2_Ondas_0809
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Joaquín Bernal MéndezCurso 2008/2009
Ingeniería Industrial Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
1
Tema 2: OndasOscilaciones y Ondas
Fundamentos físicos de la ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer Curso
Fundamentos Físicos de la IngenieríaCurso 2008/2009
Ingeniería IndustrialDpto. Física Aplicada III – Universidad de Sevilla
Tema 2.-Ondas2/69
Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas5/69
Introducción: ondasmecánicas
Onda: perturbación que viaja sintransferencia de materia Ondas en el agua, ondas de sonido…
Clasificación según el medio de propagación: Mecánicas: perturbación de un medio.
Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en unacuerda…
Electromagnéticas: no requieren un medio. Luz, rayos X, ondas de radio…
transmiten energía
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Tema 2.-Ondas6/69
Ondas mecánicas
La formación y propagación de una ondamecánica requiere: Una fuente de perturbación
Ej: Piedra que cae en el agua
Un medio que pueda ser perturbado Ej: El agua
Mecanismo físico de interacción entre partículasdel medio Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas
de agua
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Tema 2.-Ondas7/69
Ondas transversales ylongitudinales Clasificación de las ondas según la dirección
del desplazamiento de las partículas delmedio: Transversales: perpendicular a la dirección de
propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en elagua)
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Tema 2.-Ondas8/69
Ondas transversales ylongitudinales
Clasificación de las ondas según la direccióndel desplazamiento de las partículas del
medio: Transversales: perpendicular a la dirección de
propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en elagua)
Longitudinales: paralela ala dirección de propagación
(Ej: ondas de sonido,ondas en un muelle)
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Tema 2.-Ondas9/69
Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido
Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas10/69
Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
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Tema 2.-Ondas11/69
Función de onda Pulso que viaja en una cuerda:
y
y x
x
0t = ( , 0) ( ) y x t f x= =
( , ) ( ) y x t f x vt = −
P v
t
vt
P′
P x
P P x x vt ′ = + ( ) ( )P P f x vt f x′→ − =
Función de onda
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Tema 2.-Ondas12/69
Función de onda
Representa el valor de la coordenada y encualquier punto x en un instante t El signo positivo indica onda viajando hacia x
decreciente (la izquierda en nuestrodiagrama)
Para un t 0 fijo y(x,t 0) forma de onda: función
que proporciona la forma geométrica delpulso
( , ) ( ) y x t f x vt = ±
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Tema 2.-Ondas13/69
Índice Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales
Descripción y representación Ecuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas14/69
Ondas sinusoidales
Unimos el extremo de una cuerda a un objetoque describe un MAS (diapasón):
Tren de ondas sinusoidales o armónicas
Cada partícula de la cuerda describe un MAS
Todas las ondas pueden representarsecomo suma de ondas armónicas
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Tema 2.-Ondas15/69
Ondas sinusoidales: longitudde onda y amplitud
Longitud de onda (λ): distancia mínima entredos puntos con la misma posición ( y) yvelocidad (v y):
Amplitud ( A): máximo desplazamiento decada partícula respecto a su posición deequilibrio
y
x
λλ A
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Tema 2.-Ondas16/69
Frecuencia ( f ): frecuencia del MAS de cadapartícula del medio:
Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda harecorrido una distancia λ:
Ondas sinusoidales:frecuencia y velocidad
y
t
T
1
f T =
vT λ= CUIDADO: No confundir v con v y
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Tema 2.-Ondas17/69
Ondas sinusoidales:representación matemática
x
y
( )( ,0) sen y x A kx= + δ
2k
π=
λNúmero de onda (m-1)
δ Constante de fase
• En t=0:
Función sinusoidal de amplitud A que serepite cada λ y cuyo valor en x=0 es Asen(δ)
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Tema 2.-Ondas18/69
Ondas sinusoidales:representación matemática
En un instante t :
Signo +: onda que viaja hacia x decreciente
Signo -: onda que viaja hacia x creciente
Donde:
Entonces:
( , ) ( ,0) y x t y x vt = ± ( )
sen A kx kvt = ± + δ
2 2kv
T T
π λ π= = = ω
λFrecuencia angular
( , ) sen( ) y x t A kx t = ± ω + δ
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Tema 2.-Ondas19/69
Ondas sinusoidales: resumen
( , ) sen( ) y x t A kx t = ± ω + δ• Amplitud:
• Longitud de onda:
• Frecuencia:
•Velocidad de la onda:
1 f
T
=
λ
A
v f T
λ= = λ
2k
π=
λ
22 f
T
πω = = π frecuencia angular
k
ω=
número de onda
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Tema 2.-Ondas20/69
