AULA POLITCNICA 15 Resistencia de materiales Problemas resueltos

AULA POLITCNICA / ETSEIB Resistencia de materiales Problemas resueltos Miquel Ferrer Ballester Jos Luis Macas Serra Frederic Marimn Carvajal M. Magdalena Pastor Artigues Francesc Roure Fernndez Llus Vilaseca Vilanova EDICIONS UPC

La presente obra fue galardonada en el quinto concurso "Ajuts a l'elaboraci de ma terial docent" convocado por la UPC. Primera edicin: septiembre de 1999 Reimpresin: febrero de 2001 Segunda edicin: sept eimbre de 2002 Diseo de la cubierta: Manuel Andreu los autores, 1999 Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politcnica de Cat alunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 0 15 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.es Produccin: CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona Depsito legal: B-30564-2002 ISBN: 84-8301-621-4 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o p arcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprogr afa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante al quiler o prstamo pblicos.

Prlogo 7 Prlogo El presente libro es una coleccin de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de la Resistencia de Materiales a travs de su aplicacin a la resolucin de ejemplos concretos. Ha sido elaborado pensando en su uso por parte de estudi antes de Ingeniera y de Arquitectura, como texto complementario a un libro de teo ra de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y nomenclatur a se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Mar imn y X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fasccul os. Se supone que antes de abordar los problemas de cada captulo, el lector habr a dquirido los conocimientos de teora correspondientes, y por ello no se repasan de forma explcita en el presente libro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecnica de medios continuos, y que dispone de los conoci mientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se han incluido en la Biblio grafa textos de teora sobre ambos aspectos. Los temas que cubre este libro son los clsicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: los temas bsicos relativ os a la pieza prismtica. Una rpida ojeada al ndice ilustra perfectamente el alcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas bsicos para adaptar lo precisamente al desarrollo de un curso de duracin cuatrimestral; aunque al fin al de algunos captulos se han introducido tambin problemas ms complejos (van marcad os con un asterisco), para aquellos lectores que deseen profundizar en dichos te mas. Los casos ms sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en e ste libro como problemas, porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductor ios en los libros de teora, y no se ha considerado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una coleccin exhaustiva de problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas. A pesar de las nu merosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresin, estamo s seguros de que algunos errores y erratas habrn conseguido colarse (confiamos en que sean slo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector. Finalmente querem os expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que , como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confeccin del tex to, las frmulas y los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu. Los autores Barcelona, junio de 1999

ndice 9 ndice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Diagramas de esfuerzos........................................ ...............................................................11 Esfuerzo norma l............................................................................... ....................................25 Esfuerzo de cizalladura pura............. ................................................................................ ...35 Caractersticas de secciones................................................ .................................................45 Dimensionado de secciones a flexin........................................................................... .......53 Flexin desviada y flexin compuesta...................................... ...........................................75 Torsin y esfuerzos combinados...... ................................................................................ ....89 Corrimientos en piezas prismticas......................................... ...........................................131 Piezas y sistemas hiperestticos... ................................................................................ ......139 10 Inestabilidad elstica......................................................... ..................................................161 Bibliografia.............. ................................................................................ ..................................185

Bibliografa 185 Bibliografa COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968. LAROZE, S . Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). Pars, Eyrolles-Masson & Cia, 1974. LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. Ne w York, Dover, 1944. NEUBER, H. Mecnica tcnica (II). Madrid, Dossat, 1977. ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998. ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991. ROURE, F.; MARIMN, F.; AYNETO, X., Resistencia de ma teriales (Fascculos). Barcelona, CPDAETSEIB, 1998 TIMOSHENKO, S.P., Resistencia d e materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967. UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced S trength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.

1 Diagramas de esfuerzos 11 1 Diagramas de esfuerzos

12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.1 Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura . 600 2 N E 2m 45o A B 3m 3m C D 800 Nm 2m FH FV Resolucin: 600 2 600 2 2 2 2 2 600 N 600 N a) Descomposicin de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. b) Clculo de las reacciones. 600 N 600 N Ejes globales E A B RAH RAV C D 800 Nm RCV Tomamos momentos respecto al punto C: Mc 0 R AV 6 600 3 600 2 800 0 100 3 R AV 1 00 N = -33,3 N 3 1900 N 3 Suma de fuerzas verticales y horizontales: FV FH 0 0 R AV 600 RCV RAH 600 N 0 60 0 RCV

