3 · Web viewAl aumentar el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa de...

SECCIÓN 3.2 Enfoques y cálculo de probabilidades

Enfoques y cálculo de probabilidades

En la presente sección el alumno: Conoce los enfoques clásico, frecuencial y subjetivo, para determinar la

probabilidad de un evento. Relaciona el concepto de frecuencia relativa con la idea intuitiva de probabilidad. Comprende por qué la probabilidad tiene valores entre cero y uno. Calcula probabilidades utilizando el enfoque frecuencial. Calcula probabilidades utilizando el enfoque clásico. Calcula la probabilidad de los eventos descritos.

Previas lecturas de apoyo sintetice los enfoques básicos relativos a la interpretación de la probabilidad.

El término “probabilidad” resulta familiar para la mayoría de las personas, frecuentemente escuchamos expresiones como:

“las probabilidades de ganar son altas”, “la probabilidad de que haya lluvia”, “la probabilidad de que me pague”, “las probabilidades de que sobreviva”;

desafortunadamente, la idea anterior no se basa en principios matemáticos fundamentados, por lo que “interpretada” de esta forma puede conducir a engaños. Procedamos a fundamentar matemáticamente el concepto intuitivo que poseen la mayoría de las personas.

La probabilidad se refiere a la “medida de la aleatoriedad o incertidumbre en los resultados de un proceso o experimento”. En situaciones en las que un experimento (fenómeno o proceso) posea uno o más resultados, la probabilidad proporciona los métodos para cuantificar o medir las posibilidades de que ocurra cierto resultado. La teoría de probabilidades se ocupa de establecer las reglas que gobiernan los fenómenos en los que se encuentra presente el azar (conocidos como fenómenos aleatorios). Existen diversas modelos aplicables a la explicación de que tan posible es que ocurra (o no ocurra) un resultado de un fenómeno gobernado por el azar; entre los modelos más comunes destacan los que describiremos en las próximas líneas.

El modelo clásico La forma más común y usual de medir las incertidumbres, asociadas a los eventos de un espacio muestral, es mediante una razón. El número resultante de tal razón (o proporción) se denomina probabilidad y esto lo formaliza el Modelo Clásico de Probabilidades. Modelo probabilístico que se desarrolló en estrecha relación con el análisis de los juegos de azar. El Modelo Clásico de Probabilidades proporciona resultados “lógicos” si todos los eventos simples del espacio muestral tienen las mismas posibilidades de ocurrir. La definición clásica de la probabilidad apareció en la obra “Teoría Analítica de las Probabilidades” de P. S. Laplace, que fue publicada en 1812. En esta obra, aparece la siguiente definición:

140

UNIDAD 3 Probabilidad

“Para un espacio muestral discreto , la probabilidad de que suceda un evento específico ” está dada por la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, formalmente:

Definición 3.9 Modelo clásico y eventos equiprobablesa. Si la probabilidad de que ocurra un evento cualquiera de un espacio muestral , no tiene prioridad sobre la ocurrencia de cualquier otro de sus eventos, entonces los eventos de se denominan equiprobables. b. La probabilidad de que ocurra el evento , es la razón entre el número de casos favorables

y el número total de resultados posibles , esto es:

.

Al definir la probabilidad clásica como la razón tal que , se

tiene como consecuencia que . Lo anterior significa que la probabilidad (para

cualquier evento o suceso) máxima es y la mínima es ; luego la probabilidad es un número positivo y está comprendida entre cero y uno (inclusive).

Ejemplo 3.25Se selecciona un día al azar del mes de abril. a. El mes de abril tiene días, así ; si : “se selecciona el día ”, luego ,

puesto que cada día tiene la misma posibilidad de ser seleccionado entonces .

b. Los días anteriores al de abril son , , , y el de abril, en consecuencia

.

Ejemplo 3.26De se selecciona un número al azar.

a. Sea el evento : “el número elegido es divisible por u ”.

En los números múltiplos de son , y los

múltiplos de son , en total números que cumplen al menos una de las

condiciones (sólo se considera una vez el cumple ambas), luego .

b. Sea el evento : “el número no es múltiplo de ”. En hay múltiplos de y

que no lo son, luego .

141


Incluya ejemplos que muestren que para aplicar el modelo de Laplace es necesario que los eventos sean equiprobables.

El no tener en cuenta la condición a. de la definición 3.9 suele inducir a cometer errores y en consecuencia a conclusiones erróneas en la evaluación de probabilidades.

Ejemplo 3.27Si al lanzar hacia el aire una lata de refresco, y pretendemos calcular la probabilidad de que caiga sobre una de sus bases, intuitivamente, pensaríamos que es más probable que la lata cayera de lado que sobre una de sus bases. Lo que no nos queda claro es que tan a menudo. Para darnos una idea, realizamos el experimento antes señalado veces. Cayó de lado veces, y sobre una de sus bases veces. Por frecuencia de éxitos, concluimos que:

.

Problemas como el anterior conducen a reformular el modelo clásico, lo que generó el modelo frecuencial.

