3.1 Descripción de los diferentes modelos de...

Correlaciones de predicción de pérdidas

Modelado en Matlab del diseño preliminar de turbinas de gas de flujo axial Página | 44

3 Correlaciones de predicción de pérdidas

3.1 Descripción de los diferentes modelos de pérdidas.

En este capítulo se pretende dar una revisión de los diferentes modelos de pérdida en turbinas axiales. Los modelos incluidos fueron dados originalmente por D. G. Ainley y G.C.R. Mathieson (AM), J. Dunham & PM Came (DC), S.C. Kacker & U. Okapuu (KO), H.R.M. Craig & H.J.A. Cox (CC), M. Kh. Mukhatarov & V.I. Krichakin (MuKr), M.W. Benner, S.A. Sjolander & S.H. Moustapha (BSM), y I. Mamaev & A.G. Klebanov (MaKl). Los esfuerzos más importantes se encuentran en la descripción del flujo secundario (YS), y las pérdidas por funcionamiento fuera de diseño y pérdidas intersticiales, pero otros grupos como las pérdidas en el perfil (YP) y en el borde de estela (TE) también se tocan porque a veces están incluidas o se utilizan como un dato puntual para las correlaciones de las pérdidas por funcionamiento de fuera de diseño.

3.2 Ainley & Mathieson:

Ainley y Mathieson (AM) son una leyenda muy conocida en la deducción de correlaciones de pérdidas de la turbina. Ambos han publicado un gran número de documentos referentes al tema de turbinas axiales de gas. Esta sección está, si no se indica nada, basado en la referencia [7] mejorada con [8]. Observe que cuando se escribieron ambos documentos, en 1955 y 1957, estos se basaban en datos experimentales sobre diseño de álabes y equipos de medida de la época. La mayor parte de los datos experimentales provienen del Establecimiento Nacional de Turbinas de Gas y empresas colaboradoras, y los álabes de turbina son de arco circular, arco parabólico y “convencional” de ese momento. También la mayor parte de los datos de prueba son con un número de Mach bajo a la salida (Mw3), algo común en los años 50. Estos perfiles de álabe, con el conocimiento aerodinámico de hoy en día, serían clasificados como horribles.

Cuando establecemos una nueva correlación entre los resultados del test y los supuestos parámetros importantes, hay siempre una necesidad de llegar a un compromiso entre precisión y las complejidades de los parámetros incluidos. El propósito de AM era poder predecir el coeficiente de pérdida de presión total (Ytot) dentro del ±15%, el ángulo medio de salida del gas dentro de un error de ±0.02·cos-1

(o/s) y el rendimiento total del escalonamiento dentro del ±2% del valor real. Esta



precisión se supone que debe alcanzarse para los diseños de los álabes comparados por los autores.

Las pérdidas incluidas son: pérdidas en el perfil, pérdidas intersticiales, pérdidas secundarias y pérdidas debido a ángulo de incidencia (i) fuera del punto de diseño. La pérdida en el perfil incluye las correcciones por el espesor del borde de estela (TE), la variación en el número de Reynolds (Re) y el número de Mach de la salida (Mw3). Los resultados experimentales para las perdidas intersticiales se limitaron debido a la inexactitud de las correlaciones para álabes con y sin llanta. Para el funcionamiento fuera de diseño (off-design) el cálculo que se corrige es la pérdida en el perfil mientras que las otras pérdidas se mantienen constantes.

Las correlaciones se deben calcular en el diámetro medio aritmético entre la entrada y la salida de una cascada de álabes y los ángulos se definen en dirección axial, considerando la terminología del álabe.

3.2.1 Pérdidas en el perfil:

Cuando los valores de la relación paso-cuerda (s/l) y el grado de reacción están decididos, las pérdidas en el perfil en condiciones de diseño se pueden leer inicialmente en la figura 3.1 y 3.2 (álabes de acción y reacción). Estas tablas son para una geometría del álabes con tmax/l = 0.2, número de Mach a la salida menor de 0.5, número de Reynolds igual a 5·105

. Para un grado de reacción, interpolando sobre los dos valores extremos, obtenemos un valor lineal. Se hacen correcciones para cualquier diferencia de la relación entre el espesor de la base del alabe y la cuerda tmax/l y el

ángulo de entrada del álabe y el ángulo de salida del flujo αe’/αs. El rango válido de la

relación espesor cuerda es 0.15 ≤ t/l ≤ 0.25 y fuera de este rango se utilizan los valores límites 0.15 o 0.25, pero conociendo su limitación.

La pérdida en el perfil en el punto del diseño viene dada entonces por la Ec.3.1 como:

Ec. 3.1

'

2'

( 0) ( 0) ( ) ( 0)

/

0.2

e

s

e e s e

eP i P P P

s

t cY Y Y Y

α

α

α α α α

α

α

−

′ ′ ′= = = =

= + ⋅ −

α1=α1 o β2 cuando se escribe αe. α2=α2 o β3 cuando se escribe αs.



Figura 3.1. Perdidas en el perfil para álabes de reacción, i=0 t/c=0.2, Re=2·105, M≤0.7

Figura 3.2. Perdidas en el perfil para alabes de acción.

En la referencia [7] la ecuación (3.1) se da sin ninguna corrección para la relación del ángulo de entrada al álabe con el ángulo de salida del flujo y la corrección de la relación espesor cuerda del alabe como puede verse en el último término de (3.1), que se agrega más adelante.



'

/

0.2

in

outt cα

α

−

Cuando estudiaron la influencia de la incidencia, encontraron que para los álabes con alta aceleración media del flujo hay una gama más amplia de incidencia con bajas pérdidas en el perfil. Debido al hecho de que es más probable que la capa límite se mantenga unida comparado a un álabe de baja reacción. También encontraron que en un rango pequeño de incidencia la pérdida en el perfil tiene un decremento significativo. Se supone que la razón de esta disminución repentina de pérdidas sea una región con un nivel alto de capa de límite laminar inseparable. En una turbina real con un nivel alto de turbulencia a la entrada no se espera alcanzar este flujo laminar y por esa razón se no considera como un objetivo del diseño. Una tabla exponiendo estas tendencias se muestra en la Figura 3.3.

Figura 3.3. Variación de la pérdida en el perfil por la variación de la incidencia de diseño.

La incidencia de desprendimiento (is) se define como la incidencia donde la pérdida en el perfil iguala el doble de la pérdida mínima en el perfil.

Ec. 3.2 ( ) ( 0)2

sP i P iY Y == ⋅

La variación de is y α2 con s/c y α1'/α2 fueron determinados para una amplia gama de perfiles de álabe existentes, y se muestran en las Figuras 3.4 y 3.5 con un s/c de 0.75 como punto de referencia. De estas tres figuras la incidencia de



desprendimiento positiva is para cualquier relación de s/c se determina con αout, αin'/αout y el cociente real de s/c como parámetros de entrada.

El procedimiento es:

1 Con α2, (s/l=0.75) y s/l, el valor de α2 se obtiene en la figura 12.2-4.

2 De la figura1 12.2-5 is(s/c=0.75) se lee con los parámetros de entrada α2 y

α’1/α2,(s/c=0.75)

3 Finalmente la figura 12.2-6 da el valor de is=i+is, (s/c=0.75)

La exactitud de esta correlación se suponía que estaba dentro del ±3%, en el momento de su publicación.

Figura 3.4. Determinación de la incidencia de desprendimiento

En [7], AM proponen que se puede utilizar una sola curva para relacionar la pérdida en el perfil sin incidencia con la incidencia real solamente con la relación entre la incidencia y la incidencia de desprendimiento (i/is) determinado en la figura 3.3 igual a -2.0. Pero como AM mencionan en [7], e indican en [8] la recomendación era, en cambio, utilizar un grafico corregido donde la pérdida por incidencia negativa aumenta más rápido, como se ve en el grafico 12.2-7. La idea detrás de la corrección estaba bajo el supuesto de una pérdida secundaria constante, o más exactamente de un valor constante de λ como se explica en la sección 3.1.3, que corrija la pérdida prevista en el perfil que iguala la pérdida total medida en una cascada de álabes de la turbina. La exactitud de la predicción se da para ±15% de la pérdida, en un rango de i/is



hasta de -2.0 [7]. Las curvas corregidas y sin corregir se muestran en la figura 3.5, donde la línea gruesa se corrige con los datos de las turbinas reales y la línea punteada es sin corregir y basada en datos de medidas de la cascada.

Figura 3.5. Corrección de la pérdida en el perfil.

También se deben hacer una serie de correcciones a la pérdida en el perfil para cualquier diferencia en el punto de referencia s/c=0.75, hacia atrás, entre la garganta y el borde de estela, Re=2·105, y por una variación del espesor del borde de estela y del número de Mach. Los procedimientos recomendados se explican abajo uno por uno.

Aunque había poco material experimental detallado, se vieron algunas tendencias aproximadas en la región 5·104

≤ Re ≤ 2·105, donde Re se basa en la cuerda real y las condiciones de salida de la densidad, la velocidad y la viscosidad. Los experimentos se hicieron con perfiles de secciones T6 y C7, para ocho geometrías diferentes y sobre la variación del Re, (véase el texto y la figura 10 en la referencia [7] para más detalles). La pérdida relativa Yp /Yp(Re-2·10

5) para todos los perfiles se traza

contra el Re y se ilustra en el gráfico 12.2-12. La tendencia general es que la disminución del Re provoca un aumento de la pérdida, y su aumento es más rápido para un Re por debajo de 1·105

. La explicación física de este hecho es que números más



bajos del Re hacen crecer el espesor de la capa límite y tiende a separarse en la parte posterior de la superficie de succión.

El efecto del número de Mach en la pérdida en el perfil se discutió brevemente. La principal razón para esto era que el material de construcción de esa época no podría soportar las altas temperaturas y tensiones necesarias para alcanzar un número de Mach superiora a 1.0. Se hicieron algunas pruebas sobre cascadas que demostraron un leve aumento en la pérdida cuando el número de Mach máximo en la superficie de succión supera la unidad debido al crecimiento del espesor de la capa de límite a través de la onda de choque, y este número de Mach a la salida se define como el número de Mach crítico, Mc. Para cualquier aumento sobre el Mc el aumento de las pérdidas puede llegar ase dependiente de la curvatura entre la garganta y el borde de estela, definido en la figura 3.6.

Figura 3.6. Radio medio de la curvatura entre la garganta y el borde de estela.

