2ºcalculus. Problemas y Exämenes

7/25/2019 2calculus. Problemas y Exmenes

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EJERCICIOS SOBRE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES.TEOREMAS (de Bolzano, de Weierstrass, de Rolley del Valor Medio delClculo Diferencial).

Llegar a una correcta comprensin de los fundamentos de la ciencia es el objetivo final quehay que tener siempre presente; pero para hacer cualquier progreso en ciencia es

imprescindible estudiar problemas concretos.

Karl Weierstrass

1. Estudiar la continuidad de las funciones:

a) b) c) d)

2. Hallar el valor de apara que sea continua en toda la recta real la funcin: 3. Hallar a ybde forma que la siguiente funcin sea continua por doquier:

4. Hallar ade forma que la siguiente funcin sea continua en toda la recta real:

.0,

0,sin)cos1(

)( 3

xsia

xsix

xx

xf

5. Estudia la derivabilidad de y de 6. Sea la funcin:

.0,

)1(

0,1

1

)(

2

2

xsix

bax

xsix

x

xf Halle a ybsabiendo que es

continua en toda la recta real y que presenta un extremo relativo en .2x Conlos valores de ay de bobtenidos, es derivablefen toda la recta real?

7. Estudiar la continuidad y la derivabilidad, segn los valores de a, de la

siguiente funcin:

0,1

sin

0,0

0,11

)(

2 xparax

x

xpara

xparax

xxa

xf

x

(se supone )0a

8. Sea f una funcin derivable en toda la recta real, de la que sabemos:

y


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Consideremos la funcin Demostrar que ges derivable en y que es continua en

9. Es aplicable el Teorema de Weierstrass a la funcin

x

xf

1

1)( en el

intervalo 2,2 ? En qu punto alcanza esta funcin sus extremos absolutosen dicho intervalo? Alguno de ellos es relativo? Es derivable esta funcin enel punto en el que alcanza su mximo relativo?

10.Se considera la funcin . Qu se puede decir acerca de sucontinuidad? Alcanza su mximo absoluto? Y su mnimo absoluto?Contradice esto el Teorema de Weierstrass?

11.a) Defnasepara que la funcin sea continua en toda larecta real.

b) Defnanse para que la funcin sea continua en elintervalo .12.Hallar un nmero entero n tal que , para algn en los

siguientes casos:a) b) c) d)

13.Cierto da un montaero sali a las 9 horas de un refugio de montaa (A), dioun largo paseo a pie y lleg a las 18 horas a otro refugio (B). Al da siguiente,

sali del refugio B a las 9 horas y, regresando por el mismo camino, lleg a las18 horas al refugio A. Naturalmente, el ritmo llevado en ambas caminatas nofue siempre el mismo, ni fue idntico en los dos das. Demuestre que, a pesarde ello, el montaero estuvo ambos das, por lo menos una vez, a la mismahora en el mismo sitio.

14.Raznese por qu las siguientes ecuaciones tienen solucin:a) b)

15.Sin resolverla, raznese que la ecuacin tiene alguna solucinen el intervalo

.

16.Demostrar que la ecuacin tiene alguna solucin en elintervalo y calcularla con dos cifras decimales exactas.17.Encontrar al menos una solucin de la ecuacin , con una

aproximacin hasta las dcimas.

18.Sea la funcin: .

1,

10,

0,cos

)( 2

xsix

b

xsixa

xsix

xf Obtenga aybde suerte que se

pueda aplicar el Teorema de Bolzano a esta funcin en el intervalo donde est

definida. Obtenga despus la raz (o races) de la ecuacin .0)( xf


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19.Demostrar que la ecuacin 15sin152

cos

x

xx tiene alguna raz real.

20.Demostrar que la funcin tiene al menos dos racesreales.

21.Sean f y g continuas en

, de modo que

Demustrese que existe al menos un tal que Interpretacin geomtrica.22.Sea fcontinua en tal que Demostrar que existen al

menos dos valores tal que 23.Teorema del punto fijo: Sea fcontinua en tal que

Demostrar que existe al menos un valor tal que 24.Sea fcontinua en y sean dos nmeros reales positivos. Demostrar

que existe al menos un valor tal que 25.Demustrese que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raz.26.Seaf continua en toda la recta real y que no se anula en ningn punto.

Demostrar que, cualesquiera que sean 21,xx , se cumple que

.0)()( 21 xfxf

27.Es aplicable el Teorema de Rolle a la funcin:

a) 5 21)( xxf en el intervalo 1,1 ?b) en el intervalo ?c) en el intervalo ?d) en el intervalo ?e)

en el intervalo

f) en el intervalo g) en el intervalo

28.Comprobar que entre las races de est la de suderivada.

29.Supngase que y quees continua en toda la recta real.Demostrar que

30.Sea . Probar, sin derivar, quetiene al menos una razen el intervalo 31.Sea Sin derivar, determinar cuntas races tieneydecir dnde estn.

32.Demostrar que la ecuacin no puede tener dos races realesdistintas en el intervalo .

33.Demostrar que la ecuacin no puede tener dos races realesdistintas en el intervalo , sea cual sea el valor de m.

34.Demostrar que, si , entonces la ecuacin tienecomo mximo una solucin.

35.Demostrar que la ecuacin

tiene exactamente dos

soluciones.


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36.Supongamos que las funciones estn definidas y son derivablespara y que . Probar que

37.Demostrar que la ecuacin 03 xex tiene alguna solucin real positiva.Hay ms de una?

38.Seafcontinua en ba, y derivable en ba, , y se verifica que .0)()( bfaf Sea Kuna constante real arbitraria. Consideremos ahora la funcin

KxexfxF )()( Comprobar que

Fcumple las hiptesis del Teorema de Rolle en el intervalo ba, . Aplicar esteresultado para demostrar que existe al menos un valor bas , tal que

)(2014)(' sfsf

39.Cuntas soluciones tiene la ecuacin xx ln182 en el intervalo e,1 ?

40.Sea

. Comprueba que satisface las hiptesis del

Teorema del Valor Medio del Clculo Diferencial en el intervalo . Dndese cumple la tesis?

41.Hallar ay bde modo que se pueda aplicar el Teorema del Valor medio delClculo diferencial en el intervalo 6,2 a la funcin

4,10

4,3)(

2 xsibxx

xsiaxxf Obtener el correspondiente valor medio de

la derivada, as como la abscisa en la que se da.42.Hallar el valor medio de la derivada de la funcin

en el intervalo

43.Obtener una aproximacin por exceso de 4 19 utilizando el Teorema del Valormedio del Clculo diferencial.

44.Sea continua en y derivable en . Consideremos la funcin: Demuestra que existe al menos un valor tal que Quconocido resultado quedara demostrado de este modo?

45.Jutfca lo pao de la guente demotracn: Vamo a probar que, si escontinua en y derivable en y adems ,entonces

es constante en

.

PASO 1: Tomamos dos valores cualesquiera de . Entonces, existeun valor tal que PASO 2: Como entonce PASO 3: As, deducimos que esto es, que es constante.


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ESTUDIO Y REPRESENTACIN DE FUNCIONES EXPLCITAS

1. 43)( 23 xxxf ; 322)( xxxg

2. 935)( 23 xxxxf

3. xxxxf 323

)( 23

4. xxx

xf 43

2)( 2

3

5. 12)( 24 xxxf

6. 642

)( 24

xx

xf

7.4

)3()1()(

22

xxxf

8. 211)(x

xf

9.2

3 4)(

x

xxf

10.2

2)(

2

3

x

xxf

11.1

22)(

2

x

xxxf

12.

52

20)(

2

xx

xf

13.45

1)(

2

xxxf

14.1

1)(

2

2

x

xxf

15.136

1482)(

2

2

xx

xxxf

16.1

)(2

3

x

xxf

17. 251

)( x

xxf

18.1

)(

x

x

e

exf

19. xxexf1

)(

20. xexxf1

2)(

21.x

xxf

ln)(

22. 1)1ln(

)(

x

x

xf


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23. xxxf ln)( 2

24. )9ln()( 2 xxf

25. )65ln()( 2 xxxf

26. xexxf 2)(

27.21)( xexf

28.2

)( xxexf

29. xxxf 3)( 2

30. 1)( 2 xxxf

31.1

1)(

2

xxf

32. 23 3)( xxxf

33. 3)(

3

x

xxf

34.x

xf

11

1)(

35. xxxf 33)(

36. 3 31)( xxf

37. 3 326)( xxxf

38. xxxf 23)( 3 2

39. 3 2

)2)(1()( xxxf 40.

xxxf

1)(

41.2

3

)1(2)(

x

xxf

42.2

23 43)(

x

xxxf

43. 22

)(x

exf

44. xxexf )(

45. xexxf )(

46. )1ln()( 2 xxf

47.1

ln)(

x

xxf

48. )1ln(ln)( xxxf

49. )23ln()( 2 xxxf

50. xxf 2sin)(

51. ,sin2)2sin()( xxxf con 2,0x

52. ,coscos)( 2

xxxf con 2,0x 53. ,sin2)( 2xxf con 2,0x


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54. ,sinsin)( 2 xxxf con 2,0x 55. )3sin(sin3)( xxxf

56. )2cos(sin)( 2 xxxf

57.

x

xxf 1arctan)( , si 0x y 0)0( f

58. xxxf sin)( 59. )2cos(sin2)( xxxf

60. )2cos(ln)( xxf 61. xxxf arctan2)(


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PROBLEMAS DE CLCULO DIFERENCIAL(Aplicados Xeometra, Fsica, Qumica, Bioloxa,

Economa,)

Para MATEMTICAS II do BACHARELATO CIENTFICO-

TECNOLXICO

ESCOLMA FEITA

POLO PROFESORAntonius BenedictusDO INSTITUTO A SANGRIA (A GUARDA)


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CONTINUIDADE E DERIVABILIDADE DE FUNCINS(Problemas de aplicacin)

1. Nunha certa cafetera de Fornelos, a temperatura ambiente constante. A

temperatura, en graos centgrados, dun caf servido nesa cafetera t minutosdespoisde ter sido botado na cunca : )0(5020)( 04'0 tetf t

a) Determine a temperatura do caf recentemente servido.b) Estude as asntotas, a monotona e a curvatura def.Esboce o seu grfico.c) Co descorrer do tempo a temperatura do caf tende a igualar a temperatura

ambiente. Indique cal esta.d) Xustifique a seguinte afirmacin:A taxa de variacin media da funcin f en

calquera intervalo do seu dominio negativa.e) Canto tempo descorre entre o instante no que o caf foi botado na cunca e o

instante no que ten 65C?2. Pretndese unir unha fbrica F a unha central de tratamento de residuos C,

mediante unha conducin, conforme a figura. A conducin debe seguir xunto a unmuro, at un certo punto B, e logo debe seguir en lia recta at a central.Sexa A o punto do muro mis preto da central. E sexaxa distancia de A a B (enquilmetros).O prezo da colocacin da conducin :

* Trescentos mil euros por quilmetro longo do muro.** Cincocentos mil euros por quilmetro do muro central.

a) Mostre que o prezo (en centos de miles de euros) da colocacin, en funcin de

x, : )4,0(45312)( 2 xconxxxP

b) Determine o valor dexpara o cal o prezo de colocacin mnimo.


