2º ESO Refuerzo de Matemáticas

8/22/2019 2 ESO Refuerzo de Matemticas

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I.E.S. CIUDAD DE HERCULESDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CHICLANA DE LA FRONTERA.


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Departamento de Matemticas. I.E.S. Ciudad de Hrcules

INDICE

1.- ESTADSTICA pg. 2

2.- NUMEROS NATURALES pg. 11

3.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD pg. 18

4.- NMEROS ENTEROS pg. 23

5.- LAS FRACCIONES pg. 30

6.- NUMEROS DECIMALES pg. 38

7.- POTENCIAS pg. 43

8.- PROPORCIONALIDAD pg. 49

9.- POLINOMIOS pg. 54

10.-ECUACIONES pg. 65

11.- GRFICAS Y FUNCIONES pg. 71


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TEMA 1: ESTADSTICA

Ejercicio n 1.

Se ha preguntado a los 60 alumnos de 2 de ESO el nmero de hermanos que tiene

cada uno, los resultados se recogen a continuacin. Haz la correspondiente tabla defrecuencias:

0 1 2 0 1 4 2 0 1 3

1 0 2 3 0 1 2 1 0 0

5 2 0 1 2 0 3 4 0 2

1 2 4 6 0 5 2 0 2 1

2 5 6 4 3 2 1 2 5 4

0 1 2 6 6 4 2 1 2 4

Ejercicio n 2.

En la tabla se recogen los datos relativos a los temas de lectura preferidos por 200

alumnos y alumnas de primer ciclo de ESO. Observa los datos de la tabla y responde

a las preguntas:

1 ESO 2 ESO TOTAL

POESA 20 20 40

AVENTURAS 30 25 55

TERROR 15 15 30

POLICIACA 9 13 22

CIENCIA-FICCIN 19 12 31

CMIC 17 5 22

TOTAL 110 90 200

a) Cuntos estudiantes de primero leen cmics?

b) Qu fraccin de estudiantes de 1 prefiere la lectura de terror? Y de 2?c) Cmo evoluciona la lectura de temas de terror al pasar de 1 a 2?

Ejercicio n 3.

Se ha preguntado a 50 alumnos de 2 de ESO: Cuntos hermanos tienes? La

informacin obtenida se ha recogido en la siguiente tabla. Haz la tabla de frecuencias

completa y representa los datos en un diagrama de barras:


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N DE HERMANOS FRECUENCIA

0 15

1 20

2 6

3 34 4

5 2

Ms de 5 0

Ejercicio n 4.

La tabla recoge el reparto del tiempo de Beatriz entre sus distintas actividades durante

las 24 horas del da. Representa los datos en el grfico de sectores:

ACTIVIDAD HORASOcio 3

Estudiar 3

Colegio 6

Dormir 10

Comer 2

Ejercicio n 5.

Observa el grfico y responde a las preguntas:

a) Qu representa el grfico?

b) En qu grupo se produjo el mayor nmero de ausencias en cada trimestre?

c) Cuntas faltas de asistencia se produjeron en el grupo 1 B en el segundotrimestre?


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Ejercicio n 6.

Di si cada una de las siguientes variables estadsticas es cuantitativa o cualitativa:

a) Sabor de helado preferido.

b) Ao de nacimiento.

c) Estatura.

d) Estudios que desea realizar.

Ejercicio n 7.

A continuacin se recogen las preferencias de 50 comensales de un restaurante

respecto al primer plato del men del da (S = Sopa, C= Consom, E= Ensalada,

G =Guisantes yA = Acelgas). Construye la tabla de frecuencias correspondiente:

S E S E A G A S E S

A G A E S C C C E S

A S C E A G E S G E

S C E G G A G S S C

C S S E E A G E E E

Ejercicio n 8.

En un restaurante se han anotado las preferencias en el men del da de los 50

comensales. Los datos obtenidos se han recogido en la siguiente tabla. Observa estos

datos y responde a las preguntas:

PRIMER PLATO

SOPA ENSALADA

SEGUNDO

PPLATO

CARNE 17 16 33

PESCADO 10 7 1727 23 59

a) Cul es la poblacin, la muestra, el individuo y el carcter estudiado

b) Cuntos comensales han pedido sopa de primer plato?

c) Cuntos comensales han pedido carne de segundo plato?

d) Cuntos comensales han comido sopa y pescado?

e) Cuntos comensales han comido ensalada y carne?

f) Elabora la tabla de frecuencias y realiza un diagrama de sectores.


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Ejercicio n 9.

La tabla recoge, en forma de porcentajes, la distribucin de las distintas partes de la

nmina de un trabajador. Representa los datos en el grfico de sectores:

5Atrasos

20osComplement

5familiarAyuda

10Trienios

60Sueldo

%CONCEPTO

Ejercicio n 10.

El grfico representa la estimacin del crecimiento de la poblacin mundial realizada

por la ONU. Obsrvalo y responde a las preguntas:

a) Qu tipo de grfico hemos utilizado?

b) Cuntos millones de habitantes haba en el mundo en 1990?

c) Cuntos se espera que haya en el ao 2025?

d) En qu periodo se produce mayor aumento de la poblacin, entre 1950 y 1990 o

entre 1990 y el 2025?

Ejercicio n 11.

Di si cada una de las siguientes variables estadsticas es cuantitativa o cualitativa:

1. Nmero de calzado.

2. Modelo de coche.


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3. Sabor de helado preferido.

4. Notas de CC. Sociales.

5. Programa de Televisin preferido.

6. Estatura.

7. Fruta preferida.

8. Nmero de calzado.

9. Nota de Lenguaje.

10. Deporte preferido.

11. Nmero de hermanos.

12. Cantante preferido.

13. Modelo de coche preferido.

14. Nota de Matemticas.

15. Peso corporal.

16. Marca de reloj.

Ejercicio n 12.

A continuacin se recogen las puntuaciones obtenidas al lanzar 50 veces un dado

cbico. Haz una tabla de frecuencias con los resultados:

1 3 4 2 1 3 4 5 6 3

4 3 5 4 6 4 3 2 5 4

6 3 2 4 1 2 2 4 5 5

6 3 5 2 5 4 3 3 5 6

6 5 2 5 6 3 2 1 4 2

Ejercicio n 13.

La tabla recoge el nmero de veces que ha salido cada una de las puntuaciones de un

dado en 50 lanzamientos. Realiza una tabla de frecuencias. Representa los resultadosmediante un diagrama de barras y calcula los parmetros estadsticos.


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N. DEPUNTUACIN

VECES

1 13

2 8

3 6

4 10

5 7

6 6

Ejercicio n 14.

La tabla recoge la distribucin, en forma de porcentajes, de las notas obtenidas por

una clase de 2 de ESO en el ltimo examen de Matemticas. Representa los datos en

el grfico de sectores:

CALIFICACIN %

Insuficiente 10Suficiente 40

Bien 20

Notable 20

Sobresaliente 10

Ejercicio n 15.

Observa el grfico y responde:

a) Qu representa el grfico?

b) Qu ocano es el ms extenso?

c) Y el menos extenso?

d) Qu extensin tiene el Ocano Glaciar rtico?


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Ejercicio n 16.

El 35% de la superficie terrestre est cubierta por el Ocano Pacfico, el 17% por el

Ocano Atlntico, el 15% por el Ocano ndico, el 4% por el resto de mares y ocanos

y el 29% est ocupado por tierra (continentes e islas). Observa el grfico y asigna a

cada sector el nombre del dato que le corresponde.

Ejercicio n 17.

respecto a su deporte favorito (BC=Baloncesto, BM=Balonmano, BV=Balonvolea,

F=Ftbol, T = Tenis, A = Ajedrez). Observa el grfico y responde:

a) Qu deporte prefieren ms chicos? Y ms chicas?

b) Qu deporte es el menos elegido por los chicos?

c) Cuntos chicos han seleccionado el ajedrez?

d) Qu deporte es el ms elegido en general?

e) Cual es la poblacin?Cul es el carcter?De qu tipo es?Cul es el tamao

muestral?


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Ejercicio n 18.

A continuacin se recogen los meses en los que cumplen aos los 30 alumnos del

grupo de 1 ESO A. Elabora la correspondiente tabla de frecuencias y realiza todos los

grficos posibles:

Mayo Junio Febrero Diciembre Abril Marzo

Agosto Marzo Septiembre Noviembre Marzo Octubre

Abril Junio Julio Mayo Octubre Febrero

Marzo Mayo Diciembre Junio Octubre Mayo

Noviembre Mayo Marzo Febrero Octubre Junio

Ejercicio n 19.

La tabla recoge el nmero de veces que ha salido cada una de las puntuaciones de un

dado en 50 lanzamientos. Elabora la tabla de frecuencias y calcula los parmetros

estadsticos.

N. DEPUNTUACIN

VECES

1 10

2 6

3 8

4 13

5 6

6 7


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TEST DE AUTOEVALUACIN: ESTADISTICA

NOM BRE Y APELLIDOS ___________________________________________

Ejercicio 1.Las notas de un grupo de alumnos en un examen de Matemticas han sido lassiguientes:9,5,6,8,4,7,8,9,3,3,7,8,8,10,6,7,8,5,7,3

a) Indica cual es la poblacin, el individuo, el carcter, el tipo de carcter.

b) Completa la siguiente tabla con las frecuencias absolutas (ni), las frecuencias

relativas (fi) y los porcentajes (pi)

c) Suma las frecuencias relativas

xi ni fi pi

Ejercicio 2.-Con los datos del ejercicio n 1 realiza un diagrama de barras.

Ejercicio 3.-Construye el polgono de frecuencias del ejercicio anterior.

Ejercicio 4.-

Ahora representa los datos del ejercicio n 1 en un diagrama de sectores.


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TEMA 2: NUMEROS NATURALES

Concepto de nmero natural

Ejercicio 1. Con los nmeros naturales realizamos distintas tareas: contar, ordenar,expresar cdigos, estimar cantidades, aproximar, etc. Veamos algunas de estasutilidades:

- Contar: Con los nmeros naturales podemos contar el nmero de alumnos de unaclase. En esta clase hay 25 alumnos.

- Ordenar: Con los nmeros naturales podemos ordenar los elementos de un conjunto.Los alumnos de una clase estn ordenados por orden alfabtico. As el alumno queocupa el lugar n 1 en la lista es el primero, el que ocupa el lugar n 2 en la lista es elsegundo, el n 3 es el tercero,...

a) Escribe un ejemplo de cada utilidad que hemos visto de los nmeros naturales.

b) Escribe qu lugar ocuparas en una cola cuando:- tienes a 25 personas delante:- tienes a 38 personas delante:

c) Cuntas personas tienes delante en una cola si:- ocupas el lugar vigsimo noveno:- ocupas el lugar trigsimo cuarto:- ocupas el lugar dcimo quinto:

Ejercicio 2. Veamos otras utilidades de los nmeros naturales:

Expresar cdigos: A veces los nmeros naturales se utilizan como cdigos deidentificacin de personas, objetos, etc. En las placas de matrculas de los coches, losnmeros combinados con letras se utilizan para expresar el cdigo de identificacin delos coches. Tambin nuestro D.N.I. es un ejemplo de la utilidad de los nmeros paraexpresar cdigos.

Estimar cantidades: Hay ocasiones en las que resulta muy difcil o imposible contar loselementos de un conjunto. Son stas las ocasiones en las que hacemos unaestimacin. Por ejemplo: queremos saber el nmero de personas que asiste a unconcierto.En un m2 hay 3 personas. El concierto es en una carpa con una superficie de 1.000m2 y est llena totalmente. Podemos estimar que al concierto han asistido unas

3.000 personas.