3.2.2 Angulo de salida del flujo:

Para calcular el ángulo de salida del flujo se divide la correlación en diferentes regiones dependiendo de M y Re. Para un número de Mach de salida unidad, Re por encima del 2⋅105 y una zona recta detrás de la garganta, el ángulo del flujo de salida se puede correlacionar por el área de la garganta (Ao) y de la salida (Aout). Esto se puede aproximar por la relación entre la garganta y el paso (o/s) de acuerdo con la ecuación 3-3.

Ec 3.3 1 1

0cos ( / ) cos ( / )out outA A o sα − −= ≈

Para un numero de Mach a la salida por debajo de 0.5 (0 ≤ Msal ≤ 0.5), un número de Reynolds alto (Re ≥ 2⋅105) y una superficie de succión curva después de la garganta, el ángulo del flujo de salida aumenta y no puede ser correlacionado por la



Ec. 3.3. Se debe utilizar la ecuación 3.4, que implica al radio medio de curvatura en la parte trasera (e).

Ec 3.4 1

2

1 2

4 ( / )

11.15 1.154 cos ( / )

/ (8 )

11.15 1.154 cos ( / ) 4 ( / / (8 / ))

out

out

s e

o s

e j z

o s s j z

α α

α

α

∗

∗ −

−

= − ⋅

= − + ⋅ →

= ⋅

= − + ⋅ − ⋅

donde j y z se muestran en la Figura 3.6.

Si a su vez M es alto, el ángulo de desviación se ve afectado por la curvatura (e) debido a las elevadas pérdidas asociadas con la separación por Mout cercano a 1.

Figura 3.7. Corrección por el número de Reynolds

Cuando el número de Reynolds disminuye, el espesor de la capa límite y el área de flujo separado en las superficies de aspiración aumentará y luego reduce el ángulo del flujo de salida efectivo. La figura 3.7 muestra la relación entre αout-αout (Re=2·10

5) y

Re. La holgura en la punta (que es definida y discutida en la sección 3.1.4) también influye en el ángulo del flujo de salida cuando su ángulo de flujo diferente se mezcla con la corriente principal. La ecuación para manejar esto, con número de Mach de menor de 0,5 se muestra en la ecuación 3.5 y para número de Mach cercano a la unidad se puede utilizar la ecuación (3.3) donde la holgura está implicada en At, véase la ecuación 3.6



Ec 3.5 1

,

cos( )1 ( / ) tan( )

cos( )tan

cos( )( / ) tan( )

cos( )

inout

out

out new

inin

out

X k h

X k h

αα

αα

αα

α

−

′− ⋅ ⋅ ⋅ +

= ′ ′+ ⋅ ⋅ ⋅

con Mout<0.5

1.35 para descubiertos

0.7 para cubiertosX

=

k=holgura de la punta

h= altura del álabe

La ecuación 3.5 proviene de la referencia [8] y está ligeramente actualizada en comparación con la original mostrada en la referencia [7].

Ao, new=Ao (1-(k/h)+Ak para descubiertos

Ao, new=Ao+Ak para cubiertos

Ak área de la fuga.

Otro método para tratar el flujo de la fuga también se puede encontrar en [7]. Para encontrar el ángulo del flujo de salida para un número de Mach entre 0,5 y 1,0 se puede utilizar una interpolación lineal.

3.2.3 Pérdidas secundarias:

Para hacer la corrección de las pérdidas secundarias, asumidas por AM, que se presentan principalmente al final del álabe, AM comienza con la hipótesis de que no existe holgura en la punta y que la región de la pared final dependerá en gran medida del espesor de la capa límite. A partir de esta hipótesis puede verse que la pérdida secundaria será inversamente proporcional a la altura (pérdida ∝1/h), una tendencia que concuerda bien con sus mediciones. Expusieron una relación teórica para la fricción causada por el flujo secundario que era inicialmente de Carter (1948), véase la ecuación (3) en [7].

La ley empírica para la pérdida de secundaria es

Ec 3.7 2

,/

LD s

CC

s cλ= ⋅

CL es el coeficiente de sustentación y puede obtener de la circulación:



( ) ( )( ) ( )2 tan tan cosL in out m

sC

cα α α= ⋅ − ⋅

Donde la constante λ se determina a partir de las mediciones, y depende de las

distribuciones de velocidad, el flujo de inflexión, y el espesor de la capa límite. La tendencia de λ es aumentar con la disminución de la aceleración a través de la cascada de álabes y cuando la capa límite, donde gran parte del flujo secundario se desarrolla,

aumenta. En la figura 3.8 puede leerse un valor experimental como una función de 2

( / )

1 /

in out

hub tip

A A

r r+

Figura 3.8. Grafico de la pérdida secundaria

Donde Ain y Aout es el área del flujo a la entrada y a la salida desde la primera

línea normal a la dirección del flujo y donde rhub, rtip son el radio interior y exterior, denominado relación base/punta (hub/tip). Con la ecuación 3.7 y la hipótesis de flujo incompresible, una ecuación para la pérdida de presión puede obtenerse mediante la ecuación 3.9, para el procedimiento completo véase [9].

( )( )

2

, 3

2

,

cos 1

cos /

/

out

s D s

m

LD s

Y Cs c

CC

s c

α

α

λ

= ⋅ ⋅

= ⋅

→



Ec 3.9 ( )( ) ( )

2 2

23

cos

cos /

out Ls

m

CY Z

s c

αλ λ

α= ⋅ = ⋅

Donde Z es el conocido parámetro de carga de Ainley y Mathieson.

Introduciendo la ecuación 3.9 en la 3.8:

Ec 3.10

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

2

2

3

22

2 tan tan tancos

cos /

cos4 tan tan

cos

in out mout

s

m

out

s in out

m

s

cYs c

Y

α α ααλ

α

αλ α α

α

⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ −

Donde el ángulo medio representa la dirección normal a la fuerza total que actúa sobre un álabe y se define como:

Ec 3.11 ( ) ( )( )1 1tan tan tan

2m in out

α α α− = +

3.2.4 Pérdidas intersticiales por fugas en el rotor:

Debido a la ausencia de datos experimentales precisos referentes a las fugas en la punta, AM solo da dos ecuaciones simples y teóricas. Estas ecuaciones para las pérdidas intersticiales se asumen hasta que se publicarán datos más exactos. Para tratar ambos casos, álabes cubiertos y descubiertos, simplemente se asume que mientras más curvada y tridimensional sea la trayectoria del flujo en una cascada de álabes cubiertos y sellados individualmente, tendría solamente la mitad de flujo másico de fuga comparado con una no cubierta. La ecuación dada es:

Ec 3.12 ( )2

,/

/

LD TC

CC B k h

s c= ⋅ ⋅

Donde

0.5 para descubiertos

0.25 para cubiertos o menos para sellado multiple y cierre avanzadoB

=



k es la holgura de la punta o el área mínima de la cubierta. Con el mismo procedimiento utilizado para la pérdida secundaria se obtiene la ecuación 3.14 que expresa la fuga en la punta

Ec 3.13 ( )( )

2

, 3

cos 1

cos /

out

TC D TC

m

Y Cs c

α

α= ⋅ ⋅

Introduciendo la ecuación 3.12 y la 3.9 en la 3.13

( )( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

( )

2

2

23

2 2

23

cos /

cos /

cos /2 tan tan cos

cos /

out

TC L

m

out

in out m

m

k hY B C

s c

k hsB

c s c

α

α

αα α α

α

−

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ →

Ec 3.14 ( )( )( )

( ) ( )( )2

2cos4 / tan tan

cos

out

TC in out

m

Y B k hα

α αα

= ⋅ ⋅ −

3.2.5 Pérdida del borde de estela

El efecto del espesor del borde de estela se correlaciona en las pérdidas como un factor de corrección en las pérdidas totales. En [7] se demuestra que las pérdidas totales aumentaron cerca del 30 por ciento cuando la relación del espesor del borde de estela con el paso (tTE/s) aumento de 0.018 a 0.075. En [8] se dio un nuevo gráfico basado en datos de [7] para correlacionar la pérdida total del álabe como función de tTE/s, donde tTE/s=0.02 es el punto de referencia.

3.2.6 Resumen:

Para resumir el trabajo de Ainley y Mathieson [7], [8], no se debe olvidar que los estudios fueron hechos sobre la mitad del siglo pasado. La geometría del álabe para ésa época se diferencian bastante del estado de arte actual, aunque los principios básicos son los mismos. Actualmente los álabes funcionan a menudo en la región transónica, algo que no fue considerado en 1950. Ainley y Mathieson también indicaron que la curvatura entre la garganta y el borde de estela era una desventaja, pero hoy todos los álabes se curvan más o menos después de la garganta. Hoy también la torsión y el espesor del álabe es mayor comparado con los comunes en los años 50. Los datos obtenidos de mediciones eran limitados y era difícil establecer correlaciones



exactas, particularmente para un número de Mach alto, la holgura en la punta y el flujo secundario. Por lo tanto sus correlaciones deben ser usadas cuidadosamente y con el conocimiento de su restricción, especialmente para las pérdidas por funcionamiento fuera de diseño ya que los modelos predicen niveles más altos de la pérdida de los que se obtienen para el diseño moderno del álabe.

Incluso si el diseño ha cambiado bastante hoy en día, no se debe rechazar su trabajo, porque muchos de los logros de la ingeniería considerados hoy son gracias a su trabajo y muchas mejoras se han hecho con estas correlaciones como base.

3.3 Dunham & Came

En 1970 J. Dunham y P.M. Came revisaron las correlaciones que Ainley y Mathieson indicaron dentro de [7], [8] y aquí se refieren sus correlaciones mejoradas como AMDC. La revisión fue realizada con datos de las dieciséis turbinas originales que fueron complementadas más adelante con otras nueve turbinas para obtener datos de prueba de un total de veinticinco turbinas. La principal debilidad del método de Ainley y Mathieson se encontraba cuando se aplicaba a turbinas pequeñas o poco convencionales. Las modificaciones se realizaron sobre todo en las pérdidas secundarias y en las de fugas en la punta pero también se incluyeron una nueva corrección para el número de Reynolds y número de Mach subsónico a la salida. El resto de casos y correcciones para otras cargas se deben todavía tratar con los métodos de Ainley y de Mathieson de [7], [8].

3.3.1 Pérdida en el perfil:

La pérdida en el perfil de Ainley y de Mathieson era bastante exacta, tan solo se introducen las correcciones para el número de Mach y el número de Reynolds.