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3. A actividade R de calquera sustancia radioactiva dada, nunha certa unidade de

medida, por: ,)( BtAetR sendo A e B constantes reais positivas, e t o tempo en

horas ( 0t ).a) Estude a monotona e as asntotas da funcin R.b) Mostre que 'ReR (a sa derivada) son directamente proporcionais.

c) Mostre que o tempo de semidesintegracin (o tempo para que a actividade R

pase do seu valor inicial metade) : .2ln

B

d) Sabendo que a actividade inicial dunha certa sustancia radioactiva de 28unidades e que 26)1( R , atope os valores de A e de B para esa sustancia.

4. Un petroleiro que navegaba no Ocano Atlntico encallou nunha roca e sufriuun buraco no casco. Como consecuencia, comezou a derramar cru. s thoras

do da seguinte accidente, a rea, en 2km , de cru espallado sobre o ocano :

)24,0(16)( 1'0 tetA t


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a) Verifique que)(

)1(

tA

tA sempre constante. Calclea e interprete o resultado.

b) Se admitimos que a mancha de cru circular, con centro no lugar ondeencallou o petroleiro, e que este lugar est a sete quilmetros da costa,determine cando chegar costa a mancha de cru.

5. Un fo atpase pendurado entre dous postes, distantes 30 metros un doutro.

Considere a funcin: ),(5)( 11'01'01 xx eexf que representa a distancia en metros

chan do fo situadoxmetros dereita do primeiro poste.a) Determine a diferenza de altura dos dous postes.b) Determine a distancia primeiro poste do punto do fo mis prximo chan.

c) Determine a distancia primeiro poste dos puntos do fo situados a 15 metrosdo chan.6. A presin atmosfrica de cada lugar da Terra depende da altitude que este se

atope. Admitimos que a presin P(medida en quilopascal) dada en funcin de h

(altitude en quilmetros) por hehP 12'0101)( .

a) Obtea a presin atmosfrica dun cume de 2.350 metros de altitude.

b) Determinextal que, para calquera h, sexa: )(2

1)( hPxhP e comente o

resultado obtido.

7. A figura representa unha ponte sobre un ro.A distancia mnima do arco central da ponte parte recta de 6 metros.


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Sexan A e B os puntos de interseccin do arco central co nivel da auga do ro, e sexaO o punto medio do segmento AB.Considere a recta AB como o eixo de abscisas coa orixe no punto O, e onde unha

unidade corresponde a un metro.Por cada punto situado entre A e B de abscisax, a altura do arco, en metros, dada

por: )(936)( 06'006'0 xx eexf a) Mostre que, como a figura suxire, O o punto no que a altura do arco

mxima.b) Unha empresa est a estudar a hiptese de construr unha represa neste ro. En

tal caso, o nivel das augas no lugar da ponte subira 27 metros. Ficara a pontetotalmente somerxida?

c) Mostre que a distancia, en metros, entre A e B un valor comprendido entre43 e 44.

8. A magnitude aparente (m)e a magnitude absoluta (M)dunha estrela sonmagnitudes utilizadas na Astronoma para calcular a distancia (d)a que esa estrela seatopa da Terra.

As tres variables estn relacionadas pola frmula:10010

2)(4'0 dMm

A distancia d mdese enprsec(smbolopc), nome derivado do inglsparallax of onearcsecond (paralaxe dun segundo de arco).
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Parsec_b.png


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Nun senso estrito, oprsecdefnese como a distancia que unhaunidade astronmica(UA)subtende un ngulo dun segundo de arco (1"). Xeneralizando, unhaestreladistaun prsec se a sa paralaxe igual a 1 segundo de arco.

mluzanosUApc 16100857'326'32062651

a) A Estrela Polar ten 6'42 Mem . Calcule a distancia da Terra Estrela

Polar.b) Probe que )log1(5 10 dMm

9. Un paracaidista salta dun avin. cabo de cinco segundos, o paracadas abre. Unminuto despois de ter saltado, o paracaidista chega chan.

Admita que a velocidade do paracaidista (en m/s), medida tsegundos despois desaltar, dada, para certo valor de k, pola funcin:

605,276

50,)1(55)(

)5(7'1 tsee

tseetv

t

kt

a) Calcule ksabendo que v continua.b) Estude e interprete a monotona da funcin para .5t c) Comente a seguinte afirmacin: Despois da apertura do paracadas, a

velocidade ten unha variacin acentuada nos primeiros catro segundos, despoisdos cales estabilizase, permanecendo practicamente constante at a chegada chan.

10. Sexa a funcin )1ln()( xxxxf

a) Indique o seu dominio e ache as asntotas.b) Na figura estn representados unha recta re un trapecio OPQR.

Q ten abscisa 2 e est na grfica def; r tanxente grfica defno punto Q.P o punto de interseccin de rco eixo OX. R un punto do eixo OY coa mesmaordenada de Q.

Determine a rea do trapecio OPQR e presente o resultado en forma de fraccinirredutible.
http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_astron%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_astron%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_astron%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_astron%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_astron%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_astron%C3%B3mica


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11. Sexa c un nmero real maior que 1. Na figura est representada unha parte do

grfico da funcin cexf x )( .

A o punto de interseccin defco eixo OX. B o punto de interseccin defcoeixo OY. Demostre que, se a pendente da recta AB 1cm , entn .ec

12. Unha bola, pendurada dun resorte, oscila verticalmente.Admita que a distancia (en cm) da bola chan, t segundos despois dun certoinstante inicial, ven dada por:

,0,

4cos510)( 1'0 tcon

tetf t

Na figura de abaixo presntase parte da grfica desta funcin.

a) Indique o valor de )(lim tft

e interprete ese valor en termos do movemento da

bola.

b) Mostre que existe alomenos un instante, entre o terceiro e o cuarto segundo,no que a bola est a sete centmetros do chan.c) Resolva a ecuacin 10)( tf e indique cantas veces, nos primeiros quince

segundos, a bola pasa a dez centmetros do chan.

13. Malmequeres de Abaixo unha vila con cinco milhabitantes.a) Nun certo da ocorreu un accidente en Malmequeres de Abaixo, que foi

testemuado por algunhas persoas. Admita que, thoras despois doaccidente, o nmero (en millares) de habitantes que saban do ocorridoera, aproximadamente:

.0,1241

5)( 3'0 tcon

etf t


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Estude e interprete a monotona e as asntotas def.b) Algns das despois ocorreu certo accidente na mesma vila,

testemuado polas mesmas persoas. Neste segundo accidente, a noticiapropagouse mis rpido, segundo a funcin:

,0,1

5

)( tconaetgbt para certos a, b. Nunhas dez lias, refira o

que pode garantir sobre os valores de ae de b, comparando cada undeles co valor da constante correspondente da expresin analtica def.

14. Admita que longo dos sculos XIX e XX e dos primeiros anos do sculo XXI, apoboacin de Andaluca, en millns de habitantes, dada aproximadamente por:

.8'121

8'65'3)(

03 6'0 tetp

Con ten anos ( 0t corresponde inicio de 1864)

a) De acordo con este modelo, cal era a poboacin andaluza no ano 2003?b) En que ano a poboacn andaluza fo de 37 mlln de habtante?

15. Das bolas de plstico do mesmo radio, unha branca e a outra negra, flutan nasuperficie dun lquido contido nun recipiente. Por accin dunha forza exterior, olquido perdeu o estado de repouso no que se atopaba, tendo deixado de serconstante a distancia de cada unha das bolas base do recipiente. Estas distancias(en cm) dos centros das bolas base do recipiente, t segundosdespois do inicio daperturbacin, son:

Para a branca: ).sin(10)( 1'0 tetb t Para a negra: )sin(37'110)( 1'0 tetp t

En mbolos dous casos, con 0t .

a) Durante os primeiros cinco segundos despois do inicio da perturbacin houboalgns instantes nos que as das bolas estiveron a igual distancia da base dorecipiente. Cantas veces aconteceu iso?

b) Determine a distancia que vai do centro da bola branca centro da negramedio segundo despois do inicio da perturbacin, se sabemos que, nese


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instante, a distancia entre as respectivas proxeccins horizontais (na base dorecipiente) de 25 cm.

16. Na figura est representado un cadrado de lado 1.

O punto E est no lado AB e o punto F no lado AD, de xeito que AFAE . Sexaxa

amplitude do ngulo BEC.a) Mostre que o permetro do cuadriltero CEAF :

xxxf

sin

2

tan

22)(

b) Calcule )(lim

2

xfx

e interprete xeometricamente o resultado.

c) Mostre quex

xxf

2sin

cos22)('

e estude a monotona def.

17. Considere un tringulo rectngulo ABC de catetos AB y BC. Sexa 1AB exdesigna a amplitude do ngulo BAC.

a) Mostre que o permetro do tringulo :x

xxxfcos

cossin1)(

Cal o dominio desta funcin?

b) Sexa

2,0

tal que5

3

2cos

.Determine o valor def()

c) Obtea f e mostre quef crecente. Interprete xeometricamente o resultado.

18.

a) Mostre que a rea do tringulo ABC dada porx

xxf

tan

tan2575)(

2 para

calquera

4,0

x .

b) Poa

4

x , clasifique o tringulo e probe que a sa area

4

f .


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19.Considere a funcin definida en .0 por )2sin(sin)( xxxg .

a) Determine os seus ceros (ou races).

b) Obtea as asntotas dex

xgxh

cos

)()(

c)Mostre que a rea do tringulo da figura

2

,0,)( xparaxg

20.

Na figura .12, DEeDGBCAB

a)Mostre que a rea do tringulo ABC :

2,0,

tan

1tan2)(

2

xcon

xxxf

b) Mostre quexx

xxf

22 cossin

)2cos()('

c) Achexde xeito que a rea de ABC sexa mnima.

21.Na figura mstrase un cubo de aresta 2. Considere, para cada vrtice, os puntosdas arestas que estn a distanciax ( 10 x ) dese vrtice. Seccionando o cubopor planos que conteen eses puntos, obtemos o poliedro (cubo truncado)representado.


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a) Demostre que o volume do cubo truncado :3

424)(

3xxV

b) Determine o valor dexque minimiza dito volume. Para ese valor, indique exustifique cantas arestas ten o poliedro.

22.Na figura est representado un octaedro regular.

Un dos seus vrtices a orixe de coordenadas. A recta ST paralela eixe OZ.

O vrtice P pertence semieixe +OX e o vrtice R semieixe +OY.A aresta do octaedro ten medida 1.Sexa A un punto pertencente aresta RS. Considere a seccin producida no

octaedro por un plano que contn a A e que paralelo plano XOY.Sexaxa distancia de A a R.Considere a funcinf que, a cada valor dex, lle fai corresponder )(xf , a rea da

referida seccin. Obtaa e indique o seu dominio.