El modelo frecuencialEn ciertas situaciones prácticas los resultados posibles de un experimento aleatorio no son

equiprobables. Por ejemplo, en la elaboración de productos, los diversos procesos se regulan de manera que la probabilidad de obtener un objeto defectuoso es mucho más baja que la probabilidad de obtener uno en buenas condiciones, luego, no es correcto calcular la probabilidad de un artículo no defectuoso a partir del modelo clásico. En lugar de utilizar el modelo clásico se emplea la frecuencia relativa como una estimación de la probabilidad. La interpretación de la frecuencia relativa como una probabilidad se basa en el hecho de que al efectuar un experimento aleatorio un gran número de veces, bajo las mismas condiciones se observan resultados distintos, la probabilidad de ocurrencia de cierto evento se aproxima por la frecuencia relativa de los atributos que posee dicho evento. Al aumentar el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa de ocurrencia del evento de interés o favorable se aproxima al valor real de la probabilidad de ese evento.

Definición 3.10 Modelo Frecuencial de ProbabilidadesSea el número de veces que se repite un experimento bajo las mismas condiciones, sea

el número de veces ocurre el evento favorable , entonces la probabilidad de que suceda

el evento es

.

En el ejemplo 3.27, las probabilidades de los distintos eventos, “cae sobre una de sus bases” y “cae de lado” no eran fáciles de obtener de manera clara, se tuvo que repetir el experimento

veces para concluir que y

, probabilidades determinadas a partir de la definición 3.12. Sin embargo, seguramente si incrementamos el número de repeticiones del experimento, seguramente las

142


probabilidades de los eventos antes señalados variarán un poco de la antes obtenida antes. Las nuevas probabilidades así obtenidas serían también empíricas (basadas en los resultados de la repetición de los experimentos) pero serían más confiables puesto que estarían basadas en un número mayor de repeticiones. Conforme se incrementa el número de repeticiones de un experimento, los valores de la probabilidad empírica suelen aproximarse a un valor particular, si éste es el caso, la probabilidad así obtenida se considera como la probabilidad teórica del evento de interés.

La observación señalada en el párrafo anterior conduce a la ley de los grandes números.

Proposición 3.3 Ley de los grandes númerosCuanto más se repita un experimento aleatorio, la proporción de resultados del evento de interés se aproximará más a la probabilidad teórica de dicho evento.

La importancia de la ley de los grandes números radica en que relaciona a la probabilidad empírica con la probabilidad teórica (generalmente obtenida a partir del modelo clásico).

Ejemplo 3.28Si de cada estudiantes del CCH Oriente utilizan tenis, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar a un estudiante de la escuela señalada no utilice tenis?SoluciónSea el evento “el estudiante no utiliza tenis”, son los estudiantes que no utilizan tenis, por

tanto, de acuerdo al modelo frecuencial .

Ejemplo 3.29Suponga que en el cruce de las avenidas, Siete y Zaragoza se observó que de los últimos automovilistas que pasaron por él, no respetaron la señal de alto. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo automovilista que pase por ese cruce no respete la señal de alto? Solución Sea es evento “el automovilista no respeta la señal de alto”, entonces de acuerdo al modelo

frecuencial la probabilidad de que esto suceda es .

Incluya ejemplos que muestren que para aplicar el modelo de frecuencial suele resultar inoperante.

La determinación de probabilidades a partir del modelo frecuencial, en ocasiones, resulta poco práctica, por ejemplo:

Si se desea calcular el tiempo de vida de las baterías alcalinas producidas por cierta máquina; ciertamente, al tomar la medida se inutiliza la batería.

Medir el tiempo de vida de una bombilla eléctrica; el repetir un experimento puede resultar imposible.

143


Entre muchas otras, la inoperancia de los modelos anteriores inducen al investigador a buscar otras formas para determinar probabilidades.

Interpretación subjetiva El proceso que consiste en la repetición de un experimento bajo las mismas condiciones es la base para la interpretación clásica y frecuencial de la probabilidad, pero muchos de los experimentos aleatorios no se pueden repetir. En los casos descritos en las líneas anteriores (y en muchos otros), la justificación e interpretación de la probabilidad no puede darse en términos de la frecuencia de ocurrencia. Cuando la probabilidad se interpreta como grado de creencia o convicción respecto a la ocurrencia de un evento favorable, desde éste punto de vista, la probabilidad representa un juicio personal acerca de la ocurrencia de un fenómeno gobernado por el azar. Esta interpretación de la probabilidad se conoce como subjetiva o personal. Para ilustrar la interpretación de un nivel de creencia en una probabilidad consideremos la siguiente situación:

Ejemplo 3.30Se pregunta a dos transportistas y su opinión acerca del tiempo necesario en cubrir cierto trayecto. El transportista responde que él está seguro en un % de que cubrirá el trayecto en a lo sumo horas, mientras que responde que él está seguro en un % de que cubrirá el trayecto en un máximo de horas. El porcentaje dado por los transportistas es la medida de la creencia de ellos respecto a que tan rápido cubrirán la ruta específica. Por consiguiente es posible asignar distintas medidas de creencia de ocurrencia a un mismo evento.