- Aproximar: Cuando vamos de compras y vemos un jersey que cuesta 39,9 eurosaproximamos la cantidad diciendo que el jersey cuesta 40 euros.

a) Cul de las aproximaciones est ms cerca del valor real?Valor exacto = 2.654.600

Aproximacin 1 = 2.700.000Aproximacin 2 = 2.600.000

Valor exacto = 543.870Aproximacin 1 = 550.000Aproximacin 2 = 540.000

b) Aproxima las siguientes cantidades:


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* 65.987 hasta las unidades de millar.* 2.345.766 hasta las centenas de millar.* 67.834 hasta las centenas.* 79.654.789 hasta las decenas de millar.

Signif icado d e los nmeros y cifras.

En nuestro sistema de numeracin cada cifra tiene un valor diferente segn la posicinque ocupe en el nmero:

Centenamilln

Decenamilln

Unidadmilln

Centenade mil

Decenade mil

Unidadde mil

Centena Decena Unidad

2 7. 6 1 9

Escribe como se leera este nmero:

Si lo descomponemos sera:2Dm, 7Um, 6C, 1D, 9U

Esto podemos expresarlo tambin as(2 x 10.000) + (7 x 1000) + (6 x 100) + (1 x 10) + 9 =20.000 + 7.000 + 600 + 10 + 9 = 27.619

Ahora t:Ejercicio 3. Qu nmeros representan estas descomposiciones? (Haz lasoperaciones)(5 x 1.000) + (3 x 100) + 8 =

(7 x 10.000) + (6 x 1.000) + (4 x 10) =

(6 x 100) + (2 x 10) =

Ejercicio 4. Descompn los siguientes nmeros: (Fjate en los ejercicios 3 y 4)80.308=

1.500=

84.523 =

Ejercicio 5. Escribe con letras las siguientes cantidades:345=8.408=703=5.025=7.009=10.001=16.093=


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Operaciones combinadas

Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con nmeros naturales, se debeseguir un orden:

a)Efectuar las operaciones entre parntesisb) Hacer las multiplicaciones y divisiones.c) Realizar las sumas y las restasd) si las operaciones tienen la misma jerarqua, se empieza por la izquierda.

Ejemplo:a) 3 + 4 8 = 3 + 32 = 35b) 7 (3 + 5) = 7 8 = 56c) 16 : 2 3 = 8 3 = 24

Ejercicio 6. Calcula:a) 5 + 2 7 = b) 3 + 4 : 2 =

c) 6 ( 4 + 5 ) = d) (6 + 4) 5 =e) (18 6) : 3 = f) 3 + 2 (63): 3 =

Ejercicio 7. Una persona tiene 8 billetes de 20 euros, 2 monedas de 50 cntimos deeuro y 8 monedas de 5 cntimos de euro. Cunto dinero tiene en total?

Ejercicio 8. Para la fiesta de cumpleaos de Carlos su madre compr: 10 latas derefresco de cola a 33 cent de euro la lata, 5 paquetes de patatas a 135 euros cadauno, 7 bocadillos de tortillas a 75 cent de euros Cunto dinero gast la madre deCarlos?

Mult ipl icaciones por la unidad seguida de ceros

Lee despacio "Para multiplicar por la unidad seguida de ceros se aaden alnmero tantos ceros como los que acompaan a la unidad".Ahora multiplica:

Ejemplo:5 100= 500 9 1000 = 9000

Ejercicio 9. Hazlo t:

31 10 = 120 100 =43 100 = 10 100 =60 1000 = 19 1000 =

Lee despacio: "Para multiplicar un nmero por otro terminado en uno, dos, tres omas ceros, primero se eliminan los ceros y se multiplican ambos nmeros;despus se aaden los ceros"

Un ejemplo: 6 200 = 6 2 100 = 12 100 = 1200

Ejercicio 10. Ahora multiplica:8 400 = 12 400 = 24 300 =

5 600 = 13 20 = 9 500 =20 230 = 30 120 = 40 40 =


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Ejercicio 11. En una ciudad hay censados 800.000 vehculos. Cada uno consume unamedia de 30 litros de gasolina al mes. cunta gasolina se consume en esa ciudaddurante un mes?

Ejercicio 12. Dos hermanas se reparten 30 monedas de 50 cntimos de euro.Cunto dinero le corresponde a cada una?

Ejercicio 13. Carmen tiene cuatro lbumes de fotos. Cada lbum tiene 45 pginas yen cada pgina hay cuatro fotos. Cuntas fotos tiene Carmen?

Ejercicio 14. Un camin transporta 720 cajas de refrescos con 120 latas cada cajaCuntas latas transporta el camin?

Ejercicio 15. Si Mara gana al mes 500 euros y gasta la mitad de su sueldo en comer,vestir, electricidad, telfono, etc. Cunto dinero ahorrara al cabo de 10 aos?

Ejercicio 16. Con mil nueces cuntos paquetes de 10 nueces se pueden hacer? Y

de 20? Y de 50?Ejercicio 17. En una fbrica haba 34.500 litros de zumo repartidos en 3 depsitosiguales. En la fbrica quieren tener almacenados 68.790 litros:

a) Cuntos litros de zumo les faltan?b) Cuntos litros de zumo haba en cada depsito?

Ejercicio 18. El producto de dos nmeros es 910. Si uno de los factores es 26. Cules el otro?

Ejercicio 19. En la fiesta de cumpleaos de Carlitos su madre compr 100 caramelos,50 chicles, 15 emparedados y 17 refrescos. A la fiesta van 7 amigos / as . Reparte

todo de forma que todos puedan tomar las mismas cantidades.El reparto es justo? Sobra algo?

Ejercicio 20. Cuntos aos tendrs t en el ao 2015?

Ejercicio 21. Para averiguar a que siglo pertenece un ao se eliminan las dos ltimascifras y se le suma 1 al nmero que queda. Por ejemplo 1715 , eliminamos el 15 y lesumamos 1 a 17 por lo tanto 1715 pertenece al siglo XVIII.A qu siglos pertenecen estos aos?

925 , 1150 , 1399, 2000, 1030, 2030.

Ejercicio 22. Cervantes escribi El Quijote en 1615. Cuntos aos hace? A qusiglo pertenece ese ao?

Ejercicio 23. Cristbal Coln descubri Amrica el 12 de octubre de 1492. Cuntotiempo hace? A que siglo pertenece?

Ejercicio 24. Begoa ha entrado en la biblioteca a las nueve y cuarto y sale ahora.Cunto tiempo ha estado en la biblioteca?

Ejercicio 25. Observa un da tiene 24 horas , 1 hora tiene 60 minutos y un minutotiene sesenta segundos. Calcula los minutos que hay en:dos horas, siete horas, media hora, en dos horas y media, en un cuarto de hora.


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Ejercicio 26. Calcular los segundos que hay en:quince minutos, diez minutos, treinta minutos, una hora, dos horas, dos horas ymedia.

Ejercicio 27. Con cien caramelos cuntos paquetes de 20 caramelos se puedenhacer? Y de 50? Y con mil caramelos?

Ejercicio 28. Calcula los segundos que dura este periodo de clase?

Ejercicio 29. En el IES Ciudad de Hrcules estn matriculados 732 alumnos, si para lacampaa de ayuda a los pueblos en desarrollo cada alumno contribuye con 60cntimos de euro a la semana durante el curso escolar Qu cantidad de dinero sepodra obtener?

Ejercicio 30. Completa la tabla siguiente sabiendo que un bolgrafo cuesta el doble deun lpiz, un cuaderno 60 cntimos ms que un bolgrafo y una regla la mitad que uncuaderno:

Lpiz Bolgrafo Regla CuadernoPrecio 1,20 euros

Ejercicio 31. Completa la tabla sabiendo que Jos tiene el doble de la edad deSamuel, Vane tiene diez aos mas que Jos, y Eli la mitad de Jos.

Jos Vane Eli Samuel

edad 20

Qu edad tendrn todos dentro de una dcada? Qu edad tenan hace un lustro? En qu ao nacieron cada uno de ellos?

Ejercicio 32. Resuelve los siguientes ejercicios: Si tengo 3984 euros. Cuntos cuadernos de 2 euros me puedo comprar? Una caja de 12 paquetes de caf de 250 gramos cuestan 9 euros Cul es el

precio de un cuarto de kilogramo de caf? El precio de una bicicleta de montaa es 155 euros y el de una moto el

quntuple, Cunto vale la moto? Cul es la tercera parte del doble de 90?

Ejercicio 33. Completa la tabla siguiente sabiendo que un kilogramo de tomatescuesta la tercera parte que un kilogramo de uvas, un kilogramo de mangos vale eltriple que el de uvas y el kilogramo de manzanas 1,2 euros ms que el kilogramos detomates.

Manzanas Mangos Tomates UvasPrecio 3 euros


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Ejercicio 34. El Crucigrama Numrico.

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Horizontales:

1. Nmero formado por cinco cifras consecutivas donde la ms pequea correspondea la decena de millar.

2. El resultado de sumar el siete tres veces. Dos docenas.

3. Minutos que tiene una hora. Nmero par siguiente a media centena.

4. Cudruple de 200.

5. Una decena. Que ocupa el noveno lugar.

Verticales:

1. Triple del nmero formado por cuatro decenas y dos unidades. El primero.

2. Nmero par anterior al formado por dos decenas de mil, una unidad de mil, ochodecenas y dos unidades.

3. Nmero que corresponde con el de la casilla. Nada.

4. La mitad de ocho unidades de mil y cinco centenas.

5. Cuarenta y dos unidades ms que la mitad de mil. El triple de tres.


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TEST DE AUTOEVALUACIN: NUMEROS NATURALES


Ejercicio 1. Escribe qu lugar ocupas en una cola cuando eres el anterior alvigsimonoveno? Y cundo eres el posterior?

Ejercicio 2. Completa las series:......,...........,..........., 1980, 1990,........,.........,..............,...........,..........., 1003, 1006,1009,.........,..............,...........,..........., 721, 726, 731,.........,........

Ejercicio 3. Queremos saber cuntos alumnos/as hay en el aula de E.F. Hemosentrado y hemos observado que hay 2 alumnos/as por cada 4 losas. Si en el aula hay324 losas, cuntos alumnos haba aproximadamente?

Ejercicio 4. En una manifestacin hay 4 personas por m2 . La manifestacin ocupa

toda una calle que mide 10 m de ancho y 125 m de largo. Cuntas personas hanacudido a la manifestacin?

Ejercicio 5. Para comprar un coche se paga una entrada de 1600 euros y 36mensualidades de 400 euros, cul es el coste total?

Ejercicio 6. Calcula:a) 5+43= b) (5+4)3= c) 73+4=d) 7(3+4)= e) 29-5= f) 2(9-5)=

Ejercicio 7. Escribe en cada caso el nmero mayor y el menor con las cifras dadas:

Cifras Nmero mayor Nmero menor1 , 5 , 01 , 3 , 7 , 05 , 7 , 0 , 9

9 , 0 , 4 , 1 , 62 , 3 , 0 , 6 , 7

Ejercicio 8. Cuntas bolsas de patatas de cinco kilogramos se pueden llenar con unacarga de 247 kilogramos? Cuntos kilogramos sobran?


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UNIDAD 3: DIVISIBILIDAD

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero es d ivisible por 2(es decir, se puede dividir entre 2 y da exacto) cuandotermina en cero o cifra par.

Ejemplo: 346 es divisible por 2 por que termina en cifra par .530 tambin es divisible entre 2 porque termina en 0 (comprubalodividiendo entre 2).

