(1.1.1)(1.1.1)

(1.1.4)(1.1.4)

(1.1.3)(1.1.3)

(1.1.2)(1.1.2)

(1.1.5)(1.1.5)

EXTREMOS RELATIVOS Y CONDICIONADOS

Extremos relativos en funciones de dos variables

Calcular los puntos criticos de f y el plano tangente a z=f(x,y) en dichos puntos.

¿Tiene f un extremo local en dichos puntos? En caso afirmativo explicar de qué

tipo.

restart;

f:=(x,y)->4-x^2-1/4*y^2;

D[1](f);

D[2](f);

solve({D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)},{x,y});

pt:=(x,y)->f(0,0)+D[1](f)(0,0)*x+D[2](f)(0,0)*y;

plot3d({f(x,y),pt(x,y)},x=-2..2,y=-2..2);

(1.2.1)(1.2.1)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.1.6)(1.1.6)

Hf:=matrix(2,2,[D[1,1](f)(0,0),D[2,1](f)(0,0),D[1,2](f)(0,

0),D[2,2](f)(0,0)]);

La matriz hessiana de f en (0,0) es definida negativa, por lo tanto f tiene en (0,0) un máximo local (de hecho absoluto).

Calcular los puntos criticos de y el plano tangente a z=g(x,y) en

dichos puntos. ¿Tiene f un extremo local en dichos puntos? En caso afirmativo

explicar de qué tipo.

restart:

g:=(x,y)->x^2-y^2;

D[1](g);

(1.2.5)(1.2.5)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.2.3)(1.2.3)

(1.2.4)(1.2.4)

(1.2.6)(1.2.6)

D[2](g);

solve({D[1](g)(x,y),D[2](g)(x,y)},{x,y});

pt:=(x,y)->g(0,0)+D[1](g)(0,0)*x+D[2](g)(0,0)*y;

plot3d({g(x,y),pt(x,y)},x=-2..2,y=-2..2);

Hg:=matrix(2,2,[D[1,1](g)(0,0),D[2,1](g)(0,0),D[1,2](g)(0,

0),D[2,2](g)(0,0)]);

La matriz hessiana de f en (0,0) es indefinida, por lo tanto f tiene en (0,0) un punto de silla.

Calcular los puntos criticos de y el plano

(1.3.3)(1.3.3)

(1.3.5)(1.3.5)

(1.3.4)(1.3.4)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.3.7)(1.3.7)

(1.3.6)(1.3.6)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.2)(1.3.2)

tangente a z=f(x,y) en dichos puntos. ¿Tiene f un extremo local en dichos

puntos? En caso afirmativo explicar de qué tipo.

restart:with(plots):

f:=(x,y)->2*x^3+2*y^3-x^2-y^2-2*x*y;

2*x^3+3*y^3-x^2-y^2-2*x*y;

D[1](f);

D[2](f);

solve({D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)},{x,y});

pt1:=(x,y)->f(0,0)+D[1](f)(0,0)*x+D[2](f)(0,0)*y;

pt2:=(x,y)->f(2/3,2/3)+D[1](f)(2/3,2/3)*x+D[2](f)(2/3,2/3)*

y;

Gsup:=plot3d({f(x,y)},x=-2..2,y=-2..2, color=pink):

Gpt1:=plot3d({pt1(x,y)},x=-2..2,y=-2..2,color=blue):

Gpt2:=plot3d({pt2(x,y)},x=-2..2,y=-2..2,color=green):

display(Gsup,Gpt1);

(1.2.2)(1.2.2)

display(Gsup,Gpt2);

(1.4.3)(1.4.3)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.4.4)(1.4.4)

(1.4.2)(1.4.2)

(1.4.1)(1.4.1)

Calcular los puntos criticos de y el plano

tangente a z=f(x,y) en dichos puntos. ¿Tiene f un extremo local en dichos

puntos? En caso afirmativo explicar de qué tipo.

f:=(x,y)->2*x^3+3*y^3-x^2-y^2-2*x*y;

D[1](f);

D[2](f);

solve({D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)},{x,y});

(1.4.6)(1.4.6)

(1.4.9)(1.4.9)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.4.5)(1.4.5)

(1.4.8)(1.4.8)

(1.4.7)(1.4.7)