Si Mout>1

Ec 3.15 ( )2

, 1 60 1P P AM outY Y M = ⋅ + ⋅ −

Donde YP, AM, es la de Ainley y de Mathieson en la referencia [7], [8] y explicada en la sección 3.1.2. La corrección se debe hacer solamente para el número de Mach superior a la unidad. La corrección para el número de Reynolds se hace con el supuesto de que las pérdidas secundarias y en el perfil son proporcionales a Re-0.2.

Entonces la ecuación a corregir para esto es dada por:



Ec. 3.16 ( )0.2

, , 5

Re( )

2 10P AMDC S AMDC P S

Y Y Y Y

−

+ = + ⋅ ⋅

3.3.2 Pérdida secundaria:

Del estudio de los datos de la cascada se agrega un nuevo parámetro de carga a la ecuación del flujo secundario original de AM como se demuestra en la ecuación 3.8.Se quita λ en la ecuación 3.7 y se substituye por un valor fijo de 0.0334 y el cociente de c/h. Esta constante se asume para compensar el uso de un radio de referencia en el modelado, en vez de usar el radio real del cubo y de la punta (extremidad), donde ocurren las pérdidas realmente. La constante fue determinada al comparar la correlación con datos de la eficacia total de las mediciones. No se incluye ningún parámetro para compensar la variación de la capa límite del final de pared a la entrada incluso sabiendo que influye en la pérdida secundaria. La razón era su deseo de mantener el modelo simple. Por la misma razón la variación en pérdida secundaria con fuga en la punta se deja fuera. El resultado se muestra en la ecuación 3.17.

Con el parámetro de carga (Z) de la Ec.3.8 el término adicional ( )

( )'

cos

cos

out

in

α

α

para coger la aceleración en el álabe y con λ reemplazado por 0.0334·(c/h) en Ec 3.10 y CL expresado con el uso de la Ec. 3.9 se obtiene finalmente la correlación AMDC para la pérdida secundaria como

Ec.3.17 ( ) ( )( )

( )( )( )

23

3'

tan tan cos0.0334 4

coscos

in out out

S

min

cY

h

α α α

αα

− = ⋅ ⋅ ⋅

La modificación para el Re se presentó arriba en la Ec. 3.16

3.3.3 Pérdidas intersticiales por fugas en el rotor YTC:

La pérdida por fuga en la punta se consideró dependiente de la carga del álabe (Z) y de la relación entre de la holgura de fuga efectiva con la altura del álabe (k/h). Una modificación de la relación lineal (k/h) dada por Ainley y Mathieson [7] en lugar de ser relacionados como ley de energía se hizo en la Ec. 3.14 que termina como la Ec. 3.18. La constante (B) se varía para álabes cubiertos y descubiertos.

Ec. 3.18 ( )( )( )

( ) ( )( )2

20.78 cos4 / tan tan

cos

out

TC in out

m

Y B k hα

α αα

= ⋅ ⋅ −



Con 0.47 para descubiertos

0.37 para cubiertos B

=

( )

( )0.42

altura geometrica, k

numero de juntask =

La holgura (separación) (k) se corrige para el caso de múltiples juntas en la punta que aumentaría la eficacia del sellado. La exactitud para esta relación y el diseño geométrico del sellado no fue exactamente comprobado y entendido en aquel momento.

3.3.4 Resumen

El resultado de sus pruebas sobre la exactitud de las correlaciones comparadas con las mediciones se consideran en [9] y existe una mejora para captar el efecto de la velocidad supersónica de salida. El modelo muestra también buena capacidad de predecir la pérdida secundaria para relaciones de aspecto bajo y las turbinas de baja reacción, algo que no es satisfactorio en [7]. Realmente su correlación sobrestimó la pérdida secundaria un poco para la turbina de prueba. El autor indicó que sus correlaciones pueden predecir el campo del flujo dentro del ± 3 por ciento y el rendimiento total a total dentro del ± 2 por ciento.

3.4 Kacker & Okapuu:

Una década después de que Dunham & Came actualizaran el documento original de AM, era hora para otra revisión y actualización para adaptar las nuevas mejoras en el diseño y las mediciones de los datos de prueba. Las dos personas que hicieron esto fueron S. C. Kacker y U. Okapuu (KO). Modificaron el modelo de AMDC en un número de maneras, como se verá más adelante, y después lo probaron con 33 turbinas que cubrían una amplia gama de tamaños y con diseños típicos de esa época.

Exceptuando las correcciones en las correlaciones para el perfil, secundarias y pérdidas por fuga en la punta para adaptar las nuevas mejoras del diseño, también dan la correlación para la pérdida por el espesor del borde de estela como una pérdida separada y no como un multiplicador de las totales del perfil y las pérdidas secundarias, como hacían AM y D.C. La corrección del número de Reynolds ahora se hace solamente en la pérdida en el perfil. También se incluye una nueva forma de tratar la aceleración del flujo del canal y las ondas de choque que también operan a velocidad subsónica, el informe detallado se considera en [10].

La nueva estructura para las pérdidas totales indicadas por Kacker y Okapuu en 1981 es



Ec. 3.19 tot P RE S TC TE

Y Y Y Y Yχ= ⋅ + + +

El modelo se referencia aquí como modelo AMDCKO.

3.4.1 Pérdida en el perfil

La pérdida básica en el perfil se da por la misma tabla que la de AM, la figura 12.2-1 y la 12.2-2, con una leve modificación en la ecuación usada para la interpolación de manera que también pueda usar el signo negativo en el ángulo del flujo de entrada. La pérdida en el borde de estela (TE), como se menciona arriba, se coloca como un coeficiente de pérdida independiente y por lo tanto la pérdida en el perfil se modifica con un valor constante de 0.914 para corregir el nivel por debajo de cero del espesor de TE.

Debido a que las tablas originales de AM se utilizaron mientras se mejoraban los diseños aerodinámicos, de 1950 a 1980 ha disminuido la pérdida en el perfil en el punto del diseño, se ha aplicado un factor constante de 2/3 al coeficiente de pérdida.

La pérdida en el perfil no es independiente del número de Mach incluso si el flujo es subsónico. La razón principal es que sobre la superficie curvada, primaria en la región del borde de ataque y el borde de estela (TE), habrá una gran desviación de las características principales del flujo. Cerca de la superficie del álabe puede haber una región de flujo supersónico donde se harán presentes las pérdidas de choque. Para satisfacer el equilibrio de fuerzas radiales el número de Mach en el cubo será más alto que el valor medio a media altura. Para un diseño de torbellino no libre la relación entre el número de Mach en el cubo/medio se puede considerar en la figura 3.9 para un cociente del radio del cubo/punta conocido.

Figura 3.9.



La Ec 3.20 expresa la pérdida de choque en el cubo no dimensionalizado por la carga dinámica de entrada.

Ec. 3.20 ( )1.75

, ,0.75 0.4choque ent cubo ent

Y M= ⋅ −

La contribución a la pérdida total en el perfil de la pérdida de choque que ocurre primero en el cubo y que se supone que es proporcional al cociente del cubo/punta. Para convertir la pérdida de la definición a la entrada a la condición de carga dinámica a la salida, KO también dieron la Ec. 3.21.

Ec. 3.21

12

, ,

12

11 1

2

11 1

2

e

echoque s choque e

s

s

Mp

Y Yp

M

γ

γ

γ

γ

γ

γ

−

−

− − + ⋅ = ⋅ ⋅

− − + ⋅

Combinando la Ec. 3.20 y la Ec. 3.21 da una expresión final de la contribución de la pérdida de choque a la pérdida total en el perfil, Ec. 3.22.

Ec 3.22

( )

12

1.75

, ,

12

11 1

20.75 0.4

11 1

2

e

echoque s e cubo

s

s

Mp

Y Mp

M

γ

γ

γ

γ

γ

γ

−

−

− − + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

− − + ⋅

La aceleración del flujo en una cascada de álabes actuará suprimiendo cualquier separación local, adelgazando la capa límite y por lo tanto disminuyendo la pérdida en el perfil. Este fenómeno es más pronunciado cuando Ms fuera está cerca de uno. Una KP constante se introduce para explicar esto.

Ec. 3.23 ( )2 11 1PK K K= − −

Donde

( )1

2

2

1 para M 0.2

1-1.25 0.2 para M 0.2

( / )

s

s s

e s

KM

K M M

< =

− ≥

=

Para corregir un valor diferente de Res del valor de referencia, 2·105, se sugiere la Ec. 3.24. Para la región entre 2·105 ≤ Re ≤ 106 el factor de corrección es constante. La razón de esto no es la creencia de que el Re no tiene ningún efecto, en su lugar son las



complejas pérdidas no entendidas completamente en la región de transición de laminar a flujo turbulento.

Ec. 3.24

5

5

5 6

Re

0.2

6

6

Re para Re 2 10

2 10

1 para 2 10 Re 1 10

Re para Re>1 10

1 10

χ−

≤ ⋅

⋅

= ⋅ < < ⋅ ⋅ ⋅

3.4.2 Pérdidas secundarias:

El modelo de pérdida original de AMDC fue corregido con un multiplicador χAR para dar un aumento menos pronunciado en la pérdida secundaria para una relación de aspecto (h/c) menor que 2, porque el modelo de AMDC tendía a sobrestimar la pérdida para bajos valores de h/c en el álabe en estudios anteriores. Así como para la pérdida en el perfil la aceleración en la cascada de álabes afectará a la capa límite carcasa y entonces a la pérdida secundaria. Para incluir este descenso se introduce un parámetro (KS), función de la constante de pérdida en el perfil KP y proporcional a la

relación entre la cuerda axial y la altura del álabe al cuadrado, 2

xc

h

. Porque se añade

la opción de excluir la pérdida del borde de estela de la pérdida secundaria con un factor de 1.2. La ecuación para describir la pérdida secundaria total es entonces

Ec3.25

( ) ( )( )( )

( )( )

( )2 23

3'

tan tan cos1.2 0.0334 4 1 1

coscos

S

in out out xS AR P

min

K

ccY K

h h

α α αχ

αα

− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −

��

Donde

1 0.25 2 / para / 2

/

/ para / 2

AR

h ch c

h c

c h h c

χ

− −≤

= >

Observe la definición diferente de los ángulos de salida del flujo entre los modelos de AM y de KO que resultan del cambio de signo de positivo a negativo en la Ec. 3.25



3.4.3 Pérdidas por fugas en la punta

Para la pérdida por fuga en la punta no se hizo ningún cambio con respecto a la Ec. 3.18 de AMDC para álabes cubiertos. Cuando estudiaron los álabes descubiertos encontraron que AMDC mostraba una desviación de sus datos de prueba medidos y entonces propusieron que la pérdida en su lugar debía ser correlacionada con la Ec 3.26 que se supone está dentro del ±15 por ciento. Este modelo de pérdidas necesita también que se calcule el rendimiento con holgura cero, y por lo tanto consume mayor tiempo de cálculo.