En concreto, los significados de las respuestas de los transportistas son las siguientes: El transportista apostaría a a que el trayecto a cubrir lo hará en a lo sumo horas. El transportista apostaría a a que el trayecto a cubrir lo hará en a lo más horas, por

consiguiente las probabilidades subjetivas respectivas son y .

De manera general, si las apuestas a favor de una afirmación son a , entonces la probabilidad

de que ocurra es .

El modelo axiomático incluya los elementos de los modelos antes señalados.

Modelo Axiomático La definición de probabilidad se formaliza a partir de un conjunto de axiomas. El modelo axiomático (o modelo de Kolmogorov) de la teoría de las probabilidades es una generalización, y a la vez una formalización, de los modelos (interpretaciones) de probabilidad descritos antes. El matemático ruso Kolmogorov reunió, formalizó, unificó y generalizó las interpretaciones hechas en los modelos probabilísticos descritos anteriormente y con ello estableció el modelo axiomático de la Teoría de las Probabilidades, que también lleva su nombre, él estableció:

Definición 3.11 Modelo axiomático de la probabilidadSean: un espacio muestral, y dos de sus eventos, entonces:

144


a. .

b. .

c. Si y son eventos ajenos, entonces .

Consecuencia directa de de las propiedades de los eventos (estudiadas en la sección anterior) y de las propiedades (axiomas) de la probabilidad axiomática es la proposición 3.3, misma que se utiliza frecuentemente en la evaluación de probabilidades.

Proposición 3.4 Propiedades de la probabilidadSean: un espacio muestral, y dos de sus eventos.

a. .

b. .

c. Si , entonces .

d. .

e. Si y son eventos de , entonces .

Integre todos los elementos antes tratados y resuelva problemas relativos al cálculo de probabilidades.

Ejemplo 3.31Suponga en la carnicería “La Siete” la probabilidad de que un cliente pida latas de manteca en un martes cualquiera es de . ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente no pida latas de manteca el próximo martes?SoluciónSea a el evento “el cliente pide tres latas de manteca en martes”, entonces es el evento “el

cliente no pide latas de manteca en martes”, por tanto,

.

Ejemplo 3.32De un grupo de vendedores ambulantes, se dedican a la venta de discos piratas, a la venta de pornografía y a la venta de los tipos de productos. Si se selecciona un vendedor ambulante al azar de ese grupo: a. ¿Cuál es la probabilidad de que se dedique a la venta de discos piratas o a la venta de pornografía?b. ¿Cuál es la probabilidad de que no se dedique a la venta de discos piratas o no se dedique a la venta pornografía?SoluciónSean los eventos:

“Se dedica a la venta de discos piratas”, “Se dedica a la venta de pornografía” y “Se dedica a la venta de discos piratas y a la venta de pornografía”.

Luego

145


, y .

a. Al sustituir en , obtenemos

.

b. No se dedique a la venta venda discos piratas o no se dedique a la venta de pornografía se

escribe , que equivale a (Ley de De Morgan), luego

.

Ejemplo 3.33 Se sabe que el % de los habitantes de la colonia “Guerrero” incluyen galletas en su desayuno,

% una coca cola y % ambos “alimentos”. Determine la probabilidad de que si se selecciona al azar uno de los habitantes de la colonia “Guerrero”:a. Incluya al menos uno de esos productos en su desayuno.b. No incluya esos productos en su desayuno.c. No incluya gansito pero si coca cola en su desayuno.SoluciónSean los eventos:

“Incluye galletas en el desayuno”, “Incluye una coca cola en el desayuno”,

“Incluye en el desayuno galletas y una coca cola”.a. Incluya al menos uno de esos productos en su desayuno, en términos de los eventos antes definidos se representa por , por tanto

.b. No incluya esos productos en su desayuno significa: que no incluye galletas y no incluye una coca cola, en términos de los eventos antes definidos se representa por

equivalentemente a .

Por tanto, debemos calcular , pero al utilizar la ley complementaria y el resultado del

inciso anterior obtenemos: .

c. El evento “no incluya galletas pero si coca cola en su desayuno” se representa por , que

equivale a , así .

Ejemplo 3.34El % de las personas que frecuentan la taquería “El Marrano de Oro” ordenan tacos de maciza, que el % pide tacos de trompa y que el % pide al menos uno de esos dos tipos de tacos. Determine la probabilidad e que una persona que asiste a “El marrano de oro”:a. No pida tacos de maciza.b. Pida ambos tipos de tacos.c. No pida ambos tipos de tacos.d. Pida tacos de maciza pero no de trompa.

146


SoluciónDefinamos los siguientes eventos:

“pide tacos de maciza”, “pide tacos de trompa”.

a. El evento “no pide tacos de maciza” se representa por , así

.

b. Ambos tipos de tacos es el evento , pero ,

luego y

.c. El evento “No pide ambos tipos de tacos” es el complementario del evento “pide ambos tipos de

tacos”, es decir , por tanto .

d. Pida tacos de maciza pero no de trompa se representa como , así

.

