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Capitulo 2

Limite de una funci6n

I

Ii

y = !(x)

I I

I I I I I I I I I I I I ::

+- x ~a7--:--

68 CAPITULO 2 Limite de una funci6n

y

-- ---~ I --- -I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

- 4

16 -x2 y = --4+ x

FIGURA 2.1.1 Cuando x esta pr6-xima a - 4, fix) esta cerca de 8

2.1 Limites: un enfoque informal I Introduccion Las dos grandes areas del calculo, denominadas calculo diferencial y calculo integral, se basan en el concepto fundamental de l{mite. En esta secci6n, el enfoque que haremos a este importante concepto sera intuitivo, centrado en la comprensi6n de que es un lfmite mediante el uso de ejemplos numericos y gnificos. En la siguiente secci6n nuestro enfoque sera analftico; es decir, usaremos metodos algebraicos para calcular el valor del lfmite de una funci6n.

I Limite de una funcion: enfoque informal Considere la funci6n

f(x) = 11 ~ ;2 (1) cuyo dominio es el conjunto de todos los numeros reales excepto - 4. Aunque no es posible evaluar f en -4 porque al sustituir -4 por x se obtiene la cantidad indefinida 0/0, f(x) puede calcularse en cualquier numero x que este muy pr6ximo a -4. Las dos tablas

x -4.1 -4.01 -4.001 x -3.9 - 3.99 -3.999 f(x) 8.1 8.01 8.001 f(x) 7.9 7.99 7.999

(2)

muestran que cuando x tiende a -4 por la izquierda 0 por la derecha, parece que los valores de la funci6n f(x) tienden a 8; en otras palabras, cuando x esta pr6xima a -4, f(x) esta cerca de 8. Para interpretar de manera grafica la informaci6n numerica en (1) , observe que para todo numero x -=1= -4, la funci6n f puede simplificarse por cancelaci6n:

f( ) = 16 - x2

= (4 + x)(4 - x) = 4 _ x 4 + x 4 + x x.

Como se ve en la FIGURA 2.1.1, la grafica de f es esencialmente la grafica de y = 4 - x con la excepci6n de que la grafica de f tiene un hueco en el punto que conesponde a x = -4. Para x suficientemente cerca de - 4, representado por las dos puntas de flecha sobre el eje x, las dos puntas de flecha sobre el eje y, que representan los valores de la funci6n f(x), simultanea-mente se aproximan cada vez mas al numero 8. En efecto, en vista de los resultados numeri-cos en (2), las puntas de flecha pueden hacerse tan pr6ximas como se quiera al nllmero 8. Se dice que 8 es ellimite de f(x) cuando x tiende a -4. I Definicion informal Suponga que L denota un numero finito. El concepto def(x) que tiende a L a medida que x tiende a un numero a puede definirse informalmente de la siguiente manera.

Si f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6ximo al numero L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un numero a, por la izquierda y por la derecha de a, enton-ces el limite de f(x) cuando x tiende a a es L.

I Notacion El analisis del concepto de lfmite se facilita al usar una notaci6n especial. Si el simbolo de flecha ---+ representa la palabra tiende, entonces el simbolismo

x ---+ a - indica que x tiende al numero a por la izquierda,

es decir, a traves de los numeros que son menores que a, y

x ---+ a + significa que x tiende a a por la derecha ,

es decir, a traves de los numeros que son mayores que a. Finalmente, la notaci6n

x ---+ a significa que x tiende a a des de ambos [ados, en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de a sobre una recta numerica. En la tabla izquierda en (2) se hace x ---+ -4 - (por ejemplo, - 4.001 esta a la izquierda de -4 sobre la recta numerica), mientras en la tabla derecha x ---+ -4 + . I Limites laterales En general, una funci6nf(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a un numero L J al tomar x suficientemente cerca, pero sin que sea igual, a un numero a por la izquierda; entonces se escribe

f(x) ---+ LJ

cuando x ---+ a- o bien, (3)

2.1 Umites un enfoque informal 69

Se dice que el numero L I es el limite por la izquierda de I(x) cuando x tiende a a. De manera semejante, si f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a un numero L2 al tomar x suficientemente cerca a, pero diferente de, un numero a por la derecha, entonces L2 es el limite por la derecha de I(x) cuando x tiende a a y se escribe

f (x ) ---+ ~ cuando x ---+ a + 0 bien, lim lex) = Lo. X---7{/+' -

(4) Las cantidades en (3) y (4) tambien se denominan Iimites laterales.

I Limites por dos lados Si tanto el Ifmite por la izquierda limJ(x) como el limite por la derecha lim+f(x) existen y tienen un valor comun L, X-HI

X---lo-(l

limJ(x) = L y lim f(x) = L, x --+a X---7{/+

entonces se dice que L es el limite de I(x) cuando x tiende a a y se escribe limf(x) = L. (5) X---lo-(J

Se dice que un limite como (5) es por los dos lados. Yea la FIGURA 2.1.2. Puesto que las tablas numericas en (2) sugieren que

f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4- y f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4 + , (6) es posible sustituir las dos decIaraciones simb6licas en (6) por la decIaraci6n

16 - x 2 f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4 0, en forma equivalente, lim 4 + = 8. (7) x->-4 X

I Existencia 0 no existencia Por supuesto, un limite (por un lado 0 por dos lados) no tiene por que existir. Pero es importante no olvidar 10 siguiente:

La existencia de un Ifmite de una funci6n f cuando x tiende a a (desde un lado 0 desde ambos lados) no depende de si f esta definida en a, sino s610 de si esta definida para x cerca del mimero a.

Por ejemplo, si la funci6n en (1) se modifica de la siguiente manera

116 - x 2

f(x) = 4 + x ' 5,

x * -4 x = -4,

entoncesf( -4) esta definida y f( -4) = 5, pero lfm 1~ ~ x 2 = 8. Yea la FIGURA 2.1.3. En gene-x->-4 X

ral, el limite por los dos lados lim f(x) no existe X---lo-a

si alguno de los dos limites laterales, limJ(x) 0 lfl1\f(x) no existe, 0 x-+a x---+a

si lim f(x) = L) y lim f(x) = L2 , pero L) * L2. x~a- x--+a+

1! @'iIQ!.M' Un limite que existe La grafica de la funci6n f(x) = - x 2 + 2x + 2 se muestra en la FIGURA 2.1.4. Como se observa en la grafica y en las tablas acompafiantes, parece valido que

limJ(x) = -6 x->4

y lim f(x) = -6 x-+4+

y, en consecuencia, Ifm f(x) = -6. X---74

x ---+4 - 3.9 3.99 3.999 x---+4+ 4.1 4.01 4.001 f(x) -5.41000 - 5.94010

- 5.99400 f(x) -6.61000 - 6.06010 - 6.00600

y = !(x)

I I I I

"" I !(x) L I I

l-'H"~~C+' FIGURA 2.1.2 f(x) -+ L cuando x -+ a si y solo si f(x) -+ L cuando x -+ a - y f(x) -+ L cuando x -+ a +

y

----- .....

I ----, I , , , I , , ,., , I

"

" I I , ,

"

8 116-x2 y= 4+x '

5,

-+-LI-'-' +-+--+-+-f-+--+-''\.c-+~ x - 4

x= -4

FIGURA 2.1.3 El hecho de que f este definida 0 no en a es irrele-vante con respecto a la existencia del limite de f(x) cuando x -+ a

-+-+-+~-+~n-~x

Observe que en el ejemplo 1 la funci6n dada ciertamente esta definida en 4, pero en nin- FIGURA 2.1.4 Gnifica de la fun-gun momento se sustituye x = 4 en la funci6n para encontrar el valor de Ifm f(x) . cion en el ejemplo I

x--+4

70 CAPITULO 2 LImite de una funci6n

y

2 FIGURA 2.1.5 Grafica de la f lln-cion en el ejemplo 2

y

7 -


Si x = a es una asintota vertical para la grafica de y = f(x), entonces lim f(x) nunca existe .r~a

porque los valores de la funci6n f(x) deben vol verse sin lfmite desde por 10 menos un lade de la recta x = a.

OOMQ!.I$ Un limite que no existe Una asintota vertical siempre carresponde a una ruptura infinita en la grMica de la funci6n f. En la FIGURA 2.1.9 observamos que el eje y 0 x = 0 es una asintota vertical para la grMica de f (x) = I/ x. Las tab las

x~o- -0.1 -0.01 - 0.001 x~o+ 0.1 0.01 0.001 f(x) -10 -100

- 1000 f(x) 10 100 1000

y

f(x ) I y= -x

FIGURA 2.1.9 Griitlca de la fun-Illuestran claramente que los valores de la funci6n f(x) se vuelven sin limite en valor absoluto ci6n en el ejemplo 6 cuando se tiende a O. En otras palabras, f(x) no tiende a un numero real cuando x ~ 0- ni cuando x ~ 0 +. En consecuencia, ni el limite par la izquierda ni el limite par la derecha exis-ten cuando x tiende a O. Par tanto, es posible concluir que limf(x) no existe.

x---tO

HiI3MQ!.Wj Un lilllite trigonometrico importante Para caleular las funciones trigonometricas sen x, cos x, tan x, etc., es import ante darse cuenta de que la variable x es un numero real 0 un angulo medido en radianes. Con eso en mente, considere los valores numericos def(x) = (sen x)/ x cuando x ~ 0+ dados en la tabla siguiente.

x~O+ 0.1 0.01 0.001 0.0001 f(x) 0.99833416 0.99998333 0.99999983 0.99999999

Resulta facil ver que se cumplen los mismos resultados proporcionados en la tabla cuando .r ~ 0- . Debido a que sen x es una funci6n impar, para x > 0 y - x < 0, se tiene sen(- x) = - sen x y en consecuencia,

fe-x) = sene-x) = senx = f(x ). -x x

~""' y =----:x ::;:::::>1 ~x

- 7T 7T

COIllO puede verse en la FIGURA 2.1.10, f es una funci6n par. La tabla de valares numericos , asf FIGURA 2.1.10 Grafica de la fu n-COIllO la grafica de f sugieren fuertemente el siguiente resultado: ci6n en el ejemplo 7

lim sen x = 1. x ..... o x

(9)

EI limite en (9) es un resultado muy importante que se usara en 1a secci6n 3.4. Otro limite trigonometrico que se Ie pedira comprobar como ejercicio esta dado por

I' 1 - cos x 0 1m = . (10) .\" ..... 0 X

Yea el problema 43 en los ejercicios 2.1. Debido a su importancia, tanto (9) como (l0) se demostraran en la secci6n 2.4 .

I Una forma indeterminada Se dice que el limite de un cociente f(x) / g(x), donde tanto el nu merador como el denominador tienden a 0 cuando x ~ a, tiene una forma indeterminada 0/ 0. EI limite (7) en el analisis inicial tenia esta forma indeterminada. Muchos limites impor-tantes, como (9) y (10), y el limite

, f(x + h) - f(x) 11m 1 ' h ..... O 1

que constituye la columna vertebral del caleulo diferencial , tam bien tienen 1a forma indeter-minada 0/ 0.


Y Ixl Y=---x

------~------~x

- I FIGURA 2.1.11 GnHica de la fun-cion en el ejemplo 8

,!@@!,W:. Una forma indeterminada EI Ifmite 11m Ixll x tiene la forma indeterminada 010, pero, a diferenc ia de (7), (9) y (10), este

x~o Ifmite no existe. Para ver por que, analizaremos la grMica de la funcion f(x) = Ixll x. Para x * 0, Ixl = {x, x > 00 y asf reconocemos a f como la funcion definida par partes

-x, x <

f(x) = hl = {I, x -I,

x > O x < o. (1 I )

A partir de (II) y de la gnifica de f de la FIGURA 2.1.11 debe resultar evidente que los dos lfmi-tes de j ; izquierdo y derecho, existen y

y

Debido a que estos lfmites laterales son diferentes, se conc\uye que Ifm Ixll x no existe. x~o

lim NOTAS DESDE ELAULA x--)a Aunque las gnlficas y tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un limite existe 0 no, usted ciertamente esta enterado de que todas las calculadoras y computadoras funcionan solo con aproximaciones, y que las graficas pueden trazarse de manera inexacta. Un uso ciego de las calculadoras tambien puede conducir a una conclusion falsa. Por ejemplo, se sabe que lim sen(7Tlx) no existe, pero a partir de los val ores tabulares

x~o

::to. 1 ::to.OI f(x) o o

podrfa concluirse en forma natural que lil11 sen(7Tlx) = o. Por otra parte, puede demos-trarse que el limite x-'o

(12)

existe y es igual a . Yea el ejemplo 11 en la seccion 2.2. Con calculadora se obtiene

x--)O ::t o.OOOOI ::to.OOOOOI ::to.OOOOOOl fex) 0.200000 0.000000 0.000000

El problema al calcular (I2) para toda x proxima a 0 es que en forma correspondiente, W+4 esta muy proximo a 2. Cuando se restan dos numeros casi iguales en una calcu-ladora, es posible que ocurra una perdida de cifras significativas debido al error par redondeo.

Ejercicios 2.1 Las respuestas de los prob lemas impares se leccionados com ienzan en la pagina RES-B.