1 Diagramas de esfuerzos 13 c) Clculo de momentos en los tramos AB y BC. TramoAB: Tramo BC: M ( x) MB MC Diag ramas. 600 N N A + B C D B 600 N A T 100 N 3 -100 Nm M A B + C D 1200 Nm B C 1900 N 3 -80 0 Nm D B E E + M ( x) R AV x 100 x 3 MA 0 MB 100 Nm R AV x 600( x 3) 600 2 100 3 0 1200 1100 Nm 3 100 6 600 3 600 2 800 Nm 3 600 N E B 1100 Nm Equilibrio del nudo B. 600 N 600 N 100/3 N 600 N B 1900 N 3

14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.2 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoy ada en los extremos y sometida a una carga repartida triangular. 1600 N m A x 6m T B Resolucin: a) Clculo de la reacciones. Resultante de la carga Q 1600 6 2 4800 N . 4800 N A 6m RA 4m 2m RB B RA RB MA 0 4800 RB 6 4800 4 RB RA 4800 4 6 1600 N 3200 N

1 Diagramas de esfuerzos 15 b) Clculo de los esfuerzos de seccin. 1600 N m A d 1600 N xx L=6m B 3200 N Seccin situada a una distancia x del apoyo A: T: T 1600 x 0 qd 1600 x x 0 1600 d 6 1600 2 x 12 T M: M 1600 1600 2 6 2 1600 0 1600 x x 0 qx d 1600 x x x 0 1600 6 x d M 1600 x

1600 6 2 3 2 x3 2 x 3 x3 3 0 M 1600 x 1600 6 1600 x 1600 x 3 6 6

16 Resistencia de materiales. Problemas resueltos c) Diagramas. 1600 N + 3200 N A T M + 3695 Nm d) Punto de Mmx M x T T 0 1600 T 0 12 3,46 m M mx 1600 2 x x 12 1600 1600 3,46 3,46 2 12 3695 Nm

1 Diagramas de esfuerzos 17 Problema 1.3 Determinar los diagramas de esfuerzos del prtico inclinado de la fig ura. 200 2 N 400 2 N B 2m A 45 C 2m 2m Resolucin: Para el clculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la esttic a. 200 2 400 2 B A RAH C RAV RC FV FH MA 0 0 0 R AV R AH RC 200 2 0 400 2 N RC 300 2 N RC 4 400 2 2 200 2 2 0

18 Resistencia de materiales. Problemas resueltos por tanto, RAV 100 2 N y descomponiendo cada reaccin en las direcciones de las barras, 400 100 2 400 2 100 100 300 300 300 2 400 400 2 400 400 100 100 100 2 300 2 300 300 Diagrama 500 N B N + A -300 N C Diagrama 300 N B T + A 300 N C Diagrama M

1 Diagramas de esfuerzos 19 B B A x + + x C 300 N M = 300 x MA MB 0 600 2 Nm M = 300 x MC MB 0 600 2 Nm Mtodo alternativo para hallar las reacciones: resolucin grfica. Para que las tres f uerzas estn en equilibrio, sus lneas de accin deben cruzarse en punto O (ya que M0 0 ). A partir de la lnea de accin vertical de RC, se obtiene O. F 200 2 B 400 2 RA // OA RC F // OC RA C RC

20 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.4 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. p = 600 4000 N P1 A a=2m L=6m b=2m B N ml C 3000 N P2 D Resolucin: Clculo de las reacciones: FV : R B RC 4000 600 6 3000 0 RC 6 3000 8 RC RB Diagrama de momentos flectores: Tramo AB: M MA Tramo BC: M MB Tramo CD: M MC 4000 x 6133 x MD 2 0 600 6 x 5 4467 x 8 6000 Nm 4000 x 6133 x MC 2 600 x 2 2 2 M B : 4000 2 600 6 3 4467 N 6133 N 4000 x 0 MB 8000 Nm 8000 Nm 6000 Nm Diagrama de esfuerzos cortantes. Tramo AB: T TA 4000 N 4000 N TB 4000 N

1 Diagramas de esfuerzos 21 Tramo BC: T TB Tramo CD: T TC 4000 6133 3600 4467 3000 N TD 3000 N 4000 x 2133 N 6133 600 x TC 2 1467 N B A a=2m L=6m C D b=2m -8000 -6000 M ( Nm ) E xE 2133 + 3000 + -1467 -4000 -4000 3000 T (N) El diagrama de momentos flectores pasa por un mnimo relativo en el punto E, donde la tangente es horizontal, o sea: M T0: 4000 6133 600 x E 2 0 x E 5,35 m x ME = -4208 Nm

22 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.5 En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flect ores en toda la viga. 4 KN 5 KN/m 0,5m 1m 2m 1m Resolucin: a) Reacciones en el empotramiento. Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama de slido libre y ob ligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos: 4 KN 5 KN/m 4 KN 10 KN ME 0.5m 1m ME 0.5m 2m FE 2m FE FE ME 14 KN 4 0,5 10 2 22 KN m Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.