Modelos de probabilidad y métodos de conteoAhora presentaremos un grupo de situaciones cuya solución requiere del uso de los

métodos de conteo y de los modelos de probabilidades.

Ejemplo 3.35Se lanza veces un dado legal y se observan las caras que quedan hacia arriba.a. ¿Cuál es la probabilidad de observar una sola vez el ? b. ¿Cuál es la probabilidad de observar tres veces el ?c. ¿Cuál es la probabilidad de no observar ?SoluciónEl espacio muestral apropiado para el lanzamiento de un dado cuatro veces es

.

Por el principio del conteo.

a. El puede observarse en cualquiera de los lanzamientos pero una sola vez, los eventos favorables son,

en los espacios en blanco puede ir cualquier otro número distinto de , por tanto

b. El puede observarse en tres de los lanzamientos, los eventos favorables son,

, , ,

en el espacio en blanco puede ir cualquier otro número distinto de , por tanto

.

c. Sea el evento

147


“no se obtiene el en lanzamientos de un dado normal”.El siguiente arreglo muestra las posibilidades del evento favorable:

,

por tanto, y .

Ejemplo 3.36Se somete a un estudiante a un examen con preguntas, cada pregunta tiene dos respuestas del tipo falso – verdadero. Para aprobar debe contestar correctamente cuando menos . a. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen si desconoce la respuesta de todas las preguntas?b. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen si conoce la respuesta de las seis últimas preguntas? Solucióna. El espacio muestral adecuado para este caso es

donde: y denotan “error y acierto” respectivamente, así, por el principio del conteo

.

Sea , el evento “aprueba el examen”, los exámenes favorables al evento son aquellos que tienen:

aciertos y errores, es decir, formas,

aciertos y error, son formas

ó

aciertos y errores, es decir formas.

Por tanto,

.

b. Ahora el estudiante conoce la respuesta de las últimas preguntas, el espacio muestral es:

donde representa el acierto o error marcado en la primera

pregunta cuya respuesta desconoce, representa acierto o error marcado en la segunda

pregunta cuya respuesta desconoce, etc. Por el principio del conteo existen casos igualmente probables.Sea el evento “el estudiante aprueba el examen”.El estudiante ya tiene los aciertos de las últimas preguntas, le resta obtener o más aciertos de las primeras cuatro preguntas. En consecuencia los casos favorables son aquellos que contienen:dos respuestas correctas y dos erróneas , tres respuestas correctas y una errónea , ó cuatro respuestas correctas y cero erróneas , así:

.

148


Ejemplo 3.37En un almacén de productos lácteos se encuentran barras de mantequilla, de ellas son frescas y las restantes ya caducaron.a. Si se selecciona una barra, ¿cuál es la probabilidad de que sea mantequilla fresca?b. Si se seleccionan dos barras (una tras otra) de mantequilla, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea mantequilla fresca y la segunda sea una barra de mantequilla que ya caducó?Solucióna. Sea el evento “la barra de mantequilla seleccionada es fresca”, entonces .

Tenemos cien casos posibles, así .

b. Sea “la primera barra de mantequilla seleccionada es fresca y la segunda barra de mantequilla seleccionada ya caducó.

,

por tanto .El número total de formas en que se pueden seleccionar las dos barras es

,

luego y .

Ejemplo 3.38Los paquetes de caramelos de “La Giralda” contienen caramelos cascados o rotos. Quién adquiere los paquetes los acepta si detecta caramelos “rotos o cascados” en una muestra de tamaño . a. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un paquete con veinte caramelos cascados?b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un paquete con caramelo cascado?SoluciónSe deben seleccionar caramelos, simultáneamente, de un paquete con . El número de

formas en que se puede hacer esto es .

a. Los paquetes aceptables son aquellos que contienen diez caramelos buenos, los que se pueden

seleccionar de formas distintas, y ninguno roto o cascado, que se pueden seleccionar de

maneras. Luego .

b. Un caramelo cascado o roto se puede seleccionar de formas y los restantes de

formas, así .

Ejemplo 3.39

149


Por una estrecha calle deben pasar “micros”, de ellos son la ruta y son de la ruta . Calcule la probabilidad de: a. Tres de la misma ruta pasen uno tras otro.b. Pasen alternadamente. SoluciónLos “micros” pueden pasar de formas diferentes.

a. El siguiente arreglo muestra los arreglos posibles correspondientes al evento favorable: “los tres micros de la misma ruta pasan uno tras otro”

ó ,

entonces ,

el se justifica por el hecho de que primero pueden ir los de la ruta y luego los de la ruta ó primero los de la ruta blancos y luego los de la ruta .b. Sea el evento “los micros pasan alternadamente”Los siguientes arreglos muestran las posibilidades correspondientes:

ó

,

por tanto .

Ejemplo 3.40Los números telefónicos en cierta región están compuestos por dígitos, el primero de ellos no es

. Si se selecciona al azar un número telefónico del directorio de la región:a.¿Cuál es la probabilidad de que sea de la serie ?b. ¿Cuál es la probabilidad de que inicie y termine en ?SoluciónEn concordancia con el principio de la multiplicación:

.

a. Sea “El número telefónico es de la serie ”. El siguiente arreglo muestra el número de posibilidades para cada dígito.