= Fundamentos En los problemas 1-14, trace la grMica de la funcion para encontrar el limite dado, 0 concluya que no existe.

1. lfm e3x + 2) 2. IfmCx2 - 1) x~2 X---72

3. Ifm(1 + 1) x ..... o x

5 ] ' X2 - 1 . Im-----X ..... 1 x-I

7 r Ix - 31 ' x~1x-3

6 1, X2 - 3x

1m x ..... o X

8 I, Ixl - x 1m x ..... o X

x 3 9. Ifm -x-.o x

10 1, X4 - 1

1111 -----x"'" 1 x 2 - 1

11. l~fex) donde fex) = {~; l' 3, ~ ~ ~ 12. Ifmfex) donde fex) = { x, 1 x < 2

x ..... 2 X + , x 2:: 2

13. Ifm fex) donde fCx) = h: -2x, ~ : ~ x ..... 2 l x 2 - 6x + 8, x > 2

lX 2 14 .. Ifm f(x) dondef(x) = 2, ' ,--.0 Vx - 1, x < 0 x = 0 x>O En los problemas 15-18, use la gnifica dada para encontrar el valor de cada cantidad, 0 conc1uya que no existe. a)f( l) b) Ifm f (x )

x ------+ I I

15. y

y = f(x)

--+----i~+-_+-+- x

FIGU RA 2.1.12 Gnltica para el problema 15

17. Y y = f (x)

-t--+---t--t-+-~x

FIGURA 2.1.14 Grafica para el problema 17

c) lim f(x ) d) lim f (x) .\"----71 - X ----71

16. y

~ x

FIGURA 2.1.13 Grafica para el problema 16

18. Y

i-+-\-+-++-+~ x

FIGURA 2.1.15 GrMlca para el problema 18

En los problemas 19-28, cada Ifmite tiene el valor 0, pero alguna notacion es incorrecta. Si la notacion es incorrecta, escriba la dec1aracion correcta. 19. Ifm -Vx = 0 20. lim \YX = 0

x-->o

21. Ifm~ = 0 x--+I

22. Ifm Y.X+2 = 0 x--+ - 2+

23. IfmJxJ = 0 x-->o

24. Ifm l x J = 0 x--+~

25. Ifm senx = 0 26. Ifm COS- I x = 0 X--+7T x---+ l

28. Ifm lnx = 0 x--> l

En los problemas 29 y 30, use la gnifica dada para encon-trar cada Ifmite, 0 concluya que no existe. 29. a) Ifm f(x) b) Ifm f(x)

x ----7 - 4+ x ----7 - 2

c) Ifm f(x) d) lim f(x) .\ ---+0 x ---+l

e) Ifm f(x) f) Ifm f(x) x-,)-3 X---74-

~ y 1 1 I i/ I

......... v 1\ I V x ' I V

\ V ! I FIGURA 2.1.16 Gratica para el problema 29


30. a) lim f(x) r ---+ - 5

b) 11m f(x) x--+ - 3

c) !fm f(x) d) lim f(x) x----7- 3' .\"----7- 3

e) Ifm f(x) f) Ifm f(x) x----tO X-7 1

y

........,

I-I--I---V-

"""- /C

V - 1 x

._-'--- ---

FIGURA 2.1.17 Gnitica para el problema 30

En los problemas 31 -34, trace una gr - I x-->I

= Problemas con calculadora/SAC En los problemas 35-40, use una caIculadora 0 un SAC para obtener la gr o

1 35. f(x) = cos-x

37. ((x) = 2 -~ . x

I 36. f(x) = x cos -x

9 38. f(x) = - [V9=X - v'9+X] x

39. f(x) = e-2x - 1 x

40. f(x) = In Ixl x

En los problemas 41-50, proceda como en los ejemplos 3, 6 y 7 y use una caIculadora para construir tablas de valores funcionales. Conjeture el valor de cada limite 0 conc1uya que no existe.

41 r 6Vx-6~ x~1f x-I

43 I' I - cosx lin

x--> o X

45. lim-x-x--> o sen 3x

47. lim Vx - 2 x-->4 X - 4

49 I' X4 + X - 2 x~1f x - I

42 I' Inx . lm--x--> I x - I

44 I' 1 - cosx 1m x-->o x 2

46 I' tanx .lm - -x--> O X

r [6 6v'.X=2] 48. x~ x 2 - 9 - x 2 - 9 , x 3 + 8 50. hm --

x--> - 2 X + 2

74 CAPITULO 2 Limite de ulla fUllcion

2.2 Teoremas sobre limites I Introduccion La intenci6n del amHisis informal en la secci6n 2.1 fue proporcionarle una comprensi6n intuitiva de cuando un lfmite existe 0 no. Sin embargo, no es aconsejable ni prac-tico, en ninguna instancia, \legar a una conclusi6n respecto a la existencia de un limite con base en una grafica 0 tabla de val ores numericos. Debe ser posible evaluar un limite, 0 con-cluir su no existencia, de alguna forma mecanica. Los teoremas que se consideraran en esta secci6n establecen tales mecanismos. Las demostraciones de algunos de estos resultados se muestran en el apendice.

El primer teorema proporciona dos resultados basicos que se usaran en todo el analisis de esta secci6n .

Teorema 2.2.1 Dos limites fundamentales

i) lim c = c, donde c es una constante. X->I

ii) lfmx = a .\'4 1

Aunque ambas partes del teorema 2.2.1 requieren una demostraci6n formal, el teorema 2.2.1 ii) es casi tauto16gico cuando se plantea verbalmente:

El limite de x cuando x tiende a 0 es o.

En el apendice se proporciona una demostraci6n del teorema 2.2.10.

U!!3f1!Q!'W, Usa del teorema 2.2.1 a) A partir del teorema 2.2.1i),

lim 10 = 10 x~2

b) A partir del teorema 2.2.l ii), lim x = 2 x~2

y

y

lim 1T = 1T . .6

lim x = O. x->o

El limite de una constante por una funci6n f es la constante por el limite de f cuando x tiende a un numero a.

Teorema 2.2.2 Limite de una funci6n multiplicada por una con stante

Si c es una constante, entonces

11m c f(x) = c lim f(x ). X----+ lI X411

Ahora es posible empezar a usar los teoremas combinados.

U!!3MQ!'*J Usa de los teoremas 2.2.1 y 2.2.2 A partir de los teoremas 2.2.1 ii) Y 2.2.2,

a) lim 5x = 5 lim x = 5 . 8 = 40 x->8 x-> 8

b) x!iIE2 (-~x) = -~x!iIE2X = (-~) . (-2) = 3. El siguiente teorema es particularmente impOltante pOl'que constituye un medio para calcu-

lar limites de manera algebraica.

Teorema 2.2.3 U mites de una suma, un producto y un cociente

Suponga que a es un numero real y que 11m f(x) y 11m g(x) existen. Si lim f(x) = L j Y 11m g(x) = L2 , entonces ,-'" x .... a x .... " \ -4 (1

i) lfm [f(x) g(x) 1 = lfm f(x) + lfm g(x) = L j L 2, .\~ ({ x - >a x-+a

ii) lfm [f(x)g(x) 1 = (lfm f(x)(lfm g(x) = L j L2, y .y -+n x-+a .r-+o

~ f(x)~~~/(x) L j iii)!~ g(x) =ii;;g:D:5 L2

' L2 =F O. X -----+{/

El teorema 2.2.3 puede plantearse coloquialmente como

Si ambos Hmites existen, entonces i ) el limite de una suma es la suma de los lfmites ,

ii) el lfmite de un producto es el producto de los lfmites y iii) el lfmite de un cociente es el cociente de los 11mites, en el supuesto que el

lfmite del denominador no es cero.

Nota: Si todos los lfmites existen, entonces el teorema 2.2.3 tambien es valida para 11mites laterales; es decir, la notaci6n x ~ a en el teorema 2.2.3 puede sustituirse por x ~ a - 0 por x ~ a +. Ademas, el teorema 2.2.3 puede extenderse a diferencias, sumas, productos y cocien-tes que implican mas de dos funciones. Consulte el apendice para ver una demostraci6n del teorema 2.2.3.

l#!!J AA Mlg!,.1 Usa del tearema 2.2.3 Evalue 11m (lOx + 7).

x-t S

Solucion Por los teoremas 2.2.1 y 2.2.2, sabemos que lfm 7 y lfm lOx existen. Por tanto, a . d 1 2 2 3) x .... 5 x-->5 partir e teorema . . I ,

lfm (lOx + 7) = lfm lOx + lfm 7 x-+5 x -+5 x---+5

10 lfm x + lim 7 x---+5 x---+5

105 + 7 = 57.

I Limite de una potencia El teorema 2.2.3ii) puede usarse para calcular el lfmite de una potencia entera positiva de una funci6n. Por ejemplo, si lim f(x) = L , entonces por el teo-rema 2.2.3ii) con g (x) = f(x), x->a

Por el mismo razonamiento es posible aplicar el teorema 2.2.3ii) al caso general en que f(x) es un factor n veces. Este resultado se plantea en el siguiente teorema.

Teorema 2.2.4 U mites de una potencia

Sean lfm f(x) = L Y n un entero positivo. Entonces X--HI

lfm [f(x) l" = [lfm f(x )]" = L" . x ----+u x-+a

Para el caso especial f(x) = x", el resultado proporcionado en el teorema 2.2.4 produce lfmx" = a". x---+a

(l)

2.2 Tearemas sabre limites 75


U!!3MR!'.' Uso de (1) y el teorema 2.2.3 Evallte

a) Ifmx3 x~IO

b) !fm~. .\"->4 x 2

Solucion a) Por (1),

Ifm x3 = 103 = 1000. x~ I O

b) Por el teorema 2.2.1 y (1) sabemos que lim 5 5 y lim X2 16 "* O. En conse-cuencia, por el teorema 2.2.3iii), x-+4

lim 5 Ifm ~ - .4 - ~ - ~ x->4 X2 - !fm x 2 - 42 - 16

x->4

'ii@!Miij!.*j Uso del teorema 2.2.3 Evalue lim (x2 - 5x + 6).

x---+3

x ---+4

Solucion Debido a los teoremas 2.2.1, 2.2.2 Y (1), todos los limites existen. En consecuen-cia, por el teorema 2.2.3i),

Ifm (x 2 - 5x + 6) = Ifm x 2 - Ifm 5x + Ifm 6 = 32 - 5 . 3 + 6 = o. x---+3 x---+3 x--+3 x--+3

l'l3fMQ!.lij Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.4 EvalUe Ifm (3x - 1) 10.

x---+ I

Solucion Primero, por el teorema 2.2.3i) se observa que Ifm (3x - 1) = lim 3x - Hm I = 2. x---+ l x---t l x---+ I

Luego, por el teorema 2.2.4 se concIuye que lim(3x - 1)10 = [lim(3x - 1)]10 = 210 = 1024. x--+ I x--+ I

I Limite de funciones polinomiales Algunos limites pueden evaluarse por sustituci6n directa. Para ca1cular ellimite de una funci6n polinomial general pueden usarse (1) y el teorema 2.2.3i). Si

es una funci6n polinomial, entonces

limf(x) = Hm(c x" + c X,, - I + ... + CIX + co) x---+a x---+a Il n- I

= limc"x" + Ifmcn _ Ixn - 1 + ... + Hm clx + Hmco X-hi x--+a x--+a x--+a

= cna" + cn- Ia,, - I + ... + cia + co. +-f esta detin ida en x = a y este lim ite es j(a)

En otras palabras, para evaluar el Ifmite de una funci6n polinomial f cuando x tiende a un numero real a, s6lo es necesario evaluar la funci6n en x = a:

lim f(x) = f(a). (2) x---+a

Al revisar el ejempl0 5 observamos que lim f(x), donde f(x) = x2 - 5x + 6 esta dada por f(3) = O. X-> 3

Debido a que una funci6n racional f es el cociente de dos polinomios p(x) y q(x), por (2) y por el teorema 2.2.3iii) se concluye que el lfmite de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) tambien puede encontrarse al evaluar f en x = a:

, ,p(x) pea) lun ((x) = lIm - = - . x->{/ x->{/ q(x) q(a) (3)

por supuesto, es necesario agregar a (3) el siempre importante requisito de que el Ifmite del denominador no sea cero; es decir, q(a) =1= O.

[:!II3M1ij! , Usa de (2) y (3) ' I' 3x - 4 Evalue 1m -0----

>--> - 1 8x- + 2x - 2

, f() 3x - 4 f' , . I d d " d'fi Solucion x = 2 es una unclOn raClOna , e mo 0 que Sl se I entl Ican 8x + 2x - 2

polinomios p(x) = 3x - 4 y q(x) = 8x2 + 2x - 2, entonces por (2) lim p(x) = p(-I) = - 7 y x~-J

Puesto que q( -]) =1= 0, por (3) se concluye que

I' 3x - 4 1m .H- I 8x2 + 2x - 2

pC-I) q(-l)

lfm q(x)=q(-I)=4. X---7 - (

-7 4

los

Usted no debe quedarse con la impresi6n de que siempre es posible encontrar el lfmite de una funci6n al sustituir el numero a directamente en fa funci6n .