Para álabes descubiertos

Ec 3.26 ( ) 0,0.93

cos

punta

tt tt

s medio

rk

h rη η

α

∆∆ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅

ttη∆ = variación del rendimiento para el escalonamiento

0,ttη = rendimiento con holgura cero

k = holgura en la punta

3.4.4 Pérdida del borde de estela (TE):

La pérdida del borde de estela se correlaciona con una función de la relación entre el espesor del borde de estela y la garganta (tTE/o) y el número de Mach a la

salida. La pérdida se da como una pérdida de energía cinética ( 2

TEφ∆ ) en dos gráficas

en la figura 3.10 que representan un álabe de impulso y otro de reacción. En un álabe de impulso el flujo no está acelerando y por lo tanto el espesor de la capa límite crecerá y la presión ‘base’ en TE será menos fuerte y dará menores pérdidas del TE comparado a un álabe con la alta aceleración del flujo. Otro aspecto a comentar es que para álabes con baja aceleración la capa limite tiene mayor espesor y por lo tanto la influencia del espesor del TE será menos importante. Para formas intermedias del álabe se utiliza la interpolación entre los extremos según la Ec. 3.27.

Ec. 3.27 ' '

' '2 2 2 2 2

, 0 , 0 , , 0e e s e e

e eTE TE TE TE TE

s s

α α α α α

α αφ φ φ φ φ

α α− − − −

∆ = + ⋅ ⋅ −



Figura 3.10. Perdidas en el borde de estela

3.4.5 Pérdida por funcionamiento fuera del punto de diseño:

Kacker y Okapuu no dan ninguna corrección propia para cargas fuera del punto de diseño, en su lugar se debe usar la corrección de AM. AM corrigen solamente la pérdida en el perfil para la pérdida por funcionamiento fuera del punto de diseño con el uso de las figuras consideradas anteriormente.

3.4.6 Resumen

Las correlaciones fueron probadas por KO contra una tabla de Smith para considerar si el perfil es bueno y hasta cierto punto se predijo la pérdida secundaria. Las turbinas usadas en la prueba eran de diseño antiguo con álabes de baja carga y alta relación de aspecto. El resultado de la validación puede se muestra en [10]. Una segunda prueba con 33 turbinas típicas de la época midió la capacidad de las correlaciones para predecir la eficacia del diseño de las turbinas típicas de la época, que la mayoría eran de Pratt y Whitney. El resultado y los datos sobre el coeficiente del flujo, la caída de la entalpia, el ratio de presión y la relación de aspecto se pueden encontrar en [10]. La conclusión general de KO era que el rendimiento total predicho esta dentro del ±1.5 por ciento.

3.5 Craig & Cox:

El método de H. R. M. Craig and H. J. A. Cox (CC) para la predicción de las pérdidas presentes en un escalonamiento de turbina es válido para turbinas de gas y



de vapor. Esto puede tener una pequeña influencia negativa sobre la exactitud en la predicción de los modelos solo para turbinas de gas comparado con si el modelo había sido específicamente obtenido para turbinas de gas. CC afirmaron que los resultados de la predicción de los modelos correlacionan con una exactitud del ±1.25 por ciento. Los datos experimentales usados para obtener la correlación para las pérdidas en el perfil y las secundarias eran de pruebas sobre una cascada lineal, mientras que otras pérdidas (tales como la pérdida intersticial) fueron obtenidos de pruebas de una turbina específica. Existe una discusión sobre los probables errores que se podrían inducir en una prueba sobre una cascada lineal comparados con una turbina real. Estos errores se dan en dos categorías, la primera incluye diferente fluido de trabajo, número de Reynolds, escala del álabe, rugosidad superficial y número de Mach. CC reivindica que es posible corregir completamente todos estos errores. La segunda categoría de errores se deben a las diferencias entre el flujo uniforme, movimiento estacionario y relativo entre el álabe y la pared. Estos errores son más complicados de corregir. CC basaron sus correlaciones para la pérdida secundaria en datos experimentales básicos

Las pérdidas en un escalonamiento de álabes se dividen en los dos grupos:

1. Pérdida en el perfil, secundaria y anular, en el estator y en el rotor.

2. Pérdida por fuga en la punta en rotor y fuga en el estator.

Las pérdidas en el primer grupo son descritas por un factor de pérdida, y las pérdidas en el segundo grupo se dan como disminución del rendimiento del escalonamiento. La razón de esta división es que CC decidieron que ésta era la manera más fácil de obtener los modelos de pérdidas de los datos experimentales.

También se trata la condición de funcionamiento fuera del punto de diseño y se incluye en la correlación de pérdidas.

Hay que tener en cuenta que los ángulos se definen desde el plano tangente en las ecuaciones y figuras de CC de manera que los ángulos son normalmente positivos tanto a la entrada y a la salida.

3.5.1 Pérdida en el perfil

La pérdida total en el perfil se da por un coeficiente básico de pérdida para flujo incompresible y después se corrige para la variación del número de Reynolds, espesor del borde de estela e incidencia con multiplicadores sobre la pérdida básica. Para la variación del número de Mach y la curvatura de la superficie de succión entre la garganta y el borde de ataque (e) se añade una pérdida adicional a la pérdida total en el perfil.

La estructura de la pérdida en el perfil de CC se considera en la Ec. 3.28



Ec. 3.28 0 Re , , ,P P TE i P M P TEc P TEY Y Y Y Yχ χ χ= ⋅ ⋅ ⋅ + ∆ + ∆ + ∆

TEc es la curvatura del borde de estela entre la garganta y el borde de estela (TE).

El coeficiente básico de pérdida YP0 se obtuvo con baja velocidad del flujo y con una incidencia que correspondía a la pérdida mínima en el perfil. YP0 es función de un parámetro de elevación, FL, s/cc (donde cc es la línea media de la línea de curvatura

del álabe), relación de contracción CR y ángulo de salida del flujo αs. FL es a su vez dada

por una grafica, presente en las figuras 3.11 y se puede obtener con αs, αe-i,min como parámetros.

Figura 3.11. Relación de contracción.

La relación de contracción (CR) se define como el cociente del área de entrada entre el área de la garganta, donde el área de entrada se define como el arco máximo que se puede dibujar enteramente dentro del paso del álabe y que es normal a la superficie del álabe. En un nuevo diseño donde toda la geometría del álabe no está aún determinada, un valor típico de los parámetros del álabe se da en la figura 3.11 conocida la relación paso/cuerda, y el cociente entre el ángulo de entrada y de salida del flujo.

Finalmente YP0 está presente en la figura 3.12 en función de FL, CR y s/bc.



Figura 3.12.

Para resumir hasta el momento

Ec. 3.29 ( )0 , , /P L cY f CR F s c=

Ec.3.30 ( )( )

/ ,1 s

c

e

senCR f c c

sen

α

α

= −

Ec.3.31 ( )min,L s eF f iα α= −

La Ec.3.29 es para espesor nulo del borde de estela. Para corregir la pérdida relacionada con la separación debido al espesor real en el borde de estela se obtiene

una correlación teórica en función de αs y tTE/s. Esta correlación da un multiplicador

(χTE ) y una pérdida adicional (ΔYP,TE ) a la pérdida básica YP0 en el perfil.

Para la corrección del Re existe otra gráfica en la figura 3.12 para distintos valores de la rugosidad superficial y el número de Reynolds en un rango de 104

≤ Reo ≤106 donde Reo está basado en la apertura de la garganta del álabe(o). La tendencia de esta grafica es que el multiplicador disminuirá rápido cuando Reo aumenta desde cerca de 104 a 105

y entonces después, aproximadamente alrededor de 5·105, la

pérdida será constante.



Figura 3.13. Corrección por el Reynolds

Para corregir un número de Mach superior a la unidad, ΔYP,M se agrega como función de o, tTe, s y Mas. Finalmente había una corrección para la curvatura media, e, entre la garganta y la superficie de succión del borde de estela y se puede considerar en la figura 3.14 para el parámetro de entrada Ms, s/e.

Figura 3.14. Corrección del número de Mach

La última corrección en la pérdida en el perfil es el multiplicador por funcionamiento fuera del punto de diseño, χi, debido a la incidencia i. Este multiplicador se debe calcular de tres maneras diferentes dependiendo de si es un



estancamiento positivo o negativo y también dependiendo de si el ángulo de entrada del flujo es menor de 90 grados o no. El procedimiento se presenta más abajo.

La definición de la incidencia de desprendimiento is es la misma que la usada por AM, es decir, cuando la pérdida es igual al doble de la pérdida mínima en imin. La pérdida mínima por incidencia y la incidencia de desprendimiento negativa se correlaciona independientemente del valor positivo del estancamiento.

Para αs≤90o, i≥0

Ec 3.32 ( ) ( ) ( )/ cbasic s c CR

i stall i stall i stall i stall+ = + + ∆ + + ∆ +

Donde

Ec 3.33 ( ) ( )( )1, /ebasic

i stall f sen o sα −+ =

Ec 3.34 ( ) ( )( )1

// , /

ccs c

i stall f s c sen o s−∆ + =

Ec 3.35 ( ) ( )( )1, /CR

i stall f CR sen o s−∆ + =

Para αs≤90o, i<0

Ec 3.36 ( ) ( )/ cbasic s c

i stall i stall i stall− = − + ∆ −

Donde

Ec 3.37 ( ) ( )( )1, /ebasic

i stall f sen o sα −− =

Ec 3.38 ( ) ( )( )1

// , /

ccs c

i stall f s b sen o s−∆ − =

Para αs>90o, i≥0

Ec 3.39 ( )

( )

( ) ( )

1

/

901

90 /

c

e

basic

s c CR

i stallsen o si stall

i stall i stall

α−

−+ + − ⋅ −+ =

∆ + + ∆ +

Donde



Ec. 3.40 ( ) ( )( )1, /ebasic


Ec. 3.41 ( ) ( )( )1

// , /

ccs c


Ec. 3.42 ( ) ( )( )1, /CR

i stall f CR sen o s−∆ + =

Para αs>90o, i<0

Ec.3.43

( )( )

( )1 /

901

90 / c

e

basic s ci stall i stall i stall

sen o s

α−

−− = + + − ⋅ ∆ + −

Donde

Ec. 3.44 ( ) ( )( )1, /ebasic


Ec. 3.45 ( ) ( )( )1

// , /

ccs c


Para evaluar la mínima pérdida por incidencia por último, se utiliza la Ec. 3.46 conjuntamente con el parámetro de incidencia Fi.

