,10234,260,600,07496,630,490,11904,490,650,0676 0,106,080,560,10035,400,610,0857,760,620,10876,770,670,0873 0,206,780,610,09966,380,630,0928,490,660,10557,910,680,0952 0,30 0,307,480,640,09977,250,650,0969,060,680,10478,660,690,0991

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13. I Es sN1d sE I1 /6Extremo alejado (F)Extremo prximo (N)w

1 1 hN2N12 /3F12

cF2F1 /61tcc /2 /2 ccc21w (4)I

NF NFNF NF cs s 1FEM =mK =k E /I 2s d N2 2E /(1- C / )I 2s s N2 2E /(1- C / )20 - 20 Tabla A7 Factores de rigidez y Coeficientes de continuidad para columnas* H/Hc ta/tb 1,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50 kAB 4,204,404,604,805,005,205,405,605,806,00 0,00 CAB0,570,650,730,800,870,951,031,101,171,25 kAB 4,314,624,955,305,656,026,406,797,207,62 0,2 CAB0,560,620,680,740,800,850,910,961,011,07 kAB 4,384,795,225,676,156,657,187,748,328,94 0,4 CAB0,550,600,650,700,740,790,830,870,910,94 kAB 4,444,915,425,966,547,157,818,509,2310,01 0,6 CAB0,550,590,630,670,700,740,770,800,830,85 kAB 4,495,015,586,196,857,568,319,129,9810,89 0,8 CAB0,540,580,610,640,670,700,720,750,770,79 kAB 4,525,095,716,387,117,898,739,6310,6011,62 1,0 CAB0,540,570,600,620,650,670,690,710,730,74 kAB 4,555,165,826,547,328,179,0810,0711,1212,25 1,2 CAB0,530,560,590,610,630,650,660,680,690,70 kAB 4,585,215,916,687,518,419,3810,4311,5712,78 1,4 CAB0,530,550,580,600,610,630,640,650,660,67 kAB 4,605,265,996,797,668,619,6410,7511,9513,24 1,6 CAB0,530,550,570,590,600,610,620,630,640,65 kAB 4,625,306,066,897,808,799,8711,0312,2913,65 1,8 CAB0,520,550,560,580,590,600,610,610,620,63 kAB 4,635,346,126,987,928,9410,0611,2712,5914,00 2,0 CAB0,520,540,560,570,580,590,590,600,600,61 kAB 4,655,376,177,058,029,0810,2411,4912,8514,31 2,2 CAB0,520,540,550,560,570,580,580,590,590,59 kAB 4,665,406,227,128,119,2010,3911,6813,0814,60 2,4 CAB0,520,530,550,560,560,570,570,580,580,58 kAB 4,675,426,267,188,209,3110,5311,8613,2914,85 2,6 CAB0,520,530,540,550,560,560,560,570,570,57 kAB 4,685,446,297,238,279,4110,6612,0113,4815,07 2,8 CAB0,520,530,540,550,550,550,560,560,560,56 kAB 4,695,466,337,288,349,5010,7712,1513,6515,28 3,0 CAB0,520,530,540,540,550,550,550,550,550,55 kAB 4,705,486,367,338,409,5810,8712,2813,8115,47 3,2 CAB0,520,530,530,540,540,540,540,540,540,54 kAB 4,715,506,387,378,469,6510,9712,4013,9515,64 3,4 CAB0,510,520,530,530,540,540,540,530,530,53 kAB 4,715,516,417,418,519,7211,0512,5114,0915,80 3,6 CAB0,510,520,530,530,530,530,530,530,530,52 kAB 4,725,536,437,448,569,7811,1312,6014,2115,95 3,8 CAB0,510,520,530,530,530,530,530,520,520,52