1:t!I3Mlij!.M:i Usa del tearema 2.2.3 E I ' I' x-I va ue 1m 2

,--> 1 X + X - 2

Solucion En este lfmite la funci6n es racional, pero si en la funci6n sustituimos x = 1, se observa que ellfmite tiene la forma indeterminada 0/0. No obstante, si primero se simplifica, despues puede aplicarse el teorema 2.2.3iii):

I ' x - ] I ' x -lin = lin ,H I x2 + X - 2 x--> I (x - l )(x + 2)

= lfm - l-.1'-->1 x + 2

78 CAPiTULO 2 Limite de una funci6n

I=!!JijM4!'.' Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.5 Evalue

a) Ifm - x-x->5X - 5

Xl - lOx - 25 b) Ifm "-----,2,-----::....::..:..:c--=-

x->5 X - 4x - 5 , x - 5

c) hm 1 . x->5X - lOx + 25

Solucion Cada funcion en los tres incisos del ejemplo es racional. a) Puesto que el Ifmite del denominador x es 5, pero el limite del denominador x - 5

es 0, concluimos del teorema 2.2.5 que el Ifmite no existe. b) Al sustituir x = 5, tanto el denominador como el numerador se hacen iguales a 0, de

modo que el Ifmite tiene la forma indeterminada 0/0. POl' el teorema del factor del algebra, x - 5 es un factor tanto del numerador como del denominador. Asi,

x 2 - lOx - 25 , (x - 5f lim 2 = hm +- se cancela cl f' lctm .f - :; x->5 X - 4x - 5 x->5 (x - 5)(x + 1)

I' x - 5 = 1m--x->5 X + I o

---0 - 6 - . +- e l lim ile exis le

c) De nuevo, el limite tiene la forma indeterminada 0/0. Despues de factorizar el deno-minador y cancelar los factOl'es, poria manipulacion algebraic a

lim x - 5 = lim x - 5 x->5 x2 - lOx + 25 x->5 (x - 5f

r 1 = xll,~ x - 5

se ve que el limite no existe puesto que el Ifmite del numerador en la ultima ex pre-sion ahora es 1, pero el limite del denominador es O.

I Limite de una raiz EI limite de la raiz n-esima de una funcion es la raiz n-esima del Ifmite siempre que el limite exista y tenga una raiz n-esima real. El siguiente teorema resume este hecho.

Teorema 2.2.6 Limite de una raiz

Sean lim f(x) = L y n un entero positivo. Entonces x-+a

I ' '"~f'() \11' f'() ,1lr;L lin V t(x) = 1m x = V L, X--hl' X-+l1'

en el supuesto que L 2: 0 cuando n es par.

Un caso especial inmediato del teorema 2.2.6 es

(4)

en el supuesto que a 2: 0 cuando n es par. Por ejemplo, IfmvX = [limx] I/2 = 9 1/ 2 = 3. x->9 x->9

1=!!13~@! ['1 Uso de (4) y del teorema 2.2.3 E I ' I' x - VX va ue 1m 2 10' x--> -2 X + Solucion Puesto que lim (2x + 10) = -6 =1= 0, pOI' el teorema 2.2.3iii) y (4) observamos

x---+-8 que

x - vx lim

x->-82x + 10 x!!,IEsx - [x!!'IEsXf /3

lim (2x + 10) x-+-8

- 8 - (_8)1/3 -6

-6 -6 l.

Cuando el limite de una funcion algebraic a que implica radicales tiene la forma indeter-minada 0/0, algo que puede intentarse es racionalizar el numerador 0 el denominador.

IEMIQ--" Racionalizaci6n de un numerador I ' I' ~-2 Eva Lie 1m .

.1'-->0 x2

Solucion Puesto que lim V x2 + 4 = Vlfm(x2 + 4) = 2 por inspeccion vemos que ellfmite x----t O .\---7 0

dado tiene la forma indeterminada 0/ 0. Sin embargo, al racionali zar el numerador obtenemos

I' \.1?"+4 - 2 I' ~ - 2 ~ + 2 1m =lm . x-->O x 2 x-->O x 2 V X" + 4 + 2

(x2 + 4) - 4 = Ifm - -'----====--

x-->o X2(VX2 + 4 + 2) o x-

= lim - --=== --H O X2(~ + 2) I' 1 = 1m . x--> o ~ + 2

Ahora ya es posible que apliql1emos los teoremas 2.2.3 y 2.2.6:

I' \.1?"+4 - 2 I' 1 1m = 1m x-->o x 2 x-->o \.1?"+4 + 2

Ifml X---70

Vlfm(x2 + 4) + Ifm2 x--+O X---7 0

+- se cancelan las .r

+- el limite ya 11 0 es 0/ 0

En caso de que alguien se pregunte si puede haber mas de un !fmite de una funcion f(x) cLiando x ~ a, para que quede registro se plantea el ultimo teorema.

Teorema 2.2.7 Existencia implica unicidad

Si Ifmf(x) existe, entonces es unico. X~ (j

lim NOTAS DESDE EL AULA x~a .. ... ........... ...... ... ........ .... ............. .. .. ... ...... .................. .. .... .. ... ..... ......... ....... .. ... ........... .. ... .. ............................... .

En matematicas es tan importante saber 10 que un teorema 0 una definicion no dice, as! como saber 10 que dice.

i) La propiedad i) del teorema 2.2.3 no dice que ellfmite de una suma siempre es la suma de los Ifmites. Por ejemplo, lfm (1 / x) no existe, de modo qLle

X-4 0

I' rill-+- I' 1 I' 1 1m - - - -r- Im- - Im - . x-->O X X x-->o X x-->o X

A pesar de ello, puesto que 1/ x - 1/ x = para x *" 0, el lfmite de la diferencia existe.

lfm[1. - 1.] = lim = 0. x-->o X X x-->o

ii) En forma semejante, ellimite de un producto pl1ede existir y no obstante no ser igual al producto de los Ifmites. Por ejemplo, x/ x = 1, para x *" 0, y as!

Ifm (x . 1.) = Ifm 1 = 1 .1'-->0 X x-->O

pero lim (x . 1.) *" (!fm x) (lfm 1.) x-->o X x-->o x-->o X

puesto que Ifm (1/ x) no existe. X-40

2.2 Tearemas sabre Ifmites 79

.... 1:: 11 la sccc i6n "'Nolas cl esde e l aul a". al fin al e1e la seccillil 1. 1. vi III os cs le Iimile e ll la cC l.lClcill ll ( 11)

80 CAPITULO 2 LIm ite de una funci6n

iii) EI teorema 2.2.5 no afirma que el Ifmite de un cociente no existe cuando el lImite del denominador es cero. EI ejemplo 8 es un contraejemplo de esa interpretaci6n . No obs-tante, el teorema 2.2.5 establece que el !fmite de un cociente no existe cuando el lfmite del denominador es cero y el lImite del numerador no es cero.

Ejercicios 2.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-S.

= Fundamentos En los problemas 1-52, encuentre el limite dado, 0 concluya que no existe.

1. lim 15 .. ->-4

3. Ilm(-4)x x~3

5. !fm x2 x--+ -2

7. Ifm(x3 - 4x + 1) x......,. - I

9 I' 2x + 4 .lm---.. ->2 X - 7

11. Hm(3t - 1)(5t2 + 2) ,-> 1

13 I' S2 - 21 1m

s->7 S + 2

15. !fm (x + x 2 + X 3)1 3S x--+- I

17. lfmY2x - 5 x--+6

19 I ' Vi 1m

H I t 2 + t - 2

21.

23.

yZ - 25 Ifm-- -

y ..... - 5 y + 5 x3 - 1 lim---

....... 1 x- I

(x - 2)(x + 5) 25. lfm-----

.H IO (x - 8) , x 3 + 3x2 - lOx 27. 11m ~-~---=---=-=.:.:.

x ..... 2 X - 2

29 I' t3 - 2t + 1 UTI H I t 3 + t 2 - 2

, (x + 2)(xS - 1)3 31. lim-- ----

x--+O + (\IX + 4)2 33. lfm [ x2 + 3x - 1 + l]

x->o X x

2. lfmcos 11' x ..... o

4. lfm(3x - 9) .1:-+2

6. lfn} (-x 3) x-+)

8. lfm( - 5x 2 + 6x + 8) x ..... 6

10 [' x + 5 .Im - -x ..... o 3x

12. lfm Ct + 4? ' ..... - 2

14 I' X2 - 6x

. 1m x ..... 6 x 2 - 7x + 6

(3x - 4tO 16. Ifm

....... 2 (x 2 _ 2)36 18. !fm(1 + -Vx)

x"'" 8

20. Ifmx2Yx2 + 5x + 2 x ..... 2

u2 - 5u - 24 22. Ifm ---....,.--u->8 U - 8

24 I' t3 + 1 . Im - - -' ..... - lt 2 - 1

26.

28.

lim _2x_+_6_ x ..... -3 4x2 - 36

2X2 + 3x - 9 !fm---,....--::--x"'" 1.5 X - l.5

32. lim xY.X+4 --Vx - 6 x-> - 2

34. Ifm [-1 _ 6 ] x ..... 2 X - 2 x2 + 2x - 8

, (x + 3)2 35. Inn.,;--;:

x"'" 3 V X - 3

37. Ifm) lOx x-> IO 2x + 5

39. Ifm)-h (h2 - 16)2 lH4 h + 5 h - 4 40. IfmCt + 2)3/2(2t + 4)1 /3

' ..... 2

41.

43.

45.

lim -yiX 3 - 64x .. ->0- x 2 + 2x Hm(at 2 - bt)2 ' ..... 1

, (8 + h)2 - 64 Iim - ----11 ..... 0 h

47. lfm ..!..(_l_ -..!..) 11 ..... 0 h x + h x

48. lim Vx+h - \IX 11 ..... 0 h

I' Vi - 1 49. ,!:!R t - 1

51 I, v'25+V - 5 1m,~

v ..... o vi + v-I

42. lim (8X + l)5 x-+ I+ x

44. Hm Y'U-=-2X-=2-+-2-x-u- +-x---+- I

46. 11m -hi [(l + h)3 - 1] 11 ..... 0

(x> 0)

50 I' Vu+4 - 3 u~ u - 5

52 I, 4 - Vx+15 . 1m x-> I x 2 - 1

En los problemas 53-60, suponga que lim f (x) = 4 y lim g(x) x~a X-HI

= 2. Encuentre el limite dado, 0 concluya que no existe. 53. lim[5f(x) + 6g(x)] 54. Hm [f(x)] 3

x---+a x---+a

55 I, 1 1m--x ..... " g(X)

57 I' f(x) x'.!:}'f(x) - 2g(x)

59. lim xf(x)g(x) x ..... a

= Piense en ello

56. lim)-f(X) x->a g(x) , [f(x) ] 2 - 4 [g(X)] 2

58. lim--'--------='---x--+a f(x) - 2g(x)

60. .~~ Xf~~ : :(X)' a 0/= -~ En los problemas 61 y 62, use el primer resultado para encontrar los lfmites en los incisos a)-c). Justifique cada paso de su trabajo citando la propiedad id6nea de los limites. 61.

, x lOO - 1 lim = 100 x"'" I x-I

x lOO - 1 a) Ifm 2 b)

x ..... I x-I

62. lim senx = 1 x ..... o x

) I, 2x a nTI--x ..... o sen x

, x50 - 1 lim '-----'-x ..... I x-I

, (x IOO _ 1)2 c) 11m -'---- - -

x ..... 1 (x - 1)2

c) lim 8x2 - sen x x ..... o x

63 U I, senx 1 I' 0 se 1m -- = , para mostrar que 1m sen x = . x ..... o X x ..... o

" 2f(x) - 5 64. SI lim 3 = 4, encuentre limf(x) .

x->2 x + x ..... 2

2.3 Continuidad I Introduccion En el amilisis de la seccion 1.1 sobre funciones y grMicas se uso la frase "estos puntos se unen con una curva suave". Esta frase invoca la imagen que es una curva con-tinua agradable; en otras palabras, una curva sin rupturas, saltos 0 huecos. En efecto, una fun-cion continua a menudo se describe como una cuya grafica puede trazarse sin levantar el lapiz del pape!.

En la seccion 2.2 vimos que el valor funcional f(a) no desempenaba ningun papel en la determinacion de la existencia de lim f(x). Pero en la seccion 2.2 observamos que los limites cuando x -+ a de funciones polinoU;"Gtles y ciertas funciones racionales pueden encontrarse sim-plemente al evaluar la funcion en x = a. La razon por la que puede hacerse 10 anterior en algu-nas instancias es el hecho de que la funcion es continua en un numero a. En esta seccion vere-mos que tanto el valor de f(a) como ellfmite de f cuando x tiende a un numero a desempenan papeles primordiales al definir el concepto de continuidad. Antes de proporcionar la defini-ci6n, en la FIGURA 2.3.1 se ilustran algunos ejemplos intuitivos de funciones que no son conti-nuas en a.

