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MODELO DE RESPUESTA DEL TRABAJO PRÁCTICO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I (315)

PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE LA FUERZA LABORAL DE UNA EMPRESA

I - Formulación del problema

I-1 Descripción de las variables de decisión

ti j Número de trabajadores que constituyen la fuerza laboral normal, de la

categoría i, en el año j

ci j Número de trabajadores contratados de la categoría i, en el año j

ei j Número de trabajadores reentrenados de las categorías nc ? mc, mc ? ac, en el año j

bi j Número de trabajadores rebajados de calificación de las categorías: ac? mc, ac ? nc, mc? nc, en el año j

rij Número de trabajadores redundantes de la categoría i, en el año j

si j Número de trabajadores superfluos de la categoría i, en el año j

mi j Número de trabajadores a medio tiempo de la categoría i , en el año j

En donde :

}3,2,1{,},,{

:,,

=∈=∈

JañoJjacmcncI

comodefinidoíndicesdeconjuntoIi

Nota: En los casos de empleados reentrenados y empleados rebajados de calificación, el primer subíndice estará expresado por combinaciones posibles, por ejemplo emcac,j se refiere a empleados reentrenados de mediana calificación que pasarán a alta calificación. I-2 Formulación general del problema

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Minimizar )4321(3

1i ji ji ji ji ji j

Ii ji ji j mwswrwew +++∑∑

∈ =

(los w.ij representan los costos involucrados de acuerdo al tipo de contratación o reajuste) Sujeto a: tncj - 0.9 tncj-1 -0.75 cncj + encmcj - 0.5 bmcncj - 0.5 bacncj + rncj = tnc0 (j = 1, 2, 3)

tmcj - 0.95 tmc j-1 -0.8 cmcj + emcacj - 0.95encmcj + 0.5 bmcncj - 0.5 bacmcj + rmcj = tmc0 (j = 1, 2, 3) (Cuando j = 1, tmc0 =1425, en caso contrario es 0 y tmc 0 = 0 )

tacj - 0.95 tacj-1 -0.9 cacj + 0.5 bacncj + 0.5 bacmcj - 0.95emcacj + racj = tac0 (j = 1, 2, 3)

(Cuando j = 1, tac0 = 950, en caso contrario es 0 y tac0 = 0 ) El coeficiente que acompaña a tncj-1 está determinado por el porcentaje de pérdida natural, que para el caso de los no calificados, con más de un año de servicio corresponde a al 10%, es por ello que se considera el 90% de la fuerza laboral del año anterior, sólo aplica para los años 2 y 3. Igualmente el coeficiente que acompaña a cncj se basa en la pérdida natural de 25%, cuando se tiene menos de un año. Los coeficientes de bij corresponden al 50% que efectivamente permanece en la empresa. Lado derecho: Cuando j = 1, tnc0 =1800( se obtiene del 90% de la fuerza laboral actual al cabo de un año, en caso contrario tnc0 = 0, ya que en los años 2 y 3 la fuerza laboral ha sido tomada en cuenta de acuerdo a su tipo) Los coeficientes de la segunda y tercera restricción, así como el lado derecho de las ecuaciones se determinan de manera similar.

emcacj - 0.25 tacj <= 0 (j = 1, 2, 3) ( El coeficiente de tij se refiere al 25% de la fuerza laboral que a lo sumo será reentrenada )

sncj + smcj + sacj <= 150 (j = 1, 2, 3)

tncj -sncj - 0.5 mncj = aj (j = 1, 2, 3) ; a1=1000; a2 = 500; a3= 0 (El coeficiente de mij se refiere a la mitad de los requerimientos de producción que cumple este tipo de empleado)

tmcj -smcj - 0.5 mmcj = dj (j = 1, 2, 3) ; d1=1400; d2 = 2000; d3= 2500 tacj -sacj - 0.5 macj = fj (j = 1, 2, 3) ; f1=1000; f2 = 1500; f3= 2000 cncj <= 500 (j = 1, 2, 3)

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cmcj <= 800 (j = 1, 2, 3) cacj <= 500 (j = 1, 2, 3) mncj <= 50 (j = 1, 2, 3) mmcj <= 50 (j = 1, 2, 3) macj <= 50 (j = 1, 2, 3) encmcj <= 200 (j = 1, 2, 3)

