3 - Geometria 2do__ IIB

Colegio Preuniversitario “FREUD”

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Geometría

1. DEFINICIÓN-Es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.-Es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Sean A, B y C los puntos no colineales.

A

B

C

a

b

c

Notación: ABC Se lee:

Triángulo ABC.2. ELEMENTOS:

Longitudes de sus lados:

Perímetro (2p): Es igual a la suma de las longitudes de los 3 lados de un triángulo.

Semiperímetro (p): Es igual a la mitad del perímetro y se le representa con la letra “p”.

Elementos Asociados

Medida de los ángulos internos: , y Medida de los ángulos externos: X, Y y Z

31

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

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Colegio Preuniversitario “JOYCE”

Geometría

Ángulo Exterior.- Es un ángulo que se forma por la prolongación de un lado con el otro lado del triangulo.

3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

01. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º

+ + = 1 8 0 º

02. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

03. En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º.

3 6 0º

04. En todo triángulo la suma de las medidas de dos ángulos exteriores es igual a 180º más la medida del ángulo interior en el tercer vértice.

180º +

05. Teorema del cuadrilátero no convexo (cóncavo)(Propiedad del “pantalón”)En un cuadrilátero no convexo, la medida del ángulo entrante, es igual a la suma de las medidas de los otros tres ángulos interiores del cuadrilátero.

x

x =

06. Propiedad de la “mariposa”: En la gráfica se cumple que:

07. Propiedad del “pescado”: En la gráfica se cumple que:

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Geometría

ACTIVIDADES BÁSICASEn cada caso calcular el valor de “x”

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Geometría

0 1 0 2

0 40 3

0 5 0 6

0 80 7

7 5º4 0º 6 0º

6 0º

6 0º

2 8º

2 5º

5 0º 4 0º1 20 º

3 2º1 08 º

6 5º

7 0º

x x

x

x

xx

x

x

x

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Geometría

0 9 1 0

1 211

1 3 1 4

1 61 5

4 7º

x1 47 º 1 00 º

x

6 0º

6 0º

x 1 22 º

x

1 26 º

118 º

x 1 30 º

110 º

x

114 º x 1 5 9 º

1 3 9 º

x

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Geometría

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

01. La notación de cada Triángulo es:

02. Señalar correctamente los elementos del triángulo mostrado:

03. El siguiente triángulo el perimetro y el semiperimetro del triángulo es:es:

A

B

C

8cm

9cm

11cm

A. 36cm y 18cmB. 40cm y 20cmC. 28cm y 14cmD. 82cm y 41cmE. 38cm y 19cm

04. El siguiente triángulo el perimetro y el semiperimetro del triángulo es:es:

A. 30cm y 15cmB. 40cm y 20cmC. 32cm y 16cmD. 84cm y 42cmE. 42cm y 21cm

05. De la figura, calcule valor de x.

A. 10ºB. 12ºC. 15ºD. 18ºE. 20º

06. En la siguiente figura, calcule el valor de x.

A. 10ºB. 50ºC. 130ºD. 120ºE. 145º


6k

7k

5kx

A. 10ºB. 50ºC. 130ºD. 120ºE. 145º

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08. Calcular “x”:

a) 135º b) 90º c) 120ºd) 150º e) 105º

09. La medida de los ángulos internos de un triánguloson proporcionales a los números 2, 3 y 4. La suma del suplemento del ángulo menor y mayor es. (CEPRUNSA 2009 - III FASE).

A. 150ºB. 240ºC. 180ºD. 110ºE. 135º

10. En la siguiente figura, calcule el valor de x+y.

A. 90ºB. 30ºC. 55ºD. 50ºE. 45º


A. 10ºB. 30ºC. 25ºD. 20ºE. 15º

12. Calcular “x” en:

a) 25°b) 37°c) 48°d) 72ºe) 59°

13. Según la figura, calcule el valor de “x”.

x

134 º 145 º

A. 85ºB. 55ºC. 76ºD. 95ºE. 81º

14. En un ABC, calcular la medida del ángulo B si las bisectrices de los ángulos interiores A y C forman un ángulo que mide 20°.a)100°b)120°c) 230°d)140°e)145°

15. Las medidas de los ángulos de un triángulo son tres números consecutivos. Calcular la medida del menor.a)61°b)60°c) 59°d)67°e)65°

16. Calcular ”x”

a)127°b)117°c) 147°d)157°e)137°

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A. 100ºB. 90ºC. 150ºD. 110ºE. 150º