)'

+-- .... a--~x I I

a) I fm f(x) no existe x--+ o

y f(a) no esta definida

y

-t---+---~x a

b) Ifm f(x) no ex iste x --+ a

pero f(a) esta definida

FIG URA 2.3.1 Cuatro ejemplos de f no continua en a

y

-I----t--_x a

c) lim f(x) existe X--+(l pero f(a) no est!l definida

y

-I----+--~x a

d) lfm f(x) existe, X--+(l f(a) esta definida, pero lfm f(x) "* f(a)

x--+a

I Continuidad en un numero La figura 2.3.1 sugiere la siguiente condicion tripartita de con-tinuidad de una funcion f en un numero a.

Definicion 2.3.1 Continuidad en a

Se dice que una funcion f es continua en un numero a si i) f(a) esta definido, ii) lfm f(x) existe y iii) Hm f(x) = f(a).

x----+a x--+a

Si alguna de las condiciones en la definicion 2.3.1 no se cumple, entonces se dice que f es dis continua en el numero a .

i@HhM4!.M. Tres funciones Determine si cada una de las siguientes funciones es continua en 1.

x 3 - 1 a) f(x) = ~

Solucion l

x3 - 1 b) g(x) = x - I'

2,

x =1=

x= lx3 - 1

c) hex) = x-I' 3,

x =1=

x=

a) f es discontinua en 1 puesto que al sustituir x = 1 en la funcion se obtiene 0/ 0. Se afirma que f(l) no esta definida, de modo que se viola la primera condici6n de con-tinuidad en la definicion 2.3.1.

b) Debido a que g esta definida en 1, es decir, g( 1) = 2, a continuacion se determina si

2.3 Continuidad 81

Hm g(x) existe. Por ... Recuerde de sus conocimientos x-> I de a lgebra que

x 3 - 1 (x - 1)(x2 + X + 1) 'b' b) lfm--1

= Hm 1 = Hm(x2 + x + 1) = 3 (1) a' - . = (a -x-+l X - x-+1 X - .1' ..... 1 (a2 + ab + b2)


Y 5

2 FIGURA 2.3.3 Grafica de la fun-ci6n en el ejemplo 2

concluimos que Ifm g(x) existe y es igual a 3. Puesto que este valor no es el mismo x~l

que g(l) = 2, se viola la segunda condicion de la definicion 2.3.1. La funcion g es discontinua en I.

e) Primero, hO) esta definida; en este caso, h(1) = 3. Segundo, Ifm hex) = 3 por (1) del inciso b). Tercero, se tiene Ifm hex) = hO) = 3. Por tanto~-'~e cumplen las tres

.\"--+1 condiciones en la definicion 2.3.1 y as! la funcion h es continua en 1.

Las grc'ificas de las tres funciones se comparan en la FIGURA 2.3.2.

y y = f(x) y y = g(x) y y=h(x)

3 3 / 2

-t-+--+--t---t+-x -t-+--+--t---t+-x -t-+---t--t---t+- x

~ ~ FIGURA 2.3.2 Graficas de las funciones en el ejemplo I

'ii@!#@!.Wl Funci6n definida par partes Determine si la funcion definida por partes es continua en 2.

(

X2

f(x) = 5,' -x + 6,

x < 2 x = 2 x> 2.

Solucion Primero, observe que f(2) esta definida y es igual a 5. Luego, por IfmJ(x) = lfm_ x 2 = 4 )

Xr2 f( ) - Xr2 ( + 6) _ 4 implica lfmf(x) = 4 x2.rr+ x - x2.~ -x - x-->2

c)

observamos que el Ifmite de f existe cuando x ---+ 2. Por ultimo, debido a que Ifm f(x) "* x------+2

f(2) = 5, por iii) de la definicion 2.3.1 se concluye que f es discontinua en 2. La grc'ifica de f se muestra en la FIGURA 2.3.3.

I Continuidad sobre un intervalo A continuacion veremos que el concepto de continuidad en un numero a se extiende a continuidad sobre un intervalo.

Definicion 2.3.2 Continuidad sobre un intervalo

Una funcion f es continua i) sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en todo numero en el intervalo; y

ii) sobre un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y, ademas, Ifm f(x) = f(a)

X-70T y Ifm f(x) = feb).

x--+b-

Si se cumple la condicion Ifmite por la derecha Ifm f(x) = f(a) dada por ii) de la defi-x--+a+

nicion 2.3.1, se dice que f es continua por la derecha en a; si Ifm f(x) = feb), entonces f x----+b-

es continua por la izquierda en b. Extensiones de estos conceptos a intervalos como [a, b), (a, b], (a, 00), ( -00, b),

(-00, 00), [a, 00) y (-00, b] se hacen como se espera. Por ejemplo, f es continua en [1, 5) si es continua en el intervalo abierto (1, 5) y es continua por la derecha en l.

mxt1MIQ!,.' Cantin uidad sabre un intervala a ) Como observamos en la FIGURA 2.3.4a ), f(x) = I/~ es continua sobre el inter-

valo abierto (- 1, 1) pero no es continua sobre el intervalo cerrado [- 1, I], ya que ni f( - 1) ni f(1 ) estlin definidos.

b) f(x) = ~ es continua sobre [-I, I ]. Observe por la fi gura 2.3.4b) que lim f(x ) = f(-I) = y Ifm...f(x) = f(l) = 0.

x -----"7 - I+ X-----"71

c) f(x ) = -v:x=-T es continua sobre el intervalo no acotado [ 1, (0), ya que limf(x) = Ylim(x - I ) = v"Cl=l = f(a ), x---+a x ---+a

para cualquier numero real a que cumpla a > I, Y f es continua por la derecha en 1 puesto que

lim -v:x=-T = f(1) = 0. x-t [ +

2.3 Continuidad 83

y

I , I \'=~

-": ~ 1- x 2 -+--+--1---+- x - I

a)

~' ~ v='o'l - x x - I I

b)

Yea 1a figura 2.3.4c) . y y = ~x - I Una revisi6n de las gnificas en las figuras 1.4.1 y 1.4.2 muestra que y = sen x y y = cos

x son continuas en (- 00, (0). Las figuras 1.4.3 y 1.4.5 muestran que y = tan x y y = sec x son discontinuas en x = (2 n + 1) 7T 12, n = 0, 1, 2, ... , mientras las figuras 1.4.4 y 1.4.6 muestran que y = cot x y y = csc x son discontinuas en x = n7T, n = 0, 1, 2, . .. Las funciones trigonometricas inversas y = sen - I x y Y = cos - I x son continuas sobre el inter-valo cerrado [ - 1, IJ. Yea las figuras 1.5.9 y 1.5.12. La funci6n exponencial natural y = eX es continua sobre el intervalo (-00, (0), mientras que la funci6n logaritmo natural y = In x es continua sobre (0, (0). Yea las figuras 1.6.5 y 1.6.6.

I Continuidad de una suma, producto y cociente Cuando dos funciones f y g son continuas en un numero a, entonces la combinaci6n de las funciones formadas por suma, multiplicaci6n y divisi6n tam bien es continua en a. En el caso de la divisi6n fl g es necesario, por supuesto, requerir que g(a) '* 0.

Teorema 2.3.1 Continuidad de una suma, un productoy un cociente

Si las funciones f y g son continuas en un mimero a, entonces la sumaf + g, el producto fg y e1 cociente fig (g(a) '* 0) son continuos en x = a.

DEMOSTRACION DE LA CONTINUIDAD DEL PRODUCTO Ig Como una consecuencia de la hip6-tesis de que las funciones f y g son continuas en un numero a, podemos decir que ambas fun-ciones estan definidas en x = a, los limites de las dos funciones existen cuando x tiende a a y

limf(x) = f(a) y lfmg(x) = g(a). X----'1'(1 X ----'?(f

Debido a que e1 lfmite existe, sabemos que ellfmite de un producto es el producto de los lfmites:

1~(f(x)g(x = O~f(x)O~g(x) = f(a)g(a) . Las demostraciones de las partes restantes del teorema 2.3.1 se obtienen de manera semejante .

Puesto que 1a definici6n 2.3.1 implica que f(x) = x es continua en cualquier numero real x, a partir de aplicaciones sucesivas del teorema 2.3.1 se observa que las funciones x , x2, x 3, . , x" tambien son continuas para cualquier x en el intervalo (-00, (0). Debido a que una funci6n polinomial es justo una suma de potencias de x, otra aplicaci6n del teorema 2.3.1 muestra 10 siguiente:

Una funci6n po1inomial f es continua en (-00, (0). Se dice que las funciones, como las polinomia1es, el seno y el coseno, que son continuas para todos los numeros reales, es decir, sobre el intervalo (-00, (0), son continuas en todas par-tes. De una funci6n que es continua en todas partes tambien se dice que es continua. Luego,

-+--+----~x

c) FIGURA 2.3.4 Graticas de las funciones en el ejemplo 3


y

--+-1----1--1--+* x - I

FIGURA 2.3.5 Discontinuidad tipo saito en x = 0

~_X2- 1 y - x -I I x I a) No es continua en 1

~2 x -I y= {~' I 2, x I b) Continua en I

x = 1

FIGURA 2.3.6 Discontinuidad removible en x = I

si p(x) y q(x) son funciones polinomiales, por el teorema 2.3 .1 tambien se concluye directa-mente que

Una funcion racional f(x) = p(x)/ q(x) es continua excepto en numeros en los que el denominador q(x) es cero.

I Terminologia Una discontinuidad de una funcion f a menudo se denomina de manera especial. Si x = a es una aSlntota vertical para la gnifica de y = f(x), entonces se dice que f

tiene una discontinuidad infinita en a.

La figura 2.3.1a) ilustra una funcion con una discontinuidad infinita en a. Si !fm f(x) = L] Y !fm f(x) = L2 y L] =1= ~, entonces se dice que f tiene una dis-

x~a - x~a+

continuidad finita 0 una discontinuidad de tipo saIto en a.

La funcion y = f(x) dada en la FIGURA 2.3.5 tiene una discontinuidad de tipo saIto en 0, puesto que !fm f(x) = -1 Y !fm f(x) = 1. La funcion entero mayor f(x) = l x J tiene una disconti-

X~O- X--+O+ nuidad de tipo saIto en todo valor entero de x.

Si!fm f(x) existe pero f no esta definida en x = a 0 f(a) =1= Ifm f(x) , entonces se dice x --+a x---ta

que f tiene una discontinuidad removible en a. Por ejemplo, la funcion f(x) = (x2 - 1)/ (x - 1) no esta definida en x = 1 pero lim f(x) = 2.

x--+I Al definir f(1) = 2, la nueva funcion

lx2 - 1

f(x) = x - I ' 2,

x =1=

x =

es continua en todas partes. Yea la FIGURA 2.3.6.

I Continuidad de f -1 La validez del siguiente teorema se concluye del hecho de que la gra-fica de la funcion inversa f - ] es una reflex ion de la grafica de f en la recta y = x.

Teorema 2.3.2 Continuidad de una funcion inversa

Si f es una funcion continua uno a uno sobre un intervalo [a, b], entonces f- l es continua ya sea sobre [f(a),J(b)] 0 sobre [f(b),J(a)].

La funcion seno,j(x) = sen x, es continua sobre [- n/ 2, 7T/ 2], y como ya se observo, la inversa de f, y = sen -] x, es continua sobre el intervalo ceO'ado [f( - 7T / 2),J( 7T / 2)] = [-1, 1] .

I limite de una funci6n compuesta EI siguiente teorema establece que si una funcion es con-tinua, entonces el limite de esa funcion es la funcion del limite. La demostracion del teorema 2.3.3 se proporciona en el apendice.

Teorema 2.3.3 Limite de una funcion compuesta

Si !fm g(x) = L y f es continua en L, entonces x --+a

l.~f(g(x)) = fU~g(x)) = f(L).

EI teorema 2.3.3 es util en la demostracion de otros teoremas. Si la funcion g es continua en a y f es continua en g(a), entonces vemos que

lim f (g (x )) = f(lfmg (x)) = f(g(a)) . x ------'>' (( x---+a

Acabamos de demostrar que la composicion de dos funciones continuas es continua.

Teorema 2.3.4 Continuidad de una funcion compuesta

Si g es continua en un numero a y f es continua en g(a) , entonces la funcion compuesta (f 0 g)(x) = f(g(x)) es continua en a.

f:!IiMiQl , Continu idad de una func i6n compuesta f (x) = Vx es continua sobre el intervalo [0, (0) y g(x) = x2 + 2 es continua sobre (-00, (0) . Pero, puesto que g(x) ~ 0 para toda x, la funcion compuesta

(f 0 g)(x) = f(g(x)) = v'?"+2 es continua en todas partes.

Si una funcion f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces, como se ilustra en la FIGURA 2.3.7, f asume todos los valores entre f(a) y feb) . Dicho de otra manera, una fun-ci6n continua f no omite ningun valor.

Teorema 2.3.5 Teorema del valor intermedio

Si f denota una funcion continua sobre un intervalo cerrado [a, b] para el cual f(a) * feb), y si N es cualquier numero entre f(a) y feb), entonces existe por 10 menos un numero c entre a y b tal quef(c) = N.