Un nmero es divisible por 3 cuando s umando el valor absoluto de sus cifras da3 o mltiplo de 3.Ejemplo: 216 es divisible entre 3, porque si sumamos sus cifras: 2 + 1 +6 da 9 y 9 es

mltiplo de 3. (Comprubalo dividiendo 216 entre 3)

Un nmero es d ivisible por 5 cuando t ermina en 0 en 5.Ejemplo: 8950 es divisible entre cinco porque termina en 0

735 es divisible entre 5 porque termina en 5(Comprueba los dos ejemplos haciendo la divisin entre 5)

Ejercicio 1. Di entre qu nmeros son divisibles estos: (Colcalos en la tabla)321, 146, 4620, 315, 230, 1000, 1110, 523, 3330

Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5

Ejercicio 2. Sin hacer la operacin, di si se pueden repartir 570 cntimos entre dosnios sin que sobre ninguno. Por qu?

Ejercicio 3. Esos mismos 570 cntimos se podran repartir entre 3 nios, sobraraalguno? Por qu? Y entre 5 nios sobrara algn cntimo? Por qu?

Ejercicio 4. Cabra el 5 un nmero exacto de veces dentro del 65? (responde sinhacer operacin ninguna y explica por qu)

Ejercicio 5. Y el 2 cabra un nmero exacto de veces dentro del 48?Le pasara lomismo al 3 dentro del 300? Cabria el 3 dentro del 63?

Ejercicio 6. Contesta SI o NO, haciendo a la derecha las operaciones que necesites.

a)Es 330 mltiplo de 55? _____ Ejemplo: 330 5500 6

b) es 20 mltiplo de 5? _____

c) Es 11 mltiplo de 3? _____

d) es 6 divisor de 24? _____

e) Es 35 mltiplo de 5? _____


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Ejercicio 7. Calcula cinco mltiplos de :

(3) =(4) =(12) =(8) =(10) =(20) =

MNIMO COMN MLTIPLO

Mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros, significa que hay que encontrar el mspequeo de los mltiplos que sean iguales para esos nmeros.

Ejemplo: Queremos encontrar el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de (3 y de 4), puesbien, buscamos mltiplos de 3 y mltiplos de 4 as:

(3) = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ...)

(4) = (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)

Si te fijas bien hemos encontrado dos mltiplos que sirven para el 3 y para el 4 queson el 12 y el 24, podamos haber encontrados muchos ms, pero como slo nosinteresa el mnimo (ms pequeo) comn (que sirva para los dos) mltiplo puestendremos que coger el 12 .

Por tanto el m.c.m. de (3 y 4) es 12

Te ha quedado claro? Si tienes dudas lee otra vez muy detenidamente hasta que lo

comprendas.

Ahora hazlo t.

Ejercicio 8. Calcula el m.c.m. de :

(5 y 6)=

(3 y 10)=

(6 y 12)=

(4, 5 y 6)=

Ejercicio 9. Calcula todos los divisores de:

D(20) =D(8) =D(18) =D(24) =D(36) =D(27) =D(11) =


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MXIMO COMN DIVISOR

Mximo comn divisor de dos o ms nmeros, significa que hay que encontrar eldivisor ms grande de todos los que sean comunes a esos nmeros.

Ejemplo: Queremos encontrar el mximo comn divisor (m.c.d.) de (12 y 16), pusbien, buscamos todos los divisores de 12 y de 16.

D(12) = (1, 2, 3, 4, 6, y 12)

D(16) = (1, 2, 4, 8 y 16)

Si te fijas bien hemos encontrado tres divisores el 1 el 2 y el 4 que sirven para los dosnmeros, es decir son comunes, pues bien, de esos divisores comunes cul es elmas grande? ... el 4 no? Pus ese es el mximo comn divisor.

Por tanto, el m.c.d. de (12 y (16) es 4.

Lo has entendido? no?, pues vuelve a leerlo otra vez hasta que lo comprendas.

Ahora hazlo t.

Ejercicio 10. Busca el m.c.d de :

(4 y 6) =

(8 y 12) =

Ejercicio 11. Halla el m.c.m. de:

(6, 8, y 4)

(10, 20 y 30)

MINIMO COMN MLTIPLO Y MXIMO COMN DIVISOR (PORDESCOMPOSICIN FACTORIAL)

Veamos como podemos calcular el m.c.d y el m.c.m. de los nmeros 2940 y 3150

Su descomposicin en factores primos ser:


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2940 = 2 2 3 5 7 7

3150 = 2 3 3 5 5 7

Coloquemos ordenadamente los factores primos en una tabla como la siguiente:

2940 2 2 3 5 7 73150 2 3 3 5 5 7mcd 2 3 5 7

El mcd ser 2 3 5 7 = 210.

Por otro lado, el mcm.

2940 2 2 3 5 7 73150 2 3 3 5 5 7

mcm 2 2 3 3 5 5 7 7

El mcm ser 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44.100

Ejercicio 12. Calcula el m.c.m. de:a) 15 y 18

b) 20 y 30

c) 45 y 50

Ejercicio 13. Calcula el M.C.D. de:a) 9 y 12

b) 10 y 30

c) 18 y 25

Ejercicio 14. Marta tiene 25 canicas y Lus 15. Cada uno quiere agruparlas en bolsas,de manera que haya el mismo nmero de canicas en cada bolsa. cuntas canicaspondr como mximo en cada una?

Ejercicio 15. Juan va al gimnasio cada 3 das, Luisa cada 6 y Maria cada 9. Hoy hancoincidido. Dentro de cuantos das volvern a coincidir?

Ejercicio 16. Un barco sale de un puerto cada 8 das y otro cada 5 das. Si han salidojuntos hoy, al cabo de cuntos das volvern a salir juntos otra vez?

Ejercicio 17. Tengo 14 litros de vino y los quiero echar en recipientes sin que sobrenada, de cuntos litros pueden ser los recipientes? Podr haber ms de unrecipiente?


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TEST DE AUTOEVALUACIN: DIVISIBILIDAD


Ejercicio 1. Coloca en la tabla los nmeros segn sean divisibles por 2, 3 y 5 en su

columna correspondiente.8, 840, 350, 33, 243, 200,201.

Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5

Ejercicio 2. Sin hacer las operaciones di si se pueden repartir 140 caramelos sin quesobren ninguno entre 2 nios. Y entre 3? Y entre 5?Y entre 10?

Ejercicio 3. Calcula lo que se indica en cada apartado:a) 4 mltiplos de 3:b) 6 mltiplos de 7:c) divisores de 24:d) divisores de 36:

Ejercicio 4. Calcula:a) m.c.m. (2, 9) =b) m.c.m. (5, 8, 10) =c) m.c.d. (12, 18) =d) m.c.d. (4 , 16, 8) =

Ejercicio 5.Un autobs A sale de la parada cada 25 minutos, un autobs B salecada 15 minutos.Si han salido juntos a las 9 de la maana.

a) A los cuantos minutos vuelven a coincidir?b) Qu hora ser?

Ejercicio 6. Se tienen 20 litros de aceite de oliva virgen y 50 litros de aceite de olivaextra. Se quieren envasar en botellas lo ms grande posible.

a) Cul es la capacidad de cada botella?b) Cuntas botellas se emplear de cada tipo de aceite?


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UNIDAD 4: NMEROS ENTEROS

Hay ciertas situaciones que no se pueden expresar matemticamente slo conlos nmeros naturales. Por ejemplo una temperatura por debajo de 0, las plantas delos stanos de los edificios, el deber dinero etc.

A partir de ahora vamos a utilizar otros nmeros que nos resuelven estosproblemas, son los nmeros negativos.

As para expresar, por ejemplo, los stanos de un edificio pondremos (-1), (-2)etc., o si debo dinero lo expreso poniendo un signo menos (-) delante de lo que debo,por ejemplo que debo 30 euros, pues pongo (-30). Si de lo que se trata es de expresarla temperatura por debajo de 0, pues pondr (-2), (-5) etc.

LO HAS ENTENDIDO? NO?, PUES VUELVE A LEERLO DE NUEVO

Ejercicio 1. Asocia un nmero, positivo o negativo segn corresponda a cada uno delos enunciados:a) La peluquera est en el 4 piso +4b) Mi coche est en el stano n 2 -2c) Debo en el banco 123 Euros __________d) Un termmetro marca 4 bajo cero______

e) Hoy han cado 8 litros de agua por m2

______f) Tengo 4 euros en la cartera y 2 euros en el bolsillo_________________g) He perdido 2 euros __________h) El ascensor sube 6 plantas _________i) El ascensor baja 4 plantas __________j) La temperatura ha bajado de 21 a 18 __________k) Tengo 30 eurosl) Debo 45 eurosm) Pierdo 220 eurosn) El termmetro indica 40 sobre 0o) El termmetro indica 5 bajo cerop) El saldo de la libreta de ahorros es de 34 euros deudor

q) Latitud del ecuadorr) La temperatura ha bajado de 20C a 17 C.s) Miguel se encuentra en el tercer stano.t) He ganado 150 euros y me he gastado 180 euros.u) El ascensor sube 5 plantas.v) Debo 10 euros a un amigo.w) El termmetro marca 2C bajo cero.

Llamamos nmeros negativos a los que estn por debajo de cero, y se escribencolocndoles delante el signo menos (-)

Ejemplo: -3, -14, (-9), (-6) ...

Llamamos nmeros positivos a los que estn por encima del cero, y se puedenescribir con el signo ms (+) delante o sin ningn signo.

Ejemplo: +3, 3, +14, 14 (+9), (9), (+6)...

El conjunto de los nmeros enterosse representa por la letra Z, y est formado por:

Los nmeros naturales, que son los positivos +1, +2, +3, +4, ...

El cero 0 Los nmeros negativos -1, -2, -3, -4, ...


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Los nmeros naturales (N) estn dentro de los nmeros enteros (Z)

Los nmeros enteros los podemos representar en una recta numrica, colocando en elcentro el 0 , a la derecha los enteros positivos y a la izquierda los enterosnegativos, as:

...6 -5 -4 .-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

Valor absoluto de un nmero entero.Es el valor que representa el nmero sin tener en cuenta el signo.Para expresar el valor absoluto de un numero entero lo escribimos entre barra. As: 6= 6 esto significa valor absoluto de menos seis que es igual a seis 6= 6 como ves, el valor absoluto de ms seis tambin es igual a seis

Opuesto de un entero.El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto pero de signocontrario. As:

El opuesto de +5 es -5.El opuesto de3 es +3.

Ejercicio 2. Escribe los opuestos:opuesto de (-7) = opuesto de (+10) = opuesto de (-4) =opuesto de 0 = opuesto de (+12)= opuesto de (-8) =opuesto de (+6) opuesto de (-3) = opuesto de (+15) =

Ejercicio 3. Representa en una recta numrica los siguientes nmeros enteros:a)-3, 0, +4, -6, +6, -7, +1, -1, +3b) Ordena todos esos nmeros anteriores de menor a mayor (recuerda que tienes quecolocar el signo)

Ejercicio 4. Calcula el valor absoluto de:

=+==)(+=)(

==)(=+=

451299

0588

Ejercicio 5. Cuntos nmeros enteros hay entre +2 y2? ________Y entre +5 y5? __________Y entre -4 y +9? ___________

Z -1, -2, -3, -4, ....

N = 0, +1, +2, +3, +4 ...


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Ejercicio 6. Escribe cinco elementos ms en las siguientes series numricas:a) 0, 11, 2, -2, .........b) 6, 4, 2, 0, -2, ........c) 8, 4, 0, .........d) 4, 3, 1, -2, -6, ........