* Ver "Referencias para las tablas del Apndice 20A" en la pgina 20-13. HABABABIc cIcIatcHtbtabtHctbatcHz g*IccEK =kH Para los valores de kBA y CBA leer (ta/tb) como (tb/ta) *g se puede aproximar como z/2.20 - 21 H/Hc ta/tb 1,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50 kAB 4,725,546,457,478,609,8411,2112,714,3216,08 4,0 CAB0,510,520,520,530,530,520,520,520,520,51 kAB 4,735,556,477,508,649,9011,2712,7814,4216,20 4,2 CAB0,510,520,520,520,520,520,520,510,510,51 kAB 4,735,566,497,538,689,9511,3412,8614,5216,32 4,4 CAB0,510,520,520,520,520,520,510,510,510,51 kAB 4,745,576,517,558,719,9911,4012,9314,6116,43 4,6 CAB0,510,520,520,520,520,520,510,510,500,50 kAB 4,745,586,537,588,7510,0311,4513,0014,6916,53 4,8 CAB0,510,520,520,520,520,510,510,500,500,49 kAB 4,755,596,547,608,7810,0711,5013,0714,7716,62 5,0 CAB0,510,510,520,520,510,510,510,500,490,49 kAB 4,765,635,607,898,9010,2411,7213,3315,1017,02 6,0 CAB0,510,510,510,510,500,500,490,490,480,47 kAB 4,785,666,657,769,0010,3711,8813,5415,3517,32 7,0 CAB0,510,510,510,500,500,490,480,480,470,46 kAB 4,785,686,697,829,0710,4712,0113,7015,5417,56 8,0 CAB0,510,510,500,500,490,490,480,470,460,45 kAB 4,795,696,717,869,1310,5512,1113,8315,7017,17 9,0 CAB0,500,500,500,500,490,480,470,460,450,45 kAB 4,805,716,747,899,1810,6112,1913,9315,8317,90 10,0 CAB0,500,500,500,490,480,480,470,460,450,44 20 - 22 Ejemplo 20.1 Aplicacin del Mtodo del Prtico Equivalente a una losa en dosdirecciones sin vigas UsarelMtododelPrticoEquivalenteparadeterminarlosmomentosdediseoparaelsistemadelosaenladireccin ilustrada, para un piso intermedio. Altura de piso = 9 ft Dimensiones de las columnas = 16 16 in. Las cargas laterales sern resistidas por muros de cortante No hay vigas de borde Peso de los tabiques no estructurales = 20 lb/ft2 Sobrecarga de servicio = 40 lb/ft2 f'c = 4000 psi (losas), hormign de peso normal f'c = 6000 psi (columnas), hormign de peso normal fy = 60.000 psi Referencia Clculos y discusin del Cdigo 1.Diseo preliminar para determinar la altura de la losa, h: a.Control de las flechas. Para un sistema de placas planas, la mnima altura total, h, con armadura Grado 60 es9.5.3.2 (ver Tabla 18-1): n200h 6, 7 in.30 30= = =

Tabla 9.5(a) pero no menor que 5 in.9.5.3.2(a) donde n = longitud de la luz libre en la direccin ms larga = 216 16 = 200 in. Intentar con una losa de 7 in. para todos los paneles (peso = 87,5 lb/ft2) b.Resistencia al corte de la losa. Usar una altura efectiva promedio, d = 5,75 in. ( recubrimiento de 3/4 in. y barras No. 4) Carga permanente mayorada,( )2dw 1, 2 87, 5 20 129 lb / ft = + =9.2.1 Sobrecarga mayorada, 2w 1, 6 40 64 lb / ft = =