UII3MQ.4j Consecuenc ia de la continu idad La funcion polinomial f(x) = x 2 - X - 5 es continua sobre el intervalo [- I, 4] y f (-1) = -3, f(4 ) = 7. Para cualquier numero N para el eual -3 :s; N :S; 7, el teorema 2.3.5 garantiza que hay una solueion para la eeuaeion f(c) = N, es deeir, c2 - c - 5 = N en [-1,4]. Especifi-eamente, si se eseoge N = 1, entonees c2 - c - 5 = 1 es equivalente a

o bien, (c - 3)(c + 2) = o. Aunque la ultima eeuaeion tiene dos solueiones, solo el valor c = 3 esta entre - 1 y 4.

El ejemplo anterior sugiere un eorolario al teorema del valor intermedio. Si f satisfaee las hip6tesis del teorema 2.3 .5 y f(a) y feb) tienen signos algebraieos

opuestos, entonees existe un numero x entre a y b para el que f(x) = O. Este heeho se usa a menudo para localizar eeros reales de una funcion continua f Si los valo-res f(a) y feb) tienen signos opuestos, entonees al identificar N = 0 podemos afirmar que hay por 10 menos un numero c en (a, b) para el cual f(c) = O. En otras palabras, si f(a) > O,f(b) < 0 0 f(a) < 0, feb) > 0, entonces f(x) tiene por 10 menos un cero c en el intervalo (a, b) . La validez de esta conclusi6n se ilustra en la FIGURA 2.3.8.

'1 y = f (x) y

,

y = f(x ) , : feb) > 0 f(a) > 0 " b ,

x x

b a , f(a) < 0 ,

. I ' feb) < 0

a) Un cera c en (a , b) b) Tres ceros en c1' c2' c3 en (a , b) FIGURA 2.3.8 Localizaci6n de ceros de funciones usando el teorema del valor intermedio

Y

feb) j\j

f(a)

2.3 Continuidad 85

, -,--

t I ,

t , ,

~ , , a c b

FIGURA 2.3.7 Una funci6n conti-nua f asume todos los val ores entre f (a) y f eb)

x


d P lllliO med io es una aproxirnacitm

I.:cro de I ' 11 l:Cf(l

I ~ x aC ini b

FIGURA 2.3.9 El numero 11l, es una aproximaci6n al numero c

y

-+-~+--++--++-x 2

FIGURA 2.3.10 Grafica de la funci6n en el ejemplo 6

Si se clesea que la aproximacion ~ sea precisa hasta ' res cifras clec imalcs. continu

{x, x 2 1, x=O r 25 x*-5 9. f(x) = x - 5 ' 10, x = 5

1 x - I v'X - l ' x*-1 IO. f(x) = ~

x = 1 2'

ll. f(x) = 2 +\n x 2 12. f(x) = x x e - e

En los problemas 13-24, determine si la funci6n f es conti-nua en el intervalo indicado.

13. f(x) = x 2 + 1 a) [ - 1, 4]

1 14. ((x) = -. x

a) (-00,00) 1

IS. f(x) = v'X a) (0, 4]

16. f(x) = vx2 - 9 a) [-3,3]

17. f(x) = tan x a) [0,1T]

18. f(x) = csc x a) (0 ,1T)

19. f(x) = ~ x + 8

a) [-4, -3 ] 1

20. f(x) = Ixl - 4 a) ( - 00, - 1]

x 21. f(x) = 2

+ sec x

a) (-00,00) 1 22. f(x) = sen -x

a) [1 / 1T, 00) 23. y

b) [5 ,00)

b) (0,00)

b) [1, 9]

b) [3,00)

b) [-1T/ 2, 1T/ 2]

b) (21T, 31T)

b) (-00,00)

b) [1,6]

b) [1T/ 2, 31T/2]

b) [- 2/ 1T, 2/ 1T]

FIGURA 2.3. 11 Gnltica para el problema 23

a) [-1,3] b) (2, 4]

2.3 Conti nu idad 87

FIGURA 2.3. 12 GrMica para el problema 24

a) [2, 4] b) [1,5]

En los problemas 25-28, encuentre los va10res de m y 11 de tal manera que la funci6n f sea continua.

25. f(x) = {m:, x,

x7T/ 2 X- '>7T/ 2

37. C2 - 1T 2) 38. lim tan( 2 1Tt ) lim cos 1- >7T t - 1T 1-+0 t + 3t

39. limVt - 1T + cos2 t 40. lim(4t + sen 2m? 1-'>7T 1 ..... 1

41. lim sen - { 2 X + 3 ) 42. lim eCos 3x x ..... -3 X + 4x + 3 X--+7T

En los problemas 43 y 44, determine el (los) intervalo(s) donde f og es continua.

43. f(x) = ~, g(x) = x + 4 x-I

5x 44. f(x) = x _ l ' g(x) = (x - 2)2

88 CAPITULO 2 LImite de L1na funcion

En los problemas 45-48, compruebe el teorema del valor intermedio para f en el intervalo dado. Encuentre un numero c en el intervalo para el valor indicado de N. 45. f(x) = x 2 - 2x, [1,5]; N = 8 46. f(x) = x 2 + X + 1, [-2, 3]; N = 6 47. f(x) = x 3 - 2x + 1, [-2,2]; N = 1

lO 48. f(x) = x 2 + l' [0, 1]; N = 8

49. Dado que f(x) = x 5 + 2x - 7, demuestre que hay un numero c tal que f(c) = 50.

50. Dado que f y g son continuas sobre [a, b] de modo que f(a) > g(a) y feb) < g(b), demuestre que hay un numero c en (a, b) tal que f(c) = g(c) . [Sugerencia: Considere la funcion f - g.]

En los problemas 51-54, muestre que la ecuacion dada tiene una solucion en el intervalo indicado. 51. 2x 7 = 1 - x, (0, 1)

x 2 + 1 X4 + 1 52. -- + -- = 0 (-3,4) x+3 x-4 '

53. e- x = In x, (1,2)

54. senx x

1 2' (n/2, n)

= Problemas con calculadora/SAC En los problemas 55 y 56, use una calculadora 0 un SAC para obtener la gnifica de la funcion dada. Use el metodo de bisec-cion para aproximar, con precision de dos cifras decimales, los ceros reales de f que descubra a partir de la gn'ifica. 55. f(x) = 3xS - 5x3 - 1 56. f(x) = x 5 + x-I 57. Use el metodo de biseccion para aproximar el valor de

c en el problema 49 hasta una precision de dos cifras decimales.

58. Use el metodo de biseccion para aproximar la solucion en el problema 51 hasta una precision de dos cifras deci-males.

59. Use el metodo de biseccion para aproximar la solucion en el problema 52 hasta una precision de dos cifras deci-males.

60. Suponga que un cilindro circular recto cerrado tiene un volumen V y un area superficial S (lado lateral, tapa y base). a) Demuestre que el radio r del cilindro debe satisfacer

la ecuacion 2n? - Sr + 2V = O. b) Suponga que V= 3 000 pies3 y S = I 800 pies2 . Use

una calculadora 0 un SAC para obtener la gr

Ell forma semejante, para un numero a en el dominio de la funci 6n trigonometrica dada Ifm tan x = tan a , lim cot.\' = cot a, (3) x-+t1 x-*a

lim secI' = sec a, Ifm csc x = csc a. (4) .r~a r - hl

HUMM'.' Uso de (1) y (2) A partir de (I) Y (2) se tiene

Ifm sen x = sen 0 = 0 y lim cos x = cos 0 = I. . \,-+0 x---?o

(5)

Los resultados en (5) se obtendran en el siguiente analisis sobre el caleulo de otras Ifmi-tes trigonometricos. Pero primero se considera un teorema que reviste una utilidad particular cuando se trabaja con limites trigonometricos.

I Teorema de compresion El siguiente teorema posee muchos nombres, algunos de estos son: teorema de com presion, teorema del pellizco, teorema del emparedado, teorema del juego de compresion y teorema de Flyswatter. Como se muestra en la FIGURA 2.4.1, si la grafica de f(x) se "comprime" entre las graficas de otras dos funciones g(x) y hex) para toda x pr6xima a a, y si las funciones g y h tienen un limite comun L cuando x ~ a, tiene senti do afirmar que f tambien tiende a L cuando x ~ a. La demostraci6n del teorema 2.4.1 se proporciona en el apendice.

Teorema 2.4.1 Teorema de compresi6n

2.4 Umites trigonometricos 89

y

y = I (x)

,. = glr)

-+- ---'---"*x a

FIGURA 2.4.1 GrMica de f opri-mida entre las gnificas de g y h

Suponga que!, g y h son funciones para las cuales g(x) :S f(x) :S hex) para toda x en un inter- o X

Solucion Primero observe que

lim x 2 sen 1. -=1= (lim x2)(lim sen 1.) x-> o X x->o x->o X

pOl'que en el ejemplo 2 acabamos de vel' que lim sen(l/ x) no existe. Pero para x -=1= 0 tenemos - I :S sen(l/ x) :S l. En consecuencia, X--*O


y

FIGURA 2.4.4 Gn\fica de f(x) = (sen x) / x

Luego, si hacemos las identificaciones g(x) = - x 2 Y hex) = x 2 , por (1) de la secci6n 2.2 se sigue que Ifm g(x) = 0 y lim hex) = O. As!, por el teorema de compresi6n concluimos que

x~o x~o

En la FIGURA 2.4.3 observe la pequena escala en los ejes x y y .

- 0.1

y 0.01

0.005

- 0.005

-0.01

? Y = - .c

FIGURA 2.4.3 Gnifica de la funci6n en el ejemplo 3

? 1 y = x-sen x

0.1

I Un limite trigonometrico importante Aunque la funci6n f(x) = (sen x)/x no esta definida en x = 0, la tabla numerica en el ejemplo 7 de la secci6n 2.1 y la grMica en la FIGURA 2.4.4 sugieren que lim (sen x)/ x existe. Ahora ya es posible demostrar esta conjetura usando el teo-rema de compre~i6n.

Considere un cfrculo con centro en el origen 0 y radio 1. Como se muestra en la FIGURA 2.4.5a), sea la regi6n sombreada OPR un sector del cfrculo con angulo central t tal que o < t < 7T /2 . A partir de los incisos b ), c) y ri) de la figura 2.4.5 se observa que

area de t6.0PR :s area del sector OPR :s area de t6.0QR. (6) Por la figura 2.4 .Sb), la altura de t6.0PR es OPsen t = 1 . sen t = sen t, yas!

1 - 1 1 area de t6.0PR = "2 OR . (altura) = "2 . 1 . sen t = "2 sen t. (7)

Por la figura 2.4.Sri), QR/ OR = tan to QR = tan t, de modo que 1- - 1 1

area det6.0QR = - OR ' QR = -1 . tan t = -tan t 2 2 2' (8)

y Q

Q +-----~J---~~x P

~ P

~ ~ o R o R o R

a) Circunferencia unitaria b) Triangu lo OPR c) Sector OPR d) Triangulo rectangu lo OQR FIGURA 2.4.5 Circunferenc ia unitaria junto con dos triangulos y un sector c ircular

por ultimo, el area de LIn sector del cfrculo es ~r2e, donde res el radio y e es el angulo cen-tral medido en radianes. As!,

area del sector OPR = ~. 12. t = ~t. AI Llsar (7), (8) y (9) en la desigualdad (6) se obtiene

I I I - sent < - t < -tant 2 2 2 o bien,

1< _ t _ < _1_. sen t cos t

Por las propiedades de las desigualdades, la ultima desigualdad puede escribirse como

sen t cos t < -- < 1.

t

(9)

Ahora se hace t ~ 0 + en el ultimo resultado. Puesto que (sen t) / testa "comprimida" entre y cos t (del cual se sabe por (5) que tiende a 0), a partir del teorema 2.4.1 se concluye que (sen t) / t ~ 1. Aunque se ha supuesto 0 < t < 1T /2, el mismo resultado se cumple para t ~ 0 -cuando -1T/2 < t < O. Al usar el s!mbolo x en lugar de t, el resultado se resume como sigue:

lim senx = I. x--.o x

(10)

Como se ilustra con los siguientes ejemplos, los resultados en (1), (2), (3) y (10) se usan a menudo para calcular otms limites. Observe que ellimite (0) es de la forma indeterminada 0/0.

DIMiuc.al Usa de (10) E I I' I' lOx - 3 senx nCLlentre e ImIte 1m .

x-->o X

Soluci6n La expresion fraccionaria vLlelve a escribirse como dos fracciones con el mismo denominador x:

lim lOx - 3senx = lim[ lOx _ 3senx ] x-->O X x-->O X X

= lim lOx _ 3 lim senx x-->o X x-->o X

= lim 10 - 3 lim senx x-->o x-->o X

=10-3 1 = 7.

DlM@!.&j Usa de la f6rmula del angula dable E I 1, . I' sen 2x nCLlentre e ImIte 1m ---.

x-->o X

pueSlO que ambos Ifm iles existcn . O X x-->O X

'( senx) = 2 lIm cos x . --x--.O X

= 2 (lim cosx) (lim sen x). x-->o x--.o X

Por (5) y (10) se sabe que cos x ~ 1 Y (sen x)/ x ~ 1 cuando x ~ 0, de modo que la linea precedente se vuelve

lim sen 2x = 2 . 1 . I = 2. x-->O X

2.4 Lfmites trigonometricos 91


UWlMQ!.aa Usa de (5) y (10) , . , tan x Encuentre el lumte lim --.