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23.a) Mostre que a rea do cuadriltero ABEG :

2,0)cossin1(2)(

xconxxxA

b) Determine

2)0(

AeA e interprteo.

c) Para que valores dexa rea 43?

24. Considere que a alturaA (en metros) dun rapaz pode se expresar, de xeitoaproximado en funcin do seu pesop(en quilogramos) por:

ppA ln55'052'0)(

a) Etme o peo de Xon Lo, que mde 140 metro.b) Verifique que, calquera que sexa o valor dep, a diferenza )()2( pApA

constante, e calclea.

25. Unha rampla para deportes radicais foi construda entre das paredesAe B, que

distan 10 metros. Considere a funcin hdefinida por:)1110ln(415)( 2 xxxh

Admita que )(xh a altura, en metros, do punto da rampla situadoxmetros

dereita da paredeA.a) Determine a altura da paredeA.b) Estude a monotona da funcin h e concla diso que, tal como suxire a

figura, nun punto equidistante das das paredes onde a altura da rampla mnima.

c) Mostre que )5()5( xhxh e interprete esta igualdade no contexto da

situacin descrita.


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26.

27. Admita que a intensidade da luz solar,xmetros baixo a superficie da auga, dada,

nunha certa unidade de medida, por: bxaexI )( (con 0x ), onde ae bson das

constantes positivas que dependen do momento e do lugar onde feita amedicin.a) Medicins efectuadas nun certo instante e en determinado lugar do OcanoAtlntico mostraron que, a 20 mde profundidade, a intensidade da luz solar era a

metade da sa intensidade na superficie da auga. Determine o valor de bpara esesinstante e lugar.b) Considere agora .10,05'0 ab Estude a monotona e as asntotas de )(xI e

interprete os resultados obtidos no contexto da situacin descrita.

28. A figura adxunta representa unparterrede forma circular con 5 mde raio. Oparterre ten unha zona rectangular que se destina plantacin de flores, e unhazona con herba, sinalada co sombreado na figura. Os vrticesA, B, C e D dorectngulo pertencen circunferencia que limita o parterre. Na figura estn tamn


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sinalados: * Dos dimetros EG e HF que conteen os puntos medios doslados do rectngulo. ** O centro Oda circunferencia.

*** O ngulo

BOFx , con .2

,0

x

a) Mostre que a rea (en 2m ) da zona con herba dada, en funcin dex, por:).2sin(5025)( xxg

b) Recorrendo Teorema de Bolzano, mostre que existe un valor dexcomprendido entre

46

e para o que a rea da zona con herba .30 2m

29.

Na figura est representado un lago artificial de forma rectangular.Pretndese construr unha ponte, ligando das marxes do lago, entre os puntos 1P

e ,2P tal como a figura ilustra. A ponte ten un punto de apoioA, situado a 12 m

dunha das marxes e a 16 mda outra. Sexaxa amplitude do ngulo .12

BPPx

a) Mostre que a lonxitude da ponte, en metros, :xx

xxxc

cossin

cos12sin16)(

b) Determine a lonxitude da ponte cando .21 BPBP c) Admita que, nun da de vern, a temperatura da auga do lago, en graos

centgrados, pode darse aproximadamente por: ,12

)7(cos417)(

ttf

onde trepresenta o tempo, en horas, transcorrido dende as cero horas deseda. Indique como vara a temperatura do lago longo do da.

d) Cales son as mellores horas para toma-lo bao, se un bo bao precisa que aauga estea a mis de 19C?

30.Na figura est representada a terra e unha nave espacial N.Considere que a Terra unha esfera de centro Ce raio r. A rea da superficie da terra visible da nave,representada co sombreado na figura, ven dada, en funcin do ngulo , por:


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),sin1(2)( 2 rf .2

,0

a)

Determine

para que sexa visible, da nave, a cuarta parte da superficieterrestre.b) Se chamamos h distancia da nave Terra, mostre que a rea da superficie

da Terra visible da nave :hr

hrhg

22)(

c) Calcule )(lim hgh

e interprete o resultado obtido no contexto da situacin

descrita.

31.Lnzase un proxectil segundo unha direccin que fai un ngulo agudo (chamadode arranque) coa horizontal, de acordo coa figura:

Para un certo valor da velocidade inicial, a ecuacin da traxectoria :

,tan)tan1()( 22 xxxh Con x e )(xh en quilmetros.

O lugar de lanzamento a orixe de coordenadas, e a abscisa do puntoA o alcancedo proxectil. O dominio da funcin hconsidrase .,0 a

a) Altura mxima atinxida polo proxectil para .3

b) Mostre que o alcance do proxectil ).2sin(2

1a

c) Mostre que tomando un ngulo de arranque complementario de , o proxectilvai caer no mesmo lugar.d) Determino o ngulo de arranque, de xeito que o alcance sexa mximo, e obtea

dito valor.


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32. Una funcin del estilo de sta:x

xf

31

4)( se llama funcin logstica.Fue

introducida en el estudio de la dinmica de una poblacin por el matemtico belga

P. F. VERHULST (1.804-1.849).Existen numerosos datos experimentales de crecimiento, especialmente paraprotozoos y bacterias, a los cuales se adapta bastante bien la grfica de estafuncin, que se llama curva sigmoidea. Esta curva es continua y carece de

asntotas oblicuas.a) Comprueba que la sigmoidea tiene dos asntotas horizontales.b) Comprueba que la sigmoidea no corta a OX y es siempre positiva.

c) Calcula )(1 xf y deduce que el recorrido def es 4.0 . (Ayuda: Despeja

la x enx

y

31

4e intercambia la y con la x. Despus analiza el

dominio de la funcin obtenida)d) Obtnf(x)y cercirate de que la sigmoidea siempre crece.e) Obtnf(x)y comprueba que hay nica inflexin en el punto (0, 2).f) Dibuja la sigmoidea, completando el anterior estudio con una adecuada

tabla de valores.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN(Planteamiento y resolucin)

1. La princesita de la derivada azul.


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La princesa est triste, qu tendr la princesa?Que su estancia est oscura, porque la luz no entra.Suea con una ventana en forma rectangularCoronada por un semicrculo,oh, cunta claridad!El permetro de la figura ha de ser de seis metros,Mas en la corte no encuentran adecuado arquitecto.

A cuantos le preguntan, la princesa les dice:La ventana ha de tener la mxima superficie!El rey ha prometido a su hija casarCon quien de la base sepa la medida ideal.(Recogido del cuaderno de Matemticas de Rubn Daro Jr.)

2.

Base: rx 2 Un tringulo issceles cuyo permetro vale 10 cm gira alrededor de su altura,

engendrando un cono. Hallar la base de dicho tringulo, de suerte que el volumendel cono sea mximo.

3. Ahorre usted papel, despilfarrador!


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La parte escrita ha de ocupar necesariamente 2400cm del folio. Los mrgenes de

la cabecera y el pie han de ser de 2 cmcada uno, y los del corte y el lomo, de 3 cmcada uno. Cules han de ser las dimensiones del folio para una mayor economa?

4. Evitando accidentes ferroviarios.

Dos lneas frreas se cruzan perpendicularmente. Dos trenes se acercanvelozmente hacia el cruce. Uno parte de cierta estacin B situada a 40 kmdelcruce; el otro, de una estacin D que dista 50 kmdel cruce. El primero marcha a800 m/miny el segundo va a 600 m/min. Cunto transcurrir desde la partidasimultnea de ambos trenes hasta que las respectivas locomotoras se hallen a lamenor distancia entre s, y cul es esa distancia?

5. Dnde construimos el apeadero?A 20 km del ferrocarril, cuya lnea es recta, se encuentra el punto poblado B.

(Ver figura). Dnde hay que construir el apeadero C para que en el viaje de A a Bpor la lnea frrea AC, y por la carretera CB se invierta el menor tiempo posible? Lavelocidad por ferrocarril es de 0,8 y por carretera de 0,2 kilmetros por minuto.

6. El recipiente del repelente infante Vicente.


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Un vecino mo est en la crcel acusado de infligir malos tratos a su hijo

Vicentito, de cuatro aos de edad. Lo que sucedi fue ms o menos losiguiente. Como Vicentito ya se aburra despus de haber destripado un buennmero de Functions Machines, mi vecino le dio un cartn en forma cuadradade 30 cmde de lado le djo: Toma, Vcentto; le corta en la equnta

cuatro cuadraditos, lo doblas lo pegas con Kolatikny ya tienes una cajita;luego le pones una cuerdita y ya tienes un carrito para que tires de l y

juegue. El no, una joa centfca de no, le repond: Pap, culessern las dimensiones de los cuadraditos que he de cortar de suerte que lacapacidad del ortoedro obtenido sea mxima y, por consiguiente, optimice lalocomocin de m materal ldco?. Como m vecno e qued un tantoperplejo, Pepto cog una de u hperblca rabeta apotll: Pue como

no lo sabes, el burro del carrito sers t, as que hazte t la cajita y tira de ella,que yo me voy a jugar a La Asntota Loca 3.0 en m PC. El no, claro et, etrag el cartn enterito y le tuvieron que operar de la tripita.

7. Calcular la altura y el radio de la base de un depsito cnicocuya generatrizmide 3 metros, de modo que su volumen sea mximo. Calcular la capacidad

(en litros) del depsito obtenido, justificando convenientemente con laderivada segunda. (Ayuda: Expresar el volumen en funcin de la altura).


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8. Dnde construir el embarcadero?

Desde la ciudad ribereaAhay que trasladar cargamento al punto B, situado akilmetros ro abajo, y a dkilmetros de la orilla del ro. Cmo debe trazarse lacarretera desde Bal ro para que el transporte de cargas desdeAhasta Bresulte lo ms barato posible, considerando que el transporte de una tonelada-

kilmetro por rio cuesta la mitad que por carretera? (Ayuda: Llamar D al lugarjunto al ro desde donde partir la carretera a B, y poner ADx )

9. a) El tronco de mayor volumen.De un tronco cilndrico debe sacarse una viga rectangular del mximo volumen.Qu forma ha de tener su seccin? (Ayuda: Llamar d(constante) al dimterode la seccin del tronco y llamarx a uno de los dados de la seccin rectangular)

b) La viga ms slida.La solidez de una viga de seccin rectangular es proporcional al producto de

su anchura por el cuadrado de su altura. Halla las dimensiones de la viga demadera ms slida que puede obtenerse de un tronco cilndrico cuya seccin

tiene un dimetro de acm.


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10. La construccin de una casa.En el solar de una casa derruida, donde queda en pie tan slo una pared de 12metros de largo, se proyecta la construccin de un nuevo edificioaprovechando el muro existente. La superficie de la nueva casa ha de ser de112 metros cuadrados. Las condiciones econmicas para la obra son:

La reparacin de un metro lineal de pared vieja equivale al 25 % de loque cuesta levantar una nueva.