,

así, de acuerdo al principio de la multiplicación existen , por tanto

.

b. Sea “El número telefónico inicia y termina con ”. El siguiente arreglo muestra el número de posibilidades para cada dígito:

150


,

así , luego .

Los ejercicios de apoyo 3.2 pueden serle útiles en el desarrollo de su curso y en consecuencia en la concreción de los propósitos y aprendizajes señalados en los planes y programas de estudio.

EJERCICIOS DE APOYO 3.2

Modelo clásico y modelo frecuencial1. Se selecciona al azar una letra del alfabeto español. Calcule la probabilidad de que se seleccione:a. Una vocal.b. Sea anterior a la letra i.c. Sea posterior a la letra g.

2. Se lanza un dado no cargado. Calcule la probabilidad de:a. Aparezca un número impar. b. Aparezca un número mayor que .

c. Aparezca el .

d. No aparezca el .

3. Se lanzan dos monedas, una tras otra, y se observa la cara que queda hacia arriba. a. ¿Cuál es la probabilidad de observar exactamente una cara? b. ¿Cuál es la probabilidad de observar por lo menos una cara?c. ¿Cuál es la probabilidad de no observar águilas? d. ¿Cuál es la probabilidad de no observar caras?

5. En la inspección de los “gansitos” se observa que, en la misma proporción, poseen una de las siguientes características: exceso de crema, falta de crema ó cantidad de crema normal.De un lote de se seleccionan simultáneamente dos “gansitos”:a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan exceso de crema?b. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno tenga exceso de crema y el otro no?c. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga exceso de crema?

7. Se selecciona al azar una carta de un juego de baraja española. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione

4. Un granjero clasifica a sus cerdos como gordos, normales o delgados, suponga que tiene

de cada tipo.

a. Si selecciona al azar , uno tras otro, ¿cuál es la probabilidad de que uno sea gordo y el otro como delgado?b. Si selecciona al azar , uno tras otro, ¿cuál

es la probabilidad de que haya al menos gordo?

6. En el lanzamiento simultáneo de dos dados normales. Calcule la probabilidad de que las caras que caen hacia arriba:a. Muestren números distintos.b. Sumen más de tres.c. Sumen nueve.d. Muestren números iguales.e. Sumen puntos.

f. No aparezca el .

g. No aparezcan el y el .

8. Se utiliza un voltímetro con tres dígitos para medir el voltaje de una pila; si se mide el voltaje de una pila:

151


una sota?b. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una sota o una carta que tenga oros?c. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una carta que tenga oros o espadas pero no sea rey?d. ¿Cuál es la probabilidad de que no se seleccione una carta que tenga oros?

9. La orden de pedido de un taco puede especificar: tortilla de harina o maíz, con o sin queso, y una de cuatro salsas: borracha, verde, roja o chipotle, si se pide un taco:a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tortilla de harina, queso y salsa verde ó roja?b. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga tortilla de harina, no tenga queso y no tenga salsa verde ó roja?

11. Se lanzan tres monedas al aire (una tras otra). Hallar la probabilidad de observar:a. Tres soles.b. Dos soles y un águila.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los dígitos sean iguales? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo dígitos sean iguales?c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dígitos sean distintos?d. ¿Cuál es la probabilidad de que la medida no contenga el ?

10. Un panadero elabora “roscas de reyes” y agrega a cada una un pequeño muñeco, si dispone de muñecos de los tipos , , , y . Si se revisan dos roscas:a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas tengan muñeco tipo ? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una tenga muñeco tipo .

12. Suponga que en una lotería se vendieron boletos y se darán dos premios, si Silvano

Meda compró boletos ¿cuál es la probabilidad de que gane ambos premios?

13. En la simulación de una votación preliminar para determinar la probabilidad de que Porfirio gane la presidencia de México, se encontró que

de votantes seleccionados aleatoriamente están a favor de él. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de los votantes favorezca a este candidato?

15. Un club tiene socios: hombres y

mujeres. Va a constituirse una comisión de .

a. ¿Cuál es la probabilidad de que las mujeres se incluyan en la comisión?b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más mujeres que hombres?c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más hombres que mujeres?

17. De un grupo compuesto por chemos y cocos se tiene que formar una comisión de tres elementos. Si la selección se realiza al azar, determine la probabilidad de que:a. Los tres sean chemos.b. Dos sean cocos.c. Haya más cocos que chemos.

14. Se han colocado revistas una encima de la otra. a. ¿Cuál es la probabilidad de que revistas específicas queden juntas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que revistas específicas no queden juntas?

16. Una bolsa contiene canicas numeradas

con los dígitos , , , y . Determine la

probabilidad de que al tomar canicas simultáneamente y al azar:a. La suma de los dígitos sea mayor a .

b. La suma de los dígitos sea menor a . c. La suma de los dígitos sea menor a .

18. En una reunión, a la que asistieron

mujeres, de ellas fueron agredidas. Entre ellas

había lesbianas. Halle la probabilidad de que:a. Las tres lesbianas hayan sido las agredidas.b. Las tres personas agredidas no sean lesbianas.