.. -->0 X

Solucion Al usar tan x = (sen x)1 cos x y el hecho de que el limite existe, puede escribirse tan x (senx)/ cosx

lim-- = Ifm--- --x-->o X x-->o X

= Ifm _1_ . sen x x-->o cos X X

(1 ' 1) \/1' sen x) - Im-- Im--x-->o cos X x-->o X

= 1.. , 1 = 1.

puesto que ambos limites existen. Asi,

I, sen (x - 1) (1' 1) (1' sen t) I lITI = 1m -- lITI -- = - . x-->[ x 2 + 2x - 3 x-->[ X + 3 1-->0 t 4

I!t9MQ!.M:. Usa de una identidad pitagorica 1 I, I' 1 - cosx Encuentre e Imlte 1m

x-->o X

Soluci6n Para caIcular este limite empezamos con un poco de ingenio algebraico al multi-plicar el numerador y el denominador por el factor conjugado del numerador. Luego us amos la identidad pitag6rica fundamental sen2 x + cos2 X = 1 en la forma 1 - cos2 X = sen2 x:

r 1 - cos x r 1 - cos x 1 + cos x x~ X = x~ X . 1 + cos x

1, 1 - cos2 X

= 1m x--->o x(1 + cos x)

2 = Hm sen x

x-->o x(1 + cos x) . Para el siguiente paso de nuevo se acude al algebra para volver a escribir la expresi6n frac-cionaria como un producto, y luego se usan los resultados en (5):

1, 1 - cos x l' sen2 x 1m = 1m

x--->O X x--->O x(1 + cos x) = Hm (sen x. sen x )

x--->o X 1 + cosx

= (lim sen x) . (lim sen x ) x-->O X x--->o 1 + cos x .

Debido a que Hm (sen x)/(l + cos x) = 0/2 = 0 se tiene x--+o

1, 1 - c..osx 0 1m = . x--->o X

(13)

Puesto que el limite en (13) es igual a 0, puede escribirse 1 c s - (cos x-I) I lim - 0 x = lim = (-I)lim _co_s_x_-_ = O.

x--->o X x--->o X x--->o X

Luego, al dividir entre - 1 se obtiene otro importante limite trigonometrico:

1, cos x -I 0 1m = . .1'-->0 .r

(14)

En la FIGURA 2.4.6 se muestra la gr:ifica de f(x) = (cos x -1)/x. Los resultados en (10) y (14) se lIsaran en los ejercicios 2.7 y tambien en la secci6n 3.4.

Ejercicios 2.4 Las respuestas de los problemas impares se leccionados comienzan en la pagina RES-B.

= Fundamentos 7. lim 1 En los problemas 1-36, encuentre ellimite dado, 0 concluya

1--->0 t sec t csc 4t 2sen2 t que no existe. 9. lfm

r sen3t sen ( - 4t) 1--->0 t cos2 t

1. Im-- 2. Hm r sen2 6t 1-->0 2t 1--->0 t 11. Im---

3. r senx I' 1 + sen x 1--->0 t2

4. x~ 4 + cosx x~ 1 + cos x sen(x - 1) 13. lfm

5. I' cos2x 6. r tanx x--+I 2x - 2 1m-- Im--x--->o cos3x x--->o 3x

2.4 Umites trigonometricos 93

y [

-[

cosx -1 y~-

x

FIGURA 2.4.6 GrMica de f(x) = (cos x -1)/ x

8. Hm 5t cot 2t 1-->0

10. lim sen2 (t/2)

1--->0 sen t

t 3 12. lim---1--->0 sen 2 3t

14. lim x - 27T X~21T senx

94 CAPITULO 2 Limite de una func i6n

15. I' cosx lITI-- 16. x--+o X

17. Hm cos(3x - 7T 12)

18. x--+o x

19. r sen 3t lm--1--+0 sen 7t

20.

21. r sent I~rp. Vt 22.

23. Ifm t2

- St sen t 24. t2 1--+0

25. Ifm (x + 2Vsenxf

26. x--+o+ x

27. Ifm cosx - 1 28. x-->o cos2x - 1

29. r sen Sx2

Im ---x--+o x 2

30.

31. sen(x - 2)

32. Ifm ? x-->2 x- + 2x - 8

Ifm 1 + sene cos e 8-He/2

lim sen(Sx + 10)

x--+ - 2 4x + 8

lim sen 2t csc 3t 1--+0

I' 1 - cosVt I~rp. Vt r cos4t Im--1--+0 cos8t

lim (1 - cosx?

x--+o x

lim senx + tanx x-->o X

Ifm 1 t2

1--+0 - cost

lim x 2 - 9

x--+3 sen(x - 3)

En los problemas 39 y 40, use el teorema de compresion para establecer el lfmite dado.

39. lfmx sen l = 0 40. lfm x 2 cos 7T = 0 x-->o X x-->O X

41. Use las propiedades de los Ifmites dadas en el teorema 2.2.3 para demostrar que

42. Si If(x) I :S: B para toda x en un intervalo que contiene a 0, demuestre que lim x~f'(x) = O.

x-->o

En los problemas 43 y 44, use el teorema de compresion para establecer el limite dado. 43. lim f(x) donde 2x - I :S: f(x) :S: x 2 - 2x + 3, x =1= 2

x---+2

44. lim f(x) donde If(x) - 11 :S: x2, x =1= 0 x-->o

= Piense en ella En los problemas 4S-48, use una sustitucion idonea para encontrar el limite dado.

33. Ifm 2sen4x + 1 - cosx 34. Ifm 4x2 - 2 senx 45. lim senx - cosx X-7T

x--+o X

35. lim 1 - tanx

36. x-->7r/4 cosx - senx

x-->o X

lim cos2x x-->7r/4 cosx - senx

x-->7r/4 X - 7T I 4 sen (7T Ix)

47. lim I x-->l x-

46. lim--X-->7r tan 2x

cos( 7T Ix) 48. ETz x - 2

37. Suponga que f(x) = sen x. Use (10) y (14) de esta sec-ci6n junto con (17) de la secci6n 1.4 para encontrar el 49. Analice: i,La funcion limite:

\

sen x

f(x) = x' 1,

es continua en o?

x =1= 0

x=o

38. Suponga que f(x) = cos x . Use (10) y (14) de esta sec-cion junto con (18) de la seccion 1.4 para encontrar el lfmite:

50. La existencia de lim senx no implica la existencia de x-->O X

I ' sen Ixl E I ' 'I d I' . . limf(i + 11) - f(i) . h-->O h

1m --. xp lque por que e segun 0 Imite no eXlste. x-->o X

En algunos tex tos sc usa cl silllbolo +00 y las palabras 111(1.1 ill/ill i/o en lugar de 00 C illjllli/o .

2.5 Limites que involucran el infinito I Introduccion En las secciones 1.2 y 1.3 se consideraron algunas funciones cuyas gnificas poseian asintotas . En esta seccion se vera que las asintotas vertical y horizontal de una gra-fica estan definidas en terminos de lfmites que implican el concepto de infinito. Recuerde, los ~ simbolos de infinito, -00 ("menos infinito") y 00 ("mas infinito") son herramientas de nota-

ci6n usadas para indicar, a su vez, que una cantidad decrece 0 crece sin limite en la direccion negativa (en el plano cartesiano esto significa a la izquierda para x y hacia abajo para y) y en la direccion positiva (a la derecha para x y hacia arriba para y).

Aunque la terminologia y notacion usadas cuando se trabaja con oo son estandar, lamen-table mente son ligeramente desafortunadas y pueden ser confusas. Asi, desde el principio se advierte que se consideraran dos tipos de limites. Primero se analizaran

lfmites infinitos.

La expresi6n limites infinitos siempre se refiere a un [[mite que no existe porque la funcion f exhibe un comportamiento no acotado: f(x) ---+ -00 0 f(x) ---+ 00. Luego se consideraran

lfmites en el infinito.

2.5 Lfmites que involucran el infinito 95

La expresi6n en el infinito significa que se esta intentando determinar si una funci6n f posee ~ A 10 largo de loLio cl ClnCi l isi .s. no un lImite cuando se deja que el valor de la variable x disminuya 0 aumente sin limite: x ---+ - 00 o lvide qu e -0(.' Y IX) no rCjJl"l' -o X ---+ 00. Estos lImites pueden 0 no existir. senlan numeros rea les y III1I1Cli

dcbctl manipularsc ar il mcl ica-

I Limites infinitos El limite de una funci6n f no existe cuando x tiende a un numero a siem-pre que los val ores de la fu nci6n crecen 0 decrecen sin Ifmite. El hecho de que los val ores de la fu nci6n f(x) crecen sin Ifmite cuando x tiende a a se expresa simb6licamente por

f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a o bien, Iimf(x) = 00 . (1) .:( --"' (1

Si los valores de la funci6n decrecen sin Ifmite cuando x tiende a a, se escribe f(x) ---+ -00 cuando x ---+ a o bien, limf(x) = -00. (2)

x~a

Recuerde que el uso del sfmbolo x ---+ a significa que f muestra el mismo comportamiento -en este caso, sin lImite- a ambos lados del numero a sobre el eje x. Por ejemplo, la nota-cion en (1) indica que

f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a-Yea la FIGURA 2.5.1.

Yt Y = I(x )

x a

a) Ifm I(x) = 00 X--7(f

y f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a +.

Y x = ({

Y = I(x)

---~-r-1-~ X

b) Ifm Iex) = -00 X--7{1

FIGURA 2.5.1 Dos tipos de limites infinitos

En forma semejante, la FIGURA 2.5.2 muestra el comportamiento sin limite de una funci6n f cuando x tiende a a por un lado, Observe en la figura 2.S.2c) que no es posible describir el comportamiento de f cerca de a usando un solo sfmbolo de Ifmite.

Y

I I

Y Y

1 I I x = (/

Y = I(x ) Y = I(x) I x = a I I

---+--~--~' --~~x -~---r+-----~x

v = lex)

a) Ifm I(x) = 00 b) Ifm Iex) = -00 c) Ifm I(x) = 00 y Ifm Iex) = -00 X-711 + X-7a- X-hl+

FI GURA 2.5.2 Tres tipos mas de Ifmites infinitos

En general, cualquier lfmite de los seis tipos

IfmJ(x) = -00, limJ(x) = 00 , r-----+a x-----';a

lfm f(x) = -00, r-----+a+

lim f(x) = 00, x--+({+

lim f(x) = -00, limf(x) = 00, X -----7Q x-----ta

(3)

se denomina limite infinito. De nuevo, en cada caso de (3) simplemente se esta describiendo de manera simb6lica el comportamiento de una funci6n f cerca del numero a. Ninguno de los Ifll1 ites en (3) existe.

En la secci6n 1.3 se repas6 c6mo identificar una asfntota vertical para la grafica de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) . Ahora ya podemos definir una asfntota vertical de cualquier funci6n en terminos del concepto de lfmite.

menle como se haec con los niilllcros .


Definicion 2.5.1 Asfntota vertical

I Se dice que una recta x = a es una asintota vertical para la grafica de una funci6n f si par 10 menos una de las seis afirmaciones en (3) es verdadera.

Yea la figura 1.2. 1. .. En el repaso de las funciones en el capitulo 1 se vio que las gnificas de funciones racio-

Y

---+----,-------~x

Y

X={f

a)

,

.\"= (1

b)

I Y= -----(x - a)2

x

FIGURA 2.5.3 Gnifica de las fllllciones en (4)

x+2 )'~ ~~

. .1'2(.1"+4)

y

x= -4 .\"=0

FIGURA 2.5.4 GrMica de la fll nci6n en el ejemplo I

nales a menudo poseen asfntotas . Se vio que las grlficas de las funciones racionales y = 1 Ix y y = l/x2 eran semejantes a las graficas en la figura 2.5.2c) y 2.5.1a), respectivamente. EI eje y, es decir, x = 0, es una asfntota vertical para cada una de estas funciones. Las grlficas de

1 y=x-a y y= (x - a? (4)

se obtienen al desplazar las graficas y = 11 x y y = 1 I x 2 horizontalmente la 1 unidades. Como se observa en la FIGURA 2.5.3, x = a es una aSlntota vertical para las funciones racionales en (4). Se tiene

y

lim ~l_ = -00 x--"a- X - a

y I, I Im-- = 00 X- Hl+ X - a

I' 1 1m ? = 00 . X-->(l (x - a)-

(5)

(6)

Los Hmites infinitos en (5) y (6) son justo casos especiales del siguiente resultado general:

I' I lIn )" = -00 .1"--+11 - (x - a y I

' 1 1m )" = 00, x~(J+(x - a

para n un entero positivo impar y

1/ 1 Hl1-(-.----)" = 00, .\-(1 .\ - a

(7)

(8)

para n un entero positivo par. Como consecuencia de (7) y (8), la grlfica de una funci6n racio-nal y = l/(x - a)" se asemeja a la grlfica en la figura 2.5.3a) para n impar 0 la de la tigura 2.5.3b) para n par.

Para una funci6n racional general f(x) = p(x)1 q(x), donde p y q no tienen factores comu-nes, por este anllisis debe resultar evidente que cuando q contiene un factor (x - a)", n un entero positivo, entonces la forma de la grlfica cerca de la recta vertical x = a debe ser alguna de las que se muestran en la figura 2.5.3 0 su ref1exi6n en el eje x.

