8/17/2019 3.2 Desplazamientos Virtuales II

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Estructuras II (CON-131)

3. Desplazamientos Virtuales II

Prof. Rodrigo Thiers

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3.3. Repaso Clase Anterior

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 Trabajo virtual

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3.3. Repaso Clase Anterior

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 Principio de los DesplazamientosVirtuales

Dada una estructura en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas que originan en

ella esfuerzos internos y una segunda estructura que sufre ciertos desplazamientos

virtuales que originan deformaciones virtuales, el trabajo realizado por las fuerzas

externas reales en los desplazamientos virtuales es igual al trabajo de los esfuerzosinternos reales en las deformaciones internas virtuales.

=1

  න   Ԧ

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3.4. Teorema de Castigliano I

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  Considere una estructura sujeta a un sistema de N fuerzas externas

  Se introduce campo de desplazamientos virtuales ()tal que:-   El desplazamiento virtual en el punto de aplicación de las fuerzas 1, 2,…,

i-1, i+1,N es cero.

-   El desplazamiento virtual en el punto de aplicación de la i-ésima fuerza

es   (en dirección de la fuerza)

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3.4. Teorema de Castigliano I

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 Aplicando PDV

  Formalmente, el teorema de Castigliano I indica que para una estructura

elástica (lineal o no lineal) sometida a   1, 2, … ,   fuerzas cuyosdesplazamientos correspondientes son 1, 2, … ,  (respectivamente) a lolargo de la línea de acción, es posible establecer N ecuaciones de equilibriode la forma:

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3.2. Principio de Desplazamientos Virtuales

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  Caso de una Barra Deformable•   Ejemplo

-   Barra de largo L sección transversal A

-   Material lineal elástico (modulo de Young E)

-   Fuerza F aplicada en el extremo de la barra

-   Determine el desplazamiento en el extremo en función de , ,  y

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3.5. Teorema de Desplazamiento Unitario

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  Este teorema permite determinar la fuerza 

i requerida para mantener elequilibrio de una estructura.

  Asuma que los esfuerzos que experimenta una estructura son conocidos y

se denotan como Ԧ. Se aplica un desplazamiento virtual  i en dirección dei.

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3.5. Teorema de Desplazamiento Unitario

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  Para una estructura lineal elástica se cumple que:

  Reemplazando la última expresión en la ecuación de PDV

  El teorema indica que la fuerza necesaria  en la dirección   para mantener

el equilibrio es igual ala integral sobre el volumen del esfuerzo real   Ԧmultiplicado por las deformaciones   Ԧ   asociadas a un desplazamientounitario en la dirección  .

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3.5. Teorema de Desplazamiento Unitario

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 Este teorema es de utilidad en la deducción de relaciones de rigidez del

tipo

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3.5. Teorema de Desplazamiento Unitario

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  Ejemplo

-   Determine la relación de rigidez

-   Barras lineales elásticas, modulo de Young E, áreas de sección transversal

 1  2 respectivamente