152


19. Un distribuidor acaba de recibir automóviles

medianos, compactos y de lujo. Si manda

lavar aleatoriamente de los automóviles, obtenga la probabilidad de que:a. Hayan sido lavados los de lujo. b. Hayan sido lavados de cada clase.c. No hayan sido lavados automóviles de lujo.

21. En el curso de economía se distribuye un examen con preguntas de elección múltiple. Para aprobarlo se requiere responder correctamente a o más de las preguntas. Si los sustentantes están adivinando la respuesta en cada pregunta, cuál es la probabilidad de que aprueben el examen si:a. ¿Cada pregunta tiene opciones?

b. ¿Cada pregunta tiene opciones?

c. ¿Las primeras preguntas tienen opciones y

las últimas tienen opciones.

d. ¿Las primeras preguntas tienen opciones y

las últimas tienen opciones.

c. Exactamente una de las agredidas sea lesbiana.20. Siete tablas de madera y de longitudes diferentes se colocan en fila. a. ¿Cuál es la probabilidad de estén acomodadas crecientemente?b. ¿Cuál es la probabilidad de que en los extremos estén las de mayor longitud?c. ¿Cuál es la probabilidad de que en el centro esté la de menor longitud?

22. Una caja contiene caramelos, incluidos

de menta. Si una persona selecciona

simultáneamente y al azar caramelos:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione caramelos de menta?b. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione sólo caramelo de menta?c. ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccione caramelos de menta?d. ¿Cuál es la probabilidad de seleccione todos los caramelos de menta?e. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione un mayor número de caramelos de menta?

23. Una agencia automotriz tiene disponible cierta línea de automóvil en los colores: azul, rojo, blanco, plata y verde. Cuando se hace un pedido, los clientes deben indicar su primera y su segunda opción. Calcule la probabilidad de que un cliente: a. Seleccione primero el azul y luego el rojo.b. No seleccione el azul y no seleccione el rojo (en ese orden).c. La segunda opción sea el rojo.

25. hombres y mujeres van a posar para una fotografía. Calcule la probabilidad de que: a. Queden intercaladas.b. Las mujeres queden en el extremo.c. Las mujeres queden juntas.d. Queden hombres en los extremos.

24. Un jardinero compra un recipiente con

plantas. La etiqueta indica que de las plantas

tendrán flores amarillas y flores azules. Sin embargo ninguna de las plantas está en flor. Si el jardinero siembra las plantas en fila, cuando todas florezcan. Calcule la probabilidad de que los colores de las flores:a. Queden intercalados.b. Las del mismo color queden seguidas.

26. Cierta ciudad tiene gasolineras, de ellas pertenecen a la compañía Texaco y el resto a o Petrobras, si se selecciona aleatoriamente una muestra de gasolineras de esa ciudad:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que gasolineras de la compañía Texaco se incluyan? b. ¿Cuál es la probabilidad de que gasolineras de una misma compañía se incluyan?

Modelo axiomático

153


27. Si , y

, determine:a. . b.

.

c. . d. .

e. .

f.

.g. h.

28. Si , y

, determine.a. . b. .

c. . d. .

e. .

f. .

g. .

h. .

29. Si , y

, determine:a. . b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

g. h. .

30. Si , y

, determine.a.

.

b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

g. .

h. .

31. En el curso de probabilidad del Profesor Pérez, el de los estudiante son puntuales, el

hacen las tareas y el son puntuales y hacen las tareas. Si se selecciona una persona del curso de probabilidad de Pérez, determine las probabilidades:a. Sea puntual y no haga las tareas.b. Haga las tareas y o sea puntual.c. No sea puntual.d. No haga las tareas o no sea puntual.e. No haga las tareas y no sea puntual.f. Haga las tareas y no sea puntual. 33. En el CCH, el % de los alumnos visten a la

“cholo”, el % como “dark”, y el % visten de las dos formas. Si se selecciona a un alumno del CCH Oriente, determine las probabilidades:a. Utilice sólo una de las dos formas de vestir.b. Utilice al menos una de las formas de vestir.c. No utilice esas formas de vestir.d. Utilice ambas formas de vestir. e. Vista como cholo o no vista como dark.

32. Un conductor pasa por dos semáforos. La probabilidad de que se detenga en el primero

, la probabilidad de que se detenga en el

segundo semáforo es y la probabilidad de que se detenga en al menos uno de los semáforos es . ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga:a. En ambos semáforos?b. En ningún semáforo?c. En exactamente dos semáforos?d. Sólo en el primer semáforo? e. Sólo en el segundo semáforo?

34. Si:Tamaño

Color Chico GrandeNegro

Blanco

a. ¿La probabilidad de chico y negro es?b. ¿La probabilidad de grande es?c. ¿Cuál es la probabilidad que sea blanco?d. ¿La probabilidad de chico o blanco?