1I9MU!.M' Asintotas verticales de una funci6n racional Al inspeccionar la funci6n racional

x+2 f(x) = x2(x + 4)

se observa que x = -4 y x = 0 son asfntotas verticales para la grafica de f Puesto que el deno-x minador contiene los factores (x - (-41 y (x - 0)2, es de esperar que la grlfica de f cerca

de la recta x = -4 se asemeje a la figura 2.5.3a) 0 a su ref1exi6n en el eje x, y la grlfica de f cerca de x = 0 se asemeje a la figura 2.5.3b) 0 a su ref1exi6n en el eje x.

Para x pr6xima a 0 por cualquier lado, resulta flcil ver que f(x) > O. Pero para x cerca de - 4, por ejemplo x = -4.1 y x = -3.9, se tiene f(x) > 0 y f(x) < 0, respectivamente. Al usar la informaci6n adicional de que s610 hay una intersecci6n x simple (-2, 0), se obtiene la grafica de f en la FIGURA 2.5.4.

1I9MQ"W.j Limite por un lado En la figura 1.6.6 se vio que el eje y, 0 la recta x = 0, es una aSlntota vertical para la funci6n logarftmica natural f(x) = In x puesto que

Hm lnx = -00. x--"o+

2.5 Umites que involucran el infinito 97

La gratica de la funci6n logarftmica y = In(x + 3) es la gratica de f(x) = Inx desplazada 3 uni clacles a la izquiercla. Por tanto, x = -3 es una asfntota vertical para la gratica de \' == In(x + 3) puesto que lfm In(x + 3) = - 00. . x---+ - 3 1

(!l3iJ!Q!'.' Limite por un lado Grafique la funci6n f(x) = ~.

x+2 Soluci6n Al inspeccionar f se observa que su clominio es el intervalo (-2, (0) Y la intersec-cion con el eje y es (0, 0). A partir de la tabla siguiente se concluye que f decrece

x~-2+ - 1.9 -1.99 -1.999 -1.9999 f(x) -6.01 -19.90 -63.21 - 199.90

sin I[m ite cuando x tiende a - 2 por la derecha: Ifm f(x) = -00.

..1"---+-2+

Por tanto, la recta x = - 2 es una asfntota verticaL La gratica de f se proporciona en la FIGURA 2.5.5.

I limites en el infinito Si llna funcion f tiende a un valor constante L cuando la variable independiente x crece sin limite (x ~ (0) 0 cuando x decrece (x ~ -(0) sin lfmite, entonces se escribe

lfm f(x) = L o Ifm f(x) = L (9) .\" -). - 00 X-).OO

y se dice que f posee un Ifmite en el infinito. A continuacion se presentan todas las posibili-dades para lfmites en el infinito lfm f(x) y Ifm f(x) :

x ---+ - oo x ---+oo

Un limite existe pero el otro no. Tanto Ifm f(x) como lim f(x) existen y son iguales al mismo numero.

x---+-oo x---+oo

Tanto Ifm f(x) como JIm f(x) existen pero son numeros diferentes. x---+ -oo x---+oo

Ni lfm f(x) ni lim f(x) existen. x---+ - oo X-Hx:>

Si por 10 menos uno de los lfmites existe, por ejemplo, lim f(x) = L, entonces la gnifica de f x---+oo

puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L cuando x crece en la direccion positiva.

Defi nicion 2.5.2 Asfntota horizontal

Se dice que la recta y = L es una asintota horizontal para la grafica de una funcion f si por 10 men os una de las dos declaraciones en (9) es verdadera.

En la FIGURA 2.5.6 se han ilust:rado algunas asfntotas horizontales tipicas. Se observa, junto con la figura 2.S.6d) que, en general, la gnifica de una funcion puede tener como maximo dos asfntotas horizontales, aunque la gnifica de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) puede tener cuando mucho una. Si la grafica de una funci6n racional f posee una asfntota horizontal y = L, entonces su comportamiento final es como se muestra en la figura 2.S.6c); es decir:

f(x) ~ L cuando x ~ -00 y f(x) ~ L cuando x ~ 00. y y Y Y

Y=L Y=L

Y = L

Y x Y---

- ~x + 2

--:----+---,,+--+-+-- x

I

x= -2 FIGURA 2.5.5 Gnitica de la fun -ci6n en el ejemplo 3

--r------~x --------+~~x -----r-----~x -----+----~x

0) .r(x) --? L cuando x --? co b) fex ) --? L cuando x --? -co c) f(x) --? L cuando x --? - co, d) f(x) --? L J cuando x--? -co, f(x) --? L cuando x --? co f(x) --? L2 cuando x--? 00

FIGURA 2.5.6 Y = L es una asfntota horizontal en a), b) y c); y = L J Y Y = L2 son asfntotas horizontales en d)

98 CAPITULO 2 Limite de una fu nci6n

ESlos resultados lal11bien SOil ~ vcrdaderos cU00 X - a (1) y

h!J3M14!.M' Asfntotas horizontal y vertical EI dominio de la funcionf(x) = ~ es el intervalo ( -00, 2). En virtud de (1) puede escri-

2-x birse

!fm 4 = O. x--+ - oo~ Observe que no es posible considerar el !fmite de f cuando x ---+ 00 pOl'que la funcion no esta definida para x 2: 2. No obstante, y 0 es una asintota horizontal. Luego, por el limite en infinito

I' 4 1m = 00 x--+r~ se concluye que x = 2 es una asintota vertical para la grafica de f. Yea la FIGURA 2.5.7.

En general, si F(x) = f(x)/ g(x), entonces en la siguiente tabla se resumen los resultados para lfmites de las formas !fm F(x) , lim F(x) y Ifm F(x). EI simbolo L denota un numero reaL. X-'J-lI x~oo x~ -00

forma !fmite: L +00 L --

- L ,L =F 0 0' L =F 0 x ---+ a, 00, - 00 oo (12) el lfmite es: 0 infinito infinito

Se dice que Ifmites de la forma lfm F(x) = oo 0 lfm F(x) = oo son limites infinitos en x----+oo X--7 -00

el infinito. Ademas, las propiedades de los lfmites dadas en el teorema 2.2.3 se cumplen al sustituir el sfmbolo a por 00 0 -00 en el supuesto de que los lfmites existen. Por ejemplo,

f {x) lfm f(x) lfm _( ) =\I~OO ( ) , x->oog X lIng x

.r~oo

x~~f(x)g(x) = U!..~f{x)U~~g(x) y (13) siempre que lim f(x) y !fm g(x) existan . En el caso dellfmite de un cociente, tambien debe

x-+oo .\"---+00

tenerse lfm g(x) =F O. x---+oo

I Comportamiento final En la seccion 1.3 vimos que la forma en que una funcion f se com-porta cuando Ixl es muy grande se denomina comportamiento final. Como ya se analizo, si lim f(x) = L, entonces la grafica de f puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L p-;;~ grandes valores positivos de x. La grafica de una funcion polinomial,

f(x) = anx" + a,, _ lx"- 1 + ... + a2x2 + alx + aa, se asemeja a la grafica de y = a"x" para Ixl muy grande. En otras palabras, para

f(x) = an x" I + G,, _ IX,,- I + ... + ~IX + Go I (14) Los terminos encen-ados en el rectangulo azul en (14) son in-elevantes cuando la grafica de una funcion polinomial se observa global mente; es decir, para Ix l muy grande. Asi, se tiene

I ' ,,- I ' ( "+ .. ,,-1 + + + ) 1m a"x - 1m a"x a,,- Ix . . . [lI X aD, X -----7OO x---+oo

(15)

cuando (15) es 00 0 - 00 dependiendo de an y n. En otras palabras, el lfmite en (15) consti-tuye un ejemplo de lfmite infinito en el infinito .

2.5 Umites que invo lucran el infinito 99

~~a~! j Limite en el infinito -6X4 + x 2 + 1

Evaille Ifm---4----

r-+CXJ 2x' - x

Solucion No es posible aplicar la ley del limite de un cociente en (13) a la funci6n dada, puesto que lim (-6x4 + x2 + I) = -00 y lim (2x4 - x) = 00. No obstante, al dividir el

.\ --+00 4 x--+oo nu merador y el denominador entre x podemos escribir

-6X4 + x 2 + lim 4 r ..... CXJ 2x - x

= -6 + 0 + 0 = -3 2-0 .

EI limile del 1111meraci or existe . asi C0ll10 e l limite


y y:::: 5

5x V= - -. ~x2 + 4

y= - 5

FIGURA 2.5.9 Gnitica de la funci6n en el ejemplo 9

1J3MQ!'w:, Limite de una raiz cuadrada E L' L' ~ 2x3 - 5x2 + 4x - 6 va ue 1m .

x-->oo 6x3 + 2x

Solucion Debido a que el Ifmite de la fu nci6n racional en eL radical existe y es positivo, puede escribirse

I' ~ 2x3 - 5x2 + 4x - 6 ~ I' 2x3 - 5x2 + 4x - 6 1m = 1m = x-->OO 6x3 + 2x x-->oo 6x3 + 2x

lhhMR!'.' Grafica con dos asintotas horizontales

lim 2x3 = fi = _ L_ x-->oo 6x3 \j 3 vT

Determine si La grafica de f(x ) = ~ tiene aSlntotas horizontales. x

2 + 4

Solucion Puesto que La funci6n no es racionaL, es necesario investigar eL limite de f cuando x ~ 00 y cuando x ~ -00. Primero, recuerde del algebra que W es no negativa, 0 mas al punto,

W = Ixl = {x, -x,

Luego, volvemos a escribir f como ~ 5x

x2:0 X < O.

f(x) = W = TXT ~~

W v?

5x TXT

Los Ifmites de f cuando x ~ 00 y x ~ - 00 son, respectivamente, 5x 5x - - !fm5

Ifmf(x) = Ifm Ixl = lim x = --;:~X-->~OO== = 11 = 5, x-->OO x-->OO ~ 1 + 4 x-->OO ~ 1 + 4 Ifm(1 + 4

2)

x 2 x 2 X--> OO X

y

5x 5x - -- Ifm (-5)

Ifm f(x) = Ifm Ixl = Ifm -x = x--> -oo x-->-oo x-->-oo R x--> -ooR ~ ( 4 ) 1 + - 1 + - Ifm 1 + -

x 2 x 2 x-->-oo x 2

-5 - 5.

Por tanto, La grafica deftiene dos aSlntotas horizontales y = 5 y y = -5. La gritica def, que es semejante a la figura 2.5.6d), se proporciona en La FIGURA 2.5.9.

En el siguiente ejempLo se ve que la forma del lfmite dado es 00 - 00, pero el lfmite existe y no es O.

'liMR!.M'11 Uso de racionalizaci6n

Solucion Debido a que f(x) = x 2 - Vx4 + 7x2 + 1 es una funci6n par (compruebe que fe-x) = f(x con dominio (- 00 , (0), si Ifm f(x) existe, debe ser el mismo que Ifm f(x). Primero racionalizamos eL numerador: x .... oo x .... - oo

2.5 Umites que involucran el infinito 101

Luego, el numerador y el denominador se dividen entre W = x 2: - 7x 2 -- - --

lim ----=-__ -;7=X=2=-= I=:== = lim W W x-+oo x 2 + Yx4 + 7x 2 + I x-+oo x2 + Yx4 + 7x 2 +

W 1

-7 -2 lim __ --;===x==

X-+OO ~ 7 I 1+ 1+ - + 4 x 2 x

lim (-7 -~) X-+OO x 2

Y I

lim 1 + i lfm (I + 7? + ~) - t-t-+--+-+-t-t-+--+-+-+-+- x x--?oo \j .x----t OO x - X -7

I + I 7 2'

Con ayuda de un SAC, la gnifica de la funci6n f se proporciona en la FI GURA 2.5.10 . La recta y = -~ es una asintota horizontal. Observe la simetria de la gnifica con respecto al eje y.

Cuando se trabaja con funciones que contienen la funci6n exponencial natural, los cuatro siguientes Ifmites ameritan una atenci6n especial:

limex = 00, lim eX = 0, lime- X = 0, lfm e- x = 00 . x--?OO x~ -oo X-)OO .\'"---7- 00

(17)

Como se analiz6 en la secci6n 1.6 y se comprob6 por los lfmites segundo y tercero en (17), y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de y = eX y y = e- x Yea la FIGURA 2.5.11 .

'::emMR!'." GrMica con dos asintotas horizontales Determine si la grafica de f(x) = 1 +6 e x tiene alguna asfntota horizontal. Solucion Debido a que f no es una funci6n racional, es necesario analizar lim f(x) y 11m f (x ). Primero, en virtud del tercer resultado proporcionado en (17) podemosxe'~ribir .\~ - OO

lim __ 6 __ X-+OO 1 + e x

lim 6 X-+OO 6

Hm(l + e X) = 1+() = 6. X-)OO

ASI, y = 6 es una asintota horizontal. Luego, debido a que lfm e - x = 00 por la tabla en (12) se conc]uye que x~-oo

6 lim x = O.

x-+ - oo 1 + e

En consecuencia, y 2.5.12.

o es una asintota horizontal. La grafica de f se muestra en la FIGURA

I Funciones compuestas cuando a se sustituye por continua en L, entonces

El teorema 2.3.3, el lfmite de una funci6n compuesta, se cumple - 00 0 00 y el limite existe. Por ejemplo, si lfm g(x) = L Y f es

x-->oo

lim f(g(x = f( lim g(x) = f(L) . x----tOO x -)OO

(18)

EI resultado del lImite en (16) es justo un caso especial de (18) cuando f(x) = Vx. EI resul-tado en (18) tambien se cumple para x ----+ - 00 . El ultimo ejemplo ilustra a (18) cuando implica un Ifmite en 00.