Ejercicio 7. Expresa ayudndote de una recta numrica la siguientes situaciones:a) Tengo en mi cuenta 12 euros, pero me llega una factura de 15 euros. En qusituacin estoy?

b) El ascensor est en el tercer stano y ha subido cinco plantas. Dnde seencuentra?

c) Ayer, la temperatura a las nueve de la maana era de -4 C. A medioda habasubido 6 C ms, a las cinco de la tarde marcaba 5 C ms, a las nueve de lanoche haba bajado 7 C y a las doce de la noche an haba bajado otros 4 C.Qu temperatura marcaba el termmetro a las doce de la noche?

Suma y resta de nmeros enterosPara sumar dos nmeros enteros debemos tener en cuenta: si los nmeros tienen el mismo signo se suman y se deja el mismo signo.

Ejemplo: +4 + 3 = +7 -4 3 = -7 si los nmeros tienen distinto signo se restan y se deja el signo del nmero de

mayor valor absoluto.Ejemplo: -4 + 3 = -1 +4 3 = +1

Ejercicio 8. Calcula:a)8+5 = e)7+9 = i) 1-8 =

b) +12-7 = f)7-4 = j) -5-9 =c)3+10 = g) +12-6 = k) +7-6 =d) +4-11 = h)6+9 = l) -4-3=

Ejercicio 9. Completa las siguientes tablas:

+ -5 -13 +17 +25 -30+3 -2 -10-12+18+15-10

Ejercicio 10. Carlomagno naci en el ao 742 d. C., Pitgoras en el ao 580 a. C.,Sneca en el ao 3 a. C. y Tiberio en el ao 42 a. C. Ordnalos por antigedad, delms antiguo al ms moderno.

Ejercicio 11. Euclides naci en el ao 300 a. C. y Pitgoras en el ao 580 a. C. Culde ellos naci antes? Cuntos aos antes?

Ejercicio 12. La pirmide de Keops se termina de construir aproximadamente hacia elao 2.600 a.C. Cuntos aos han transcurridos desde su terminacin?


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Ejercicio 13. Ayer a las 8 h de la tarde el termmetro marcaba 2 C. A las 12 h de lanoche la temperatura descendi 5C. Qu temperatura marc el termmetro a las12 h de la noche?

Ejercicio 14. Un avin vuela a 3500 m de altura y un submarino est sumergido en elmar 40m.Qu altura en metros les separa?

Ejercicio 15. La era de los romanos empieza en el ao 754 a. C y la de losmusulmanes en el ao 622 d. C. Cuntos aos transcurrieron desde el comienzo dela era romana hasta el comienzo de la era musulmana?

Ejercicio 16. Pitgoras naci en el ao 580 a. C y muri en el ao 501 a. C. Cuntosaos vivi Pitgoras?

Ejercicio 17. Entre las 7 h de la maana y el medioda la temperatura subi 12C. Si alas 7 h la temperatura era de 5C, qu temperatura indicaba el termmetro almedioda?

Ejercicio 18. De un depsito que contena 520 litros de agua se sacaron primero 170litros y despus 145 litros, y ms tarde se echaron 210 litros. Cuntos litros contieneahora el depsito?

Ejercicio 19. El da 25 de mayo don Andrs tiene en una cartilla de ahorros 3.450euros. El banco paga el da 2 de junio dos recibos de 613 euros y de 214 euros cadauno, y el da 3 de junio le ingresa su nmina de 889 euros. El da 10 de junio quierecomprarse un coche de segunda mano que le cuesta 3313 euros. Tiene dinerosuficiente? Cunto le sobra o le falta?

Ejercicio 20. En una imprenta funcionan dos mquinas impresoras. La primera

imprime en una hora 18.000 pliegos; la segunda imprime en una hora 14.500 pliegos.Cuntos pliegos imprimirn las dos mquinas si estn funcionando durante seishoras y media?

Ejercicio 21. Durante un da, en un quiosco de prensa se vendieron 1807 peridicos y209 revistas. El beneficio de cada peridico es de 18 cntimos y el de cada revista 40cntimos. Cul fue el beneficio obtenido por la venta de los peridicos y de lasrevistas?

Recuerda: Para sumar y restar nmeros enteros, ten en cuenta:1. Para quitar parntesis, observa que:Si delante del parntesis hay un signo +, lo que hay dentro del parntesis Nocambia de signo. Ejemplo: 3 + (5 7) = 3 + 5 7Si delante del parntesis hay un signo - , lo que hay dentro del parntesis SIcambia de signo. Ejemplo: 3 (5 7) = 3 5 + 7

2. Una vez quitados los parntesis, suma los positivos con los positivos y losnegativos con los negativos.Ejemplo: 3 7 + 6 5 = 3 + 6 7 5 = 9 12

3. Restamos el resultado y ponemos el signo del mayor.Ejemplo: 9 12 = -3.


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Ejercicio 22. Quita parntesis y calcula:a) (+12) + (+15) = b) (+8) (+6) =c) (-14) + (+4) = d) ( -18) (+10) =e) (-14) + (-2) = f) (-50) (-10) =g) (+30) + (-45) = h) (+8) (-12) =

Ejercicio 23. Quita parntesis y calcula:a) (-8) (-4) + (-6) (+2) (-9) = b) (-2) (-8) + (-4) (-6) + (-7) =c) (+7) (+5) + (-11) + (+4) = d) (+12) (-14) (+16) (-20) =e) (+15) + (-13) (+12) (-10) = f) - ( -4) + (-8) (+7)+ (+16) =

Recuerda que para multiplicar y/o dividir nmeros enteros, se multiplicany/o dividen como los naturales y se aplica la regla de los signos:

+ + = ++ - = -- + = -- - = +

Ejemplo: (-2 ) (+6 ) = -12.4 (-3) = -125 4 = 20

Ejercicio 24. Calcula:a) (-7) (-3) = b) (+2) (-5) = c) (+4) (+3) =d) (-1) (-8) = e) (-2) (-7) (-1) = f) (+3) (-2) (-4) =g) (+28) : (+4) = h) (-21) : (-3) = i) (-3) : (-3) =j) (+35) : (-7) = k) 30 : (-6) = l) (-48) : 6 =

Ejercicio 25. Calcula los siguientes productos:a) (+4) (+5) = b) (+4) (-5) = c) (-4) (+5) = d) (-4) (-5) =

e) (+12) (+3) = f) (+12) (-3) = g) (-12) (+3) = h) (-12) (-3) =

Ejercicio 26. Calcula los siguientes cocientes:a) (+24) : (+3) = b) (+24) : (-3) = c) (-24) : (+3) = d) (-24) : (-3) =e) (+120) : (+10) = f) (+120) : (-10) = g) (-120) : (+10) = h) (-120) : (-10) =

Ejercicio 27. Rellena los huecos:a) (-1) - ( ) = -5 b) (+12) + ( ) = 0 c) (+15) - ( ) = 7 d) ( ) - (-3) = 11e) (+7) ( ) = -49 f) (-6) ( ) = -72 g) (-35) : ( ) = 5 h) ( ) : (-8) = 4

Operaciones combinadas:

A la hora de resolveroperaciones combinadas, ten en cuenta el orden en que debenrealizarse las operaciones:1 Resolver los parntesis o corchetes.2 Hacer las multiplicaciones y las divisiones.3 Hacer las sumas y las restas.

Ejemplo:(- -3) + 5 (- 8: (-2) =Corchete: -3 + 5 + 4 = 6(-2) 6 + 3 6 8: (-2) =-12 + 18 + 4 = 22 12 = 10


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Ejercicio 28Realiza la siguiente tabla teniendo en cuenta la prioridad en las operaciones:

A B C a b + c a b c a (b + c)-5 +2 -3 -13

+10 -3 +6+4 +2 -5

Ejercicio 29. Resuelve:4 ( 2 7 ) + (15 + 5 ) : 4 + 15 =7 ( 9-6 ) (-6) (-8) =

Ejercicio 30. Realiza estas operaciones:a) (+3) (-4) + (-6) ( -2) = b) (-2) [(-3) + (-5)]=


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TEST DE AUTOEVALUACIN: NUMEROS ENTEROS


Ejercicio 1. Representa y ordena los siguientes nmeros enteros:a) 1, 0, 2, -5, 4b) 7, 2, 7, 4, -3

Ejercicio 2. Escribe los opuestos de los siguientes nmeros:3-4+5+7

Ejercicio 3. Qu entiendes por valor absoluto? Escribe tres ejemplos.

Ejercicio 4. Completa la siguiente tabla:

a b a+b op(a) op(b) op(a)+op(b)-2 -3+2 -1-5 +2+5 +2+1 -3+4 +2

Ejercicio 5. Realiza las siguientes operaciones:a) -4 ( -57) =

b) 4 ( -3 +8) =

c) 4 ( -2 + 5) + 7 ( 10 3) =

d) ( -36) : 6 = 18 : (-3) = (-40) : (-8) =

Ejercicio 6. Un da de invierno a las 12 de la maana la temperatura en el patio delInstituto era de 4C, y en el interior de la clase, de 17C. Cul era la diferencia detemperatura entre el interior y el exterior?

Ejercicio 7. Un seor naci en el ao 30 a. d. C. Si vivi 79 aos en qu ao muri?

Ejercicio 8. Un avin se encuentra a 3.000 m de altura , baja 750 m y vuelve a subir825 m A que altura se encuentra?


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UNIDAD 5: LAS FRACCIONES

Ejercicio 1. Vamos a considerar primero a las fracciones como partes de una unidad.Por ejemplo, tenemos esta tableta de chocolate.

Sabras escribir cada una de las partes en que se ha dividido, enforma de fraccin?

Raya la fraccin que corresponde a 2/4

Si cogemos tres de esas partes Qu fraccin hemos cogido?

Para coger la tableta entera Qu fraccin pondramos?

Ejercicio 2. Pinta un rectngulo y divdelo en 6 partes iguales. Qu fraccinrepresenta cada una de las partes?

Raya ahora 2 de esas partes y escribe en forma de fraccin la parte rayada

Qu fraccin te queda por rayar?

Como habrs comprobado las partes que cogemos y que escribimos encima de larayitase llama numeradory la parte en que dividimos la unidad y que se colocadebajo de la raya se llama denominador

As, en el rectngulo que has dibujado la parte rayada ser 2 que es el numerador ylas partes en que se ha dividido son 6 que es el denominador.

2 numerador6 denominador

Ejercicio 3. De esta tableta de turrn nos comemos la parte rayada.

Qu fraccin nos hemos comido?Qu fraccin nos queda?Cul es el numerador?y el denominador?

Ejercicio 4. Escribe el nombre de esta fraccin:5

12

Vamos a considerar ahora a las fracciones como el cociente de dos nmeros.Imagina que tienes esta tableta de chocolate y te comes la parte coloreada.

Qu parte te has comido?


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Efectivamente

1

2 , pues fjate bien, si dividimos el numerado que es 1 entre eldenominador que es 2 nos sale 05 Haz t la divisin y comprubalo

Luego podrs comprobar que una fraccin tambin sirve para expresar un nmero

decimal

Ejercicio 5. Calcula t que nmero representan estas fracciones. Para eso divide elnumerador entre el denominador y saca decimales si no da exacto (ten en cuenta quepueden salir decimales o enteros)6

3=

4

8=

2

5=

2

3=

2

4=

10

5=

4

10=

4

9=

Te ha salido algn nmero igual? _____ Pues eso significa que sonfracciones equivalentes, es decir que representan la misma cantidad aunque escritascon nmeros distintos.Vamos a verlo grficamente. Fjate bien

1

2 y2

4 Representan la misma cantidad pero escrita con

dos fracciones distintas.