Ec. 3.46 ( ) ( )

min1

i

i

i stall F i stalli

F

+ + ⋅ −=

+

3.5.2 Pérdidas secundarias

CC implican tanto a la pérdida secundaria aerodinámica real como a una parte de la fricción con la pared en su correlación de pérdidas secundarias, como se hace comúnmente. También proponen que hay una diferencia entre las pérdidas para álabes cubiertos y descubiertos incluso para la pérdida secundaria aunque finalmente solo presentan una correlación para los álabes cubiertos, para la cual afirman que es válida aproximadamente para álabes descubiertos. Se supone que la pérdida secundaria es inversamente proporcional a la relación de aspecto para altos ratios. Cuando h/c disminuye por debajo de cierto valor el flujo secundario presente en la pared interactúa y el resultado de ambas fuentes de pérdida será menos que la suma de ellas individualmente. Por lo tanto utilizan una relación no lineal a la relación de aspecto (h/c). CC también propusieron un efecto similar sobre la pérdida secundaria parcial de Reo como en la pérdida en el perfil pero no se da ninguna grafica separada, quizás se pueda usar la misma grafica utilizada para la pérdida en el perfil. Cuando establecieron la relación entre (h/c) e YS utilizan un número de Reynolds alto donde el coeficiente de pérdida es independiente de una variación moderada del Re, para



garantizar que una variación de YS debido a h/c no será compensada por una variación simultánea de Re. La pérdida secundaria total se da por

Ec. 3.47 0 Re /S S h c

Y Y χ χ= ⋅ ⋅

Donde

Ec. 3.48 ( ) ( )( )2

0 / , /S L c e sY f F s b C C= ⋅

Ec. 3.49 ( )/ /h c cf C hχ =

3.5.3 Pérdidas intersticiales

La pérdida intersticial por fuga en el rotor se da en la Ec. 3.50 que describe la reducción del rendimiento total del escalonamiento comparado con el rendimiento del escalonamiento con una holgura nula. La relación de áreas entre la holgura de la punta y la garganta está vinculada con un factor de rendimiento Fk.

Ec. 3.50 0,

0

k

tt k tt

AF

Aη η∆ = ⋅ ⋅

Para un aumento en el área de la holgura (Ak)el rendimiento disminuirá. El factor Fk toma en cuenta, para un álabe cubierto, la caída de presión a través del escalonamiento cuando se relaciona con el cociente de la velocidad a través de la

etapa, 2 2

2

s e

s

C C

C

−y del coeficiente de velocidad

S

C

C . En la figura 12.2-32 se puede ver

que para velocidades altas, que crean una reducción en la presión estática, Fk se incrementa como se espera. Otro parámetro geométrico incluido es ΔL /h, que describe la disminución del flujo de fuga si hay una superposición entre el cierre y la carcasa. Para álabes descubiertos se debería usar la correlación dada por AM, considerada en la sección 3.1.4. El efecto de ΔL /h en debe ser modificado para turbinas con álabes de altura alta (h) (especialmente para las turbinas de vapor).

3.5.4 Resumen

CC afirman que las pérdidas del grupo 1 no se deberían calcular solo en el diámetro medio. En su lugar se deben calcular en por lo menos tres diámetros diferentes (raíz, medio y punta) y entonces se calcula un valor medio con una distribución parabólica de pérdida según:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 6 1 4

mmed cubo punta rY Y Y Y= ⋅ + ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑ ∑



La exactitud de la predicción para el modelo fue probada contra el rendimiento medio de una quincena de turbinas de un rango de alrededor de 10 a 150 MW. Para la mayor parte de la prueba, la predicción del rendimiento estaba dentro de una gama del ±1.25 por ciento. Pero había algunas diferencias en la predicción en un rango de hasta el 3 por ciento vistos sobre todo en las turbinas en la gama de 10 a 25 MW. CC no observaron discrepancias importantes o sistemáticas, pero consideran que se obtuvieron para turbinas de gas y de vapor.

3.6 Mukhatarov & Krichakin

M. Kr. Mukhatarov & V. I. Krichakin (MuKr) han investigado las pérdidas para cascadas lineales con pequeños ángulos de conicidad, número de Mach subsónico a la

salida y ángulo del flujo de entrada y salida de αe (5-100) y αs (15-50) [13]. Los ángulos se definen desde el plano tangencial en toda la sección de abajo y las relaciones se basan en cascadas con solidez óptima (s/c) según la relación

Ec. 3.51 ( )

( )

1/3

max180

0.55 1e

opt s

sen ts

c sen s

α

ε α

⋅ = ⋅ −

⋅

3.6.1 Pérdidas en el perfil

La pérdida total del perfil es un sumatorio de pérdidas debido a la fricción (Fr), al borde de estela (TE), al número de Mach (M), al número de Reynolds (Re) y a la incidencia (i) según lo considerado en la Ec. (3-52).

Ec. 3.52 ReP Fr TE M i

ζ ζ ζ ζ ζ ζ= + + ∆ + ∆ + ∆

La ζFr de pérdida para una velocidad óptima de salida, Res > 5·105 y sin incidencia se da sin mucha claridad 4 en [13]. La manera considerada de calcular la pérdida por fricción es

Ec. 3.53

( )

( )

( ) ( )

2/3

2.53

4.8

,0

1/30.5 2/3' max

0.0128

1 1.1 1

1 1.1 1 1

1801 1.1 1

c o

c o

Fr

c o M

P

e

c c

c c

c ck

c c

c ck

c c

tsen k

c

ζζ

ζ

αε

⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ − ⋅ ⋅

=

∆ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −



Donde k es la contracción del álabe entre la entrada y la salida ( )( )

'

'

e

s

senk

sen

α

α=

cc es la longitud de la línea central del álabe (igual al bc de otros autores).

c0 es la longitud de la línea media del canal del álabe hasta la garganta.

La velocidad del flujo de salida que da una mínima pérdida en el perfil se refiere

como velocidad óptima del flujo de salida y es una función de k y maxt

c, vea figura 2 en

[13].

La influencia del borde de estela para el número de Laval de salida en un rango de 0.7 a 0.9 se da por dos funciones simples en la Ec 3.54

Ec. 3.54 3/2

0.2

o

0.01 0.31

sTE

sTE

d

s

d

s

ζ

ζ

= ⋅

= + ⋅

Más tarde se propuso ser más exacta y válida para un rango más amplio del diámetro del borde de estela.

Para corregir las pérdidas debido al número de Mach, se dieron un gráfico y una corrección empírica con el cociente entre el número de Laval y el número óptimo de Laval como argumentos de entrada. Solo las últimas se presentan aquí, como la Ec. 3.55.

Ec. 3.55

2 2 2

,0 , , ,

6.05 11.8 6 0.25s s sM

P s opt s opt s opt

λ λ λζ

ζ λ λ λ

∆= − + −

Donde

,0 , para P Fr TE s optζ ζ ζ λ= +

Aunque hay poca claridad se cree que las Ec. 3.53 3.54 y 3.55 deben ser solucionadas implícitamente juntas.



La corrección para un número de Reynolds diferente del valor ideal se da por la Ec.3.56 y es válida para el Re en un rango de 1·104 < Re <1·106 , λs,opt ≤ 1.0 , y una intensidad de la turbulencia(TI) menor del 10 por ciento.

Ec. 3.56 Re

2100

Redesign

ζ∆ =

El efecto de la incidencia se da abajo en la Ec. 3.57

Ec. 3.57 ( )

( )( )

2 2

,

2/3

2

,2/3

,

/

/

e dese

s ss

i

ee e des

ssi eff

A

d c

Bsen

d c

λλ

λ λζ

λα α

λ

⋅ − +

∆ =

+ ⋅ ⋅ −

��

Donde

0.024

0.144

A

B

=

= para αe, des>αe e incidencia positiva

Ó

,

0.024para e incidencia negativa

0.144e des e

A

Bα α

= <

=

Y para un flujo lineal el numero de Laval se expresa como

( )( )

,

,

s dese

s e des

sen

sen

αλ

λ α

=

( )( )

,, s dese des

s e

sen

sen

αλ

λ α

=

3.6.2 Pérdidas secundarias

Para la pérdida secundaria primero se calcula la pérdida secundaria ideal en función de, número de Reynolds, los ángulos de diseño del flujo a la entrada y la salida, número de Laval de la salida, relación de aspecto y la pérdida en el perfil sin corregir por la incidencia, Ec. 3.58. Entonces esta pérdida secundaria de diseño se corrige por la incidencia, Ec. 3.59.

El rango de validez es



αe,d=25-90 grados

αs,d=15-40 grados

o/h≥1.5

λs=0.4-0.9

Re=1·104-1·105

Ec. 3.58 ( )( ),0 , , ,Re, , , , , /

S e d s d s d P if o hζ α α λ ζ ζ= − ∆

Ec. 3.59 ( ),0 1S S i

ζ ζ ζ∆ = + ∆

Donde

Ec. 3.60

( ) ( )( )

( ) ( )

1/2

, , ,0.2

,0

,

Esta parte desaparece en CTC

190.075 Re

3 30

0.825 0.25

e d s d s d

S d

e d

s pr i

sen

sen

o

h

α α αζ

α

λ ζ ζ

+= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ − ∆ ⋅��

Para el cálculo del efecto de la incidencia en la Ec. 3.59 se puede usar la relación que se presenta en la Ec. 3.61

Ec. 3.61 3 2

,0

400 76 5.6i

S

x x xζ

ζ

∆= + +

Donde

( )( )

,2/3

,,

, , ,

i eff

s de d e

e d s d e d

senx

sen

ε

αα α

α α α

−= ⋅

+

��

��

En CTC el polinomio se ha modificado, pero con la misma expresión para x excepto que αs,d se ha reemplazado por αs en el termino del seno.