I-3 Total de variables de decisión y restricciones:

Nª total de variables de decisión: 60 Nª total de cotas de variables: 21 Nª total de restricciones: 24 II – Solución al problema: Se empleó el paquete de optimización LINDO

REPORTE DATA MIN 400 encmc1 + 400 encmc2 + 400 encmc3 + 500 emcac1 + 500 emcac2 + 500 emcac3 + 200 rnc1 + 200 rnc2 + 200 rnc3 + 500 rmc1 + 500 rmc2 + 500 rmc3 + 500 rac1 + 500 rac2 + 500 rac3 + 500 mnc1 + 500 mnc2 + 500 mnc3 + 400 mmc1 + 400 mmc2 + 400 mmc3 + 400 mac1 + 400 mac2 + 400 mac3 + 1500 snc1 + 1500 snc2 + 1500 snc3 + 2000 smc1 + 2000 smc2 + 2000 smc3 + 3000 sac1 + 3000 sac2 + 3000 sac3 SUBJECT TO tnc1 - 0.75 cnc1 + encmc1 - 0.5 bmcnc1 - 0.5 bacnc1 + rnc1 = 1800 tnc2 - 0.9 tnc1 -0.75 cnc2 + encmc2 - 0.5 bmcnc2 - 0.5 bacnc2 + rnc2 = 0 tnc3 - 0.9 tnc2 -0.75 cnc3 + encmc3 - 0.5 bmcnc3 - 0.5 bacnc3 + rnc3 = 0 tmc1 - 0.8 cmc1 + emcac1 - 0.95encmc1 - 0.5 bacmc1 + 0.5 bmcnc1 + rmc1 =1425 tmc2 - 0.95 tmc1 -0.8 cmc2 + emcac2 - 0.95encmc2 + 0.5 bmcnc2 - 0.5 bacmc2 +rmc2 = 0 tmc3 - 0.95 tmc2 -0.8 cmc3 + emcac3 - 0.95encmc3 + 0.5 bmcnc3 - 0.5 bacmc3 + rmc3 = 0

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tac1 - 0.9 cac1 - 0.95emcac1 + 0.5 bacnc1 + 0.5 bacmc1 + rac1 = 950 tac2 - 0.95 tac1 -0.9 cac2 + 0.5 bacnc2 + 0.5 bacmc2 - 0.95emcac2 + rac2 = 0 tac3 - 0.95 tac2 -0.9 cac3 + bacnc3 + bacmc3 - 0.95emcac3 - rac3 = 0 emcac1 - 0.25 tac1 <= 0 emcac2 - 0.25 tac2 <= 0 emcac3 - 0.25 tac3 <= 0 snc1 + smc1 + sac1 <= 150 snc2 + smc2 + sac2 <= 150 snc3 + smc3 + sac3 <= 150 tnc1 -snc1 - 0.5 mnc1 = 1000 tnc2 -snc2 - 0.5 mnc2 = 500 tnc3 -snc3 - 0.5 mnc3 = 0 tmc1 -smc1 - 0.5 mmc1 = 1400 tmc2 -smc2 - 0.5 mmc2 = 2000 tmc3 -smc3 - 0.5 mmc3 = 2500 tac1 -sac1 - 0.5 mac1 = 1000 tac2 -sac2 - 0.5 mac2 = 1500 tac3 -sac3 - 0.5 mac3 = 2000 cnc1 <= 500 cnc2 <= 500 cnc3 <= 500 cmc1 <= 800 cmc2 <= 800 cmc3 <= 800 cac1 <= 500 cac2 <= 500 cac3 <= 500 mnc1 <= 50 mnc2 <= 50 mnc3 <= 50