Fracciones equivalentes

1

2=

2

4Si al multiplicar 1 4 es igual que 2 2 Es lo mismo?, pues entonces son

equivalentes.

Demostracin de que dos fracciones son equivalentes:

Ejemplo.2

5y

4

10 SI, SON EQUIVALENTES PORQUE AL MULTIPLICAR EN CRUZ

DA EL MISMO RESULTADO. 2 10 = 5 420 = 20

Ejercicio 6. Indica cules de los siguientes pares de fracciones son equivalentes ydemustralo.

a)1

8y

3

16 b)4

3y

12

9

c)3

8y

15

40 d)4

7y

8

13


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Cmo podemos obtener fracciones equivalentes?

Para obtener fracciones equivalentes a una dada, simplemente multiplicamos odividimos el numerador y el denominador por un mismo nmero. Fjate bien:

Vamos a encontrar una fraccin equivalente a cada una de estas:2

5 Para eso vamos a multiplicar el numerador (2) y el denominador (5) por un mismonmero por ejemplo por 2 y la fraccin que obtenemos es equivalente. As:

2 2

5 2=

4

10

Tambin podamos haber dividido el numerador y el denominador por un mismonmero, y eso se llamara simplificar fracciones. As:15

25 si dividimos numerador y denominador por un mismo nmero, por ejemplo por 5

nos dar15:5

25:5=

3

5 la fraccin3

5 es equivalente a15

25 pero simplificada.

Ahora hazlo t:Ejercicio 7. Encuentra dos fracciones equivalentes a cada una de estas y demustralocomo te he explicado ms arriba.

3

4=

5

7=

3

2=

2

7=

Ejercicio 8. Simplifica estas fracciones:

18

27=

35

63=

80

40=

Reduccin de fracciones a comn denominador

Reducir fracciones a comn denominador significa que hay que encontrar fraccionesequivalentes a las dadas pero que tengan todas el mismo denominador (recuerda,denominador es el nmero de abajo)Ejemplo:

3

4 , encontramos una fraccin equivalente a sta3 34 3

=9

12

5

6 , encontramos otra equivalente a sta526 2

=10

12

2

3 , encontramos otra equivalente a sta2 43 4

=8

12

Es decir:3

4 ,5

6 ,2

3=

9

12 ,10

12 ,8

12


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Como vers todas las fracciones que nos han salido tienen de denominador el 12, esdecir tienen un denominador comn, que significa que es igual para todas lasfracciones. Lo has entendido?

Pues bien, para reducir fracciones a comn denominador se emplea el mtodo delmnimo comn mltiplo

Vamos a ver la reduccin de fracciones a comn denominador por el mtodo delmnimo comn mltiplo

Para reducir fracciones a comn denominador por el mtodo del mnimo comnmltiplo, se calcula primero el m.c.m. de los denominadores.Ese m.c.m. se divide entre cada denominador y se multiplica por el numerador.Ejemplo:

Reduce a comn denominador:2

6,

3

2,2

4=

Para ello, calcula el m.c.m. de los denominadores es decir de (6, 2 y 4) que da 12, y lodivides entre el denominador y lo multiplicas por el numerador (fjate como queda)

2

6,3

2,2

4=

4

12,18

12,

6

12

Ejercicio 9. Reduce a comn denominador:2

3,3

9=

5

6 ,2

3=

1

2,3

4,4

6=

Suma y resta de fracciones

Para sumar y/o restar fracciones: Se reduce primero a comn denominador. Se suman y/o restan los numeradores de las fracciones resultantes.

Ejemplo:35

12

= 610

510

= 1110

3

5-

1

2 =

6

10-

5

10 =

1

10

Ejercicio 10. Calcula:

a)1

3 +3

6 = b)2

8 -5

4 = c)3

27 +5

9 d)2

3 +2

5 =

e)3

10 -5

4= f) 3 -

1

3 = g)1

3- 3 = h)

1

3+ 3 =

i) -5 +2

3 = j)4

27

5

3

2

9= k)

3

14

5

7=


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Producto de fraccionesPara multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y se pone como numeradory de denominador se pone el producto de los denominadores.

ab

cd=

a c

b d

Ejemplo:3

5 4

6=

12

30


a)1

2

1

5 = c) 5

2

3 =

b) 2

3

6

5 = d)

3

4 -4 =

Divisin de fraccionesab

:cd=

a d

b c Se multiplican los trminos cruzados

Ejemplo:2

7:3

5=

10

21


a)1

2:

1

5 = c) 5 :

2

3 =

b) 2

3 :6

5 = d)3

4 : -4 = Ejercicio 13. Opera:

a)

3

2

2

12 = b) =+

3

2

5

3:2 c) =

10

3

5

2

2

1

d) =+5

2:

10

7

5

3

e) 2 +

2

5 1

3 + 6 =

Ejercicio 14. Traduce a expresiones numricas escritas simblicamente, lassiguientes frases y calcula:

a) La tercera parte del doble de 15.b) La mitad del cuadrado de 6.c) Los dos tercios del doble de 30.d) La octava parte de 640.e) La quinta parte de la suma de los cuadrados de los nmeros 4 y 8.f) La tercera parte de tu altura en cm.g) El cuarto y la mitad del cuarto de un kilogramo.h) El doble del cuadrado de la suma 4 y 3.i) La sexta parte de la diferencia de los cuadrados de 10 y 4.j) La sexta parte del cuadrado de la diferencia de 10 y 4.k) La mitad de la tercera parte los alumnos de una clase de treinta.

l) La octava parte del 30% de 800 de los varones mayores de 21 aos.

Se multiplican los numeradores

Se multiplican los denominadores


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Ejercicio 15. Calcula:a) El producto de dos tercios por un quinto.b) El producto de un doceavo por cuatro dcimos.c) El cociente de dividir un medio entre dos.d) El cuadrado de la suma de dos tercio y un quinto.e) La diferencia del resultado de c) y a).f) El producto de tres octavos por cinco cuartos.

Ejercicio 16. Fracciones de tiempo;a) Expresa en forma de fraccin de da simplificando al mximo:

8 horas, 6 horas, 4 horas y 1 minuto.b) Expresa en forma fraccin simplificada de ao:

2 meses, 1 trimestre, 1 da , un ao escolar.

PROBLEMASProblema 1. Un seor gana 1500 euros al mes y se gasta 1/3 en comer, y 1/2 en

otros gastos.Cunto gasta en comer?

Cunto emplea en otros gastos? Qu fraccin le sobra? Qu dinero le sobra?

Problema 2. En el cumpleaos de Ana se dividi una tarta en 12 partes iguales. Anase comi 1/12 de la tarta, Guisase comi 2/12 de la tarta, Pedro se comi3/12 y Carlos se comi 4/12 de la tarta.

Qu fraccin de tarta se comieron entre los cuatro amigos?Qu fraccin de tarta qued?

Problema 3. Un camin transporta la siguiente carga:

3/8 de la carga son tomates2/5 son de naranjas1/6 de patatasEl resto de pltanos

Qu fraccin del total lleva el camin entre tomates y naranjas Qu fraccin del peso lleva de pltanos?

Problema 4. Luis compra seis trozos de cordn de dos metros y tres octavos de metrocada uno. Cunto costar el cordn si el metro cuesta 2 euros?

Problema 5. De una pieza de tela que tiene 1 Dam y 5 m (recuerda que el Dam tiene10 metros), se corta 1/5

Cuntos metros se han cortado? Qu fraccin queda por cortar? Cuntos metros quedan por cortar?

Problema 6. Un bidn contiene 600 litros de leche que queremos envasar en botellasde de litro. Cuntas botellas necesitaremos?


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TEST DE AUTOEVALUACIN: LAS FRACCIONES


Ejercicio 1. De esta tableta de chocolate nos comemos la parte no rayadaQu fraccin nos hemos comido?

Qu fraccin nos queda?Cul es el numerador? y el denominador?

Ejercicio 2. Expresa en forma decimal:

=)=)=b)=a)25

1d

8

3c

5

2

10

7

Ejercicio 3. Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

12

6

3

2b

15

3

10

2 =)=a)

Ejercicio 4. Reduce a comn denominador las siguientes fracciones:1

2,

1

4,

1

8


=+)=a)3

1

5

2b

3

1

2

1


=)=a)7

4:

3

8b

5

4

2

3


a) =+ 2

7:

2

1

3

2

b) 3 +

3

4

2

15 + 5 =

Ejercicio 8. Marina ha hecho un test de 35 preguntas, de las que ha acertado 5/7.Cuntas ha acertado?


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UNIDAD 6: NMEROS DECIMALES

Ejercicio 1. Expresa en cntimos de euro las siguientes cantidades: (Recuerda que elprocedimiento es el mismo que para pasar de metros a centmetros)a) 6,98 eurosb) 56,09 eurosc) 75,50 eurosd) 93,01 eurose) 78,03 eurosf) 509,10 euros

Redondear un nmero hasta las centsimas es sustituir por ceros todas las cifrassiguientes a las centsimas y dejar la cifra de las centsimas como est si la que lesigue (las milsimas) es menor que 5; o bien, aumentar en una unidad la cifra de lascentsimas si la que le sigue es mayor o igual que 5.Ejemplo: Redondear los siguientes nmeros hasta las centsimas:1,234 ----- 1,23

14,567 ---- 14,57Al hablar de cantidades monetarias expresadas en euros, es lo mismo redondear a loscntimos de euro que redondear la cifra a las centsimas.

Ejercicio 2. Redondea a los cntimos de euro las siguientes cantidades de euros:a) 36,247 euros b) 29,369 euros c) 32,015 eurosd) 23,122 euros e) 38,426 euros f) 41,145 euros

De la misma manera que pasamos de euros a cntimos podemos pasar de cntimosde euros a euros. Ejemplo: veinticinco cntimos de euro = 0,25 euros

Ejercicio 3. Expresa las siguientes cantidades en euros: (Recuerda que el

procedimiento es el mismo que para pasar de centmetros a metros).a) 480 cntimos de eurob) 78 cntimos de euroc) 7.005 cntimos de eurod) 250 cntimos de euroe) 3 cntimos de eurof) 40 cntimos de euro

Ejercicio 4. Expresa las siguientes cantidades en euros:a) Once euros y veinticinco cntimosb) Cuarenta y ocho cntimosc) Tres euros y cinco cntimos

d) Cincuenta cntimos

Ejercicio 5. Calcula:a) 16,50 + 5,01 + 7,82 =

b) 87,64 65,79 =

c) 325,32 x 40,5 =

d) 680,2 : 25 =

e) 964,2 : 0, 83 =


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Ejercicio 6. Juan tiene 3 euros y 50 cntimos de euros. Mara tiene 8 euros y 10cntimos de euros.Quin tiene ms dinero Juan o Mara? Cunto dinero tienen entre los dos?Si Juan se compra un bocadillo y un refresco por un valor de 2 euros y 20cntimos.Cunto dinero le queda?

Para expresar cantidades ms pequeas que la unidad, utilizamos las dcimas, lascentsimas, las milsimas,...1 Unidad = 10 dcimas.1 dcima = 10 centsimas.1 centsima = 10 milsimas.El nmero 2,375 tiene 2 Unidades, 3 dcimas, 7 centsimas y 5 milsimas; y se leedos unidades y trescientas setenta y cinco milsimas.