Para la pérdida secundaria de diseño, el primer término es la corrección para el Re, después existe un término tiene en cuenta el flujo de torsión (incrementa la pérdida una torsión alta), después se tiene en cuenta la aceleración del fluido, y el término que incluye la pérdida en el perfil puede, en cierto sentido, representar la carga del álabe.



Hasta ahora es aceptable, pero para el último término existe alguna duda sobre las escalas entre la relación de la garganta y el paso (o/s). El hecho es que más de la mitad de la pérdida secundaria es provocada en la pared y no es físicamente creíble que disminuirá como el gradiente de la presión cuando aumenta la presión ente la cara de presión y succión de dos álabes.

Para la condición de funcionamiento fuera del punto de diseño se usa un polinomio de tercer grado. Se cree que para que la tendencia de esta curva sea buena ser buena la incidencia debe ser positiva y estar alrededor de 25-30 grados.

3.7 Moustapha, Kacker & Tremblay

S. H. Moustapha, S. C. Kacker and B. Tremblay (MKT) hicieron en 1989 [14] una revisión de AMDCKO y las correlaciones de MuKr para pérdidas por funcionamiento fuera de diseño y se propusieron dar un modelo de pérdida actualizado. Estos modelos han sido mejorados más a fondo por Benner, Sjolander y Moustapha (BSM) en 1995 [17], y una vez más en 2005 [26]. Fueron cambiados totalmente por BSM en 2006 [15] donde se introduce un método totalmente nuevo para dividir las pérdidas como se puede ver en la sección 3.7. En el informe de MKT de 1989 utilizan la hasta ese momento normal división convencional entre las pérdidas en el perfil y secundarias. Donde la pérdida en el perfil se mide en la altura media del álabe y se supone uniforme sobre la longitud completa y entonces la pérdida secundaria se toma como la diferencia entre la pérdida total medida y la pérdida en el perfil con holgura nula. Los modelos actuales de pérdida dan solamente la diferencia entre condiciones de diseño y fuera de diseño y el modelo original de pérdida de MuKr o de AMDCKO se debería utilizar como punto de referencia.

3.7.1 Pérdidas en el perfil por funcionamiento fuera de diseño

MKT compararon la pérdida en el perfil fuera del punto de diseño para los modelos de AMDCKO y MuKr y notaron un excedente enorme en la predicción comparado con el valor medido. En el desarrollo de una nueva correlación de pérdida, el modelo original de MuKr fue conservado como base para hacerle modificaciones. Una de las mejoras absolutas más grandes es la introducción de la dependencia de los modelos de la relación entre el diámetro del borde de ataque y el paso (de/s).

La correlación da el cambio en pérdida de energía cinética como

Ec. 3.62 ( )( )

( )2

´

,´

efectiva

cos

cos

eee e d

sincidencia

dx

s

αα α

α

−

′ = ⋅ ⋅ − ��



Donde

2 5 7 2 10 3 19 6

2 6 9 2

0.778 10 ' 0.56 10 ' 0.4 10 ' 2.054 10 '

para 800 ' 0

5.1734 10 ' 7.6902 10 '

para 0 ' 800

P

P

x x x x

x

y

x x

x

φ

φ

− − − −

− −

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

> >

∆ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

> > −

La tendencia para esta correlación es que una aceleración alta (CR), o el diámetro grande a la entrada (de) suprimirá el efecto de la incidencia.

En el desarrollo de esta correlación no están considerados el efecto de la compresibilidad, el número de Reynolds y la intensidad de la turbulencia. La razón de por qué se han omitido estos parámetros no es que BSM creyera que eran poco importantes. En su lugar era la carencia de datos medidos la que hacia el establecimiento de una correlación exacta imposible y puede por lo tanto ser de interés la investigación en el futuro. MKT creen, por ejemplo, que la compresibilidad causará choques en el LE (borde de ataque) y afectará a la aceleración del fluido dentro de una corona. El ángulo del pedazo del borde de ataque (Wee) (véase la sección 3.6.2) o si el álabe se carga de frente o por atrás también tendrá influencia en la pérdida en el perfil fuera de diseño.

3.7.2 Pérdidas secundarias fuera de diseño

Los modelos de pérdida secundaria fuera de diseño de MuKr y AM fueron comparados por BSM. La comparación muestra que el modelo de MuKr era mejor que el de AM. El procedimiento de la obtención del modelo de BSM es análogo al método usado para la pérdida en el perfil. Empezaron con el modelo de MuKr y agregaron la influencia de de/s e hicieron algunas correcciones. La correlación final que da la desviación de la pérdida original de diseño de MuKr o AMDCKO es

Ec. 3.64 ( )

( )( )

1.5' 0.3'

' ' '

cos´́

180 cos

ee e e

e s s

dx

c

αα α

α α α

−− −

= ⋅ ⋅ − +

donde

para 0.3>x’’>0

( ) 2 4exp 0.9 '' 13 '' 400 ''d S

Yx x x

Y

= ⋅ + +

y



para 0>x’’>-0.4

( )exp 0.9 ''d S

Yx

Y

= ⋅

La tendencia de esta correlación es que la pérdida es alta para baja aceleración (CR) o altos valores de deflexión (ε), diámetro de entrada (de) e incidencia.

Es muy interesante observar que la dependencia del parámetro de/ s en la Ec. 3.64 predice que la pérdida secundaria debe aumentar más rápido para un borde de ataque pequeño comparado con uno más grande. Contrapusieron esto más adelante y con las medidas mostraron la tendencia opuesta. Quizás esta es la razón de la inconsistencia de que la pérdida secundaria depende de otro parámetro hasta ahora no incluido. Esto muestra que la pérdida secundaria y los fenómenos del flujo están bastante lejos de ser entendidos y los problemas asociados en la búsqueda de una correlación general para el programa 1D en cargas fuera de diseño.

3.7.3 Modificación de la pérdida en el perfil en el punto de diseño

En 2005 J. Zhu y S. Sjolander publicaron, una vez más, una nueva revisión de la pérdida en el perfil de AMDCKO en el punto del diseño. Para casos con carga fuera de diseño se recomienda utilizar la corrección de BSM que se describía en la sección 3.6.2. Las modificaciones se debían a la influencia del número de Reynolds menor de 2·105, tmax/c mayor que 0.2 y a la diferencia entre cómo se tratan los álabes del estator y del rotor. Además de estas diferencias, las correcciones son análogas para la pérdida en el perfil en el punto del diseño de AMDCKO. Las pérdidas en el perfil se calculan según la Ec.3.65 y 3.66, usando la Ec. 3.1

Ec. 3.65

( ) ( ) ( )' ' ' '

, ( 0)

' ' '

0 0

/

0.2

m

e e s e

P AM i

k

e e e

P P Ps s s

Y

t cY Y Y

α α α α

α α α

α α α

=

= = =

=

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Ec. 3.66 ( )( ) Re, 00.914

P e P choque TEP AM iY k K Y Y Yχ

== ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

0.575

5

Re 5

Re si Re 2 10

2 10χ

−

= ≤ ⋅ ⋅



1 si t/c 0.2

-1 si t/c>0.2m

k≤

=

2 / 3 para el rotor

0.825 para el estatore

k

=

3.7.4 Resumen

En resumen, se puede ver que la correlación de MKT de 1989 para las pérdidas en el perfil fuera de diseño tiene una penalización muy baja para incidencia negativa para todos los diámetros de entrada y también para incidencia positiva si el diámetro de entrada es relativamente grande. Para un de más pequeño, la pérdida aumenta rápidamente con menores incidencias y de. Para la correlación de BSM de 1995 la dependencia directa de de no es tan pronunciada aunque existe una tendencia clara. Ambos modelos utilizan la misma corrección para el flujo secundario fuera de diseño que solo incluye el ángulo del flujo de entrada, los ángulos de entrada y salida del álabe y la relación del diámetro de entrada del álabe con la cuerda. La incidencia positiva es mucho más devastadora para el rendimiento. Está de acuerdo con los resultados experimentales que compara pérdidas con incidencia positiva y negativa.

También fue demostrado que, para una alta convergencia, el nivel de pérdida era más baja comparada con un álabe con una aceleración menos fuerte del flujo. Un álabe con el radio del borde de ataque grande es menos sensible a la incidencia según el modelo. Los datos experimentales provenían de 36 cascadas.

3.8 Benner, Sjolander & Moustapha

Desde 1989 y hasta 2008 S. A. Sjolander, M.W. Benner y S. H. Moustapha han hecho un esfuerzo para entender los fenómenos físicos del flujo en diseño y fuera de diseño, pero también otras personas han estado implicadas en algunas de las investigaciones. Los resultados y las tendencias todavía no se entienden y se deben considerar solo como sugerencias y no una verdad absoluta hasta que se presenten más resultados en el futuro.

3.8.1 Mediciones y estudios sobre fenómenos físicos del flujo

En el punto de diseño normalmente el flujo se acelera suavemente hasta el 50-80 por ciento de la cuerda axial, dependiendo de si se carga de frente o por popa (atrás). Un álabe cargado por popa puede tener un pico de velocidad más tarde. A continuación habrá una desaceleración y posible riesgo de separación. Incluso si la tendencia de los campos de flujo es similar, se muestra un coeficiente de presión más alto en la superficie de succión para los primeros 2/3 de cx probablemente debido a



una presión dinámica más baja. Hay también signos de resistencia más alta contra la separación en el borde de estela comparado con el resto de la altura. Con mayor incidencia positiva se muestra que la carga del álabe se desplazará hacia una mayor carga frontal. La diferencia de presión entre el lado de succión y de presión que conducía el flujo secundario también disminuirá hasta el 80 por ciento de cx .

Figura 3.15 Estructura del flujo con incidencia de diseño

En la figura 3.15 se puede ver la línea de corriente que conduce al punto de estancamiento A1 , localizado en la línea principal de separación de la capa límite de la pared final, S1 y esta línea divide el vórtice de herradura en un lado de succión (s) y uno de presión (p). La línea S2 representa el despegue del vórtice de herradura. Como S1s y S2s están redondeando el borde de ataque en el lado de succión, convergen y terminan en la superficie de succión de los álabes. En este punto se origina una nueva línea de separación, llamada S3. Una parte de la capa de límite de entrada termina directamente en la superficie de succión sin primero interactuar con la línea de separación S1 según lo indicado por las flechas dobles alineadas y se cree que este fluido está implicado en la producción de altas pérdidas aguas abajo.

En la superficie de succión esbozada en la figura 3.16 se muestran las líneas de separación S4 y S5, S4 se asocia al vórtice del paso y S5 con la intersección entre el fluido encerrado entre el vórtice de paso y la cara de succión del vórtice de herradura.



