3.3 - 3.4 Curvatura de superficies regladas. Parámetro de...

Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion

3.3 - 3.4 Curvatura de superficies regladas.Parametro de distribucion. Tipos de superficies

regladas desarrollables. Lınea de estriccion yarista de retroceso.

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

Curvas y Superficies, 2015


Curvas y superficies

1. Curvas

2. Superficies

3. Superficies Regladas


Superficies regladas en Arquitectura

Interior de La Sagrada Familia. A. Gaudı



Maquetas de hiperboloide reglado de la Sagrada Familia



Museo de Arte de Milwaukee. Santiago Calatrava, 2001


Superficies

3.1 Parametrizacion de una superficie reglada: Directriz ygeneratrices. Superficies regladas de Bezier.

3.2 Curvatura de las superficies regladas. Parametro dedistribucion.

3.3 Tipos de superficies regladas desarrollables. Lınea deestriccion y arista de retroceso.


Contenidos

Repaso de notacionEjemplos

Curvatura de superficies regladas

Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables

Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso


Repaso de notacionDefinicion Una superficie reglada S, es una superficie que contieneal menos una familia uniparametrica de rectas. Admite unaparametrizacion de la forma

α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = γ(u) + vω(u),

donde γ(u) y ω(u) son (en general) parametrizaciones de curvas enR3 (suponemos que ω(u) nunca se anula). Llamaremosparametrizacion reglada a una parametrizacion lineal en uno de losparametros.

La curva parametrizada por γ(u) se denomina directriz o curvabase. Para cada valor del parametro u = u0, tenemos una recta

γ(u0) + vω(u0)

que recibe el nombre de generatriz.


Hiperboloide de una hojax2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 1. Es una superficie doblemente reglada. Admite

dos parametrizaciones regladas,

α(u, v) = γ(u) + v(±γ′(u) + (0, 0, c)), (u, v) ∈ [0, 2π)× R,

γ(u) = (acos(u), bsen(u), 0) una parametrizacion de la ellipsex2

a2 + y2

b2 = 1.

Si a = 2, b = 3, c = 5 y v ∈ [−1, 1] tenemos:

Shukhov (1853-1939)


Paraboloide hiperbolicoHiperboloides reglados y paraboloides hiperbolicos son superficiesdoblemente regladas.

Los Manantiales, F. Candela (1990-1997)

Es una superficie de Bezier de bigrado (1, 1), la mas sendilla, 4puntos de control, la malla de cotrol es un cuadrilatero.


Conoide de PluckerDada por la parametrizacion reglada

α(u, v) = (0, 0, sen(2u)) + v(cos(u), sen(u), 0), (u, v) ∈ [0, 2π)× R.

Si v ∈ [0, 2] tenemos:


Banda de Mobius

Dada por la parametrizacion reglada

α(u, v) = (cos(u), sen(u), 0)

+ v(cos(u

2

)cos(u), cos

(u2

)sen(u), sen

(u2

)),

(u, v) ∈ [0, 2π)× R.

Si v ∈ [0, 2] tenemos:

u ∈ [0, π/4] u ∈ [0, π] u ∈ [0, 2π] u ∈ [0, 3π] u ∈ [0, 4π]



La curvatura de Gauss o total de una superficie reglada en unpunto regular P = α(u0, v0) es siempre menor o igual que cero.

K (P) =−f 2

EG − F 2= − [γ′(u0), ω(u0), ω′(u0)]2

||αu(u0, v0) ∧ αv (u0, v0)||4≤ 0.

Definicion Llamamos parametro de distribucion al numero realdado por el producto mixto p(u0) = [γ′(u0), ω(u0), ω′(u0)].

Observamos que:

• Todos los puntos regulares de una generatrizΓu0 ≡ γ(u0) + vω(u0) son del mismo tipo: si p(u0) = 0 sontodos parabolicos y si p(u0) 6= 0 son todos hiperbolicos.

• Toda generatriz Γu0 es una asıntota de la superficie, ya que lacurvatura normal es nula en la direccion de su vector director.


Superficies desarrollables

Definicion Una superficie S (no necesariamente reglada) es unasuperficie plana si su curvatura de Gauss es cero en todo punto(regular). Tales superficies se han llamado tradicionalmentesuperficies desarrollables y se pueden construir doblando una hojade papel.