U d c M2 3 7 5

Ejercicio 7. Escribe con cifras:a) Veinticinco centsimas: e) Tres unidades y trece milsimas:b) Veinticinco milsimas: f) Diez milsimas:c) Cuatro unidades y cinco centsimas: g) Cuatro dcimas:d) Ciento ochenta milsimas: h) Cinco unidades y tres milsimas

Ejercicio 8. Escribe cmo se leen estas cantidades:a) 0,08 =b) 0,003 =c) 12,50 =d) 1,025 =e) 70,05 =

EL METRO

LA UNIDAD FUNDAMENTAL EN EL S.I. PARA MEDIR LONGITUDES ES EL METRO,CON SUS MLTIPLOS Y DIVISORES.

Ejercicio 9. Para dibujar y medir longitudes ms pequeas que el metro, recuerdasqu unidades de medida utilizamos?

Km hm dam M dm cm mm1 10 100 1.000

Recuerda que para pasar de una unidad a otra de orden superior dividimos por10, 100, 1.000, ... segn haya uno, dos, tres lugares entre ambas.Ejemplo: Para saber cuntos metros son 2 cm, debemos subir 2 lugares, luego

debemos dividir entre 100.2 cm : 100 = 0,02 m.


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Ejercicio 10. Completa las siguientes igualdades:a) 23 cm = ......... mb) 12 mm = .........cmc) 12 cm = ......... dmd) 4 dm = ......... me) 65 dm = .. mf) 327 cm = ......... mg) 980 mm = . cm

Ejercicio 11. Expresa en metros las siguientes medidas:a) Veinticinco centmetrosb) Tres metros y trece milmetrosc) Veinticinco milmetrosd) Diez milmetrose) Cuatro metros y cinco centmetrosf) Cuatro decmetrosg) Ciento ochenta milmetros

f) Cinco metros y tres milmetrosEjercicio 12. Completa:a) 8 m 5 mm = .............. mb) 1 m 7 dm 5 cm 6 mm = ............... mc) 5 dm 8 mm = md) 7 m 90 dm 5 cm = .. mPara sumar y restar diferentes unidades de medida de longitud conviene expresarlastodas en la misma unidad:

Ejercicio 13. Completar las siguientes operaciones:a) 8 m 75 cm + 1 m 40 cm = ( Pasar a metros antes de sumar)

b) 6 m 4 dm 4 m 8 dm =c) 168 m + 6 m 7 cm =d) 34 m 78 cm + 4 m 6 dm =

Ejercicio 14. Qu longitud es mayor? (Para comparar unidades de medida tambinconviene expresarlas en la misma unidad)

a) 21,56 m 300 dmb) 25, 9 m 259 dmc) 0,65 m 67 cmd) 4,56 m 4.500 mm

Ejercicio 15. Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros:

a) 7,830 7,84 7,51 7,09 7,512 7,47

b) 11,83 11,51 11,09 11,511 11,47

Ejercicio 16. Representa en una recta los siguientes nmeros:

3 3,2 3,4 3,9 4


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Ejercicio 17. Intercala dos nmeros decimales entre cada pareja de nmeros:a) 12 y 13b) 7,8 y 7,9c) 10,99 y 11d) 8 y 8,01

Ejercicio 18. Una modista confecciona 15 vestidos y los pone a la venta a 59,9 eurosla unidad. En cada vestido ha empleado 3,75 metros de tela, que le sale a 6,40 eurosel metro. Qu ganancia espera obtener de su trabajo?

Ejercicio 19. Hemos comprado en un supermercado varias botellas de refresco a 0,95euros la botella. Si en total hemos pagado 11,4 euros, cuntas botellas hemoscomprado?

Ejercicio 20. Un disco cuesta 12 euros y 75 cntimos. Cunto nos costarn 2discos?Y 8 discos?

Ejercicio 21. Mara tiene 6,2 euros y Pedro tiene 6,13 euros.a) Quin tiene ms dinero Mara o Pedro?b) Cunto dinero tienen entre los dos?c) Si entre los dos se compran un disco por valor de 11,44 euros, cunto dinero lessobrar?

Ejercicio 22. Un carpintero quiere comprar 1.150 listones de madera. Si cada listncuesta 2,25 euros,cunto dinero se gastar?Si el carpintero lleva encima 3.000 euros, cunto dinero le sobrar?


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TEST DE AUTOEVALUACIN: NUMEROS DECIMALES


Ejercicio 1. Compro un cuaderno que vale 2,75 euros . Expresa las monedas quetengo que entregar para pagar.

Ejercicio 2. Expresa en cntimos de euro:a) 8,35 eurosb) 0,45 eurosc) 0,07 eurosd) 9 euros

Ejercicio 3. Una seora va al mercado y compra un kilogramo de pltanos a 1,20euros el kg., dos kilogramos de naranjas a 0,87 euros el kg. y 2,5 kg. de patatas a0,36 euros el kg. Si entrega para pagar un billete de 5 euros. Cunto le devolvern?

Ejercicio 4. Un caminante ha recorrido 2 km, 3 hm, 25 dam, 5 m y 450 cm. Cuntosmetros ha recorrido?

Ejercicio 5. Expresa en mm:a) 2,5 mb) 3 dmc) 45 cm

Ejercicio 6. Completa:a) 3 dam ______________cmb) 12 Km ______________mc) 345 mm _____________m

d) 56 dm ______________hm

Ejercicio 7. Calcula:a) 34,567 + 0,36+ 49 = b) 2483,2 769,765 =

Ejercicio 8. Realiza:a) 2967, 3 x 4,06 = 98,53 : 3,5 =


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UNIDAD 7: POTENCIAS DE ENTEROS

Recordemos que es una potencia: Es el resultado que se obtiene al multiplicarrepetidas veces un mismo numero

Ejemplo: 24 = 2 2 2 2 = 16

En esta potencia ( 24) el 2 es la base, y el 4 es el exponente.

OJO! NO CONFUNDAS 24 QUE ES 16 CON 2 4 QUE SERIA 2 + 2 + 2 + 2 = 8

Otros ejemplos: (-2)3 = (-2)(-2)(-2) = (-8)(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = (+16)

Ejercicio 1. Escribe en forma de potencia:

3 3 3 3 = 2 2 2 2 2 = 5 5 =

Ejercicio 2. Escribe como producto:

3 + 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 + 5 =

VES LA DIFERENCIA ENTRE UNA POTENCIA Y UN PRODUCTO?

Ejercicio 3. Calcula el resultado de estaspotencias:

34 =

(-5)2 =

63 =

(-10)5 =

92 =

Ejercicio 4. Ahora compara los resultadoscon

3 4 =

-5 2 =

6 3=

-10 5=

9 2 =

Ejercicio 5. Calcula ahora:

24 3 = 16 3 = 48 32 5 =

23 3 5 = 52 22 3 =

33 2 = 7 52 =

105 = 103 5 = 1000 5 = 5000

Ejercicio 6. Escribe en forma de potencia de 10:

a) 1000 = 103 b) 100

c) 10.000= d) 1.000.000 =

Ejercicio 7. Un paquete tiene 12 cajas, cada caja tiene 12 estuches. Cada estuche, 12rotuladores. Cuntos rotuladores hay en un paquete? Y en 12 paquetes?


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Ejercicio 8. Una librera tiene 15 estantes, cada estante 15 apartados, y en cadaapartado caben 15 libros. Cuntos libros caben en la librera?

Ejercicio 9. En un cajn hay 10 cajas, en cada caja 10 paquetes y en cada paquete 10pauelos. Cuntos pauelos habr en 10 cajones?

Ejercicio 10. Se quieren colocar 25 filas y 25 hileras de sillas en un teatro. Cuntassillas se necesitan?

Ejercicio 11. a) Escribe cinco potencias cuyo resultado sea 1.b) Escribe cinco potencias cuyo resultado sea la base.

Ejercicio 12. Una parcela cuadrada tiene 625 m2 de rea. Cuntos metros mide sulado? Cuntos metros mide su permetro?

Ejercicio 13. Un jardinero tiene que plantar 121 rboles formando un cuadrado.Cuntos rboles tendr cada lado?

Ejercicio 14. Amaya tiene una caja con 9.604 botones iguales. Los ha colocadoformando un cuadrado. Cuntos botones tiene cada lado del cuadrado?

Ejercicio 15. Calcula en cm la longitud del lado de un cuadrado que tiene 529 m 2 derea.

OPERACIONES CON POTENCIAS

Recuerdas cual es la base y cual el exponente de una potencia? No? Pues fjate enesta potencia:

base 42 exponente ( el 4 es la base y el 2 el exponente)

PRODUCTOS DE POTENCIAS QUE TIENEN LA MISMA BASEPara multiplicar potencias de la misma base, se conserva la base y se suman losexponentes, as:

42 43 = 45 Es decir, se conserva el 4 que es la base de las dos y se suman losexponentes 2 + 3 = 5 Qu por qu es esto? FJATE BIEN

42 = 4 4 y 43 = 4 4 4 Si las multiplicas tienes 42 43 = 4 4 4 4 4

Entiendes ahora por que para multiplicar potencias de la misma base se conserva labase y se suman los exponentes? Si no lo entiendes vuelve a leer otra vez.

Ahora hazlo t


(-3)2 (-3)3 = 54 53 =

42 43 45 = 25 26 2 =

62 63 64 = (-7)3 (- 7)2 (- 7) =


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DIVISION DE POTENCIAS DE LA MISMA BASEPara dividir potencias de la misma base se conserva la base y se restan losexponentes. As:

45 : 42 = 43 Se conserva la base (4) y se restan los exponentes 5 2 = 3

Esto es as porque:

Ahora hazlo t:Ejercicio 17. Calcula las siguientes divisiones:

56 : 53 = (-8)7 = (-8)4 = 78 : 74 =

97 : 94 = 109 :106 = 65 :63 =OPERACIONES CON POTENCIAS POTENCIA DE UNA POTENCIA

Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican losexponentes.

Ejemplo:(32)3 = 36 Se ha conservado la base que es 3 y se han multiplicado losexponentes 2 3 = 6 Qu por qu es esto? Fjate bien.

(32)3 La base es 32 por tanto tendremos 32 32 32 y esto lo podramos desarrollar deesta manera: 3 3 3 3 3 3 con lo cual d 36 Comprendido? Ahora hazlo t.

Ejercicio 18. Calcula en forma de potencia:(42)3 = (-53)3 =

(73)4 = (-32)3 =

POTENCIA DE UN PRODUCTO

Para realizar la potencia de un producto, se elevan a dicha potencia cadaelemento del producto.

Ejemplo:

(2 3 4)5

= 25

35

45

Lo ves? El 2 el 3 y el 4 se estn multiplicando y esos son loselementos del producto, y cada uno de ellos queda elevado a 5.

Hazlo t.Ejercicio 19. Calcula en forma de potencia:

(5 2)3 = (3 4 6)2 =

(7 8 3)4 = (4 2 3)3 =

Ejercicio 20. Indica la base y el exponente de las siguientes potencias y calcula suvalor:

a) 34 c) 25 e) 50b) (-3)4 d) (-2)5 f) 51

4 4 4 4 44 4

= 4 4 4


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Ejercicio 21. Calcula los siguientes productos de potencias de igual base:a) 23 25 22 = c) (-5)2 (-5) (-5)3 =b) (-3)3 (-3)4 (-3)2 = d) 103 102 10 =

Ejercicio 22. Calcula los siguientes cocientes de potencias de igual base:a) 25 : 22 = c) (-7)4 : (-7) = e) (-1)2 : (-1) =b) (-3)13 : (-3)10 = d) 108 : 102 = f) 710 : 78 =

Ejercicio 23. Calcula las siguientes potencias de potencias:a) (34)2 = c) (102)4 = e) [((-1)2)5]7 =b) [(-3)2]3 = d) [(-2)3]2 = f) [((-10)2)2]2 =

Ejercicio 24. Expresa como producto de potencias:a) (3 4)3 = c) (6 10)5 =b) (4 5 8)2 = d) (7 2 5)4 =

Ejercicio 25. Calcula:a) 106 - 102 = c) 102 5 =b) 105 + 102 = d) 22 33 =

Para dividir potencias, es necesario que tengan la misma base, y el resultado seruna potencia con la misma base y por exponente tendr la diferencia de losexponentes de las potencias que se dividen. Ejemplo:

56 5

2= 5

4.