Figura 3.16: Esbozo de la estructura del flujo en la cara de succión con incidencia de diseño

La figura 3.17 muestra los vórtices SS1 y SS2 que están presentes entre S4 y S5 y separados por una línea de separación R4. También se muestra cómo se cree que el vórtice de paso corresponde a S4, un vórtice pequeño pero fuerte, SS1, y un vórtice verdaderamente más grande pero más débil, SS2.

Figura 3.17: Esquema de la estructura del flujo en la pared final

A medida que aumenta la incidencia positiva se verá un cambio hacia un álabe con carga más frontal como se describía anteriormente. Entonces la línea de corriente de estancamiento cambia de posición hacia el centro del paso y las líneas de separación S1 y S2 se mueven hacia arriba. Entonces el fluido encerrado entre S1p y S2s

está disminuyendo cuando S1p está cerca de intersecar con S2s. En su lugar la cara de succión del vórtice de herradura está creciendo mientras se implica más líquido de la capa límite. La línea S de separación S4 se mueve hacia arriba y no hará más una línea recta hacia el borde de estela.

A partir de mediciones de las pérdidas de mezcla en la salida se encontró que la estructura del borde de ataque era solo de menor importancia y que la carga del álabe era de mayor importancia para la pérdida secundaria. Con una carga frontal del



álabe la capa límite a la entrada sentirá un gradiente de presión más fuerte entre la cara de presión y la de succión, y entonces habrá un vórtice de paso más pronunciado. El vórtice de paso está aumentando inicialmente su fuerza debido a la incidencia y después permanece prácticamente constante. Eso es debido probablemente a una interacción más duradera entre el vórtice de paso y el vórtice opuesto dirigido pues la desaceleración del flujo aumenta con la incidencia positiva.

3.8.2 Una nueva división entre pérdidas en el perfil y secundarias

La información para la siguiente sección se ha recogido principalmente de [11] y [12]. En la sección 3.6 se mencionaba que un nuevo modelo empírico de pérdida para el diseño de la línea media se desarrolló con el objetivo de dar a una relación más razonable a los fenómenos físicos fundamentales y una predicción más precisa de la pérdida. Con el análisis convencional de la pérdida demostraron en [12] que la pérdida secundaria decrecería y finalmente ser negativa cuando la incidencia aumenta, algo que no es físicamente razonable.

La figura 3.18 muestra la división poco realista entre las pérdidas secundarias y en el perfil con la división convencional de la pérdida para un radio del borde de ataque pequeño. En la figura 3.18 se ve que las pérdidas aumentan más rápidas después de un incremento de la incidencia alrededor de +10 grados, se debe a que una burbuja de separación está presente sobre una gran parte grande de la superficie de succión en el borde de estela.

Figura 3.18: división irreal entre pérdidas secundarias y en el perfil con la división convencional.



El nuevo modelo de pérdida se basa en un nuevo esquema de análisis entre las pérdidas primarias y secundarias que no utiliza la pérdida en el radio medio como medida representativa de la pérdida para la pérdida en el perfil sobre toda la longitud (h) del álabe. La diferencia principal al método convencional es la división entre las pérdidas secundarias y en el perfil, que se estima con perdidas por fugas en la punta nula. Se cree que la fuente de las pérdidas en la superficie de succión se puede dividir en dos regiones principales aquí designadas como principal y secundaria según las indicaciones de la figura 3.19 de [11].

Figura 3.19: División entre región principal y secundaria de perdida para la superficie de succión con el nuevo analisis

La línea de separación del vórtice del paso (S4) divide estas dos regiones, según lo descrito en [12]. En la región principal los parámetros que mayor influencia tiene sobre la pérdida se cree que son la distribución de presiones, el número de Reynolds y el número de Mach. En la región secundaria se cree que los parámetros dependen de la fuerza del vórtice de paso y a una pequeña cantidad de la distribución de presión del ancho de la cuerda. Por esa razón la hipótesis anterior de una pérdida constante en ambas regiones consideradas en la división convencional de la pérdida no tiene ningún sentido.

En la región principal se asume que la pérdida no está infectada por el flujo secundario y lo mismo para la perdida en el radio medio. Con la definición de la pérdida media en la región principal, asumimos que el área de la superficie de succión equivale a la cuerda axial por la longitud, una expresión para la pérdida principal se puede formular como Ec. 3.67. ZTE representa la distancia de la pared final a la línea de separación del vórtice de paso que cruza el borde de estela, véase la figura 3.19. Se asume que esta distancia es igual para la pared anular interna y externa, y que la línea de separación comienza en la esquina superior de los bordes de ataque delanteros y después sigue una línea curva hacia el borde de estela. Se sabe que estos supuestos no son del todo correctos, pero se cree que son bastante satisfactorios para esta



proposición. La pérdida en el perfil es constante para la perdida en el radio medio sobre el todo el área principal.

p

P rm

S

AY Y

A

= ⋅

El área total del álabe se toma como la multiplicación de la cuerda axial por la altura.

( )2 0.5p x TE x

A c h Z c= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

La nueva pérdida total en el perfil

Ec. 3.67 1 TEP rm

ZY Y

h

= ⋅ −

La pérdida en el perfil en el radio medio se debe evaluar según lo propuesto por Kacker y Okapuu en la sección 3.3.1 para incidencia de diseño y como propusieron en [17] para incidencia fuera de diseño, vea la Ec. 3.63. Para el parámetro ZTE es necesario hacer uso de la Ec. 3.67. Sharma y Butler (1987) propusieron una relación para estimarlo pero BSM obtuvieron una nueva relación que también incluyen la relación paso cuerda (s/c), basada en datos experimentales a partir de 19 cascadas lineales. Se cree que los otros parámetros incluidos que afectan el tamaño del vórtice de paso y entonces también a S4 son la deflexión (ε), cociente entre el espesor de la capa límite de entrada y la altura (δe/h), cociente de contracción (CR). CR representa la aceleración del flujo y ε junto con s/c la carga del álabe.

La profundidad de penetración de ZTE se puede estimar con la Ec. 3.68 que fue obtenida con un método de optimización para los parámetros que se creían más importantes y los resultados de las mediciones experimentales.

Ec. 3.68 0.79 *

0.55

0.1032.7

TE

FZ h

hhCR

c

θ δ

⋅ = + ⋅ ⋅

⋅

Donde el espesor de la capa limite se define como

Ec. 3.69 *

0

1BL edge

Vdz

V

δ

δ−

= − ⋅

∫

Este espesor puede ser difícil de calcular, porque no es un valor de la línea media como se desea en la etapa de pre-diseño. De las cascadas probadas se ve que el valor de δ*

/h suele estar entre 0.008 y 0.061, así que quizás un valor estimado en medio se puede utilizar en su lugar en la etapa del pre-diseño.



El parámetro de carga tangencial definido como

Ec. 3.70 ( ) ( )( ) ( )22 tan tan cose s m

x

sF

cθ α α α= ⋅ +

La única diferencia entre el parámetro de carga de Zweifels y el Fθ del álabe es que este último no está dimensionalizado por la presión dinámica, basada en la velocidad media vectorial en vez de en velocidad de salida como en Zweifels, de tal modo ambos se describen simplemente como la Ec. 3.71.

Ec. 3.71 ( )( )

2

2

cos

cos

s

T

m

Fθ

αψ

α= ⋅

La decisión de usar Fθ es porque muestra el mejor ajuste de la curva entre la correlación y los datos medidos.

Inicialmente en el proceso de optimización, el ángulo de calado se incluyó para representar el crecimiento del vórtice de paso de un álabe más cargado frontalmente, que el aumento que se da en el ángulo de calado, pero no se encontró relación significativa por lo que fue excluido en la relación final.

La relación en la Ec.3.68 tiene un sentido físico razonable ya que para alta aceleración del flujo el vórtice se estira y disminuye su radio, al mismo tiempo que el espesor de la capa limite, donde se origina el flujo secundario, decrece como se refleja en la división de CR ≥ 1.0. El gradiente de presión de arrastre entre el lado de presión y de succión para el flujo secundario se capta con el parámetro de carga tangencial Fθ. La relación con h/c no tiene una explicación directa físicamente, pero no hay duda sobre su relación significativa con ZTE en las pruebas [11]. Quizás h/c recoge dos fenómenos diferentes, porque las diversas tendencias se muestran si se aumenta la cuerda comparada a si se disminuye la longitud.

La figura 7 en [11] muestra la previsión comparada con los valores medidos para ZTE/h con la Ec.3.71 donde la mayor parte de los puntos están dentro del ±0.025.

Para obtener la correlación para la pérdida secundaria se utilizaron los datos de 34 cascadas lineales y se resumen en el apéndice 2 en la referencia [11]. La cascada estaba preparada para cubrir un amplio rango de incidencia a partir desde -23 a +20, CR de 0.98-3.88, h/c de 0.79-3.0, deflexión del álabe (ε) de 47-110 grados, y desplazamiento del espesor de la capa límite en la pared final δ*/h de 0.6-6 por ciento. Una limitación es que los vórtices de paso no tienen permitido unirse en el radio medio. Así, el rango para baja relación de aspecto que se puede utilizar sin ningún valor absoluto dado es limitado. (ZTE/h≤0.5).

La correlación empírica para la pérdida secundaria se obtuvo como Ec. 3.72 después de un proceso de optimización similar al hecho para ZTE con un número de parámetros que se suponía que desempeñaban un papel significativo. Primero se incluyeron el factor de carga tangencial y el factor de fricción pero después del



proceso de optimización fueron excluidos porque no se encontró ninguna relación significativa para el punto de referencias medido. Excluir Fθ no es conforme a algunos de los estudios hechos anteriormente sobre pérdidas de la turbina.

Perdidas secundarias

Para h/c≤2.0

Ec. 3.72a ( )

( )( )

*

0.550.55

0.038 0.41 tanh 1.20 /

coscos

S

s

x

hY

chCR

c c

δ

αγ

+ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Para h/c>2.0

Ec. 3.72b ( )

( )( )

*

0.55

0.052 0.56 tanh 1.20 /

coscos

S

s

x

hY

chCR

c c

δ

αγ

+ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

El ángulo de calado debe representar la distribución de carga del álabe, de modo que con una carga frontal del álabe se consigue una pérdida secundaria más alta y la relación del desplazamiento del espesor con la longitud representa el cociente del flujo másico en la capa límite de la pared.