Ecuación de onda lineal
( , ) sen( ) y x t A kx t = ± ω + δ
cos( ) y y
v A kx t t
∂= = ±ω ± ω + δ∂
22
2 sen( )
y
ya A kx t
t
∂= = −ω ± ω + δ
∂
cos( ) y
kA kx t x
∂= ± ω + δ
∂2
2
2 sen( ) y
k A kx t x
∂= − ± ω + δ∂
2 2
2 2 2 21 1 y yk x t
∂ ∂=∂ ω ∂
2 2 2
2 2 2
y k y
x t
∂ ∂=
∂ ω ∂
2 2
2 2 2
1 y y
x v t
∂ ∂
=∂ ∂
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Tema 2.-Ondas21/69
Ecuación de onda lineal
Ecuación diferencial que cumple unaperturbación que se propaga como una ondalineal
Ondas armónicas son una posible solución
Solución general: onda viajera
2 2
2 2 2
1 y y
x v t
∂ ∂=∂ ∂
( , ) ( ) y x t f x vt = ±
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Tema 2.-Ondas22/69
Es solución de la ecuación de ondas
lineal
Ecuación de onda lineal
2 2
2 2 2
1 y y
x v t
∂ ∂=
∂ ∂
2 2 2
2 2 2
y f f
x x
∂ ∂ ∂φ ∂= =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
( , ) ( ) y x t f x vt = ±
y f f
x x
∂ ∂ ∂φ ∂= =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
• Demostración: x vt φ = ±Fase:
y f f v
t t
∂ ∂ ∂φ ∂= = ±
∂ ∂φ ∂ ∂φ
2 2 22
2 2 2
y f f v v
t t
∂ ∂ ∂φ ∂= ± =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
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Tema 2.-Ondas23/69
Índice Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda Onda de sonido
Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas24/69
Velocidad de las ondas
Las ondas mecánicas con amplitudespequeñas frente a λ pueden considerarselineales: cumplen ecuación de ondas lineal.
Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las
propiedades del medio a través del que semueven
Ondas de diferente frecuencia se propagan con lamisma velocidad
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Tema 2.-Ondas25/69
Velocidad de las ondas: ondaen una cuerda
Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de
la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidad Si usamos una cuerda con mayor densidad de
masa la onda viaja más lenta
Para una cuerda homogénea:
t F
t F
v =μ
dm
dLμ = → densidad de masa lineal
m
Lμ =
L
m
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Tema 2.-Ondas26/69
Velocidad de las ondas: ondassonoras
Bv =
ρ
Módulo de compresibilidad:
Densidad de masa
P B
V V
Δ= −
Δ
Para muchos tipos de ondas mecánicas secumple:
Ondas de sonido en un fluido
v = (propiedad elástica del medio)(propiedad inercial del medio)
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Tema 2.-Ondas27/69
Velocidad de las ondas: ondassonoras
Bv =
ρ343Aire (20º C)
331Aire (0º C)
1482Agua (20ºC)
1402Agua (0º C)
1286Hidrógeno (0º C)
v (m/s)Medio
BT ∝
ρ
En un gas:
Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago
83 10 m/s >>c v= × Desprecio el retraso de la luz
0.33 km/sv ≈ 0.333
km s km
s
xd vt x= = =
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Tema 2.-Ondas28/69
Velocidad de las ondas:observaciones
La frecuencia de la onda la determina elagente causante de la misma
La velocidad de la onda depende del medio La longitud de onda se obtiene de:
v
f λ =
Ejemplo: sonar de los delfines5
10 Hz f ≈
51482 1.510 m/s cm 1/s
v f λ = = ≈
Agua a 20º C
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Tema 2.-Ondas29/69
Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido
Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas30/69
Onda en una cuerda: energíatransmitida
Una onda que se propaga en un mediotransporta energía: Un trozo de corcho sube y baja en el agua Un pulso en una cuerda puede levantar una masa
Vamos a suponer una onda sinusoidal enuna cuerda
Vamos a calcular el trabajo realizado por lafuerza que un segmento de cuerda realiza
sobre el vecino
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Tema 2.-Ondas31/69
Onda en una cuerda: energíatransmitida
sent t t t P F v Fv= ⋅ = − θPotencia:
Ondas lineales A
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Tema 2.-Ondas33/69
Onda en una cuerda: energíatransmitida
Energía media que fluye por un punto en un
intervalo de tiempo:
m m m
x E P t P
v
Δ= Δ =
2 212
m E A x= μω Δ
La energía viaja a lavelocidad de la onda
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Tema 2.-Ondas34/69
Índice Introducción Función de onda
Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido
Onda de desplazamiento y onda de presión
Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas35/69
Ondas de sonido
Ondas longitudinales
Ondas sonoras armónicas: desplazamientode las moléculas respecto a su posición deequilibrio:
El desplazamiento de las moléculas provoca
variaciones de la densidad y presión del aire:onda de presión y onda de densidad
0( , ) sen( )s x t s kx t = − ω
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Tema 2.-Ondas36/69
Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alequilibrio
Movimiento de las partículasun instante T /4 antes
Posición de las partículas
• s=0: partícula en su posición de equilibrio ( x1 y x3)
• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición deequilibrio