28

23= 2

5.

Ejercicio 26. Expresa en forma de una sola potencia:a) 35 32= b) 715 710=

c) = 654 222

d) =32

43

55

555

e) =73

294

1010

101010

Observa la siguiente expresin: =232 En esta expresin tenemos una potencia 2

3elevada a un exponente 2. Se llama la

potencia de una potencia y el resultado es una potencia con lamisma base y por exponente tendr el producto de los exponentes.

.22222 2363323 ===

Ejercicio 27. Expresa en forma de una sola potencia:

a) =523

b) =65

4 d)

=42423

253

3333

333


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Ejercicio 28. Calcula el exponente:a) 3? = 9 c) 10?= 10000 e) 4

? = 64b) 5? = 125 d) 2? = 16 f) 7? = 49

Ejercicio 29. Calcula la base:

a)[ ]

= 16 c)[ ]

= 100 e)[ ]

= 64b) [ ] = 81 d) [ ] = 36 f) [ ] = 49

Ejercicio 30. Calcula el valor de estas races:

a) =16 c) =100 e) =64

b) =81 d) =36 f) =49

Ejercicio 31. Completa las siguientes tablas:

Potencia Base Exponente En forma de multiplicacin Valor32 3 2 3 3 9

23(-4)5

(-3)4

5

Nmeros 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Cuadradosperfectos

Ejercicio 32. Completa la tabla siguiente

Races Radicando Indice Valor

16 16 2 4

81

144

49 36 2


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TEST DE AUTOEVALUACIN: POTENCIAS DE ENTEROS


Ejercicio 1. Escribe en forma de potencia:a) 3 3 3 =b) 6 6 6 6 =c) 12 12 =d) 382 382 382 =

Ejercicio 2. Calcula el valor de las siguientes potencias:a) 103 =b) (-2)4 =c) (-2)3 =d) (-1)5 =e) (-3)2 =f) 32 =

Ejercicio 3. Escribe en forma de potencia:a) (3 2)5 =b) (7 4)3 =c) (7 : 5)2 =d) (10 : 3)2 =e) (3 : 5)3 =

Ejercicio 4. Calcula las siguientes potencias aplicando las reglas del producto ycociente de potencias de igual base (da el resultado en forma de potencia):

a) 10344

: 10343

=b) 21274 21273 =c) (273 273 273) : 274 =

Ejercicio 5. Escribe en forma de potencia:(32)4 =(42)3 =(52)2 =(103)3 =

Ejercicio 6. Calcula el resultado:a) 22 . 33 = b) 32 . 5 . 7 =

Ejercicio 7. Escribe como potencia nica:

a)[ 8 2]

3

8 2 . 8 3= b)

32. 3

4. 3

5

3 7=

Ejercicio 8.- Calcula las siguientes races cuadradas:


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UNIDAD 8: PROPORCIONALIDAD

Razn y proporcin

Razn

Una razn es la divisin entre dos cantidades comparables. Se representaa

b

ProporcinUna proporcin es una igualdad de dos razones.

Se representa por:a

b=

c

d

Ejercicio 1:Completa para que formen proporcin:

34= ?

16 2?= 6

15

Magnitudes directamente proporcionalesDos magnitudes son directamente proporcionales si :

Al aumentar una (doble, triple..), la otra aumenta de igual manera(doble, triple,..)

Al disminuir una (mitad, tercio,...) la otra disminuye de la misma forma (mitad,tercio, ..)

Observa por ejemplo que el precio de los cuadernos es directamente proporcional al

nmero de cuadernos comprados:N de cuadern os 1 2 3 6

Precio en 5 10 15 30

Ejercicio 2:D si son o no directamente proporcionales:

a) El peso de las naranjas y el dinero que se paga por ellas ______b) La edad de un chico y su altura _____c) El tiempo que est abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja ____d)El grosor de un libro y su precio _____

Ejercicio 3:Una bolsa de naranjas pesa 3 kg. completa la tabla:

N de b ol sas 1 2 3

Peso (Kg)

Ejercicio 4:Una vaca produce 24 litros de leche cada da, completa la tabla con la produccin deleche

N de das 1 5 10 15 30

Volumen (litros)


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Ejercicio 5: Una bolsa de harina pesa 500 gramos. Cunto pesan 4 bolsas iguales?

Regla de tres directa.

Ejemplo de resolucin de la regla de tres directa.Si 5 Kg. de melocotones cuestan 7,2 , cunto costarn 12,5 Kg?

masa(Kg) Precio ()5 7,2

12,5 xD5

12,5=

7,2

x

x=7,2 12,5

5= 18

Ejercicio 6:

Si 5 CD cuestan 90 , cuntos CD se pueden comprar con 216 ?

Ejercicio 7:Si 8 Kg de ciruelas cuestan 24 , cunto costarn 17 kg?

Ejercicio 8:El precio por transportar 500 Kg de mercanca es de 80 . Qu precio se pagar portransportar 840 Kg de la misma mercanca?

Ejercicio 9:Un albail ha cobrado 72 por un trabajo de 4 horas . A cunto cobra la hora?

Magnitudes inversamente proporcionalesDos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

Al multiplicar una (doble, triple, ...), se divide la otra (mitad, tercio, ...) Al dividir una (mitad, tercio, ...) la otra se multiplica (doble, triple,...)

Observa en el ejemplo que en una granja de gallinas cuantas ms gallinas hay menostiempo dura el pienso de que disponen

N gal lin as 4 2 3 6

N de das 15 30 20 ?

Ejercicio 10:Di cuales de las siguiente magnitudes son inversamente proporcionales

a) El nmero de albailes y el tiempo que tardan en hacer una obra _______b) La velocidad de una moto y el tiempo que tarda en recorrer una distancia______c) El nmero de folios y su peso _____d) La capacidad de una botella y el nmero de botellas que se puedan llenar con unbarril________


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Ejemplo de resolucin de problemas de regla de tres inversa.Cinco obreros tara n 12 horas en hacer una obra. Cunto tardarn 3 obreros enhacer la misma obra?

N obreros Tiempo (h)5 123 xI

3

5=

12

x x=5 12

3= 20 horas

Ejercicio 11:Seis alumnos que trabajan al mismo ritmo tardan 10 horas en hacer un trabajo.cunto tardaran 4 alumnos?

Ejercicio 12:

Una piscina se llena en 18 horas con un grifo que arroja 150 litros de agua por minuto.cunto tiempo tardar en llenar la misma piscina otro grifo que arroja 100 litros porminito?

Ejercicio 13:Cinco amigos, que estn de vacaciones, tienen comida para 12 das. Si se les une unamigo ms, para cuntos das tendrn comida?

Porcentajes

Tanto por cientoPara calcular un tanto por ciento de una cantidad se multiplica la cantidad por el tanto

y se divide entre 100.

Ejemplo:Calcula el 8 % de 400

x=8 400100

= 32

Ejercicio 14:Calcula:

1. 50 % de 802. 25 % de 1003. 75 % de 1204. 18 % de 25005. 42 % de 6200

Ejercicio 15:En un rebao hay 400 ovejas y el 25 % han tenido un corderito.Cuntos corderitos han nacido en el rebao?

Ejercicio 16:Se han hecho 1.000 papeletas para una rifa y ya se ha vendido el 75 %. Cuntaspapeletas se han vendido?

Ejercicio 17:Un jersey cuesta 80 , me rebajan el 10 % Cunto tengo que pagar?


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Ejercicio 18:Mi padre me da de paga al mes 60 , pero como he aprobado las matemticas me hasubido el sueldo un 10 % . Cunto me d ahora?

Ejercicio 19:Calcula mentalmente los siguientes porcentajes:

a) 50% de 680b) 25% de 16c) 20 % de 400d) 10% 670


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TEST DE AUTOEVALUACIN: PROPORCIONAL IDAD


Ejercicio 1: Di si directa o inversamente proporcionales:a) El peso de los pltanos y el dinero que se paga por ellos ______b) El tiempo que se tarda en realizar una obra y el nmero de trabajadoresc) El tiempo que est abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja ____d) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un recorrido

_____

Ejercicio 2: Una fbrica de refrescos produce 120 cajas cada da, completa la tablacon la produccin de cajas

N de das 1 5 10 15 30

N de cajas

Ejercicio 3: Un camin transporta 1300 kg de peso en cada viaje. Cunto hatransportado durante el mes de enero si ha dado 20 viajes?

Ejercicio 4: Dos albailes han tardado 48 horas en realizar una reforma. CuntoHabran tardado 6 albailes?

Ejercicio 5: Calcula:a) El 20% de 80b) El 15% de 90c) El 60% de 20d) El 3% de 30

Ejercicio 6:Un traje vale 300 , y en la rebajas hacen un descuento del 8%. Cunto me han rebajado?

Cunto tengo que pagar?

Ejercicio 7: la clase de Matemticas de segundo hay 30 alumnos y han aprobadomatemticas el 60%.Cuntos alumnos han aprobado?

Qu porcentaje de alumnos han suspendido?

Ejercicio 8:Mi padre me da de paga 25 al mes. Si apruebo matemticas me sube lapaga un 10%Cunto me dar si consigo aprobar la asignatura?


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TEMA 9: POLINOMIOS

TE CONVIENE RECORDAR

1.- La propiedad distributivaa (b + c) = ab + aca (b c) = ab ac

Ejemplo:3 (5 + 4) = 35 + 345 (8 3) = 58 53

2.- Como se quitan parntesis cuando llevan delante un signo positivo (+) o unsigno negativo (-)Si un parntesis lleva delante el signo + se quita y lo de dentro permanece igual,no cambia

Ejemplo:a) +(-8+7-3+1)= b) (4-5+6)=-8 +7 -3 +1 4 5 + 6-8 -3 + 7 +1 4 + 6 - 5-11 + 8 = -3 10 5 = +5

Si un parntesis lleva delante el signo - se quita y lo de dentro cambia de signo.Ejemplo:a) - (-8+7-3+1)= b) - (4-5+6)=

+8 -7 +3 -1 -4 +5 -6+8 +3 -7 -1 -4 -6 +5+11 -8 = +3 -10 +5 = -5

3.- La prioridad en las operaciones1 Se resuelven los parntesis2 Multiplicaciones y divisiones3 Sumas y restas4 Si tienen el mismo nivel se empieza por la izquierda

4.- Operaciones con potencias de la misma base:Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman losexponentesPara dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan losexponentes

LO HAS COMPRENDIDO BIEN, SI NO TE ACLARAS, VUELVE A LEERDETENIDAMENTE

Ejercicio 1: Calcula demostrando la propiedad distributiva:a) 3 (9 5) = b) -2 (6 + 7) =

Ejercicio2: Calcula teniendo en cuanta la prioridad en las operaciones:a) 10 : 2 -5 (8-11)= b) 4 ( 3 -5 -2) 18 : (2 + 8 -4)=


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Ejercicio4: Realiza con una sola potencia:a) 72 73 . 7 = b) 85 : 86 =

c) (-2)4 (-2)3 = d) (-4)8 : (-4)3 =

Ejercicio5: Calcula dando el resultado con una sola potencia:

a) 32 33 3 =b) 24 23 22 2 =c) 72 75 73 =d) 85 : 83 =e) 66 : 62=f) 49 : 49 =

g)35

33=

h)54

5

35

8

5

4=

i) (-2)4 (-2)5 =

Expresiones algebraicas.