Los términos, alterados debido al cociente de h/c, deben captar la influencia del área superficial de la pared final. La pérdida secundaria varía linealmente a la inversa de CR, justo como supusieron AM, AMDC y AMDCKO. El área de paso se relaciona con la cuerda axial, cx, en vez de la cuerda real convencional c.

La pérdida total para la pérdida principal y secundaria se calcula como

Ec 3.73 1 TEP S med S

ZY Y Y

h+

= ⋅ − +

Hay que tener en cuenta el hecho de que los datos experimentales usados para obtener esta correlación son de las cascadas lineales, así que para poder aplicarla a una turbina real hay que aplicar un factor de multiplicación que no se ha dado en cualquiera de sus documentos, y es una desventaja importante.

( ) ( )0.55 0.55

cos cos

s s

x x

h c ho

c c c

α α⋅ ⋅ ⋅



3.9 Mamaev & Klebanov

En 1969 B. I. Mamaev and A. G. Klebanov (MaKl) publicaron un articulo [13] donde describen cómo decidir a la relación paso-cuerda óptima (s/c). Algunas de estas correlaciones, con algunas pequeñas modificaciones en algunos puntos se utilizan todavía hoy en el programa interno de Siemens CTC. MaKr utilizaron resultados experimentales de 58 cascadas rectas donde se soplaba aire a través. El flujo estaba siempre libre de choques (λs≈0.8), Re en el rango de (0.4 −1.2)⋅106, TIe del 1-2 por ciento, αe en el rango de 22-101 grados y αs en el rango de 14-50 grados definidos desde el plano tangencial.

En el intento de encontrar un s/c óptimo se examinó la pérdida en el perfil y el valor más alto de s/c que dan un valor mínimo de la pérdida se consideró el óptimo ((s/c)opt,0). En la prueba de la cascada se excluyeron las pérdidas debidas al espesor del borde de estela con una correlación dada por G. Flügel (no dada en este texto). En la obtención de la corrección, examinaron el valor (s/c)opt,0 en función de αs, donde también se ha realizado una pequeña variación en el valor de αe en la cascada, el resultado se puede ver en la figura 3.20.

Figura 3.20: Valor optimo de la relación paso-cuerda como una función de αs, donde los ángulos se definen desde el plano tangencial (original)

En la figura 3.20 se observa que para una aceleración constante, (CR=cte.) que significa que la deflexión en la corona se reduce, aumentará el paso optimo, como se ilustra en la línea de puntos. Si en su lugar se incrementa la aceleración en la corona hay primero una disminución en el paso debido a una mayor necesidad de control del flujo. A continuación, con un ángulo del flujo de salida mayor de 45-50 grados, la disminución de la deflexión (ε) tienen mayor influencia que el aumento de CR y por lo tanto el paso óptimo vuelve a aumentar.



La ecuación que describe (s/c)opt,0 como una función de αs y αe en radianes se da para dos rangos de contracción entre el área de entrada y salida.

Para 1≤k≤1.5

Ec 3.74a ( ) ( )1/3

,0

1.727 1.71/ 0.869 1.604

opts c

k kε −

= − ⋅ − +

Para 1.5≤k

Ec 3.74b ( ) ( )1/3

0.371 0.395,0

0.327 0.994/ 1.314

opts c

k kε −

= ⋅ − +

Donde ε, la deflexión, y k permanecen para la contracción del álabe y pretenden captar la influencia de la aceleración del flujo.

( )( )

'

'

s e n

s e n

e

s

kα

α=

La Ec. 3.74 da un incremento de (s/c)opt,0 para un aumento de k, y lo contrario es real para ε pero con menos fuerza si la convergencia es alta.

Se investigó también el efecto del espesor del borde de estela y del número de Laval y se obtuvieron dos ecuaciones aproximadas Ec. 3.75 y 3.76

Ec. 3.75 ( )( )2

,01 0.0375 / 0.006 0.0015s s

TE opt

d ds c

c cχ

= + ⋅ − ⋅ − ⋅

Para 0.5≤λ≤1.20

Ec. 3.76 ( ) 2/ 0.016 0.48 0.625sopts c λ λ∆ = + −

La Ec. 3.75 se utiliza en el CTC, pero en la Ec.3.76 se han cambiado las constantes, y se muestra abajo como Ec. 3.77. No está clara si esta modificación está hecha por MaKl, o por cualquier otro grupo de investigación o si es una modificación interna de Siemens.

Para 0.5≤λ≤1.20

Ec. 3.77 ( ) 2/ 0.022 0.369 0.391sopts c λ λ∆ = + −

El valor final se obtiene entonces de

Ec. 3.78 ( ) ( ) ( )( ),0/ / 1 /

TEopt opt opts c s c s cχ= ⋅ + ∆



En (pérdidas en el perfil en una cascada de turbina) [24] de 1970, MaKl describió el procedimiento para estimar las pérdidas en el perfil para una turbina en el punto de diseño. Esta metodología se utiliza hoy parcialmente en el CTC con las ecuaciones numéricas que substituyen los gráficos originales dados por MaKl. Se dan aquí los pasos principales con algunos de los gráficos substituidos por la correspondiente forma de la ecuación en el CTC, así que para los gráficos originales propuestos se debe utilizar.

Primero se utilizan el coeficiente de pérdida para un número de Laval ideal y el espesor nulo del borde de estela como punto de referencia.

Ec. 3.79 1.5

0.0151

1.745Fr

CR

εζ

= ⋅ +

Debido a la diferencia del número de Laval de salida comparado con el óptimo, la pérdida se corrige con la relación numérica dada en la Ec. 3.80.

Ec. 3.80 6 5 4

,

3 2

1584.3 8255.2 17687

19959 12520 4141.5 564.18

Fr x x x

x x x

λζ∆ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ −

Donde

,

s

opt s

xλ

λ=

Para tener conocimiento de la desviación del paso óptimo (sopt) se puede aplicar la Ec 3.81 del CTC

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 1

21

1

/ //

/

/200 451 / 264 / /

5.6 3.75 /Ec. 3.81

donde

/ si / 0

/0.1666 0.6667 / 1 / / si / 0

opt

opt

Fr opt opt

opt

opt opt

s c s cs c

s c

s cs c s c s c

s c

s c s c

s cs c s c s c s c

ζ

− ∆ =

∆ ∆ = − ⋅∆ + ∆ ⋅ ∆ + − ⋅ ∆

∆ ∆ ≥ ∆ = − ⋅∆ − + ∆ ≤

Entonces el efecto del espesor del borde de estela se da por la Ec. 3.82 (que no se usa en CTC).



Ec. 3.82 ( )1

0.2s e n

TETE

s

t

sζ

α= ⋅ ⋅

Si ahora combinamos las ecuaciones 3.80, 3.81 y 3.82, la pérdida final en el perfil es la suma de la pérdida por fricción y la del borde de ataque corregida para un valor no óptimo. Su expresión final en el punto de diseño se da por la Ec. 3.83

Ec 3.83 ( ) ( ), , ,1 1P Fr o Fr s Fr TRλζ ζ ζ ζ ζ= ⋅ + ∆ ⋅ + ∆ +

3.10 Sjolander and Yaras

Sjolander y Yaras revisaron los modelos de pérdida para calcular las pérdidas intersticiales por fugas en el rotor originalmente de AM, AMDC, de Lakshminarayana y de Horlock (1965) por ejemplo. Al mismo tiempo hicieron medidas experimentales de una cascada con puntos de medida avanzados en el interior de la separación y aguas abajo. Una vez más precisaron que las perdidas secundarias y las intersticiales interactúan entre sí y juntas crean una pérdida total que es difícil de separar. También muestran que la energía cinética inicial de la fuga en la extremidad a un grado parcial se recupera como presión estática mientras que se enrolla en un torbellino. También encontraron que la pérdida creada dentro de la separación junto con la magnitud de la energía cinética, que primero se convertía en presión estática, representa bien las pérdidas totales consideradas en la perdida final de la mezcla en una cuerda aguas abajo. Por lo tanto la energía cinética perpendicular al flujo principal se considera representativa de la perdida intersticial total en la mezcla de salida. Se debe observar que esta pérdida se ve primero alrededor de la longitud de una cuerda aguas abajo, así la fila siguiente no experimentará inicialmente esta pérdida total, si los álabes están muy próximos entre sí.

Por lo tanto, los parámetros más importantes son estimar el flujo másico y la velocidad de la fuga. SY propusieron que, aunque es bien sabido que el álabe se descarga en la extremidad debido a la fuga, no es éste el caso dentro de la capa límite. Por lo tanto la carga supuesta en el caso de separación nula se puede utilizar en el cálculo del flujo másico y velocidad del flujo de fuga. Una corrección por la reducción de área del flujo dentro del hueco debido a la presencia de una burbuja de separación da un coeficiente de la descarga medido CD en la longitud de 0.9-0.7 dependiendo de la separación.

La energía cinética de la fuga será entonces una integral de la diferencia de presión a lo largo de la cuerda como

( )1.5

0

2c

D p sE C k p p dx

ρ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅∫



Para la fase inicial del cálculo de diseño, se da un modelo simplificado del coeficiente de pérdida intersticial después de adimensionalizar con la energía total en el conducto principal.

Ec 3.84 ( )( )

2

1.5

3

cos2

cos

s

TC E D L

m

c kY K C C

s h

α

α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Donde KE es una constante bastante insensible que tiene en cuenta la distribución de la carga en el álabe y es

0.5 si el labe esta cargado en el centro

0.566 si el labe se carga de frente o por atrasE

áK

á

=

Y CD se debe tomar como un valor entre 0.7-0.8.

Entonces resumieron la pérdida total debida a la perdida secundaria y a la intersticial como la suma de la pérdida secundaria en el cubo más la pérdida intersticial y una reducción de la pérdida secundaria en la extremidad, resumida como

, , ReS TC S Cubo TC S extr dY Y Y Y Y χ+ = + + ⋅

Donde χRed es una constante menor de uno y que depende del espesor de la capa limite, no especificada en su documento. Por lo tanto no se ha incluido en esta investigación. Una contribución pequeña de la creación de pérdida dentro del hueco también fue supuesta originalmente pero también se desprecia aquí.

Este modelo tiene sentido físico con el parámetro que incluye la aproximación de la energía cinética al mismo tiempo que es simple de poner en ejecución en la fase inicial del diseño para los cálculos unidimensionales.

3.1 Descripción de los diferentes modelos de...

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