A. 120ºB. 90ºC. 150ºD. 110ºE. 160º


A. 120ºB. 90ºC. 150ºD. 110ºE. 160º

20. Calcular “x” en

a) 26°b) 33°c) 25°d) 36°e) 65°


A. 120ºB. 90ºC. 150ºD. 110ºE. 160º

22. Del grafico, calcular xa) 105ºb) 90ºc) 110ºd) 95ºe) 100º

23. Calcular “x” en la figura.

a)14°b)16°c) 30°d)32°e)28°

24. Calcular , si es bisectriz del ángulo ABC

a)60°b)50°c) 70°d)75°e)68°

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25. Calcular , si es bisectriz del ángulo ABC.

a)20°b)30°c) 35°d)25°e)32°

26. En 25. Calcular x + y + z + w en:

a) 150°b) 100°c) 300°d) 250°e) 90°

27. Calcular x + y + z + w + u + v en:

a) 420° b) 540° c) 360°d) 720° e) 270°

28. Calcular x + y + z + u + w en:

a) 540° b) 300° c) 420°d) 150° e) 360°

29. Calcular “x”, si

a) 65° b) 50° c) 44°d) 56° e) 36°


a) 15º b) 12º c) 18ºd) 10º e) 20º


a) 12º b) 25º c) 18ºd) 15º e) 10º

32. un triángulo ABC, se cumple que:

Calcule la medida del ángulo en el vértice B.

A. 15ºB. 20ºC. 25ºD. 30ºE. 35º

33. En la figura BD es bisectriz, calcule “”.

A

B

CD

70º 30 º

A. 70ºB. 80ºC. 90ºD. 110ºE. 120º

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Geometría

34. Según el gráfico, calcule –

20º 30º50º

3 x 2 x

A. 4ºB. 6ºC. 8ºD. 10ºE. 12º

35. 08. Calcular “x” en

a) 12°b) 14°c) 16°d) 18°e) 20°


a) 13º b) 16º c) 19ºd) 23º e) 27º

36. Según la figura, calcule + – .

A. 33ºB. 44ºC. 55ºD. 66ºE. 77º

54 º

43 º 36 º

3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES (Continuación)

01. En todo triángulo la longitud de un lado está comprendida entre la suma y la diferencia de las longitudes de los otros dos lados. (propiedad de existencia).

a

b

c a c b a c

02. En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y viceversa (propiedad de correspondencia)

a b

S i:

en to n ces:

a > b

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Geometría

Problemas de Aplicación: USANDO LA PROPIEDAD DE EXISTENCIA DE UN TRIANGULO DETERMINE SI EXISTEN O NO EXISTEN LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS.

01. 02.

03. 04.

05. 06.

07. 08.

09. 10.

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Geometría

4. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

a) Según sus lados

01. Triángulo Equilátero : Es un triángulo en el cual:

-Sus tres lados son congruentes (iguales).-Sus tres angulos internos son iguales a 60º c/u.

6 0º

02. Triángulo Isósceles :- Tiene dos lados congruentes (iguales).- El lado diferente se llama Base.- Los ángulos que estan en la base son iguales.

03. Triángulo Escaleno : -Si sus tres lados no son congruentes

b) Según sus Ángulos01. Triángulo Rectángulo :-Tiene un ángulo recto.-Los otros dos ángulos son complementarios

A

B

C

a

b

c

Teo rem a d e P itág o ras:

2 2 2a b c

02. Triángulo Oblicuángulo : No tiene ángulo recto y puede ser: Triángulo Acutángulo : Si sus tres

ángulos son agudos.

< 90 º

< 90 º

< 90 º

Triángulo Obtusángulo : Si uno de sus ángulos es obtuso.

9 0 º

< 90 º

< 90 º

PROBLEMAS DE APLICACION

01. El siguiente triángulo es:

A. EquiláteroB. IsóscelesC. EscalenoD. EquiánguloE. Rectángulo

A

B

C

8cm

9cm

11cm

02. El siguiente triángulo es:

A. EquiláteroB. IsóscelesC. EscalenoD. EquiánguloE. Rectángulo

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03. Calcular x + y en:a) 20°b) 30°c) 40°d) 50°e) 60°


A. 10ºB. 20ºC. 15ºD. 25ºE. 30º

05. Según el gráfico es bisectriz del ángulo BAC;

si AB=AQ=QC, calcule la .