1 Diagramas de esfuerzos 23 b) Diagramas 4 KN 5 KN/m E 0,5 D 0,5 C 2m B 1m x A M T + Tramo AB: Tramo BC: M=0 T=0 2 M 5 x1 2 KN m MB MC 0 0 0 10 KN T 5x1 2 KN TB TC

24 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Tramo CD: M 10 x 2 KN m MC MD T 10 KN TC TD Tramo DE: M 10 x 2 4 x 3,5 KN m MD M E T 10 4 14 KN TD TE 15 KN m 22 KN m 14 KN 14 KN 10 KN m 15 KN m 10 KN 10 KN Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de l a derecha, porque en este caso, es ms cmodo. Si se determinan los diagramas tomand o el origen de las x en el extremo de la izquierda E, tal como se hace habitualm ente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idntico; pero el diagrama de esf uerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).

2 Esfuerzo normal 25 2 Esfuerzo normal

26 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.1 4 mm , y cuyos Tenemos una barra rgida que est suspendida por dos cables de igual dimetro mdulos de elasticidad son: E1=2.1105 MPa y E2=0.7105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra est sometida a una carga puntual P=500 N. Calcula r la posicin x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso. 4 mm E1 A x P=500 N 4 mm E2 300 mm B 600 mm Resolucin: Dibujamos el diagrama de slido libre y obligamos el equilibrio. Adems im ponemos la igualdad de deformaciones. RA RB LA A P=500 N B LB FV MB 0 0 RA RB P P( L x) 0 RA L

2 Esfuerzo normal 27 LA LB Ley de Hooke : RA LA S E1 3R B RB RB LB S E2 500 R B E1 E2 500 125 N 4 R B 21000 0 70000 RA RA 3R B RB RA 375 N De la ecuacin de los momentos obtenemos x: RA L P( L x) 0 x) 0 x 150 mm 375 600 500(600

28 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.2 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D e stn empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies so n: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 . Hallar tambin el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2105 MPa. A 1m B 3m Ab=80 cm2 C 1m 15 T D Aa=40 cm2 Resolucin: FV 0 RA+ RD = 15 T = 150000 N Ecuacin de deformacin El tramo AC est comprimido, por tant o RA es un esfuerzo de compresin, y el tramo CD est traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de traccin. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variacin total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargam iento del tramo inferior: L AB L BC FL AE LCD Aplicando la ley de Hooke: R A L AB E Aa L R A L BC E Ab R D LCD E Ab

2 Esfuerzo normal 29 RA A 1m B 3m C 1m 15 T D RD R A 1000 2 10 5 R A 3000 2 R D 1000 2 40 10 2 10 5 80 10 2 10 5 80 10 2 R A 2000 R A 3000 R D 1000 Resolviendo las ecuaciones, tenemos RA RB 25000 N 2.5 T 125000 N 12.5 T Clculo de las tensiones. Tramo AB: 25000 N 40 10 2 mm 2 25000 N 80 10 2 mm 2 1250 00 N 80 10 2 mm 2 6.25 MPa (COMP.) AB Tramo BC: BC 3.125 MPa (COMP.) Tramo CD: Diagrama de esfuerzos normales: CD 15.625 MPa (TRAC.) 2.5 T A B C + D

12.5 T

30 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.3 a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acer o, de 2 cm de dimetro y de 3.5 m de longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular e l descenso del punto C, siendo =20. Datos: E=2,1105 MPa. b) Resolver para =0. A L C L B C C1 P Resolucin: a) Para =20: Del equilibrio del punto C se obtiene N sen N P 2 sen P 2 N N N N P P Equilibrio del punto C Sea (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, L, ser CC1 L . Como por otra pudiendo considerarse el tringulo CCC1 rectngulo en C. Aqu es sen NL parte: L , se tiene que: EA NL EA sen PL 2 EA sen 2 5000 3500 2 2.1 10 3,14 10 2 0.34202 2 5 1,13 mm b) Para =0: A L C L B C1 P

2 Esfuerzo normal 31 De acuerdo con la esttica de los sistemas rgidos, descomponiendo la fuerza P en la s direcciones de las barras, se encontraran, para los esfuerzos en las barras y p ara las reacciones, valores infinitamente grandes. La solucin evidentemente es in aceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistiran. A fin de hacer desapare cer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las barr as que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en c uenta las deformaciones en este caso. Poniendo tg (para ngulos pequeos) L el alargamiento de las barras vale AC1 AC AC L2 L 2 L 2 1 L 1 1 2 2 1 2 Esta ltima igualdad proviene de la expresin: 1a 1a 12 1 1 a 2 12 a 8 13 a 16 54 a 128 1 a . 2 Para a