El derribo de un metro lineal de pared vieja y la construccin de unanueva con el ladrillo recobrado alcanza el 50 % de lo que costaralevantarla con material de fbrica.

En estas condiciones, cmo sera ms ventajoso aprovechar la pared vieja?(Ayuda: Llamar a(constante) al valor de cada metro lineal levantado conladrillo nuevo).

11.La parcelaa) Con el fin de construir una casa de campo se precisaba cercar la parceladestinada a este fin. Se contaba con material para lmetros lineales de valladonuevo. Adems, en uno de los lados de la parcela poda emplearse una vallaconstruida con anterioridad. En estas condiciones, cmo hubo que cercar laparcela rectangular para abarcar la mayor superficie posible?


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b) Junto a un camino se desea cercar una parcela rectangular. La valla del ladoque et junto al camno cueta a 080 el metro, para lo otros lados vale a040 el metro. Se dpone de 144 . Cul e la uperfce de la maor parcela

que se puede cercar?12.El embudo de mayor capacidad.

Debemos construir la parte cnica de un embudo valindonos de un crculo dehojalata. Para ello se corta un sector circular en dicho crculo y, con el resto, seconstruye el cono. Cuntos grados debe tener el arco del sector que se hacortado para que el embudo alcance la mayor capacidad posible?

13.Este problema ha provocado la ltima huelga de RENFE, ya que la direccin dela compaa ha propuesto subir el sueldo solamente a los maquinistas que loresuelvan. El coste de aceite pesado para mover una locomotora esproporconal al cuadrado de la velocdad, e de 20 /hora a una velocdad de

40 km/h; pero otros gastos, independientemente de la velocidad, importan 60/h. Hallar la velocdad que mnmza el cote por klmetro.

14. El joyero torpe.Un rub pesopgramos y vale V . Pero va e rompe en do trozo, uno de locuales pesax. El caso es que los rubes, en cuantos ms gordos sean, ms secotizan; en concreto, el valor de un rub es directamente proporcional a la razcuadrada del cubo de su peso. Calcular la depreciacin )(xD en el precio inicial

Vdel rub a causa de la rotura. Determinar tambinxpara que la depreciacinsea mxima y obtenerla.

15.Este problema es para matemticos de teta. Un reconocido y perspicazfabrcante de chupete de la marca Seora, si su nio se pone impertinente,mjele el chupete en aguardiente, ha observado que, si vende cada chupete a120 , e capaz de vender 1000 undade dara; pero, por cada 010 que

aumente el precio del chupete, disminuye en 100 unidades la venta diaria.Qu le conviene hacer?


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16.Un rstico manchego sabe que, si vende hoy su cosecha de 80 Tm de cebada, lepagarn 12 cntimos por kilo y, por cada semana que retrase la venta, lacoecha en el granero dmnur en 500 klo, pero el preco aumentar en 01

cntimos por kilo. Calcular cundo le conviene vender para que el beneficio seamximo.

17.El problema de los flotadores.La fbrica de cervezas Carlsmierden decide lanzar al mercado latas de 1/3 delitro de cerveza. Qu dimensiones debe dar a las latas cilndricas para mayorahorro de material? Por qu se llama ete problema de lo flotadore?

18.La cometa.Una cometa tiene forma de sector circular. Calcular cules han de ser lasdimensiones que maximizan la superficie de la cometa, siendo constante elpermetro dde sta. Obtener tambin el ngulo del sector circular obtenido.

19.La tienda de campaa.Este problema ha sido propuesto a todos los boy-scots y ninguno ha sido capaz

de resolverlo. Demuestra que una tienda de campaa cnica, de capacidad fijadada V, requiere la menor cantidad posible de lona cuando la altura es 2 veces el radio de la base. Y que, extendida sobre el suelo, es un sector circularde '.48207 Cunta lona se necesitara para una tienda de 3 mde altura?


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20.Matemticas en el museo.

Un cuadro de 140 m de altura pende de la pared de modo que u borde

nferor e encuentra a 180 m m arrba que el ojo del obervador. A qu

distancia de la pared deber colacarse ste a fin de adoptar la posicin ptimapara ver el cuadro (esto es, que sea mximo el ngulo bajo el que ve elcuadro)?

21.Cierto cata quiere construir un depsito en forma de prisma de base cuadrada

y sin tapa, con una capacidad de 27.000 litros. El material con que seconstruyen las paredes cuesta 2/60 m y el material para el fondo cuesta

2/120 m . Qu dimensiones ha de tener el depsito para que su construccin

sea lo ms econmica posible? En cunto nos sale dicho depsito?22.La forma de una ventana es como la que muestra la figura (un rectngulo

coronado por un tringulo rectngulo e issceles). Si el permetro total esconstante y vale 4 m, obtener la longitud del cateto del tringulo de maneraque la superficie total de la ventana sea mxima. Comprobar finalmente que lalongitud obtenida ha de coincidir con la altura del rectngulo.


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23.De todos los trapecios issceles con tres lados iguales (de longitud dconstante), qu ngulo de la base tiene el de mxima superficie?

24.Un prisma triangular regular (cuyas bases son tringulos equilteros) tiene32cm de volumen. Calcularx (el lado de la base) y h(la altura del prisma) de

manera que la superficie total sea mnima. Cunto vale sta?

25.Hallar los lados del rectngulo de mximo permetro que puede ser inscrito enuna semicircunferencia de radio constante R.

26.Un lado de un tringulo mide 2 my el permetro de dicho tringulo es de 10 m.Hallar la medida de los otros dos lados, sabiendo que la superficie del tringuloes mxima. Cunto vale dicha superficie mxima? (Ayuda: Utilizar la frmulade Hern).

27.Un rectngulo de permetro conocido d gira alrededor de uno de sus lados,engendrando un cilindro. Calcule las dimensiones de dicho rectngulo, desuerte que el volumen del cilindro engendrado sea mximo.


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28.Con una cuerda de 100 metros de largo se han de cercar dos jardines: uno

cuadrado y otro circular. Llamandoxal trozo de cuerda destinado a cercar eljardn circular.

Escribir el rea conjunta de ambos jardines en funcin de x. Determinar el valor dex que ms le conviene al jardinero, presidente

vitalicio del Club Local de Vagos, amante de jardines de rea mnima.

29.Un tringulo rectngulo tiene 14 metros de permetro.

Calcular sus catetos de modo que su superficie sea mxima.

30.Se desea construir un cilindro de volumen fijo V.Hallar la relacin entre su sualtura y el radio de la base para que su superficie sea mnima.

31.Hallar la altura y el radio de la base del cilindro de mximo volumen inscrito enuna esfera de radio fijo R.

32.Un depsito de chapa (en forma de cpsula) est formado por un cilindrorematado en sus bases por semiesferas. La superficie total es constante y vale

.2 2m Calcular la altura del cilindro y el radio de la base de modo que el

volumen del depsito sea mximo.


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33.Calcular la altura y el radio de la base del cono de volumen mnimo circunscritoa una esfera de radio m3 .

rCAhBCDCDEDBE

,,3,

34.Sobre un segmento AB de 10 cm de longitud se considera un punto variable P.

Hallar la medida del segmento APde manera que la suma de las reas de los

tringulos equilteros de lados APy ,PB respectivamente, sea mnima.

35.El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los

cuadrados inscritos en el cuadrado dado, halla el de rea mnima.

xAQ

36.Dos puntosAy Bson diametralmente opuestos entre s, estn situados en elborde de una piscina circular cuyo radio es 0.1 km y su centro es M. Un hombredesea ir de B aAy, como no tiene prisa, decide ir nadando desde Ba un punto

Xdel borde, siguiendo la cuerda BX , y, luego, caminando a lo largo del borde,desdeXhastaA. Sabiendo que nada a una velocidad de 2 km por hora y camina

a la de 4 km por hora, calcula el ngulox que forman los radios MB y MXparaque el tiempo empleado en el trayecto sea el mximo posible. Qu caminodebera seguir para emplear el mnimo tiempo posible?


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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN

(Fsica, Qumica, Biologa,)1. Cuando acercamos un tomo a otro tomo fijo del mismo elemento, el primero

adquiere una energa potencial

612

4)(rr

rV

, donde res la

distancia que separa a ambos tomos, y son dos constantes cuyo valor

depende del medio y de la especie qumica respectivamente. Esto es lo que sellama potencial de Leonard-Jones (1.924). A qu distancia estn los tomosen equilibrio? (Hay equilibrio cuando la energa potencial es mnima)

2. El plomo 214 ( 21 4Pb ) es una sustancia radiactiva que se desintegra

convirtindose en bismuto 214 ( 21 4

Bi ), que, a su vez se desintegra dando lugaral polonio 214 ( 21 4Po ). Las velocidades de desintegracin de ambos procesos,con el tiempo medido en minutos, son 035'0,026'0 21 respectivamente.

En la Teora de la Radiactividad se demuestra que si, inicialmente tenemos una

cantidad 0N de21 4Pb de una cadena radiactiva, la cantidad que existe de 21 4Bi

al cabo de un tiempo tes tt eeNtN 2112

01)(

Si disponemos de un gramo de 21 4Pb , en qu instante de tiempo es mxima la

cantidad de 21 4Bi ?


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3. Se demuestra en Hidrodinmica que la velocidad de las olas en una superficie

lquida es

TgV

2

2)( , donde ges la constante de la gravedad, Tes el

coeficiente de tensin superficial, es la densidad del lquido y es la

longitud de onda de dichas olas. Esta es la ecuacin de Boussinesq (1.872).Encontrar para qu longitud de onda la velocidad de las olas es mnima.

4. Las abejas construyen las celdillas de los panales elevando sobre una baseregular hexagonal de lado s un prisma recto de altura hy lo acaban en triedro.Esto fue estudiado por Thompson (1.917).Cuando el volumen es fijo, resultaeconmico ahorrar cera y, por tanto, escogerx (ngulo de inclinacin de lacara del triedro) de forma que la superficie exterior de la celdilla se minimice.

Dicha superficie es:

x

xshsxAsin

cos32

36)(

2

Se ha medido dicho ngulo en distintas colmenas y las abejas lo hacen conbastante aproximacin al valor terico que vamos a calcular. No es probableque el resultado se deba a la casualidad. Podemos suponer, por el contrario,que la presin de la seleccin natural tiene un efecto sobre la obtencin dedicho ngulo.


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5. Un pez nada contra corriente a una velocidad constante v.El agua tiene unavelocidad wcon respecto al suelo. El pez intenta alcanzar un punto a undistancia saguas arriba. La energa requerida est esencialmente determinadapor la friccin del agua y por el tiempo necesario para alcanzar el objetivo. Los

experimentos han demostrado que esta energa es: ,)( wv

scv

vE

k

donde20 kyc son constantes; en particular, k depende de la forma del pez.

Qu velocidad vminimiza la energa?