154


35. Una fonda ofrece tipos de tortas en su menú, cada una de las tortas viene con uno o dos ingredientes. La siguiente tabla indica los porcentajes de compradores recientes de cada tipo de tortas:

IngredientesTamaño 1 2Chica

% %Grande %

%Si se selecciona al azar un consumidor reciente.a. ¿Cuál es la probabilidad que el consumidor compre una torta chica?b. ¿Cuál es la probabilidad que el consumidor compre una torta chica con dos ingredientes?c. ¿Cuál es la probabilidad que el consumidor compre una torta grande?d. ¿Cuál es la probabilidad que el consumidor compre una torta grande o con dos ingredientes?

e. ¿La probabilidad de grande o negro?

36. Considere la información sobre personas vertida en la siguiente tabla:

FumaGénero Si NoMujer

Hombre

Si se selecciona al azar una persona:a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?b. ¿Cuál es la probabilidad de que no fume?c. ¿Cuál es la probabilidad de que fume?d. ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre?e. ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre o fume?f. ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y no fume?

37. Sea con ,

y , determine:

a. EL valor de .

b. .

c. .

d. .

39. Cuatro personas, digamos , , y

intervienen en un concurso. Se sabe que , y

tiene igual probabilidad de ganar y que cada uno de ellos tiene el doble de probabilidades de ganar que .

a. ¿Cuál es la probabilidad de que o ganen el concurso?b. ¿Cuál es la probabilidad de que o ganen el concurso?

41. Se carga un dado de manera que la probabilidad de que aparezca un número menor o igual que es el doble de la probabilidad de que

aparezcan o un . Determine:

a. .

b. .

38. En una residencia hay tres perros , y

. El perro les ladra al triple de los transeúntes

de los que les ladra el perro y al doble de los

que ladra el perro . Si pasa un transeúnte:

a. ¿Cuál es la probabilidad le ladre ?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que le ladre ?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que le ladren o

?

40. Se carga una moneda de forma que al lanzarla la probabilidad de que aparezca águila es el triple de la probabilidad de que aparezca sol, determine:

a. .

b. .

42. En una carrera participan los caballos: ,

y . La probabilidad de que gane es el

triple de la probabilidad de que gane y la

probabilidad de que gane es la mitad de la

155


c. La probabilidad de que aparezca un par. d. La probabilidad de que aparezca un número menor que . e. La probabilidad de que aparezca un número mayor a . f. La probabilidad de que aparezca un número primo.

probabilidad de que gane .

a. ¿Cuál es la probabilidad de que gane ?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que gane o

gane ?

Problemas varios43. Una caja contiene focos, de ellos son defectuosos. Si una persona selecciona aleatoriamente de ellos y una segunda

persona toma los focos restantes, a. ¿Cuál es la probabilidad de que la misma persona seleccione los focos defectuosos?b. ¿Cuál es la probabilidad de cada persona seleccione focos defectuosos?

45. Una compañía tabacalera desea cambiar el diseño de la caja de uno de sus productos. Muestra a cada una de las personas del departamento la caja nueva, y les pide que indique su preferencia. por las cajas:a. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo prefieran el nuevo diseño?b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos prefieran el nuevo diseño?

47. Con la información del diagrama calcule:

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

49. Se pide a personas identificar una cerveza clara y una cerveza obscura. A cada una se le proporciona un vaso con un tipo de cerveza y se le pide decir cuál es la obscura. Si

44. Se lanzan monedas al mismo tiempo. Cuál es la probabilidad de obtener:a. ¿Dos soles seguidos? b. ¿Por lo menos un sol? c. ¿El mismo número de soles y de águilas?d. ¿Más soles que águilas?e. ¿Sólo águilas o sólo soles?

46. Suponga que tiene monedas de $1.00. Considere el experimento que consiste en cambiar esa cantidad por monedas de $5.00, $10.00, $20.00 ó $50.00, determine:a. El espacio muestral correspondiente a este experimento.b. La probabilidad de que el cambio contenga exactamente una moneda de $20.00.c. La probabilidad de que el cambio contenga monedas de $5.00, $10.00 y $20.00.48. Con la información del diagrama calcule:

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

50. Se elige un número de entre los enteros del

al (inclusive) de tal manera que cada uno de ellos tiene igual probabilidad de ser elegido. Determine la probabilidad de que el número seleccionado sea:

156


las personas sólo están adivinando, determine la probabilidad de que:a. Todas acierten. b. Por lo menos identifiquen la cerveza obscura.

51. Un vendedor de bebidas alcohólicas acaba de recibir un embarque de botellas; de ellas

contiene vodka y mezcal. Si vende

aleatoriamente de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de la misma clase de bebida?

53. Una varilla recta de centímetros de largo se corta en dos partes.a. Determine la probabilidad de que la parte mayor mida más de centímetros que la parte menor.b. Determine la probabilidad de que la parte mayor mida más de centímetros que la parte menor.

55. Sean los segmentos de recta de longitudes , , , y . Se escogen tres al azar.a. ¿Cuál es la probabilidad de que con los segmentos electos se pueda construir un triángulo?b. ¿Cuál es la probabilidad de que con los segmentos electos se pueda construir un triángulo de perímetro mayor a unidades?

a. Múltiplo de y mayor que .

b. Menor que .

c. Submúltiplo de .