Carga total mayorada, 2uw 193 lb / ft =14' - 0"18' - 0"franja dediseo18' - 0"18' - 0"14' - 0" 14' - 0"20 - 23 Para el corte en una direccin (comportamiento como viga ancha) considerar una franja de 12 in. de ancho a una distancia d medida a partir de la cara del apoyo en la direccin ms larga (ver Figura 20-13). uV 0,193 7, 854 1, 5 kips = = c c wV 2 f ' b d = c uV 0, 75 2 4000 12 5, 75/1000 6, 6 kips V = = > VERIFICA9.3.2.3 Comonohayesfuerzosdecorteenlosejesdelospanelesadyacentes,laresistenciaalcorteendos direcciones a una distancia d/2 alrededor del apoyo se calcula de la siguiente manera: ( )2uV 0,193 18 14 1,81 48, 0kips = = c c oV 4 f ' b d =(para columnas interiores cuadradas) Ec. (11-35) ( ) 4 4000 4 21, 75 5, 75/1000 126, 6 kips = = c uV 0, 75 126, 6 95, 0 kips V = = > VERIFICA9.3.2.3 Figura 20-13 Secciones crticas para el corte correspondientes al problema del Ejemplo El diseo preliminar indica que una losa de 7 in. es adecuada para controlar las flechas y tambin para la resistencia al corte. 2.Elementos del prtico equivalente: Determinarlosfactoresdedistribucindemomentosylosmomentosenlosextremosempotradosparalos elementosdelprticoequivalente.Paraanalizarelprticoparcialutilizaremoselprocedimientode distribucindemomentos.Losfactoresderigidez,loscoeficientesdecontinuidad(CC)yloscoeficientes para los momentos en los extremos empotrados (FEM) se determinan usando las tablas del Apndice 20-A. A continuacin ilustramos estos clculos. a.Rigidez flexional de las vigas placa en ambos extremos, Ksb. 11.12.1.17,854'14'- 0"18'- 0"21,75"21,75"prom. d/2=2,88"prom. d=5,75"eje del panel20 - 24 ( ) ( )N1 N21 2c c 16 160, 07 0,118 12 14 12= = = = Interpolando a partir de los valores de la Tabla A1 del Apndice 20A para cF1= cN1 y cF2= cN2:kNF = kFN = 4,13 Por lo tanto, cs s cs ssb NF1 1E I E IK k 4,13 = = Tabla A1 6 64,13 3, 60 10 4802/ 216 331 10 = = in.-lb donde ( )334 2s168 7 hI 4802 in.12 12= = =

6cs cE 57.000 f ' 57.000 4000 3, 60 10 psi = = = 8.5.1 El coeficiente de continuidad CC = 0,509 (por interpolacin entre los valores de la Tabla A1). El momento en el extremo empotrado 2u 2 1FEM 0, 0843w = , por interpolacin en base a la Tabla A1. b.Rigidez flexional de las columnas en ambos extremos, Kc. En base a la Tabla A7, Apndice 20A, a bt 3, 5 in., t 3, 5 in. = = , c a b cH 9 ft 108 in.; H 101in.; t / t 1; H/ H 1, 07 = = = = = Por lo tanto, por interpolacin, AB BAk k 4, 74. = = c cc c cK 4, 74E I / =Tabla A7 6 64, 74 4, 42 10 5461/108 1059 10 = = in.-lb donde ( )444c16 cI 5461 in.12 12= = = 6cs cE 57.000 f ' 57.000 6000 4, 42 10 psi== = 8.5.1 c9 ft 108 in. = = c.Rigidez torsional de los elementos torsionales, Kt. ( )cst32 2 29E CK1 c /= R13.7.5 ( )6639 3, 60 10 13, 253, 45 10 in.-lb168 0, 905 = = 20 - 25 donde( )( )3C 1 0, 63x / y x y / 3 = 13.0 ( )( )3 41 0, 63 7 /16 7 16/ 3 1325 in. = = 2 2c 16 in. y 14 ft 168 in. = = = d.Rigidez de la columna equivalente, Kec. c tecc tK KKK K=+ ( )( )( ) ( )2 1059 2 3452 1059 2 345 = + 6520 10 in.-lb = donde tK correspondeadoselementostorsionales,unoacadaladodelacolumna,y cK corresponde a las columnas superior e inferior en la unin de la viga placa en un piso intermedio. e.Factores de distribucin FD en la unin de la viga placa. En una unin exterior, ( )331FD 0, 389331 520= =+