6. Sea vla velocidad de un pajarito. Sea Nsu peso y sea dla densidad del aire. Elnaturalista C.J. Pennycuick, en THE MECHANICS OF BIRD MIGRATION(1.969),descubri la siguiente frmula para la potencia Pque tena que mantener el

pjaro durante el vuelo: ,22

)(32 dAv

dsv

NvP donde syAson ciertas

constantes relacionadas con la forma y el tamao del pjaro. Qu velocidad vminimiza P?

7. El gasto de energa de algunos pjaros al volar se puede medir; para elperiquito de Australia (Melopsttacus undulatus), el gasto de energa en caloraspor gramo-masa cada kilmetro se puede hallar mediante la frmula obtenida

por Klaus Schmidt-Koenig (1.971):

,22)35(074'0

)(2

v

vvE

donde v es la

velocidad del periquito en km/h (la velocidad del viento no se considera). Cules la velocidad ms econmica?

(El bilogo K. Schmidt-Koenig)


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8. La intensidad de la luz es directamente proporcional al coseno del ngulo queforma el rayo incidente con la perpendicular a la superficie e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia d del foco de luz al objeto. Esto es:

,cos

)(2d

KxI

dondexes la altura a la que est el foco de luz.

a)A qu altura de la mesa debe hallarse la llama de una vela para que iluminecon la mayor intensidad a una moneda colocada sobre dicha mesa?

b) En el centro de la plaza de Goin, que es circular y de 20 mde dimetro,quieren colgar un farol. A qu altura debe colgarse ste, de modo que losbordes de la plaza queden iluminados al mximo?

9. Consternado porque se me quem el hornillo elctrico, os planteo el siguienteproblema: Una pila elctrica de f.e.m. Ey resistencia interna rse conecta a unaresistencia exterior R. La potencia elctrica viene dada por la frmula:

2

2

)()(

rR

RERP

Cul ha de ser el valor de la resistencia exterior Rpara que el calor producido

en ella por el efecto Joule ea mxmo?

10.Se ha comprobado experimentalmente que, si se toma una cierta cantidad deagua, pongamos 0V litros, a la temperatura e 0C y se va calentando, el

volumen del agua vara, de manera que dicho volumen Vresulta ser funcin dela temperatura tsegn la ley:

2501041081061()( 382650 tcontttVtV .

A qu temperatura la densidad del agua es mxima? Comentar, a la luz deesta funcin, el anmalo, pero vital, comportamiento del agua.


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11.Si realizamos una fuerza de intensidad dadaf para arrastrar un cuerpo de masam, la fuerza eficaz que se aplica es: ),sin(cos)( xfmgxfxF siendo

el coeficiente de rozamiento y siendoxel ngulo que forma la fuerza realizadacon el suelo (horizontal). El coeficiente de rozamiento entre una mesa y eluelo del aula de la prnceta e de 02. Con qu ngulo deberemo trar de

la mesa para moverla de modo que la aceleracin imprimida al arrastrarla seamxima?

(scar, transportado como un prncipe)12.La acidez de una solucin acuosa se mide por el pH (iniciales latinas de

potentia Hydrogenii ) que viene dado por: ,logxpH con Hx (concentracin de hidrogeniones) medida en ./ 3dmmol El producto de

Hx y OHy (concentracin de iones hidrxilo) es constante y

prximo a .10 14 Esto es: .1410 14 pOHpHxy

a) Admitamos que la sangre arterial humana tiene un 4'7pH . Cul es

la concentracinx?b) En el caf, la concentracinxtriplica a la de la leche. Cul es la

diferencia entre ambospH?c) QupHha de tener una disolucin para que sea mnima la suma de las

concentraciones de ambos tipos de iones?

13.En la escuela de mi pueblo eran tan bestias que a los nios que no saban hacerete problema lo electrocutaban en una llta elctrca. Cuando do placa

de un condensador cargado, de capacidad C, se ponen en contacto mediante uconductor dotado de resistencia Ry coeficiente de autoinduccin L,elcondensador se descarga a travs del conductor. Se demuestra que la


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intensidad de la corriente que atraviesa el circuito, en funcin del tiempo t de

descarga, es: ),sin()( 0 bteItI at donde

L

Ra

2 y

LCb

1

Halla los mximos, mnimos y puntos de inflexin de )(tI para los valores

2R (ohmios) , HL 1 (henrios) y FC 000001'0 (faradios).

Qu aspecto presenta la grfica de )(tI ?

(Ayuda: En los resultados, aproximar los nmeros muy grandes por y losmuy pequeos por 0)

14.El sistema vascular sanguneo consta de arterias, arteriolas, capilares y venas. Eltransporte de sangre desde el corazn a todos los rganos del cuerpo y lavuelta al corazn debe ser lo ms efectiva posible. Con un mnimo gasto deenerga, el cuerpo debe ser alimentado rpidamente con los componentes dela sangre. La optimacin debe alcanzarse de diversos modos. Por ejemplo, cadavaso debe estar suficientemente vaco para evitar la turbulencia y loseritrocitos deben mantenerse en un tamao que minimice la viscosidad. Eneste caso, nos limitaremos a un problema especial de optimizacin: el de la

ramificacin vascular. Dos vasos sanguneos de radios y rrespectivamente seintersecan formando un ngulo . Se trata de encontrar el ngulo queminimiza la resistencia total de la sangre a lo largo del trayecto que la hacepasar de un vaso al otro. Cuanta menor es la resistencia, menos energa gastael corazn en bombear. R. Rosen (1.967) estudi que dicha resistencia viene

dada por: ,sin

cot)(

44

r

sstkR donde kes un factor constante

determinado por la viscosidad de la sangre, ty sson dos longitudes (ver figura).

Obtener el valor ideal de , para una proporcin de radios .

4

3

r

rr

r

2

1


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15. La fuerza ejercida por el campo magntico creado por la corriente elctricaque circula por una bobina de radio rsobre un pequeo imn situado a unadistancia d (variable) del centro de dicha bobina, viene dada por:

25

22

)(

rd

kddF

(con ,0k constante). Calcular el mximo valor de F.

PROBLEMAS DE DIFERENCIALES1. Una pieza metlica de forma circular y radio cmr 90 se dilata por un aumento

de temperatura, de manera que su radio aumenta .01'0 cmr Calcula de

manera aproximada, haciendo uso del concepto de diferencial, el incremento devolumen que experimenta la pieza.

2. Medimos el tamao de un cuerpo de forma cbica y obtenemos para el lado elvalor .30 cma Suponiendo que nuestra medida est afectada de un error

mximo de 1 mm,estima el error mximo que cometemos al calcular elvolumen del cubo.

3. Un proyectil se mueve verticalmente, de manera que la altura h(en metros)

que alcanza al cabo de tsegundos viene dada por .5200)( 2

ttth Cuando,8segt el proyectil se encuentra a cierta altura. Determina de forma

aproximada cunto ms habr subido cuando .5'8 segt

4. Considera un reloj de pndulo, de perodo .2segT Si, por efecto del calor, el

pndulo se dilata de manera que su longitud aumenta ,1'0 mm determina cunto

se retrasa dicho reloj en un da.


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5. El iris de nuestro ojo acta como un diafragma. En qu medida afecta una

pequea variacin de la intensidad de la luz recibida a su abertura, si laintensidad de la luz es directamente proporcional al cuadrado del radio de lapupila?

6. Cuando un msculo se contrae contra una fuerza F(por ejemplo, un peso), lavelocidad V de acortamiento decrece al aumentar la fuerza. A.V. Hilldescubri

en 1.938 que ,))(( cbVaF con las constantes positivas apropiadas a, b, c.Expresar Ven funcin de F.Cmo afecta a Vun pequeo cambio de F?


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7. En Termodinmica, el comportamiento de un gas se describe mediante la

llamada ecuacin de estado de Van der Waals ,2

nRTbVV

ap

donde

a y bson constantes que dependen del gas del que se trate y las dems letrastienen el mismo significado que en la ley de los gases perfectos.Contemperatura constante, la ecuacin dada define una funcin )(pV . Obtn la

diferencial de esta funcin.8. Con un mnimo gasto de energa el cuerpo debe ser alimentado rpidamente

con los componentes de la sangre. Por ejemplo, cada vaso sanguneo debe estarsuficientemente vaco para evitar la turbulencia y los eritrocitos debenmantenerse en un tamao que minimice la viscosidad. El fisilogo francs J.L.M. Poiseuielle obtuvo, a mediados del siglo XIX que, en el flujo laminar, laresistencia Rde la sangre es proporcional a la longitud ldel vaso sanguneo einversamente proporcional a la potencia cuarta del radio rde la seccin, siendola constante de proporcionalidad determinada por la viscosidad de la sangre.Cmo afecta a la resistencia una pequea variacin del radio del vaso? (En

honor de Poiseuielle, la viscosidad se mide enpoises, 11 MTL )


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9. La temperatura no es la misma en todos los puntos de un alambre. Supongamosque a centmetros del extremo izquierdo la temperatura es de Uninsecto avanza paso a paso sobre el alambre a una velocidad de / Elinsecto advierte que la temperatura sube a medida que avanza. A quvelocidad aumenta (en

/

la temperatura del alambre cuando el insecto

est a 3 cm del extremo fro?

10.Unas mquinas excavadoras acumulan tierra a razn de y formanun cono de altura igual a su radio. Cul es la razn de cambio de su altura en elinstante en que sta mide 20 m?

11.El radio de una esfera vara con el tiempo. Hallar el valor del radio cuando lasvelocidades de crecimiento del rea y del radio son iguales.

12.La arena que cae de una tubera forma un montn cnico cuya altura es siempre

4/3 del radio de la base.a) En el instante en que el radio de la base es de 3 cm y est creciendo a razn de/, a qu ritmo est creciendo el volumen?b) Cmo est creciendo el radio cuando es de 6 cm y el volumen est creciendo a

razn de /?13.Dos lados paralelos de un rectngulo estn aumentando de longitud a razn

constante de /, mientras los otros dos estn disminuyendo de talmanera que la figura sigue siendo un rectngulo de rea constante igual a

a) Cul es la razn de cambio del permetro cuando la longitud de cada lado

creciente es de 5 cm?

b) Cules son las dimensiones cuando el permetro cesa de decrecer?

14.En condiciones ideales, el ritmo de cambio de la presin del aire, respecto de laaltura sobre el nivel del mar, es proporcional a la presin en esa altura. Lapresin del aire al nivel del mar es de 750 mmHg y a 5.500 metros es de 375mmHg. Calcular la presin a una altura de 10.000 metros.

15.La presencia de toxinas altera la cantidadde bacterias en un cierto cultivo.La razn de crecimiento de bacterias es proporcional al nmero de bacterias

y

al de toxinas segn la ecuacin diferencial: , con Supongamos que la cantidad de toxinas crece con velocidad constante y queinicialmente no hay toxinas en el cultivo, y que el nmero inicial de bacterias es

a) El nmero de bacterias, aumenta o disminuye con el paso del tiempo? Hay

algn instante en que la cantidad de bacterias es mxima?

b) Calcular el nmero fnal de bactera.

c) Representacin grfica de

sin estudiar concavidad.