Una superficie reglada S es

desarrollable⇔ K (P) = 0,∀P ⇔ f = 0⇔ p(u) ≡ 0

En caso contrario diremos que S es no desarrollable o alabeada.

Son superficies regladas desarrollables: cilindros, conos, banda deMobius...

Proposicion Una superficie reglada es desarrollable si, y solo si, elvector normal es constante a lo largo de cualquier generatriz.


Superficies desarrollables en Arquitectura

Museo Guggenheim de Bilbao. Frank O. Gehry, 1997


Superficies desarrollables en Arquitectura

Parque del Milenio, Chicago. F.O. Gehry, 2004


Superficies desarrollables

Proposicion Una superficie reglada es desarrollable si, y solo si, elvector normal es constante a lo largo de cualquier generatriz.


Tipos de superficies desarrollables

1. S es cilındrica sobre una curva C si

α(u, v) = γ(u) + vw ,

siendo γ : (a, b)→ R una parametrizacion de C y w un vectorfijo de R3.

2. S es conica sobre una curva C si

α(u, v) = Q + vω(u),

siendo Q un punto de R3 llamado vertice y ω : (a, b)→ Runa parametrizacion de C.


Ejemplo de superficie cilındrica

La superficie reglada S parametrizada porα(u, v) = (2cos(u), 0, 3sen(u)) + v(2, 1,−5) es cilındrica.

El plano tangente a S en los puntos de la generatriz α(Pi , v) es3 + x − 3y = 0.


Ejemplo de superficie conicaLa superficie reglada parametrizada por

α(u, v) = (2, 0, 3) + v(u3, u, cos(u)),

(u, v) ∈ [0, 4π)× [0, 1] es una superficie conica.


Tipos de superficies desarrollables

3 S es desarrollable tangencial de la curva C si

α(u, v) = γ(u) + vγ′(u),

siendo Q un punto de R3 y γ : (a, b)→ R unaparametrizacion de C.

Proposicion Las superficies cilındricas, conicas y desarrollablestangenciales son superficies planas (desarrollables).

En general una superficie desarrollable es en cierto sentido la unionde trozos de los tipos anteriores.


Lınea de estriccion

Sea S una superficie reglada no cilındrica (asumimos queω′(u) ∧ ω(u) nunca se anula). Si una generatriz de S no contienepuntos singulares, entonces contiene un punto en el que lacurvatura de Gauss es mınima (maxima en valor absoluto), al quellamamos punto central.

La lınea de estriccion de S contiene a los puntos centrales y a lospuntos singulares de S, los puntos P = α(u, v) que verifican

(αu(u, v) ∧ αv (u, v)) · (ω′(u) ∧ ω(u)) = 0.

Dicha curva divide a la superficie en dos partes que son de algunaforma muy parecidas (en muchos casos existe algun tipo desimetrıa).


Parametrizacion de la lınea de estriccion

La lınea de estriccion, de una superficie reglada no cilındrica,contiene:

• Los puntos singulares, αu(u, v) ∧ αv (u, v) = 0.

• Los puntos centrales, para los que ω′(u) ∧ ω(u) es ortogonal aαu(u, v) ∧ αv (u, v).

Es la curva parametrizada por:

β(u) = γ(u)−(

(γ′(u) ∧ ω(u)) · (ω′(u) ∧ ω(u))

||ω′(u) ∧ ω(u)||2

)ω(u).

Ejemplos con Maple


Arista de retrocesoDefinicion La lınea de estriccion de una superficie desarrollabletangencial recibe el nombre de arista de retroceso.

En este caso solo contiene puntos singulares y su nombre se debeal siguiente resultado.

Recordemos que S esta parametrizada por

α(u, v) = γ(u) + vω(u) con ω(u) 6= 0,∀u.

Si γ′(u) ≡ 0 (es identicamente cero), S es conica y si ω′(u) ≡ 0, Ses cilındrica.

Proposicion Sea S una superficie desarrollable para la que γ′(u) yω′(u) nunca se anulan. Se demuestra que S es una superficiedesarrollable tangencial de su arista de retroceso, parametrizadapor β(u). Es decir,

α(u, v) = β(u) + vβ′(u).

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