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mmc1 <= 50 mmc2 <= 50 mmc3 <= 50 mac1 <= 50 mac2 <= 50 mac3 <= 50 encmc1 <= 200 encmc2 <= 200 encmc3 <= 200 END SOLUCION: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 478608.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST ENCMC1 0.000000 390.000000 ENCMC2 142.382278 0.000000 ENCMC3 0.000000 200.000000 EMCAC1 0.000000 300.000000 EMCAC2 105.263161 0.000000 EMCAC3 0.000000 25.000006 RNC1 825.000000 0.000000 RNC2 257.617737 0.000000 RNC3 450.000000 0.000000 RMC1 0.000000 300.000000 RMC2 0.000000 710.526306 RMC3 0.000000 500.000000 RAC1 0.000000 500.000000 RAC2 0.000000 1247.922485 RAC3 125.000000 0.000000 MNC1 0.000000 490.000000 MNC2 0.000000 490.000000 MNC3 0.000000 400.000000

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MMC1 0.000000 200.000000 MMC2 0.000000 505.263153 MMC3 0.000000 400.000000 MAC1 0.000000 44.736843 MAC2 0.000000 536.461243 MAC3 0.000000 650.000000 SNC1 0.000000 1480.000000 SNC2 0.000000 1480.000000 SNC3 0.000000 1300.000000 SMC1 0.000000 1600.000000 SMC2 0.000000 2210.526367 SMC3 0.000000 2000.000000 SAC1 0.000000 2289.473633 SAC2 0.000000 3272.922363 SAC3 0.000000 3500.000000 TNC1 1000.000000 0.000000 CNC1 0.000000 150.000000 BMCNC1 50.000000 0.000000 BACNC1 0.000000 100.000000 TNC2 500.000000 0.000000 CNC2 0.000000 150.000000 BMCNC2 0.000000 205.263153 BACNC2 0.000000 473.961212 TNC3 0.000000 0.000000 CNC3 0.000000 150.000000 BMCNC3 0.000000 100.000000 BACNC3 0.000000 600.000000 TMC1 1400.000000 0.000000 CMC1 0.000000 160.000000 BACMC1 0.000000 100.000000 TMC2 2000.000000 0.000000 CMC2 800.000000 0.000000 BACMC2 0.000000 268.698059 TMC3 2500.000000 0.000000 CMC3 750.000000 0.000000 BACMC3 0.000000 500.000000 TAC1 1000.000000 0.000000 CAC1 55.555557 0.000000 TAC2 1500.000000 0.000000 CAC2 500.000000 0.000000 TAC3 2000.000000 0.000000

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CAC3 500.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -200.000000 3) 0.000000 -200.000000 4) 0.000000 -200.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 0.000000 210.526321 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 747.922424 10) 0.000000 500.000000 11) 250.000000 0.000000 12) 269.736847 0.000000 13) 500.000000 0.000000 14) 150.000000 0.000000 15) 150.000000 0.000000 16) 150.000000 0.000000 17) 0.000000 20.000000 18) 0.000000 20.000000 19) 0.000000 200.000000 20) 0.000000 400.000000 21) 0.000000 -210.526321 22) 0.000000 0.000000 23) 0.000000 710.526306 24) 0.000000 -272.922424 25) 0.000000 -500.000000 26) 500.000000 0.000000 27) 500.000000 0.000000 28) 500.000000 0.000000 29) 800.000000 0.000000 30) 0.000000 168.421051 31) 50.000000 0.000000 32) 444.444458 0.000000 33) 0.000000 673.130188 34) 0.000000 450.000000 35) 50.000000 0.000000 36) 50.000000 0.000000 37) 50.000000 0.000000 38) 50.000000 0.000000

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39) 50.000000 0.000000 40) 50.000000 0.000000 41) 50.000000 0.000000 42) 50.000000 0.000000 43) 50.000000 0.000000 44) 200.000000 0.000000 45) 57.617729 0.000000 46) 200.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE ENCMC1 400.000000 INFINITY 390.000000 ENCMC2 400.000000 85.000008 200.000000 ENCMC3 400.000000 INFINITY 200.000000 EMCAC1 500.000000 INFINITY 300.000000 EMCAC2 500.000000 89.473694 510.526306 EMCAC3 500.000000 INFINITY 25.000006 RNC1 200.000000 300.000000 200.000000 RNC2 200.000000 200.000000 85.000008 RNC3 200.000000 200.000000 200.000000 RMC1 500.000000 INFINITY 300.000000 RMC2 500.000000 INFINITY 710.526306 RMC3 500.000000 INFINITY 500.000000 RAC1 500.000000 INFINITY 500.000000 RAC2 500.000000 INFINITY 1247.922363 RAC3 500.000000 26.315796 500.000000 MNC1 500.000000 INFINITY 490.000000 MNC2 500.000000 INFINITY 490.000000 MNC3 500.000000 INFINITY 400.000000 MMC1 400.000000 INFINITY 200.000000 MMC2 400.000000 INFINITY 505.263153 MMC3 400.000000 INFINITY 400.000000 MAC1 400.000000 INFINITY 44.736847