Ejercicio 6: Transforma del lenguaje coloquial al algebraico las siguientesexpresiones:

a) La mitad de un nmerob) El triple de un nmero ms su siguientec) La quinta parte de un nmero menos tresd) Los de un nmeroe) El triple de un nmero menos su doblef) Un nmero al cuadradog) El cubo de un nmeroh) Un nmero pari) Dos nmeros consecutivosj) El anterior de un nmerok) La cuarta parte de un nmero menos su triplel) La mitad del resultado de restarle 8 unidades a x

m) El doble del resultado de sumarle tres unidades a xn) Un mltiplo cualquiera de treso) El cuadrado de x ms el cuadrado de yp) La mitad de un nmero menos la cuarta parte de su cuadradoq) La mitad de un nmero ms su quinta parter) El rea de un cuadrados) El permetro de un cuadradot) El rea de un tringulo llamando b a la base y h a la altura u) El permetro de un rectngulov) El permetro de un tringulo equiltero

Una expresin algebraica es una combinacin de nmeros, letras, y parntesis relacionados con

operaciones


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Monomios

Operaciones con monom ios

Suma y resta de monomios

Dos monomios slo se pueden sumar o restar si son semejantes. En estos casos sesuman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal, as:5ab2 + 3ab2 = 8ab2 7x3 9x3 = -2x3

Producto de monomios

El producto de dos o ms monomios es otro monomio que tiene:

a) Por coeficiente, el producto de los coeficientesb) Por parte literal el producto de las partes literales de los factores

As:a) 5x 2x = 5 2 x x = 10 x 2 b)5x4 2x5 (-3x) = -30x10

Cociente de monomios

Al dividir dos monomios se puede obtener un nmero, otro monomio o una fraccinalgebraica.Nosotros vamos a emplear la divisin para que nos salga un monomio.

Para esto el grado del numerador tiene que ser mayor que el grado del denominador yentonces tendremos:

a) Por coeficiente, el cociente de los coeficientesb) Por parte literal, la misma y como exponentes la diferencia de los exponentes.

As:

2

23

3

4

7

3a2

6a2x

5x

10=

ab

bb)=

xa)

2

Un monomio es el producto indicado de un nmero (coeficiente) y uno o varios valores desconocidos

llamados parte literal o letras.

Por ejemplo, son monomios las siguientes expresiones:5 x

2-4 xy

3

COEFICIENTE PARTE LITERAL COEFICIENTE PARTE LITERAL

Grado de un monomio es el nmero de factores que forman su parte literal:

5x2

(grado 2) -4xy3

(grado 4)

x x (2) x y y y (4)

Monomios semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo: 5x2

y 4x2


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Potencia de un monomio

Para elevar un monomio a una potencia, se eleva el coeficiente a esa potencia y semultiplican los exponentes.

As:(3x2)3 = 27x6

ANTES DE EMPEZAR A REALIZAR LOS EJERCICIOS TIENES QUECOMPRENDER BIEN LO QUE ACABAS DE LEER, SI NO VUELVE A LEER HASTAQUE LO ENTIENDAS

Ejercicio 7: Di cual es el coeficiente y cual es la parte literal de estos monomios:a) 8 x3

b)5

3x 3 y4

c) 4ab2

Indica tambin el grado de cada uno.

Ejercicio 8: Reduce: (es lo mismo que calcular las sumas y restas)a) 4x + 2x +3x =b) -2x + x 5x=c) 3y2 + 4y 2y2 6y =d) -2ab + 4 ba - 5ab ab =e) 2ab2 3x2 4ab2 +5x =

Ejercicio 9: Calcula las sumas y restas de los monomios que se indican:

a) 5x -3x=

b) 7x -11x=

c) 4a + 5a + 3a - 7a=

d) 2ax4 - 3ax4 + 5ax4 =

e) 2x3 - x + x3 + 3x3 +2x=

Ejercicio 10: Quita parntesis y reduce:a) (7x + 3y)(-2x + 4y)0

b) (2x-4) + (3x -6) =c) (2x2 4x) (6x2 + 3x) + (x2 7x) =d) (2x +3y) + (-4x -2y) + 5x =

Ejercicio 11: Calcular el producto de los monomios siguientes:

a) 2ax2 (-3a3x) =b) 2ab 3a =c) (-5x3) (-7x4) =d) 3x (-2x) 5x2 =

e) (-6x3) (-8x2) (-3x) =


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Ejercicio 12: Realiza los siguientes cocientes de monomios:

a) 8a : 4a =b) 6x2 : 3x =c) 5x6 : 15 x3 =d) 8ab : 2ab =e) (-12x5) : (3x2) =f) 35y9 : (-7y4) =

Pol inomios

As en el polinomio P(x) = 2x2 -3x +5

Los trminos son 2x2; -3x ; +5

El grado es el mayor exponente de sus trminos en este caso 2

Tendremos en cuenta lo siguiente:

1- Si est ordenado. Si no lo est hay que ordenarlos y para eso, colocamos losmonomios de mayor a menor, segn su grado.2- Si est completo. Si no lo est hay que completarlo, y para ello aadimos lostrminos que falten poniendo de coeficiente 0.

Valor numrico de una expresin algebraica

Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por nmeros y realizar lasoperaciones.

Ejemplo:a) Un cuadrado tiene de lado 5 m. Aplicando la frmula del permetro, lo calculamosas:P = 4 L ( donde L es lo que mide el lado que en este caso es 5m), con lo que:

P = 4 5 = 20 m

b) 2a +b - 3c siendo a = 5 ; b = 4; c = 1. Calculamos2 5 + 4 - 3 1 =10 + 4 3

14 3 = 11Ahora hazlo t:Ejercicio 13: Calcula el permetro de un cuadrado de 12 m de lado.

Ejercicio 14: Halla el rea de un cuadrado de 12 m de lado ( recuerda que el rea eslado al cuadrado o lado por lado)

Un polinomio es una suma de monomiosTrminos de un polinomio son cada uno de los monomios que lo forman

Grado del polinomio es el grado del monomio de mayor grado


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Ejercicio 15: alcula el valor de estas expresiones algebraicas: 3x ; donde x vale 6 2p +c ; p = 4, c = 2 ba ; b = 13 , a = 6 a + b c ; a = -7 , b = 10 c = 5

Valo r numric o de un po lin om io.-

Consiste en sustituir las letras por un valor determinado y realizar las operaciones:Vemoslo con un ejemplo:Sea el polinomio P(x) = 3x3 + 2x2x + 4, calcula su valor numrico para x = -1

Cogemos el polinomio y donde haya una x ponemos su valor, en nuestro caso es (-1)as:

P(x) = 3(-1)3 + 2(-1)2 (-1) + 43(-1) + 2(+1) (-1) + 4

-3 +2 +1 +4 = +4

Entendido? No? Vuelve a leerlo otra vez

Ejercicio 16: Calcula el valor numrico de los siguientes polinomios para los valoresque se dan:

a) P(x) = 3x3 + 2x2x + 4, para x = 2 y para x =(-2)

b) Q(x) = -2x2+ 3x 7 para x = 1 y para x = (-1)

c) R(x) = x4 -2x3 + 3x -8 para x = 0 y para x = (-3)

d) S(x) = -x3 +5x +10 para x = 4 y para x = (-4)

Suma de pol inomios

Para sumar dos o ms polinomios se colocan un debajo del otro haciendo coincidir enla misma columna los monomios semejantes:

Ejemplo:Sean los polinomios P(x) = 3x2 + 2x3x + 4 y Q(x) = -x3 +5x +10. Calcula P(x) + Q(x)Lo primero que haremos ser ordenarlos y completarlos, as:

P(x) = 2x3 + 3x2 x + 4

Q(x) = -x3 0 + 5x +10P(x) + Q(x) = x3 + 3x2 + 4x +14 Lo has comprendido?. Pues ahora t.

Ejercicio 17: Sean los polinomios:P(x) = 3x3 + 2x2x + 4 Q(x) = x4 -2x3 + 3x -8.Halla: P(x) + Q(x)

Ejercicio 18: Dados los polinomios:Q(x) = -2x2+ 3x 7 R(x) = x4 -2x3 + 3x -8 y S(x) = -x3 +5x +10.Halla:a)Q(x) + R(x)b) R(x) + S(x)c) Q(x)+ R(x)+ S(x)


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Opuesto de un pol inomioEl opuesto de un polinomio se obtiene cambiando de signo todos sus monomios:

Ejemplo: El opuesto de P(x) = 7x3 +4x2 -3x +8 es P(x)= -7x3 -4x2 +3x -8

Resta de pol inom ios

Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. Es decir,se recambia de signo al sustraendo y se suman.

Ejemplo:Sean los polinomios: P(x) =10x3 +4x2 -5x +8 y Q(x) = -x3 +5x +10. Halla P(x) Q(x).Se le cambia el signo a todos los monomios de Q(x) y se suman:

P(x) =10x3 +4x2 -5x +8Q(x) = +x3 0 - 5x -10

P(x) - Q(x) = 11x3 +4x2-10x 2

Ejercicio 19: Dados los polinomios:

Q(x) = -2x2+ 3x 7; R(x) = x4 -2x3 + 3x -8.; S(x) = -x3 +5x +10.Halla:

a) Q(x) R(x)=

b) Q(x) S(x)=

c) R(x) S(x)= d)3

35

32 3

33

32 4

32

34=

Producto de un pol inomio por un monom io

Se multiplica cada trmino del polinomio por el monomioEjemplo:-2x( x2 - 4x - 3) =-2x(x2) + (2x) (4x) + (2x) (3) =-2x3 + 8x2 + 6x. Tambin puedes colocaruno debajo del otro y multiplicar. As:

x2 - 4x 3-2x

-2x3 + 8x2 + 6x Entendido?

Ejercicio 20: Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) ( y2 + 3y + 1)(-2y2)=

b) (10x3 +4x2 -5x +8)(x2)=

c) (-3x3)( 2x3 + 8x2 + 6x)=

Mult ip licac in d e un pol inom io por otro pol inomio

1) Se ordenan y completan los polinomios2) Se colocan uno debajo del otro y se multiplican como haramos con unamultiplicacin de varias cifras, slo tener en cuenta que para multiplicar las letras sesuman los exponentes.


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Ejemplo:y2 + 3y + 1

y -2-2y2 - 6y - 2

y 3 +3y2 + y ____y3 + y2 - 5y - 2

Ejercicio 21: Dados los polinomios:a) P(x) = 3x3 + 2x2x + 4, y Q(x) = 3x - 2 . Halla P(x) Q(x)

b) P(x) = -x3 +5x +10 y Q(x) = x + 4. Halla P(x) Q(x)

c) R(x) = x4 -2x3 + 3x -8 y S(x) = 2x2 -5. Halla R(x) S(x)

d) T(x) =2x3 + 8x2 + 6x y U(x) = x2 2x + 3. Halla T(x) U(x)

Ejercicio 21: Realiza los siguientes productos aplicando las propiedades de lasigualdades notables:

a) (x +y)2 =

b) (2x + 3y)2 =

c) (3z 2 n)2 =

d) (x+y) (x-y)=

e) (2z -3n) (2z -3n)


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TEST DE AUTOEVALUACIN: POLINOMIOS


Ejercicio 1: Transforma del lenguaje ordinario al algebraicoLa sexta parte de un nmeroEl doble de un nmeroEl triple de un nmero ms unoLa mitad de

2º ESO Refuerzo de Matemáticas

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