• s
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Tema 2.-Ondas37/69
Ondas de sonidoDesplazamiento respecto al
equilibriomovimiento de las partículasun instante T /4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
La onda de densidad estádesfasada 90º respecto a laonda de desplazamiento
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Tema 2.-Ondas38/69
Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alequilibrio
movimiento de las partículasun instante T /4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
Onda de presión
0( , ) sen( )2
p x t p kx t π= − ω −
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Tema 2.-Ondas39/69
Ondas de sonido
Relación entre las amplitudes de presión y dedesplazamiento
0 0 p v s= ρ ω
densidad de equilibrio
Donde: velocidad de la ondav
ρ →⎧⎪
→⎨⎪⎩ 0 velocidad longitudinal máximasω →
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Tema 2.-Ondas40/69
¿De qué orden es la amplitud de desplazamientomáxima que puede soportar el oído humano?
Ondas de sonido: aplicación
Frecuencias de sonido audible para el hombre:20 Hz – 20000 Hz
Frecuencias mayores: ultrasonidos Frecuencias menores: infrasonidos
Máxima amplitud de presión que el oído humanopuede tolerar: 28 Pa
( ) ( )0
0 28 11343 1.21 2 10003 Pa m m/s kg/m Hz
psv= = = μρω π
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Tema 2.-Ondas41/69
Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido
Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas42/69
Efecto Doppler
Cambio en la percepción del sonido cuando existemovimiento relativo entre emisor y receptor Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía
Debe su nombre al físico austriaco Christian J.Doppler (1803-1853)
Causa: diferencia entre la frecuencia percibida porel receptor ( f r ) y la emitida por la fuente ( f f )
Efecto asociado a todo t ipo de ondas
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Tema 2.-Ondas43/69
• Cuando el receptor y la fuente se acercan los
frentes de onda se juntan: f r > f f
• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentesde onda se separan: f r
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Tema 2.-Ondas45/69
Efecto Doppler
Receptor en movimiento
F R
λv
r v
• Tiempo entre frentes:
• Frecuencia recibida:
• R se acerca a F ( ):
• R se aleja de F ( ):
• Si :
r
r
T v v
λ= +
r r
v v f
+=
λ
0r
v >
0r
v <
r f f f >
r f f f <0
r v = r f f f =
r r f
v v f f
v
+=
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Tema 2.-Ondas46/69
Efecto Doppler
Fuente en movimiento
RF f v
• Velocidad de los frentes:
• Distancia entre frentes:
• Frecuencia recibida:
r f f v T λ = λ −
r λ
v
v
f f v T
F′
r f
f f f
v v f f
v T v v= =
λ − −
Si F se aleja de R: 0 f v
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Tema 2.-Ondas47/69
Efecto Doppler: ecuacióngeneral
Si receptor y fuente están en movimiento:
Cuando F se mueve hacia R: v f > 0, en casocontrario v f < 0
Cuando R se mueve hacia F: vr > 0, en caso
contrario vr < 0
r r f
f
v v f f
v v
+=
−
Las velocidades v f y vr se miden respecto al aire
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Tema 2.-Ondas49/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
Si Esta ecuación no sirve para
Si las ondasse concentran tras elfoco y forman una
onda de choque
r r f
f
v v f f
v v
+=
−
f r v v f = ⇒ = ∞ ó
r f v v v v≥ ≥
f
v v>
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Tema 2.-Ondas50/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
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Tema 2.-Ondas51/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
Cono de Mach
Ángulo de Mach
θ
Tangente común detodos los frentes de
onda
Estampidosónico
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Tema 2.-Ondas52/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
v t Δ
f v t Δ
θ
sen f f
v t v
v t v
Δθ = =
ΔNúmero de Mach
• Δt: tiempo desde laemisión del frente de
ondas en P
• Espacio recorridopor el avión: v f Δt
• Espacio recorridopor el frente de ondas:vΔt
f v
v
P
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Tema 2.-Ondas53/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
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Tema 2.-Ondas54/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
Vehículo THRUST SSC superando el récord develocidad terrestre (Mach 1,020)
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Tema 2.-Ondas55/69
Efecto Doppler: ondas dechoque
Bala desplazándose con un número de Mach 2,45
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Tema 2.-Ondas56/69
Índice Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total Transmisión
Superposición de ondas
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Tema 2.-Ondas57/69
Reflexión y transmisión deondas
Hasta ahora hemos estudiado la transmisiónde ondas en un medio infinito
Vamos a analizar lo que ocurre cuando unaonda alcanza la frontera entre dos medios.
