MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II 17 – 3 – 2011

Nome:…………………………….…………………………………………………………………….................................................

O/A alumno/a contestará aos exercicios dunha das dúas opcións (A ou B), sen que poida mesturar

exercicios dunha opción con exercicios da outra opción.

OPCIÓN A

1. (2,5 puntos) Dada a ecuación matricial A · X + A t = X + B, sendo At a matriz trasposta de A,

2 1 3 1

0 2 2 3A e B

a) Despexar a matriz X. Calcular a matriz inversa de (A – I2), sendo I2 a matriz identidade de orde 2.

b) Resolver a ecuación matricial.

2. (2,5 puntos) Un concesionario de coches comercializa con dous modelos: un de gama alta, co que gaña 2 000 € por unidade vendida e outro de gama baixa cuns beneficios por unidade vendida de 1 200 €. Por razóns de mercado, a venda anual destes modelos está suxeita as seguintes restriccións: - O número de modelos de gama alta vendidos non será menor de 50 nin maior de 150 coches. - O nº de modelos de gama baixa vendidos terá que ser maior ou igual ao dos modelos de gama alta. - O concesionario pode vender un máximo de 500 coches dos dous modelos ao ano. ¿Cantos coches de cada modelo debe vender anualmente para maximizar os beneficios? Formula as restriccións e representa gráficamente a rexión factible.

3. (3 puntos) O número de vehículos que pasaron certo día polo peaxe dunha autoestrada ven

representado pola función

2

2

32, 0 9

3( )

1510 , 9 24

3

tt

N tt

t

onde N indica o número de vehículos e t

representa o tempo transcorrido (en horas) dende as 0:00 horas.

a) ¿Entre que horas aumentou o nº de vehículos que pasaban polo peaxe? ¿Entre que horas diminuíu?

b) ¿A que hora pasou o maior número de vehículos? ¿Cantos foron?

4. (2 puntos) Quérese fabricar unha caixa de madeira sen tapa cunha capacidade de 2 m3. Por razóns de

porte no transporte da mesma, a lonxitude da caixa ten que ser o dobre cá anchura. Ademais, a madeira

para construí-la base da caixa custa 12 euros por metro cadrado, mentres que a madeira para construí-las

caras laterais custa 8 euros por metro cadrado. Acha-las dimensións da caixa para que o custo sexa

mínimo. Calcular dito custo mínimo.

OPCIÓN B

1. (2,5 puntos) Dadas as matrices

1 0 2 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 0 1 6

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

x y z z

A x B y C D

.

Calcula os valores de x, y, z para os que se verifica 2A – 4B + 3C = D-1.

2. (2,5 puntos) Unha explotación de madeira dedicada á plantación e recolección de pinos e eucaliptos

decide repoboar un dos seus montes. Para que a explotación sexa rentable deben plantar entre 2 e 15

hectáreas de pinos e entre 6 e 25 hectáreas de eucaliptos.

Ademais, o custo por hectárea de pinos é de 500 € e o custo por hectárea de eucaliptos é de 300 €,

contando cun presuposto máximo de 12 000 € para a explotación do proxecto. Tras a colecta da

madeira os ingresos obtidos son de 2 200 € por cada hectárea de pinos e de 1 500 € por cada hectárea

de eucaliptos.

¿Cántas hectáreas de pinos e de eucaliptos se debería repoboar para obter o máximo beneficio? ¿a

canto ascende dito beneficio?

Expresa a función obxectivo, as restricións do problema, representa a rexión factible e calcula os

vértices.

3. (2,5 puntos) Estúdase a evolución mensual do número de socios dunha entidade durante o ano 2005 e

obsérvase que está modelada pola seguinte función:

2 6 0 6

50 6 8

50 8 12 8 12

x x a se x

f x se x

x x se x

onde

x é o tempo en meses.

(a) Se inicialmente a entidade se fundou con 50 socios, determinar o valor de a.

(b) Determinar en que mes o nº de socios foi máximo e en que mes o nº de socios foi mínimo.

(c) Se para cubrir gastos a entidade necesitaba máis de 47 socios, ¿en que meses tivo perdas?

4. (2,5 puntos) Un estudo indica que, entre as 12:00 horas e as 19:00 horas dun día laborable típico, a

velocidade (en Km/h) do tráfico en certa saída de autoestrada vén dada pola seguinte función:

3 22 21 60 20, 0 7f x x x x x

onde x é o número de horas despois do mediodía (x = 0 corresponde ás 12:00 horas)

Representar graficamente f(x), para 0 ≤ x ≤ 7, estudando: o punto de corte co eixe y, intervalos de

crecemento e decrecemento, intervalos de concavidade e convexidade. Calcular as horas nas que se

presentan máximos, mínimos e punto de inflexión para a velocidade do tráfico.