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MAC2 400.000000 INFINITY 536.461182 MAC3 400.000000 INFINITY 650.000000 SNC1 1500.000000 INFINITY 1480.000000 SNC2 1500.000000 INFINITY 1480.000000 SNC3 1500.000000 INFINITY 1300.000000 SMC1 2000.000000 INFINITY 1600.000000 SMC2 2000.000000 INFINITY 2210.526367 SMC3 2000.000000 INFINITY 2000.000000 SAC1 3000.000000 INFINITY 2289.473633 SAC2 3000.000000 INFINITY 3272.922363 SAC3 3000.000000 INFINITY 3500.000000 TNC1 0.000000 INFINITY 980.000000 CNC1 0.000000 INFINITY 150.000000 BMCNC1 0.000000 150.000000 100.000000 BACNC1 0.000000 INFINITY 100.000000 TNC2 0.000000 INFINITY 980.000000 CNC2 0.000000 INFINITY 150.000000 BMCNC2 0.000000 INFINITY 205.263153 BACNC2 0.000000 INFINITY 473.961212 TNC3 0.000000 INFINITY 800.000000 CNC3 0.000000 INFINITY 150.000000 BMCNC3 0.000000 INFINITY 100.000000 BACNC3 0.000000 INFINITY 600.000000 TMC1 0.000000 INFINITY 400.000000 CMC1 0.000000 INFINITY 160.000000 BACMC1 0.000000 INFINITY 100.000000 TMC2 0.000000 INFINITY 1010.526306 CMC2 0.000000 168.421051 INFINITY BACMC2 0.000000 INFINITY 268.698059 TMC3 0.000000 INFINITY 800.000000 CMC3 0.000000 168.421051 20.000004 BACMC3 0.000000 INFINITY 500.000000 TAC1 0.000000 INFINITY 89.473694 CAC1 0.000000 284.210510 80.526321 TAC2 0.000000 INFINITY 1072.922363 CAC2 0.000000 673.130188 INFINITY TAC3 0.000000 INFINITY 1300.000000 CAC3 0.000000 450.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

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RHS INCREASE DECREASE 2 1800.000000 INFINITY 825.000000 3 0.000000 INFINITY 257.617737 4 0.000000 INFINITY 450.000000 5 1425.000000 INFINITY 25.000000 6 0.000000 135.263153 54.736839 7 0.000000 600.000000 40.000000 8 950.000000 50.000000 400.000000 9 0.000000 100.000000 51.999996 10 0.000000 125.000000 INFINITY 11 0.000000 INFINITY 250.000000 12 0.000000 INFINITY 269.736847 13 0.000000 INFINITY 500.000000 14 150.000000 INFINITY 150.000000 15 150.000000 INFINITY 150.000000 16 150.000000 INFINITY 150.000000 17 1000.000000 825.000000 286.241943 18 500.000000 257.617737 500.000000 19 0.000000 450.000000 0.000000 20 1400.000000 25.000000 57.617729 21 2000.000000 54.736839 42.105263 22 2500.000000 40.000000 600.000000 23 1000.000000 105.263161 50.000000 24 1500.000000 51.999996 100.000000 25 2000.000000 INFINITY 125.000000 26 500.000000 INFINITY 500.000000 27 500.000000 INFINITY 500.000000 28 500.000000 INFINITY 500.000000 29 800.000000 INFINITY 800.000000 30 800.000000 169.078949 68.421051 31 800.000000 INFINITY 50.000000 32 500.000000 INFINITY 444.444458 33 500.000000 111.111115 57.777779 34 500.000000 138.888885 500.000000 35 50.000000 INFINITY 50.000000 36 50.000000 INFINITY 50.000000 37 50.000000 INFINITY 50.000000 38 50.000000 INFINITY 50.000000 39 50.000000 INFINITY 50.000000 40 50.000000 INFINITY 50.000000