A

B

Q

CA. 18ºB. 30ºC. 36ºD. 37ºE. 45º

06. Calcular “x”, si AB = BD = DCa) 30°b) 32°c) 34°d) 36°e) 28°

07. Calcular “x”, si AB = BD = DC.a) 20°b) 21°c) 24°d) 11°e) 32°

08. Encontrar “x”, si AE = BE, AB = BC =CD = DE.a) 18°b) 15°c) 12°

d)

e)

09. Encontrar “x”, si AB = BC, BD = BE.

a) 5°b) 10°c) 15°d) 20°e) 25°

10. Encontrar , si AB = BC, DE = DC

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

11. Si AC=BC, calcular “x”.

a)20°b)24°c) 18°d)10°e)30°

12. Si AP = AM y CM = CQ, hallar x

a) 90ºb) 70ºc) 110ºd) 120ºe) 105º

13. Si AP = AM y CM = CQ; hallar x

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a) 50ºb) 45ºc) 35ºd) 90ºe) 120º

14. Hallar x si AB = BC y TC = TDa) 30ºb) 35ºc) 45ºd) 50ºe) 60º

151.Calcular (x+y):

a) 160º b) 120º c) 150ºd) 135º e) 145º

PROBLEMAS DE EXTENCIÓN

01. En un triangulos ABC, AC=BC; sobre AC se toma el punto E tal que: AB=BE=EC. Hallar la medida del ángulo ABE. (CEPRUNSA 2009 - III FASE).

A. 36ºB. 16ºC. 28ºD. 50ºE. 20º

02. El triángulo ABC es equilátero y . Calcule

el valor de x, si el valor de es 100º.

A

B

C

L 1

L 2

x

A. 10ºB. 20ºC. 30ºD. 25ºE. 50º

03. Según el gráfico, Calcule el valor de

x.

L 1

L 2

3 x

5 x

9 0 + 2 x

A. 5ºB. 10ºC. 15ºD. 20ºE. 25º

04. De la figura, calcule valor de x.

x +

5 5 º

A. 25ºB. 35ºC. 55ºD. 45ºE. 65º

05. Según la figura, calcule x.

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x

4 0 º

1 8 0 º-

A. 50ºB. 40ºC. 30ºD. 25ºE. 20º

06. En el triángulo ABC, es bisectriz del

; BQ=BN y . Calcule la .

A

B

C

Q

N

A. 25ºB. 35ºC. 36ºD. 45ºE. 37º

07. En el gráfico es bisectriz interior del

triángulo BED. Calcule x.

E

B

DF

x

5 0 º

A. 20ºB. 25ºC. 28ºD. 30º

E. 32º

08. En el gráfico y son bisectrices

interiores de los triángulos ABC y MPN respectivamente. Calcule x – y.

A

B

C

M P

N

Ixy

3 0 º

3 7 º

A. 4ºB. 5ºC. 6ºD. 7ºE. 14º

09. En el siguiente triángulo: Calcular la suma de los valores enteros de “x”.

A

B

C

5cm

8cm

x

A. 62cmB. 72cmC.13cmD. 78cmE. 80cm

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Observamos el triángulo rectángulo de la figura (a). Sus catetos miden a y c, y su hipotenusa mide b. PITÁGORAS, sabio de la antigüedad descubrió una relación entre los tres lados de uno triángulo rectángulo.

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Esta relación es llamada “EL TEOREMA DE PITÁGORAS “dice: En todo triángulo rectangulo se cumple que: “La longitud de la hipotenusa elevado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los longitudes de los catetos”

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE (TEOREMA DE PITÁGORAS)

01. Calcular el valor de “x”.

02. Calcular el valor de “x”



05. Calcular el valor de “x”:






11. Calcular el valor de “a”

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PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA


a) 6cmb) 9cmc) 10cmd) 8cme) 7cm


a) 4cmb) 9cmc) 5cmd) 6cme) 6,5cm
















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Geometría


PROBLEMAS DE EXTENCIÓN


a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7


a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10


a) 15b) 20c) 25d) 30e) 40

04. Calcular el valor de “a”a)b)c) 8d) 9e) 10


a)b)c) 25d) 30e) 40

06. En un triángulo rectángulo ABC un cateto es 7cm menor que el otro cateto y la hipotenusa mide 8 cm más que el cateto menor. Calcular el área del triángulo

a) 6

b) 12

c) 15

d) 30

e) 60

07. Halle el área de la región de un triángulo rectángulo si el cateto menor tienen 23cm menos que el otro cateto y este 2cm menor que la hipotenusa.

a) 219

b) 220

c) 200

d) Hay 2 áreas e) N.A.

08. Sea el triángulo rectángulo:

a) 4b) 1c) -1d) 5e) ab

Reducir:

Apun

tes

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Apun

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3 - Geometria 2do__ IIB

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