Fenómenos relacionados: Reflexión: onda que regresa
Ejemplo: eco
Transmisión: onda se propaga a través del
nuevo medio Ejemplo: luz en el agua
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Tema 2.-Ondas58/69
Reflexión y transmisión deondas
Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo fijo
Pulso reflejado con la misma forma que el pulsoincidente, pero invertido
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Tema 2.-Ondas59/69
Reflexión y transmisión deondas
Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo libre
Pulso reflejado con la misma forma que el incidente
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Tema 2.-Ondas60/69
Reflexión y transmisión deondas Reflexión-transmisión: onda en una cuerda
Cuerda pesadaunida a otra másligera
Cuerda ligera
unida a otra máspesada
Onda reflejadano se invierte
Onda reflejada esinvertida
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Tema 2.-Ondas61/69
Reflexión y transmisión deondas
Una onda se verá parcialmente transmitida yparcialmente reflejada en la superficie de
separación entre dos medios en los cualessu velocidad sea diferente Si las velocidades son parecidas: transmisión es
dominante Ejemplo: oído interno de los peces
Si las velocidades son muy diferentes: reflexiónes dominante Ejemplo: radiocomunicación
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Tema 2.-Ondas62/69
Índice Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas Principio de superposición Interferencia de ondas armónicas
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Tema 2.-Ondas63/69
Superposición de ondas
En un medio puede propagarse variasperturbaciones simultáneamente
Ejemplo: varias personas hablando a la vez Principio de superposición:
Se deduce de la linealidad de la ecuación deondas
Cuando dos o más ondas se combinan enun determinado punto la perturbaciónresultante es la suma de las perturbacionesprovocadas por cada onda
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Tema 2.-Ondas65/69
Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos
ondas pueden pasar la una a través de la otra sinser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presentacuando dos o más ondas se superponen
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Tema 2.-Ondas66/69
Onda resultante con la misma f y λ
La amplitud depende de δ (diferencia de fase)
Superposición de ondas:interferencia de ondas armónicas
1
2
sen( )
sen( )
y A kx t
y A kx t
= − ω
= − ω + δ
1 2 2 22 cos( )sen( ) y y A kx t δ δ+ = − ω +
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b − ++ =( Donde hemos usado:
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Tema 2.-Ondas67/69
Onda 1
Onda 2 Onda resultante
Superposición de ondas:interferencia de ondas armónicas
Si δ=0, cos(δ/2)=1 y A’=2 A;interferencia construct iva
Si δ=π, cos(δ/2)=0 y A’=0;
interferencia destructiva
1 2 2 22 cos( )sen( ) y y A kx t δ δ+ = − ω +
Onda 2
Onda 1
Onda resultante A′
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Tema 2.-Ondas68/69
Resumen del tema (I)
Onda: perturbación que se propaga sin transmisión de materia. La ondas mecánicas son las que requieren de un medio
material para propagarse. Una forma de onda que se propaga sin deformarse se
denomina onda lineal, tiene la ecuación f(x±vt) y es solución dela ecuación de ondas lineal.
La ondas sinusoidales son una solución particular de laecuación de ondas lineal.
La velocidad de una onda lineal sólo depende del medio enque se propaga, pero no de su frecuencia.
La energía transmitida por una onda aumenta con el cuadrado
de su amplitud y de su frecuencia.
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Tema 2.-Ondas69/69
Resumen del tema (II)
El efecto Doppler :
Es un cambio en la frecuencia de la onda percibida respecto a laemitida Se produce en todos los tipos de onda cuando existe movimiento
relativo entre el emisor y el receptor Cuando una onda atraviesa la superficie de separación entre dos
medios en los cuales se propaga a diferente velocidad aparecenlos fenómenos de reflexión y transmisión .
El principio de superposición para ondas lineales: Es una consecuencia de la linealidad de la ecuación de ondas Establece que cuando dos o más ondas se combinan en un
determinado punto la perturbación resultante es la suma de lasperturbaciones provocadas por cada onda Se denomina interferencia al fenómeno que se produce cuando
se superponen dos o más ondas.