En una unin interior, ( )331FD 0, 280331 331 520= =+ + Coeficiente de continuidad para la viga placa, CC = 0,509 3.Anlisis de prtico parcial del prtico equivalente: Determinarlosmomentosnegativosypositivosparalasvigasplacausandoelmtododedistribucinde momentos.Debidoaquelasobrecargadeservicionoesmayorquetrescuartosdelacargapermanentede servicio, se asume que los momentos de diseo ocurren en todas las secciones crticas considerando en todas las luces la totalidad de la sobrecarga mayorada. ( )L 40 30, 37D 87, 5 20 4= = elprticoseanalizarparacincocondicionesdecargaconlasdistribucionesdecargasysobrecargas parciales de acuerdo con lo permitido por el artculo 13.7.6.3 (la Figura 20-9 ilustra las cinco distribuciones de cargas consideradas). a.Cargas mayoradas y momentos en los extremos empotrados: Carga permanente mayorada,( )2dw 1, 2 75 9, 3 101lb / ft = + = KtacKtaKKc11 13.7.6.320 - 39 2214 14 1509, 3 lb / ftes el peso por pie de longitud del alma de la viga dividido por 144 22 | | = |\ .

Sobrecarga mayorada,( )2w 1, 6 100 160 lb / ft = =

Carga mayorada, 2u dw w w 261lb / ft = + =

- Momentos en los extremos empotrados, FEM: FEM para las vigas placa 2NF u 21m w = (Tabla A1, Apndice 20A) FEM debido a dw w +

( )20, 0842 0, 261 22 17, 5 148,1 = =ft-kips FEM debido a dw 3/ 4w +

( )20, 0842 0, 221 22 17, 5 125, 4 = =ft-kips FEM debido slo a dw ( )20, 0842 0,101 22 17, 5 57, 3 = =ft-kips b.LaTabla20-3indicaladistribucindemomentosparalascincocondicionesdecarga.Losmomentos antihorariosqueactanenlosextremosdelelementoseconsideranpositivos.Losmomentosdetramo positivos se determinan a partir de la siguiente ecuacin: ( ) ( )u o uL uRM mitad de la luz M M M / 2 = + (Nota: L, izquierda; R, derecha.) siendo Mo el momento a la mitad de la luz para una viga simple. Si los momentos en los extremos no son iguales, el mximo momento del tramo no se produce en la mitad de la luz, pero su valor es similar al correspondiente a la mitad de la luz. Momento positivo en el tramo 1-2 para la condicin de carga (1): ( ) ( )2uM 0, 261 22 17, 5 / 8 93,1 167, 7 / 2 89, 4 + = + =ft-kips LossiguientesvaloresdemomentoparalasvigasplacaseobtienendelaTabla20-3.Observarque,de acuerdo con el artculo 13.7.6.3, los momentos de diseo no se deben tomar menores que aquellos que se producen cuando en todos los tramos acta la totalidad de la sobrecarga mayorada. Mximo momento positivo en el tramo final: = mayor valor entre 89,4 y 83,3 = 89,4 ft-kips Mximo momento positivo en un tramo interior:* = mayor valor entre 66,2 y 71,3 = 71,3 ft-kips Mximo momento negativo en el apoyo extremo: = mayor valor entre 93,1 y 86,7 = 93,1 ft-kips