45/87

16. La altura del nivel del agua que fluyepor un orificio en el fondo de un tanque cilndrico est dada por: / En donde son las reas de las secciones transversales del tanque y elorificio, respectivamente. Determine la funcin sabiendo que el nivel inicialde agua es de 20 m, que

. Cunto tiempo tardar

el tanque en vaciarse?17.La velocidad de cambio de la presin atmosfrica (medida en milmetros demercurio) con respecto a la altura (medida en metros) es proporcional a lapresin (en condiciones ideales). Si la presin es de 760 mm de mercurio alnivel del mar ( ) 67271 mm de mercuro a una alttud de 1.000 metro,calcular la presin a una altura de 3.000 metros.

18.La cantidad (en miligramos) de cierto compuesto qumico que se descomponebajo la influencia de un catalizador de platino, satisface la ecuacin:

Cunto tiempo tardarn en descomponerse 5 mg de ese compuesto qumico?

19.A kilmetros de altitud, la presin atmosfrica es de mlbare.Un cohete sube verticalmente con una velocidad de km/eg.A qu velocidadcambia la presin atmosfrica cuando la altura del cohete es de km?

20.La intensidad con la que se realiza la fotosntesis de una planta estrelacionada con la energa solar que recibe por unidad de superficie, mediantela frmula:

Encontrar la velocidad con que vara laintensidad, cuando

/

y la velocidad de

decrece a razn de

/


46/87

21.La longitud de un rectngulo crece a razn de 7 cm por segundo, en tanto quesu ancho decrece a razn de 3 cm por segundo. Hallar la razn de cambio de susuperficie en el instante en que la longitud es de 12 cm y la anchura es de 5 cm.

22.Se prepara una solucin que contiene 500 unidades de cierta droga por cadamililitro. Despus de 40 das contiene 300 unidades por mililitro. Sabiendo que

el ritmo de descomposicin es proporcional a la cantidad de droga presente,hallar la funcin que describe la cantidad de droga que queda tras das.

23. Se usa cierto medicamento paraanestesiar a un individuo. ste queda anestesiado cuando la cantidad de dichomedicamento en su sangre es, por lo menos de por kilo de peso delindividuo. La razn a la cual se elimina dicho medicamento es proporcional a lacantidad presente en cada instante (administracin intravenosa en Bolus); elfactor de proporcionalidad se denomina constante de eliminacin. La vida mediadel medicamento (tiempo que se tarda en eliminar el 50 %) es de 5 horas. Qudosis se debe administrar para tener anestesiado durante una hora a unindividuo de 70 kilos de peso?

24.Un paciente se ha intoxicado con un medicamento cuya vida media es de 3horas y cuya administracin ha sido intravenosa en Bolus. La concentracinhemtica no txica es de /. En el momento actual, la concentracin es de / Qu tiempo tendr que transcurrir para que la concentracinhemtica se haya reducido a un nivel no txico?

25.Se administr una dosis de 300 mg de fenitona sdica por va intravenosa enBolus a un paciente epilptico. Transcurridas 20 horas, se le administra de

nuevo una segunda dosis de 300 mg. Las constantes farmacocinticas de estemedicamento son:Vida media: 15 horas. Constante de eliminacin: Volumen de distribucin: 50 litros.

a) Obtener y representar la evolucin de la concentracin a lo largo del tiempo.

b) Durante cunto tiempo la concentracin de fenitona sdica fue superior a /?26.Un avin vuela a una altura constante de 6 km y se aproxima a un objetivo en

tierra. Sea

la distancia en kilmetros entre ambos. Si

est decreciendo a

razn de 400 km por hora, cul es la velocidad del avin cuando ?ntonius Benedictus


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MODELOS DE EXMENES DE EVALUACIN:Modelo n 1

I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS 2 BACH. B 2007-2008CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 AVALIACIN 1 VOLTA

La pense est semblable au compas qui perce le point sur lequel il tourne, quoique sa

seconde branche dcrive un cercle loign. Lhomme succombe sous son travail; mais

la ligne que lautre branche a dcrite reste grave jamais pour le bien des races

futures (ALFRED DE VIGNY. Journal dun pote1830)

O pensamento parcese comps, que fura o papel no punto onde xira, mentres o

outro brazo descrebe un crculo lonxe. O home rndese afogado polo seu traballo;pero a lia que fae o outro brazo fica sinalada para sempre, para ben das futurasxeracins

BLOQUE 1

OPCIN 1:Considrase a funcin :f definida do xeito seguinte:

35

30

01

1

)(

2

xcandox

xcandobax

xcandox

xF

a)(1 punto)Calcula aebpara que sexa continua.

b)(1 punto)Para eses valores obtidos de ae b, calcula a derivada deFonde exista.c)(2 puntos)Estuda a representa a funcin:

1

1)(

2

xxf . (PAU Cantabria, Xuo 2006)

OPCIN 2:

a)(2 puntos)Calcula: dxxxx

x

44

223

(PAU Cantabria, Xuo 2006)

b)(2 puntos) Calcula:20 )1(

cos1lim

xx e

x (PAU Castela-A Mancha, 2001)

BLOQUE 2

OPCIN 1: (3 puntos)

a) Calcula os valores dos coeficientes b,c,d de sorte que a grfica da funcincbica: dcxbxxxf 23)( corte eixo OY no punto (0, -1), pase polo

punto (2,3), e, nese punto, tea tangente paralela eixo OX.b) Cando foren achados eses valores, calcula os mximos e mnimos relativos, os

intervalos de monotona, os puntos de inflexin e os intervalos de curvatura def.

(PAU Castela-A Mancha, Setembro 2005)


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OPCIN 2: (3 puntos)Unha nova empresa de refrixerantes pretende lanzar no mercado embalaxes de zume defroita, con capacidade de dous litros. Por cuestins de marketing, as embalaxes debernter a forma dun prisma regular de base cadrada.

a)Mostra que a rea total embalaxe ven dada por:x

xxA

82)(

3

(x a arista da base en dm)b) Mostra que existe un valor de x para o que a rea total da embalaxe minima,determnao e xustifcao.

(PAU Portugal 2003)

BLOQUE 3

OPCIN 1: (3 puntos)

a) TEOREMA DE BOLZANO: Enunciado e interpretacin geomtrica.

b) Demostra que a ecuacin 034 35 xx ten alomenos unha raz (ou solucin)no intervalo 1,1 .

c) Xustifica dalgn xeito que nese intervalo hai unha nica solucin da ecuacinproposta.(PAU Castela e Len, Xuo 2005)

OPCIN 2: (3 puntos)

a) TEOREMA DO VALOR MEDIO DO CLCULO INTEGRAL: Enunciado e

interpretacin xeomtrica.b) Calcula:

dx

x

x

221 (PAU Castela e Len, Setembro 2002)

c) Unha empresa estima que a tasa de variacin de gastos de matemento dos seusequipos informticos ven dada pola funcin: 240100100)( tttM , onde tmdese en anos eM(t)en euros/ano.Calcula a rea encerrada pola curva anterior e o eixe de abscisas entre os valores t=0e t=5. Explica o significado prctico deste resultado.(PAU Canarias, Xuo 1998)

SORTE E CARRAXE:


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Modelo n 2

I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS 2 A (BACH)CLCULO DIFEENCIAL E INTEGRAL3 AVAL. 1 VOLTA

Bloque 1OPCIN 1:a) (1 punto)Teorema de Weierstrass: Enunciado e interpretacin geomtrica.b) (2 puntos)Determina, se posible, o valor (ou valores) de kpara que a seguinte

funcin sexa continua enx = 0.

0)2(

012

1)(

2

2

xsekx

xseex

exxf x

x

(PAU Castela-A Mancha, Setembro 2006)

OPCIN 2:a) (1 punto)Teorema do valor medio do clculo diferencial: Enunciado e

interpretacin xeomtrica.b) (2 puntos) Certa funcinf,derivable en toda a recta real, verifica:f(0) = - 2 , f(2) = 6

Aplicando o teorema anterior, proba que existe alomenos un valor c nointervalo 2,0 tal que: 4)(' cf .

Se, ademis,f ten unha funcin derivada que continua, e 0)0(' f ,

xustifica dalgn xeito que hai un punto d no intevalo 2.0 no que .3)(' df (PAU Castela e Len, Setembro 2002)

Bloque 2(3 puntos)OPCIN 1:

Sexa )96()( 2

xxexf x . Pdese:a) Dominio, cortes cos eixos e asntotas.b) Intervalos de monotona. Mximos e mnimos relativos.c) A partires dos resultados anteriores, obtn o menor valor de c para que se

verifique: .2,)96( 2 xtodoparacxxe x (PAU Cantabria, Xuo 2001)OPCIN 2:Unha imprenta recibe a encarga de desear un cartel coas seguintes caractersticas: a

parte impresa ten que ocupar 100 2cm , a marxe superior ten que medir 3 cm, a inferior2 cm, e as marxes laterais 4 cm cada unha. Calcula as dimensins que debe ter o cartel,de xeito que se empregue a menor cantidade posible de papel. Justificar axeitadamente o

resultado obtido. (PAU Castela- A Mancha, Xuo 2005)

Bloque 3(4 puntos)Para os que van optar por CC.TT.

Estudio completo e representacin da funcin:1

)(2

x

xxf

(PAU Castela e Len, Xuo 2003)Para os demis:

a) Achar:

dxexedxxx

x x222

)72(12

2

(PAU Castela- A Mancha, Xuo2006) b)rea do recinto limitado polas curvas xxyexxy 26 22 (con grfica)


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(PAU Castela e Len, Setembro 2004). NIMO E SORTE.Modelo n 3

CURSO 2.007/2.008I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS 2 BACH.BCLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 3 EVAL. 2 VUELTA

BLOQUE 1 OPCIN 1: (3 puntos)La profundidad de la capa de arena en una playa se ver afectada por la construccin deun dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendr dada por la siguiente funcin(P es la profundidad en metros y tes el tiempo en aos desde el inicio de construccin).

