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3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

Ahora extenderemos las ideas de la sección anterior a dos y tres dimensiones.

La magnitud que expresa la dirección y la distancia en línea recta comprendidaentre dos puntos del espacio es un segmento lineal llamado vectordesplazamiento.

Vector desplazamiento ≡ A

A

Dirección ≡ Vector desplazamiento

Longitud ≡ módulo del vector desplazamiento

0 AA

Jereson Silva Valencia

x

y

El desplazamiento resultante de P1 aP3, llamado C, es la suma de los dosdesplazamientos sucesivos A y B :

BAC

Suma de vectores desplazamientos :

Jereson Silva V.

Propiedades Generales de los Vectores.

“Los vectores son magnitudes con módulo, dirección y sentido quese suman como los desplazamientos”.

Las magnitudes que carecen de dirección asociada se denominanescalares.

Vector ≡ A

A

Dirección ≡ dirección del Vector

Longitud ≡ proporcional al módulo del vector

A

A B

B

BA

A. Igualdad entre vectores


B. Producto de un vector por un escalar

A

A AB

2AsB

C. Resta de vectores

Para restar el vector B del vector A basta sumarle –B:

BABAC


D. Componentes de los vectores

La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es lalongitud de la proyección del vector sobre dicha línea. Se obtiene trazandouna línea perpendicular desde el extremo o flecha de un vector a la línea.

Componentes rectangulares: Si conocemos Ax y Ay podemos obtener el ángulo

x

y

x

y

AA

AA

arcotan ,tan

El módulo de A es

22yx AAA


yyy

xxx

BACBAC

yyy

xxx

BARBAR


Ejemplo 1: Suponga que usted trabaja como animador en un centro turísticoen un a isla tropical. Dispone de un mapa que le indica las direcciones aseguir para enterrar un tesoro en un lugar determinado. Usted no deseamalgastar el tiempo dando vueltas por la isla, porque quiere acabar prontopara ir a la playa y hacer surfing. Las instrucciones son ir 3 km hacia eloeste y luego 4 km en la dirección de 60° al nordeste. ¿En qué direccióndebe moverse y cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo con lamáxima rapidez?

Vectores unitarios:

Un vector unitario es un vector sin dimensiones de módulo unidad.

AAa

1ˆ A

A

kAjAiAA zyx


Posición, Velocidad y Aceleración.

El vector posición de una partícula es un vector trazado desde el origen deun sistema de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para un punto(x,y) su vector posición r es

jyixr

El cambio de posición dela partícula es el vectordesplazamiento r:

12 rrr


El cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo t = t2 – t1es el vector velocidad media.

trv m

Definimos el vector velocidadinstantánea como el límite delvector velocidad media cuando ttiende a cero:

dtrd=

ΔtrΔ=v

Δt

mli0

jvivjdtdyi

dtdxv yx


Ejemplo 2: Un barco de vela tiene las coordenadas (x1, y1)=(110 m, 218 m)en el instante t1=60 s. Dos minutos más tarde, en el instante t2, suscoordenadas son (x2 , y2)=(130 m, 205 m). Determinar la velocidad mediaen este intervalo de dos minutos.


Velocidad relativa

Si una partícula se mueve convelocidad VpA relativa a unsistema de coordenadas A, yéste a su vez se mueve convelocidad VAB relativa a otrosistema B, la velocidad de lapartícula respecto a B es

ABpApB VVV


Se define el vector aceleración media como el cociente entre la variación delvector velocidad instantánea v y el intervalo de tiempo t:

tvam

El vector aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad respectoal tiempo

dtvd

tva

t

0

lim

También tenemos

ka+ja+ia=

kdtzd+j

dtyd+i

dtxd=k

dtdv+j

dtdv

+idtdv=a

zyx

222zyx

222


Ejemplo 3: La posición de una pelota de béisbol golpeada por el bateador viene dada por la expresión r(t) = 1.5 m i +(12 m/s i + 16 m/s j) t – 4.9 m/s2 j t2. Determinar su vector velocidad y vector aceleración.

kdtzdj

dtydi

dtxd

kdtdvj

dtdv

idtdv

dtvda zyx

2

2

2

2

2

2

kvjviv

kdtdzj

dtdyi

dtdx

dtrdv

zyx

kzjyixr


Ejemplo 4: Un coche se mueve hacia el este a 60 km/h. Toma una curva y 5 s más tarde viaja hacia el norte a 60 km/h. Determinar el vector aceleración media del coche.


Velocidad y aceleración

• Usted lanza un objeto hacia arriba en el aire. En el punto mas alto, el objeto tendrá:

1. Velocidad y aceleración nulas. 2. Aceleración nula pero velocidad diferente de

cero. 3. Velocidad cero y aceleración diferente de cero. 4. Velocidad y aceleración diferentes de cero.


Movimiento de ProyectilesLa figura muestra el lanzamiento de unapartícula con velocidad inicial v0 y formandoun ángulo 0 con el eje horizontal.Las componentes de la velocidad inicial son:

000000 SinvvCosvv yx Las componentes de la aceleración son:

gaa yx 0Para las velocidades tenemos

gtvvvv yyxx 00 Las componentes horizontal y vertical del movimiento deproyectiles son independientesLos desplazamientos x e y vienen dados por

221

000 )( ; )( gttvytytvxtx oyx Jereson Silva Valencia

Ejemplo 5: Desde el tejado de un edificio de 20 m de altura se lanza unapiedra con un ángulo de tiro de 53° sobre la horizontal. Si el alcancehorizontal de la piedra es igual a la altura del edificio, con qué velocidadse lanzó la roca?¿Cuál es la velocidad de ésta justo antes de chocarcontra el suelo?


Más sobre movimiento de proyectiles

gjgjaiaa yx

tgvtgv

jvivv yx

; 0

221

00 tgtvrr

221

0 tgtvr


Preguntas cuarta sesión

• Definición de fuerza y método de medición• Explique la Ley de Inercia (historia)• Masa inercial y masa gravitacional• Fuerzas en la caída libre y en el tiro

parabólico• Ejemplo de fuerzas de contacto, fuerza

eléctrica, magnética y en un resorte.• Diagrama de las fuerzas que actúan sobre

un cuerpo en un plano inclinado.Jereson Silva Valencia

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