*Este es el nico momento determinado por la condicin de carga con sobrecarga parcial. Los dems momentos mximos se producen con la totalidad de la sobrecarga mayorada actuando en todos los tramos. 20 - 40 Mximo momento negativo en el apoyo interior de un tramo final: = mayor valor entre 167,7 y 145,6 = 167, 7ft-kips Mximo momento negativo en el apoyo interior de un tramo interior: = mayor valor entre 153,6 y 139,2 = 153,6 7ft-kips 4.Momentos de diseo. En la Figura 20-20 se grafican los momentos positivos y negativos mayorados para el sistema de losa en su direccin transversal. Los momentos negativos mayorados se toman en la cara de los apoyos rectilneos a una distancia no mayor que 0,1751 a partir de los centros de los apoyos. 18 in.0, 75 ft 0,175 17, 5 3,1 ft2= < =(Usar la ubicacin de la cara del apoyo) Tabla 20-3 Distribucin de momentos para el prtico parcial (Direccin transversal) Unin1234 Elemento1-22-12-33-23-44-3 FD0,3940,3060,3060,3060,3060,394 CC0,5070,5070,5070,5070,5070,507 (1) Todos los tramos cargados con la totalidad de la sobrecarga mayorada CEF+148,1-148,1+148,1-148,1+148,1-148,1 MC*-29,6+29,6 MC+4,6-4,6+4,6-4,6 MC+0,7-0,9-0,7+0,7+0,9-0,7 MC+0,3-0,2-0,3+0,3+0,2-0,3 +153,7-178,8+142,5-142,5+178,8-153,7 MD**+60,6+11,1+11,1-11,1-11,1-60,6 Total+93,1-167,7+153,6-153,6+167,7-93,1 (2) Primer y tercer tramos cargados con 3/4 de la sobrecarga mayorada CEF+125,4-125,4+57,3-57,3+125,4-125,4 MC*+10,6-25,1-10,6+10,6+25,1-10,6 MC+5,5+2,1-5,5+5,5+2,1-5,5 MC+1,2-1,1-1,2+1,2+1,1-1,2 MC+0,4-0,3-0,4+0,4+0,3-0,4 +143,1-154,0+39,6-39,6+154,0-143,1 MD**-56,4+35,0+35,0-35,0-35,0+56,4 Total+86,7-119,0+74,6-74,6+119,0-86,7 M a mitad de la luz83,383,3 13.7.7.1+2 3 4 120 - 41 (3) Tramo central cargado con 3/4 de la sobrecarga mayorada CEF+57,3-57,3+125,4-125,4+57,3-57,3 MC*-10,6-11,5+10,6-10,6+11,5+10,6 MC+0,3+2,1+0,3+0,3-2,1-0,3 MC-0,3-0,1-0,3-0,3+0,1+0,3 +46,7-66,8+136,0-130,6+66,8-46,7 MD**-18,4-21,2+21,2+21,2+21,2+18,4 Total+28,3-88,0+114,8-114,8+88,0-28,3 M a mitad de la luz71,3 (4) Primer tramo cargado con 3/4 de la sobrecarga mayorada, y viga placa supuesta empotrada en el apoyo ubicado a dos luces de distancia CEF+125,4-125,4+57,3-57,3 MC*+10,6-25,1+10,6 MC+3,9-2,1+3,9 MC+0,3-0,8+0,3 +140,2-153,4+57,3 MD**-55,2+29,4+29,4 Total+85,0-124,0+86,7-42,5 (5) Primer y segundo tramos cargados con 3/4 de la sobrecarga mayorada CEF+125,4-125,4+125,4-125,4+57,3-57,3 MC*25,1+10,6+11,5+10,6 MC+2,3-1,8+2,3-2,1-1,8 MC+0,3-0,2-0,1+0,3+0,4-0,1 +128,0-150,7+134,1-122,8+67,1-48,6 MD**-50,4+5,1+5,1+5,1+17,0+19,2 Total+77,6-145,6+139,2-105,8+84,1-29,4 Notas: *El momento de continuidad, MC, es el producto negativo entre el factor de distribucin, el coeficiente de continuidad y el momento no balanceado de la unin que se transfiere al extremo opuesto del tramo. **El momento distribuido, MD, es el producto negativo entre el factor de distribucin y el momento no balanceado de la unin. CEF: Coeficiente para los momentos en los extremos empotrados. 5.Momento total mayorado por tramo.13.7.7.4 En los sistemas de losa comprendidos dentro de las limitaciones del artculo 13.6.1 los momentos resultantes se pueden reducir en una proporcin tal que la sumatoria numrica de los momentos positivos y el promedio del momento negativo no sea mayor que el momento esttico total Mo dado por la Ec. (13-3). Verificamos las limitaciones del artculo 13.6.1.6 sobre la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares. Para un panel interior (Ver el Ejemplo 19.2): ( )( )221 22 22 1316 221, 253, 98 17, 5= =

13.6.1.6 20 - 42 0, 2 1, 25 5, 0 < < VERIFICA Para un panel exterior (Ver el Ejemplo 19.2): ( )( )22316 220, 3016, 45 17, 5= 0, 2 0, 30 5, 0 <