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41 50.000000 INFINITY 50.000000 42 50.000000 INFINITY 50.000000 43 50.000000 INFINITY 50.000000 44 200.000000 INFINITY 200.000000 45 200.000000 INFINITY 57.617729 46 200.000000 INFINITY 200.000000 Análisis de los resultados III-1 Costo mínimo que deberá acarrear la empresa (en UM) como resultado de las políticas a aplicar en los próximos tres años: 478608.0 UM

III-2 Resultados por año y por categoría:

Tipo de empleado Año Categoría Número contratados 2

3 1 2 3

mc mc ac ac ac

800 750

55,5 (*) 500 500

entrenados 2 2

nc->mc mc->ac

142,4 (*) 105,3 (*)

redundantes 1 2 3 3

nc nc nc ac

825 257,6 (*)

450 125

Superfluos - - 0 Medio tiempo - - 0

(*) Observe que no son valores enteros Las variables que no aparecen en la tabla son iguales a cero

III-3 Si los requerimientos de Osaka, en cuanto al número de empleados medianamente calificados para el primer año hubiese sido igual a 1.200

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empleados en vez de 1.400, se mantendría óptima la solución actual? La solución actual NO SE MANTIENE ÓPTIMA, si observamos la restricción que involucra este recurso, en el reporte de sensibilidad, no se puede disminuir el recurso sin que se sacrifique la optimalidad de la solución.

III-4 Si el costo de un empleado redundante, altamente calificado hubiese sido tres

veces el costo actual, se mantendría óptimo el plan actual? De acuerdo al reporte de sensibilidad de la solución, estos costos se pueden aumentar indiscriminadamente en los años 1 y 2, pero en el año 3 no pueden triplicarse.

III- 5 Si el objetivo de la empresa es minimizar las redundancias, construya la nueva

función objetivo. Sustituya la función objetivo original por la nueva función objetivo. Resuelva el problema manteniendo las restricciones originales.

La función objetivo a minimizar es

z = ∑∑=i j

ijr3

1

También podría considerarse una combinación lineal de las dos funciones objetivo.

III- 6 De acuerdo al plan óptimo obtenido, resultando 850 empleados redundantes no calificados para los tres años, distribuidos en 526, 92 y 232 , para cada año respectivamente.

Criterio de corrección: La realización del presente trabajo es de carácter obligatorio, a través del mismo se evaluará la formulación y el análisis de la solución de un problema de Programación Lineal. Si el estudiante logra todos (o algunos) los objetivos asociados a los momentos de prueba y no logra el objetivo asociado a este trabajo, no aprueba la asignatura.

Se logra el objetivo, si se formula correctamente el modelo de PL, tomando en consideración todo lo solicitado en las especificaciones del problema. Es posible que resulte un número diferente de variables o restricciones, esto depende de las consideraciones que se empleen al definir las variables, en algunos casos si no se determina adecuadamente el número de variables, no se obtendrá una visión global del plan de contratación y habría que realizar algunos cálculos empleando el reporte de la solución para obtener resultados.

En general, consideramos logrado el objetivo, si el estudiante formula y resuelve el problema con la data original y sobre la base de la solución obtenida responde la sección de preguntas. Enfatizamos en la importancia del análisis del problema y la

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interpretación de los resultados, además de una formulación adecuada. De acuerdo a la data original (fuerza laboral inicial), a los factores naturales de pérdida de fuerza laboral (Tabla Nº 3) y a las políticas de contratación propuestas en el plan de Osaka, se observa que es posible obtener valores no enteros en algunas variables, por ejemplo un valor igual a 55,5 empleados a contratar, no calificados, para el año 1, no tiene sentido físico. Este problema se podría resolver manteniendo la formulación y empleando un paquete de optimización para el caso lineal entero, lo cual se escapa de las exigencias de este curso. Otra alternativa es la de mantener la formulación y hacer cambios en la data que conlleven a una solución entera, esto obligaría a hacer una modificación del plan de contratación de Osaka.

FIN DEL MODELO DE RESPUESTA