1 7 14 ., y="-- ,X +7x'+ I

7 )1= --. 2

FIGURA 2.5.10 Grafica de la funci6n en el ejemplo 10

y

---~~~~~--~~ X y=O y=O

asfn tota hori zontal

asfntota horizonta l

FIGURA 2.5. 11 Gnificas de funciones exponenciales

y = 6 y

-------..=.-=-- -

6 Y=--I + e- x

-;=:::\-1--+-t--+--I-----+-----+--+--++ x y= o

FIGURA 2.5.12 Grafica de la funci6n en el ejemplo 1 I


v

1 y = sen x

---------1~--~--~X y=o

FIGURA 2.5.13 Grafica de la fun-ci6n en el ejemplo 12

"liMIQI'-f) Otro repaso a una fu nci 6n trigonometrica En eJ ejemplo 2 de la secci6n 2.4 vimos que Ifm sen(l/ x) no existe. No obstante, el Ifmite en el infinito, lim sen(l/ x), existe. Por la ecuaci6~---+(1 8 ), podemos escribir

x----+oo

lim sen1 = sen ( Ifm 1) = sen 0 = O. x--+oo X X--+OO X

Como se observa en la FIGURA 2.5.13, Y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de f(x) = sen(l / x) . Compare esta gnifica con la mostrada en la figura 2.4.2.

Ejercicios 2.5 Las respuestas de los prob lemas impares selecc ionados com ienzan en la pagina RES-B.

= Fundamentos En los problemas 1-24, exprese el limite dado como un numero, como -00, 0 como 00.

1. I' I 2. lim 4 1m --X--+S- X - 5 x--+6 (x - 6)2

3. I' 2 1m x --+- 4+ (x + 4)3 4.

I' lO 1m -----x --+T x 2 - 4

5. lim I 6. r -1 x--+ I (x - It x2.~Vx

7. lim 2 + senx 8. lim esc x x--+o+ X X-Hr +

9. lim x2

- 3x 10. lim x

2

x--+00 4x2 + 5 x--+oo 1 + x - 2

11. lim (5 - 2) X--+OO X4

12. I' (6 I) 1m - + -x--+ -00 Vx Vx

13. lim 8 - Vx 14. lim 1 + 7Vx x --+oo 1 + 4 Vx x--+ -oo 2Vx

15. I' (3X x - I ) x2.'11 x + 2 - 2x + 6 16. ( x )(4x

2+ 1Y lim -----

x--+oo 3x + 1 2X2 + x

17. rJ 1m - - -x --+oo 6x - 8 18. I' ffSf lITI x--+ - oo 7 - 16x

19. lim (x - Vx2+1) 20. lim ( V x 2 + 5x - x) x--+oo x --+oo

21. lim cos(l) 22. lim sen(3 1TX6 ) X--+OO X x--+ - oo - X

23. lim sen - { x x--+-oo V 4x2 + J 24. }~lnC ~ 8)

En los problemas 25-32, encuentre lim f(x) y lim f(x) para la funci6n dada f. x---+ - oo x---+oo

25. f(x) = 4x + 1 26. f(x) = ~~x~ ~ 6 Vx2+l

27. f(x) = 2x + 1 V3x2 + 1

-5x2 + 6x + 3 28. f(x) = -------;==== vx4 + x 2 + 1

eX - e- x 29. f(x) = x + '

e e '

31. f(x) = I~ = ~ I 2e- x

30. f(x) = I + x + X e e

32. f(x) = 14xl + Ix - 11 x

En los problemas 33-42, encuentre todas las asintotas verti-cales y horizontales para la grafica de la funci6n dada f. Trace la gnifica.

I 33. fex) = -2--X + I

x 2

35. f(x) = x + 1

1 37. f(x) = - 2---X (x - 2)

39. f(x) = ) x ~ 1 x - 2

41. f(x) = , ~ V x 2 + 1

x 34. f(x) = - ?- -x- + 1 x 2 - x

36. f(x) = -2--x-I

4x2 38. f(x) = x2 + 4

40. f(x) = 1 -:VXVx

42. f(x) = x + 3 ~

En los problemas 43-46, use la grafica dada para encontrar: a) Ifm. f(x) b) lirn f(x)

x ----+2 x-+ 2 c) lim f(x) d) lim f(x)

x-+ - oo x-+oo

43. y

FI GURA 2.5. 14 Grafica para el problema 43

44.

-----1--~4---------*x

FIGURA 2.5.1 5 Grafica para el problema 44

45. \' ~ J(xJ y

FIGURA 2.5.16 Gratica para el problema 45

46. y

---4--~~------~x

FIGU RA 2.5.17 Grafica para el problema 46

En los problemas 47-50, trace una gn'ifica de una funci6n f que satisface las condiciones dadas. 47. Ifm f(x) = - 00, IfmJ(x) = - 00,f(2) = 0, Ifm f(x) = 0

x~ l-I x---+ 1 x---+oo

48. f(O) = 1, Ifm f(x) = 3, Ifm f(x) = -2 x--+-oo x---+oo

49. Ifmf(x) = 00, Ifm f(x) = 00, Ifm f(x) = 1 ):---+2 .1---+ - 00 x--+CXJ

50. IfmJ(x) = 2, IfmJ(x) = -00, f(~) = 0, f(3) = 0, x---+ ! x---+I

Ifm f(x) = 0, Ifm f(x) = 0 x---+-oo x---+oo

51. Use una sustituci6n id6nea para evaluar

1, 3 1m xsen - . x---+CXJ X

52. Segun la teorfa de la relatividad de Einstein, la ma-sa m de un cuerpo que se mueve con velocidad v es m = mol V 1 - v 2 I c2, donde mo es la mas a inicial y c es la velocidad de la luz. l,Que ocurre a m cuando V----7C - ?

= Problemas con calculadora/SAC En los problemas 53 y 54, use una calculadora 0 SAC para investigar el Ifmite dado. Conjeture su valor. 53. Ifm x2 sen 22 54. Ifm (cos l)X

.\---+00 X .1--+00 X

55. Use una calculadora 0 un SAC para obtener la gnifica de f(x) = (l + x)J/x. Use la gn'ifica para conjeturar los valores de f(x) cuando a) x ----7 -1 +, b) x ----7 0 Y c) X ----7 00 .

56. a) Un n-gono regular es un poIfgono regular de n lados inscrito en un cfrculo; el poIfgono esta formado por n puntos equidistantes sobre el cfrculo. Suponga que el poIfgono que se muestra en la FIGURA 2.5.18 repre-

2.6 Limites: un enfoque formal

2.6 Lfmites: un enfoque formal 103

senta un n-gono regular inscrito en un cfrculo de radio r. Use trigonometrfa para demostrar que el area A(n) del n-gono esta dada por

_ n 2 (27T) A (n) - 2. r sen ----;; . b) Tiene sentido afirmar que el area A(n) tiende al area

del cfrculo a medida que aumenta el numero de lados del n-gono. Use una calculadora para obtener A(lOO) y A(l 000) .

c) Sea x = 27Tln en A(n) y observe que cuando n ----700 entonces x ----7 O. Use (l0) de la secci6n 2.4 para demostrar que Ifm A(n) = 7Tr2.

= Piense en ello

1/---700

x

FIGURA 2.5.1 8 l7-gono inscrito para el problema 56

57. a) Suponga que f(x) = x 2/(x + 1) y g(x) = x - l. Demuestre que

Ifm [f(x) - g(x) 1 = o. x--+ ~ CXJ

b) l, Que indica el resultado del inciso a) respecto a las graficas de f y g, donde Ixl es grande?

c) De ser posible, asigne un nombre a la funci6n g. 58. Muy a menudo los estudiantes e incluso los profesores

trazan incorrectamente graficas desplazadas vertical-mente. Por ejemplo, las graficas de y = x 2 Y y = x 2 + I estan dibujadas incorrectamente en la FIGURA 2.5.19a) pero 10 estan correctamente en la figura 2.5 .19b). Demuestre que la figura 2.5 .19b) es correcta al mostrar que la dis-tancia horizontal entre los dos puntos P y Q en la figura tiende a 0 cuando x ----7 00.

a) [ncorrecto b) Correcto FIGURA 2.5.19 Gnificas para el problema 58

I Introducci6n En el analisis que se presenta a continuaci6n se considerara un enfoque alterno a la idea de Ifmite. que se basa en conceptos analfticos mas que en conceptos intuitivos. Una demostracion de la existencia de un lfmite jamas debe estar basada en la habilidad para ela-borar graficas 0 en tablas de valores numericos . Aunque una buena comprensi6n intuitiva de


y y=2x+6

+---+-77' --t

Sea Ifm f(x) = L y suponga que 15 > 0 es el numero que "funciona" en el sentido de la x->a

defin ic ion 2.6.1 para un e > 0 dado. Como se muestra en la FIGURA 2.6.2a) , toda x en (0 - 15, a + 15) , con la posible excepcion de a mismo, tendra entonces una imagen f(x) en (L - e, L + e). Ademas, en la figura 2.6.2b), una eleccion 15 1 < 15 para la misma e tam-bien "funciona" en el sentido de que toda x diferente a a en (a - 15 1, a + 15 1) proporcionaf(x) en (L - e , L + e). No obstante, la figura 2.6.2c) muestra que al escoger un el, 0 < el < e , 'lHls pequeno, demanda encontrar un nuevo valor de 15. Observe en la figura 2.6.2c) que x esta en (a - 15, a + 15) pero no en (a - 15 1, a + 15,), de modo que f(x) no necesariamente esta en (L - e l, L + el)'

y

L + B , ,

L ' {L\l ~ ~---:- -- - -. L - s ------~------- - ~ -- I

, I I I I I

y

L+B

L

L-B

, ------r-

I I I '

___ _ __ 1-_1 ___ _ I' ,

------1--r-----r--, I , I I I , I , I , I I I i

y

2.6 Umites: un enfoque formal 105

--4-----~--~~~~x a- o a X a+o

--~----~~r-~~~X a- oT a,\ a+8

a-o J a+ol --1-----~--~~~~X

a- o T a \xa+o a-o , a+o,

a) Un 0 que funciona para un B dado b) Un 0 I mas pequeno tambien funciona para el mismo B

c) Un BI mas pequenorequiere un 0 1 0, arbitrario sin importar cuan pequeno sea, se quiere encon-Irar un 15 de modo que

I(Sx + 2) - 171 < e Para haeer 10 anterior, eonsidere

siempre que o < Ix - 31 < 15.

I(Sx + 2) - 171 = ISx - 151 = Six - 31. Asf, para haeer I(Sx + 2) - 171 = Six - 31 < e, solo es neeesario haeer 0 < Ix - 31 < e/S; es deeir, se escoge 15 = e/S.

Verificacion Si 0 < Ix - 31 < e/S, entonees Six - 31 < e impliea

ISx - 151 < e o bien, I(Sx+2)-171

106 CAPITULO 2 Limi te de una funci6n

o~---

) x

FIGURA 2.6.3 EI limite de f no existe cuando x tiende a I en el ejemplo 3

Este lim ite se ~lIl ali /(i en el ejclllplo I de la ,ecci 0 tal que jf(x) - Lj < slempre que 0 < jx - I j < O.

Luego, a la derecha de I se escoge x = I + 0/2. Puesto que

o < II + ~ - I I I ~ I < 0 debe tenerse

It( I + ~) - L I = j2 - Lj < . A Ia izquierda de I , se escoge x = I - 0/2 . Pero

implica I = jO - L j = jL j < 2'

Al resolver las desigualdades en valor absoluto (5) y (6) se obtiene, respectivamente,

l

volver a examinar la figura 2.3 .2b) y luego volver a pensar en por que 0 = min { I, e/7} es el 0 existe una 0 > 0 tal que

If(x) - LI < 10 siempre que a - 0 < x < a.

Definicion 2.6.3 Limite por la derecha

Suponga que una funci6n f esta definida sobre un intervalo abierto (a, c). Entonces lim f(x) = L

x--+a +

significa que para todo 10 > 0 existe una 0 > 0 tal que

If(x) - LI < 10 siempre que a < x < a + o.

liI)iM'U,"i Usa de la definicion 2.6.3 Demuestre que lim vX = o.

x---+o+

Solucion Primero, podemos escribir

IvX - 01 = IvXl = vX. Luego, I vX - 0 I < 10 siempre que 0 < x < 0 + 102 En otras palabras, se escoge 0 = 102 Verificacion Si 0 < x < 102 , entonces 0 < vX < 10 implica

IvXl < 10 o bien,

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