12

18

102

)(2

2

2

tparat

tt

tparat

tP

Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debera elevar la altura del paseomartimo.

a) Es la profundidad una funcin continua del tiempo?

b) Disminuir alguna vez la profundidad? Por mucho tiempo que pase, sernecesario elevar la altura del paseo a causa de la profundidad de la capa dearena?

c) Dibuja la grfica de la funcin de forma aproximada. (Asturias, Junio 2007)BLOQUE 1 OPCIN 2:(3 puntos)

Calcula las integrales: dxx1

2(Castilla-La Mancha, Junio 2007)

dxxx )5cos( 2 y xdxx cos

2 (Navarra, Junio 2007)

BLOQUE 2 OPCIN 1: (3 puntos)Sea h una funcin derivable en toda la recta real, de la que se conocen los siguientes

valores. 1)2('3)2( hyh . Se considera la funcin: 3)()( 22 xxhxf

Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica def en el punto de abscisax = 2.(Pas Vasco, Junio 2007)

BLOQUE 2 OPCIN 2:a) (1 punto) Teorema de Rolle: Enunciado e interpretacin geomtrica.

b) (1 punto)2

2

0

11lim

x

x

x

(Asturias, Junio 2007)

c) (1 punto) cbxaxxxf 23)( . Hallar a,b,c sabiendo que:

Las tangentes a esta curva en los puntos de abscisas x = 2 y 4x sonhorizontales, y el punto de inflexin de la curva est en el eje OX. (Valencia, Junio 2007)

BLOQUE 3 OPCIN 1: (4 puntos)

Estudio completo y representacin grfica de1

)(2

x

xxf (Castilla Len, Junio 2007)

BLOQUE 3 OPCIN 2:a) (1 punto) Teorema fundamental del Clculo Integral): Enunciado e

Interpretacin geomtrica.

b) (1 punto) Calcula la derivada de la funcin x

dttxf0

2 )cos()(

(Murcia, Junio 2007)


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c) (2 puntos) Calcula: 62 xxdx

(Navarra, Junio 2007)

Modelo n 4

I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS 2 BACH.CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 EVAL. 2 VUELTA

BLOQUE 1 OPCIN 1 (3 puntos):Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 3m . Se

sabe que la prdida de calor a travs de las paredes laterales es de 100 kcal por metrocuadrado, mientras que a travs del techo es de 300 kcal por metro cuadrado. La prdida

por el suelo es tan pequea que puede considerarse nula. Calcula las dimensiones de lacaldera para que la prdida de calor sea mnima. (Catalua, Junio 2007).

BLOQUE 1 OPCIN 2 (3 puntos) Estudio y representacin grfica de la funcin:

4

)(2

2

x

xxf (Pas Vasco, Junio 2007)

BLOQUE 2 OPCIN 1:(3 puntos) Dada la funcin

4sin)( x

xxf

, demuestra que

existe 4,0 tal que )1()( ff . Menciona los resultados tericos que utilices.

(Ayuda: usa una nueva funcing construida adecuadamente a partir def)

(Navarra, Junio 2007)

BLOQUE 2 OPCIN 2: (3 puntos) Demuestra que xxxf sin)1()( 2 tiene un

mximo relativo en el intervalo 1,0 . Menciona los resultados tericos que utilices.(Navarra, Junio 2007)

BLOQUE 3 (CCTT):

a) (2 puntos)Estudia la continuidad enx =0 de

0

0sin)(

2xparaxbx

xparaxxf

Calcula el valor de bpara que sea derivable enx = 0. (Cantabria, Junio 2007)

b) (2 puntos) Sea 4269)( xxxxf . Calcula los puntos de esta curva en los quela recta tangente tiene pendiente 1. Calcula tambin los puntos de inflexin dedicha curva. (Castilla-La Mancha, Junio 2007).

BLOQUE 3 (Integrales):

a) (2 puntos) cxbxaxxf cos)( 2 . Calcula a, b, csabiendo que la rectatangente a dicha curva en su punto (0,1)es paralela a la rectay = x, y que:

0

2 213

2)( dxxf (Asturias, Junio 2007)


52/87

b) (2 puntos) Sea 2

11ln)(

x

xcondttxF . Calcular )(' eF . Es F(x) una

funcin constante? Justificar todas las respuestas. (Aragn, Junio 2007)

Modelo n 5

I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS 2 BACH. A-BCURSO 2008-2009 3AVALIACIN-2VOLTA CALCULUS

O ALUMNO DEBER ESCOLLER S 4 DAS 6 CUESTINS PROPOSTAS

1) a) Obtea os valores dos coeficientes b, c e d para que a grfica da funcindcxbxxxf 23)( corte eixo OY no punto )1,0( , que pase polo punto

(2, 3) e neste punto tea tanxente paralela eixo OX. (15 puntos)b) Unha vez achados eses valores, obtea os extremos relativos e os intervalosde monotona desta funcin. (1 punto).

2) Unha xanela ten forma de trapecio rectangular (cuadriltero con dous ladosparalelos e outro lado perpendicular a ambos). A base menor mide 20 cm e olado oblicuo mide 40 cm. Obtea razoadamente o ngulo xque debe formar olado oblicuo coa base mayor, de xeito que a superficie da xanela sexa mxima.(25 puntos).

3) Considere a funcin:

2

2)(

3

2

xcandomx

xcandonxxxf

a) Determine me npara que sexa posible aplcar o Teorema do Valor Mediono intervalo 2,4 . Que asegura este Teorema?. (15 puntos)

b) Calcule o punto (ou puntos) do intervalo que teen a sa existenciagarantida por dito Teorema. (1 punto)

4) Sexa a funcin:1

)(2

x

xxf

a) Estudo completo (cortes cos eixos, simetras, asntotas, extremosrelativos, puntos de inflexin). (15 puntos).

b) Representacin grfica. (1 punto).

5) a) Calcule xx

xx

1

0)sin(coslim

(15 puntos)

b) Calculex

xx

x 4

44lim

0

(1 punto)

6) Sexa5

32)(

x

xxf

a) Obtea a tasa de variacin media desta funcin no intervalo 3,1 (05 puntos)

b) Calcule a tasa de variacin instantnea en 0x usando a definicin.(1 punto)


53/87

c) Ecuacin da tanxente a esta curva no punto de abscisa .1x (1 punto)

Modelo n 6

I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS 2BACH. A-BCURSO 2008/2009 3 EVALUACIN-1 VUELTA CALCULUS

EL ALUMNO DEBER ELEGIR SLO 4 DE LAS 6 CUESTIONES PROPUESTAS

1) a) Demuestre que la ecuacin 053 xx tiene al menos una solucin en elintervalo 2,1 y obtngala con dos decimales exactos. (15 puntos)

b) Diga razonadamente si dicha solucin es nica o, por el contrario, puede haberms. (1 punto).

2) a) Calcule el1)1(lim 2

2

0 x

x

x ee (15 puntos)

b) Sea la cbica 5)( 23 BxAxxxf . Calcule los valores deA y Bde suerte quepresente puntos singulares en 1x y en 2x . Diga de qu tipo son dichos puntos.(1 punto)

3) Una empresa decide lanzar una campaa de propaganda de uno de sus productoseditando un texto que ocupa 218 cm en hojas rectangulares impresas a una cara, conmrgenes superior e inferior de 2 cm y mrgenes laterales de 1 cm. Se le pide calcularlas dimensiones de la hoja para las que el consumo de papel es mnimo. Justifique sus

respuestas. (25 puntos)

4) Considere la funcin:4

31)(

2

x

xxf

a) Determine sus cortes con los ejes y sus asntotas. (05 puntos)b) Obtenga sus intervalos de monotona y extremos relativos. (1 punto)c) Obtenga sus intervalos de curvatura y sus puntos de inflexin (1 punto)d) Con los datos obtenidos, represente esta funcin aproximadamente (05 puntos)

5) a) Seaf una funcin derivable por doquier y tal que 3)0(''2)0(',1)0( fyff .

Considere la funcin: ).(8)(3)( 2

xfxfxg

Halle ).0(''g (1 punto)

b) Sea la funcin

23

21

1

)(2 xparax

xparaxxf

i) Estudiar su derivabilidad (1 punto)ii) Halle el punto (o puntos) en los que la tangente a la curva anterior es paralela a

la recta .04 yx (05 puntos)

6) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La alturaen km alcanzada al cabo de tminutos es tetth 2555)(

a) Calcule el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura mxima y el valor de sta(15 puntos).


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b) Calcule la velocidad y la aceleracin (variacin instantnea de velocidad) al cabode 30 segundos. (1 punto).

Modelo n 7I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS II (2 BACH.) 2009-2010

3 EVALUACIN1 VUELTA CLCULUS

OPCIN A1) En la figura est representada la trayectoria de una pelota de ftbol, despus de sergolpeada en vaselina por Cristiano Ronaldo durante un entrenamiento de la seleccin

portuguesa para la EURO-2004. Designamos por ala distancia (en metros) entre elpunto donde la pelota fue golpeada y el punto donde cay. Considrese la funcin

)1'01ln(102)( xxxf

que nos indica la altura de la pelota en el instante en que su proyeccin sobre el suelose encuentra a xmetros del lugar donde fue golpeada.

a) Determina el valor de a, aproximando hasta las centsimas. Justificalo. (1 punto)b) Estudia la funcin f para ax ,0 en lo referente a monotona y calcula la

mxima altura alcanzada por la pelota. (1 punto)

c) Muestra que la tasa de variacin media de fen 3,1 es

5

2

9

7ln e (05 puntos)

(Portugal, 2004)

2) a) Calcula los valores de asabiendo que 81lim 20

xaxe

ax

x (15 puntos)

(Castilla y Len, Septiembre 2008)

b) Calcula dxxx ln3 (1`5 puntos) (Madrid, Septiembre 2008)

3) Sea la funcin cbxaxxxf 23)( . Sabemos que enx = 0 tiene un extremo

relativo, que enx = -1 tiene un punto de inflexin y que 1

06)( dxxf . Calcular los

valores de a, b y c. (2 puntos) (Castilla y Len, Septiembre 2009).


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4) Queremos vallar un campo rectangular que est junto a un camino. La valla del ladodel camino cuesta 50 /m y la de los otros tres lados, 625 /m. Hallar el rea del campo

de mayor superficie que podemos cercar con 1.800 . (2 puntos).(Zaragoza, Junio 2009)

5) TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CLCULO DIFERENCIAL: Enunciado einterpretacin geomtrica. (15 puntos)OPCIN B

1) Dos poblaciones A y B, distanciadas 8 km una de otra, estn a la misma distancia deuna fuente de abastecimiento de agua, localizada en F. Se pretende construir unacanalizacin conectando la fuente con las dos poblaciones, como se indica en la figura.La canalizacin est formada por tres tubos: uno que va de F hasta un punto P,equidistante de A y de B, y dos que parten de P, uno hasta A y otro hasta B.

Se tiene que: El punto M, punto medio de AB est a 4 km de F.

La amplitud del ngulo PAM es x (con

4,0

x ).

a) Muestra que la longitud total de la canalizacin es:x

xxf

cos

sin484)(

(1 punto)

b) Calcula )4

()0( fyf e interpreta los resultados obtenidos. (05 puntos)

c) Determina el valor de xpara el cual dicha longitud es mnima. (1 punto)(Portugal, 2006)

2) a) TEOREMA DE BOLZANO: Enunciado e interpretacin geomtrica. (1 punto)b) Demostrar que la ecuacin xxx sin123 tiene una nica solucin real.

(2 puntos). (Castilla y Len, Septiembre 2009).

3) a) Calcula el1

284

11lim

x

x xx, segn los valores del parmetro .