52. Cuatro personas se sientan al azar alrededor de una mesa redonda. ¿Cual es la probabilidad de que dos personas específicas que se sienten:a. Siempre estén juntas?b. Nunca estén juntas?

54. Dada una circunferencia y un segmento cualquiera PQ dentro de ella.a. Determine la probabilidad de que un segundo segmento, trazado al azar desde P, sea más pequeño que la longitud del segmento PQ. b. Determine la probabilidad de que un segundo segmento, trazado al azar desde P, sea un centímetro o más menor que la longitud del segmento PQ.

56. Si selecciona un punto de un cuadrado de lado unidades.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre a tres unidades o menos de las esquinas? pueda construir un triángulo?b. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre a

unidades o menos del centro?

57. En la siguiente figura se elige un punto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto pertenezca a la región obscura (suponga que el modelo clásico es aplicable)?

a. Las figuras son cuadrados y es el punto medio.

b. Las figuras son triángulos equiláteros.

c. Las figuras son triángulos equiláteros. d. Las figuras son cuadrados.

157


58. Suponga que tira dos dardos (uno tras otro) al siguiente blanco.a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cociente de los números seleccionados sea un número entero?b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números seleccionados sea un número par?c. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números seleccionados sea impar?

59. Suponga que tira dardos (uno tras otro) al siguiente blanco.a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cociente de los números seleccionados sea un número entero?b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números seleccionados sea un número par?c. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números seleccionados sea un número impar?

60. Un experimento consiste en girar las flechas de las figuras y luego sumar los números señalados por ellas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que ?

61. Un experimento consiste en girar las flechas de las figuras y luego multiplicar los números señalados por ellas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que ?c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que ?

Puede implementar algunas de las actividades 3.2 en el desarrollo para la concreción de los propósitos y aprendizajes señalados en los planes y programas de estudio.

ACTIVIDADES DE APOYO 3.2

ACTIVIDAD Consigue un dado, lánzalo cuántas veces te sea posible y observa la cara que queda hacia arriba.a. Construye el espació muestral.

158


b. Completa la siguiente tabla:Evento Casos favorables Proporción

“Aparece 1”“Aparece 2”“Aparece 3”“Aparece 4”“Aparece 5”“Aparece 6”

c. Establece conclusiones respecto a las frecuencias observadas.

ACTIVIDAD Construye un “octaedro” como el que se muestra en la figura:

Las dimensiones de los lados largos de los rectángulo que forman las caras mayores deben tener el doble de longitud de los cuadrados que forman las caras menores; numere las caras mayores como , , y , las

pequeñas como y . Láncelo veces sobre una mesa y complete la siguiente tabla:Cara No. de veces que aparece hacia arriba Frecuencia

123456

¿Se puede concluir que la probabilidad asociada a cada una de las caras es de ?

¿Son los eventos “Aparece la cara con el número ” para equiprobables? Justifique sus respuestas.

ACTIVIDAD PARTE ASuponga que el modelo clásico es aplicable.FASE 1. Trace un cuadrado de lado igual a y luego sombréelo. a. Calcule el área de la región obscura.b. Calcule el perímetro de la región obscura.FASE 2. Divida el cuadrado en nueve cuadrados congruentes y elimine el cuadrado central (señale esto dejando en blanco la región eliminada), trace figura correspondiente. Luego seleccione un punto.a. Calcule la probabilidad de que sea seleccionado un punto en la región obscura.b. Calcule la probabilidad de que el punto sea seleccionado en la región blanca.FASE 3. Repita la fase con cada uno de los ocho cuadrados restantes, trace la figura correspondiente (deje en blanco la región eliminada). Luego seleccione un punto.a. Calcule la probabilidad de que sea seleccionado un punto en la región obscura.b. Calcule la probabilidad de que el punto sea seleccionado en la región blanca.FASE 4. Repita la fase con cada uno de los ocho cuadrados restantes, trace la figura correspondiente.a. Calcule la probabilidad de que sea seleccionado un punto en la región obscura.b. Calcule la probabilidad de que el punto sea seleccionado en la región blanca.PARTE B(GENALIZACIÓN DE RESULTADOS)

159


En consecuencia, en la fase tendremos:1. ¿La relación entre la probabilidad de seleccionar un punto en la región obscura y la fase está es? 2. ¿La relación entre la probabilidad de seleccionar un punto en la región obscura y la fase está es?

ACTIVIDAD A partir de una lámina cuadrada de longitud de lado unidades se cortará tantos cuadriláteros como se desee, de manera que la base del cuadrilátero que se corta posteriormente tenga base de longitud igual a la mitad de la base del cuadrilátero anterior.a. Trace una figura que muestre el proceso.b. Discuta el comportamiento de la probabilidad (área de los cuadriláteros que va recortando).c. ¿Qué ocurre con la probabilidad si el número de etapas crece indefinidamente?

160

3 · Web viewAl aumentar el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa de...

Documents

Transcript of 3 · Web viewAl aumentar el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa de...