(15 puntos). (Madrid, Junio 2009).b) Hallar los puntos en los que la recta tangente a la grfica de la funcin 3)( xxf

es paralela a la recta de ecuacin .23 xy (1 punto) (Castilla y Len, Junio 2009).

4) Sea1

33)(

2

2

x

xxxf

a) Cortes con los ejes, asntotas, extremos relativos y puntos de inflexin.Representacin grfica. (2 puntos)


56/87

b) Determinar una funcinF(x)tal que su derivada seaf(x) y ademsF(0)=4.(1 punto). (Madrid, Septiembre 2007)

Lo que sabemos no es mucho. Lo que ignoramos es inmenso(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827) NIMO Y SUERTE!

Modelo n 8

I.E.S. A SANGRIA (A GUARDA) MATEMTICAS II (2 BACH.) 2009-20103 EVALUACIN-2 VUELTA CLCULUS

OPCIN A

1) a) Calcular el

2

2

0lim

x

ee xx

x

(1 punto) (Castilla y Len, Septiembre 2007)

b) Probar que la ecuacin 022009 xex tiene alguna solucin. (1 punto)(Castilla y Len, Septiembre 2009)

2) Sea )1()( 2

xexf x

. Se pide:a) Cortes, asntotas, monotona y curvatura. Grfica. (3 puntos)b) rea encerada por la curva anterior, el eje OX y las abscisasx = 0, x = 1.

(2 puntos) (Madrid, Septiembre 2008)3) Cierto da Fernando estuvo enfermo y tom, a las 9 de la maana, un medicamentocuya concentracin C(t) en la sangre, medida en mg/l, a las thoras de haber sidoadministrado es: 0,2)( 3'0 tcontetC t .

a) Calcula )(lim tCt

e interpreta el resultado en el contexto de la situacin. (1 punto)

b) Determina a qu hora la concentracin fue mxima y justifica convenientemente.(2 puntos). (Portugal, 2008)

4) TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CLCULO INTEGRAL: Enunciado einterpretacin geomtrica. (1 punto).

OPCIN B

1) La base de un tringulo issceles mide 12 cm y la altura mide 5 cm. Halla unpunto P sobre la altura tal que la suma de sus distancias a los tres vrtices seamnima. Justifica convenientemente. (Ayuda: Llama xa la distancia de P al piede altura) (3 puntos) (Catalua, Junio 1996)

2) a) Calcula xx

dx

)1(

(15puntos) (Castilla y Len, Junio 2009)

b) Calculax

ex x

x 20 sin

1)1(lim

(15 puntos) (Madrid, Junio 1998)

3) La derivada de la funcin f(x)es: )5()1()(' 3 xxxf a) Estudia la monotona y la curvatura de f y calcula los valores de xen los que

f tiene extremos relativos y puntos de inflexin. (15 puntos)b) Obtn la funcin f sabiendo que su grfica pasa por el origen de coordenadas.

(15 puntos). (Madrid, Junio 2009)

4) a) Calcula ay bpara que

1,)(

11,1

1,1

)(2

2

xsixb

xsiax

xsix

xf sea continua en .


57/87

(1 punto) (Zaragoza, Junio 2009)b) TEOREMA DE WEIERSTRASS: Enunciado e interpretacin geomtrica.

(1 punto).

FEL IZ VERANO!! !

Modelo n 9

de Salcidos (ESPAA)RUDIMENTOS DE CLCULO INFINITESIMAL 2.010/2.011 2 VUELTA

OPCIN A

1) Se considera la cbica 43)( 23 xxxf (3 puntos)a) Cortes con los ejes, extremos relativos, puntos de inflexin. GRFICA. b) Calcular y representar la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa 3x .c) rea de la regin plana limitada por esta curva y el eje de abscisas.


58/87

2) (2 puntos)A las 8 de la maana, el profesor de esta asignatura recibe su dosis diaria de

INTEGRALINA con ginseng, para reforzar su competencia matemtica. Laconcentracin (en miligramos por mililtro) de este medicamento en su sangre, thorasdespus del chute, viene dada por ttetC 3'02)( .

a) Aydate de algn Teorema para mostrar que hay un instante, entre las 8.30 y las9.00, en que la concentracin de Integralina en la sangre de tu profe es de 1 mg/ml.

b) Calcula en qu momento la lucidez matemtica de tu profe es mxima.

3) (2 puntos) Calcula el xx

x

1

3 )1(lim

4) (1 punto) Dominio y asntotas verticales de )34ln()( 2 xxxf

5) a) Teorema del Valor Medio del Clculo Integral:Enunciado e interpretacin geomtrica. (1 punto)

b) Calcula: dxxx

ydxee xx3

3

sin

cos)1( (2 puntos)

OPCIN B

1) Un trozo de alambre de 34 dm de longitud se divide en dos trozos. Con elprimero se forma un rectngulo cuya base es el doble que la altura y con elsegundo trozo se forma un cuadrado. Encontrar las longitudes de dichos trozos

para que sea mnima la suma del rea del rectngulo y la del cuadrado.(2 puntos).

2)

Estudio y representacin grfica de 1

3

)(

2

x

xx

xf (3 puntos)3) Sara Pereira prepar un bizcocho para la fiesta de fin de curso. Despus de

sacarlo del horno, coloc el bizcocho en la meseta de la cocina para que setemplara. Una hora despus, lo meti en el frigorfico. La temperatura (en C)del bizcocho, t minutosdespus de ser sacado del horno, viene dada por:


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60,26

600,28020)(

)60(05'0

05'0

tsik

tsitf

t

t

a) Aceptando la continuidad de esta funcin, calcula k.b) Cunto tiempo deber permanecer el bizcocho en el frigorfico, si Sara

quiere servirlo a 12C? (2 puntos)

4) a) Es integrable2

)(2

2

xx

xxf en el intervalo 1,0 ? (05 puntos)

b) Muestra que 1

0 2

2

2ln351

2dx

xxx (2 puntos)

5) Se sabe que la funcinfes derivable en toda la recta real y se sabe tambin que.2)1('0)1( fyf Se define la funcin: 22)( )()()( xfxfxexh xf

Calcula razonadamente ).1('h (15 puntos)

El profesor de la asignatura os agradece el excepcional comportamiento, la granaplicacin y la generosa lealtad que habis manifestado a lo largo del curso; por lo que

os desea un verano de pelcula y os augura un brillante porvenir universitario yprofesional. Antonius Benedictus

(TOMA INTEGRAL!!)


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Modelo n 10


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Modelo n 11

U US

ACADEMIA FILOSFICA DE MORN (ESPAA). SECTOR MATEMTICO

OPCIN A

1) El Marqus deLHpital. Calcule los lmites:

a)x

ex x

x 20 sin

1)1(lim

(Galicia, Junio 1.997) b) xxx

xe1

0)(lim

(Galicia, Junio 1.998)

2) De entre todos los rectngulos de 21u de superficie, halle las dimensiones de aqulque tiene mnimo el producto de sus diagonales. Justifquelo convenientemente.

(Galicia, Septiembre 1.998)

3) a) Represente grficamente la regin plana limitada por la hiprbola 1xy , la

parbola2

xy y las rectas 0y y 3x .b) Calcule la superficie de dicha regin. (Galicia, Septiembre 1.999)

4) Calcule las integrales:

a) dxxx

3sin

cos(Galicia, Septiembre 1.997) b) xdxx sin (Galicia, Septiembre 1.998)

5) CUESTIONES TERICAS:a) Puede existir el )(lim xf

axy que la funcin no sea continua en ax ? Raznelo.


b) Existen funciones polinmicas de tercer grado que no tengan ningn punto deinflexin? Raznelo. (Galicia, Septiembre 1.997)


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OPCIN B1) La cbica xxxy 23 corta al eje OX en 1x y tiene una inflexin en

(3, 2). a)Calcule los puntos de esta curva que tengan recta tangente paralela a OX.b) Represente grficamente esta curva. (Galicia, Junio 1.999)

2) En la ciudad mongola de Ulan Bator surgi una epidemia de gripe asitica. Suevolucin viene dada por la frmula:

201'04'0)( ttetP , dondePrepresenta elporcentaje(%) de personas enfermas y t es eltiempo en das, contado a partir del da en que se inici el estudio de la epidemia.

a) Cul era el porcentaje de poblacin enferma cuando dio comienzo el estudio?Si se puede considerar erradicada la epidemia cuando el porcentaje de enfermos es

inferior al 1 %, cundo sucedi esto?b) Cul fue el peor momento de la epidemia? Cul fue el mximo porcentaje de

enfermos? (Portugal, Junio 2.009)

3) a) CUESTIN: Se sabe que b

adxxf 0)( . Se puede asegurar que ?ba Raznelo.

(Galicia, Junio 1.997)b) Se sabe que 23 32)( xxxf toma valores positivos y negativos. Calcule

sabiendo que la regin plana limitada por el eje OX, la recta 1x , la recta 2x y lacurva )(xfy queda dividida por el eje OX en dos partes de igual rea.


4) Considere la funcin:

0,)1ln(3

0,2

0,31

)(

5

xsix

xxxsi

xsix

e

xf

x

a) Verifique la continuidad de esta funcinb) Obtenga las dos asntotas horizontales de esta funcin.

5) c) TEOREMA DE BOLZANO: Enncielo e interprtelo geomtricamente.d) Justifique que la ecuacin 0)( xf tiene al menos una solucin en 1,1 .

(Portugal, Junio 2.001)

Antonius Benedictus


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MODELO n 12

CENTRO DE CLCULO INFINITESIMAL LEONHARD EULERDE AS EIRAS O ROSAL (ESPAA)

OPCIN A1. (2 puntos) Calcular: a) 532lim 22

xxx

x b)

4

22

0

sinlim

x

xx

x

2. (3 puntos) Calcular: a) dxx

x

21

3 b) xdxx ln)2( c) xxx

dx23

2

3. (2 puntos) Enunciar el Teorema de Weierstrass.Calcular el valor de a, de

manera que se le pueda aplicar a la funcin:

1,ln3

1,12)(

2

xsixa

xsixaxxf en

el intervalo .,3e En qu valores alcanza esta funcin su mximo y sumnimo absolutos?

4. (2 puntos) Una furgoneta que transportafunctions machinesva deMathemcity aPolintown, que distan 300 km, a una velocidad constante dexkm/h. El precio

del carburante es de 06 /litro y el consumo de la furgoneta es de

12010

2x

litros/hora. Por otra parte, el conductorJohn Driver cobra 8 /hora. Hallar lavelocidad para la cual el viaje resulta lo ms econmico posible, justificando conla derivada segunda. Cul es el mnimo coste?


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5. (3 puntos)Estudio y representacin de la funcin:1

22)(

2

x

xxxf

(No se admitirn grficas cuyas particularidades no hayan sidoconvenientemente estudiadas)

OPCIN B

1. (2 puntos) Estudia la continuidad de la funcin103

5153)(

2

23

xx

xxxxf ,

2ºcalculus. Problemas y Exämenes

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