(1.4.10)(1.4.10)

solve(3*_Z^2-6*_Z+1);

z1:=1+(1/3)*sqrt(6):z2:=1-(1/3)*sqrt(6):

simplify(D[1](f)((1/3)*z1,(1/3)*z1-1/9));simplify(D[2](f)(

(1/3)*z1,(1/3)*z1-1/9));0

0

simplify(D[1](f)((1/3)*z2,(1/3)*z2-1/9));simplify(D[2](f)(

(1/3)*z2,(1/3)*z2-1/9));0

0

P1:=[0,0];P2:=[(1/3)*z1,(1/3)*z1-1/9];P3:=[(1/3)*z2,(1/3)*

z2-1/9];

Veamos si f tiene en P3 un máximo, mínimo o punto de silla.

pt3:=(x,y)->f(P3[1],P3[2])+D[1](f)(P3[1],P3[2])*x+D[2](f)

(P3[1],P3[2])*y;

evalf(P3);

Gsup:=plot3d({f(x,y)},x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5, color=pink):

Gpt3:=plot3d({pt3(x,y)},x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5,color=blue)

:

display(Gsup,Gpt3);

(1.4.13)(1.4.13)

(1.4.12)(1.4.12)

(1.4.11)(1.4.11)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.4.5)(1.4.5)

Hf3:=matrix(2,2,[D[1,1](f)(P3[1],P3[2]),D[2,1](f)(P3[1],P3

[2]),D[1,2](f)(P3[1],P3[2]),D[2,2](f)(P3[1],P3[2])]);

with(linalg):

eigenvalues(Hf3);

evalf(%);

Como se apreciaba en la gráfica, f tiene en P3 un punto de silla.

Máximos y mínimos absolutos en funciones de dos variables.

(2.1.1)(2.1.1)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.4.5)(1.4.5)

(2.1.4)(2.1.4)

(2.1.5)(2.1.5)

(2.1.3)(2.1.3)

(2.1.6)(2.1.6)

(2.1.2)(2.1.2)

El recinto A={(x,y): x^4+y^4<=1} está cubierto por una bóveda cuya algura es,

en cada punto

z:=(x,y)->1-(2*x^4+2*y^4+x^2-y^2)/4;

y cerrado por un muro perimetral cilíndrico. Calcular:

a) las alturas máximas y mínimas de la bóveda. (cada unidad representa 10 metros).

solve({diff(z(x,y),x),diff(z(x,y),y)},{x,y});

Puntos críticos.

P1:=[0,0];P2:=[0,1/2];P3:=[0,-1/2];

z(0,0);z(0,1/2);z(0,-1/2);1

33

32

33

32

Clasificamos los puntos críticos de z(x,y) aunque no es necesario para contestar a la pregunta.

Hf:=(x,y)->matrix([[D[1,1](z)(x,y),D[1,2](z)(x,y)],[D[2,1]

(z)(x,y),D[2,2](z)(x,y)]]);

Hf(0,0);

Indefinida->Punto de silla.

Hf(0,1/2);

(2.1.11)(2.1.11)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.4.5)(1.4.5)

(2.1.7)(2.1.7)

(2.1.9)(2.1.9)

(2.1.8)(2.1.8)

(2.1.12)(2.1.12)

(2.1.6)(2.1.6)

(2.1.10)(2.1.10)

Definida negativa-> Máximo relativo.

Hf(0,-1/2);

Definida negativa-> Máximo relativo.

b) las alturas máximas y mínima del muro.

L:=(x,y,lambda)->1-(2*x^4+2*y^4+x^2-y^2)/4-lambda*(x^4+y^4

-1);

solve({D[1](L)(x,y,lambda),D[2](L)(x,y,lambda),D[3](L)(x,y,

lambda)},{x,y,lambda});

Q1:=[1,0];Q2:=[-1,0];Q3:=[0,1];Q4:=[0,-1];

evalf(RootOf(_Z^2+RootOf(-1+2*_Z^4)^2));

z(1,0);z(-1,0);z(0,1);z(0,-1);1

4

1

4

(2.1.12)(2.1.12)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.4.5)(1.4.5)

(2.1.6)(2.1.6)

3

4

3

4

Conclusión:Altura máxima de la bóveda 33/32 (interior y borde de la bóveda, que es el muro).Máximo en el muro 30/4, mínimo en el muro 10/4 que es también el mínimo en la bóveda.

El recinto A={(x,y): x^2+y^2<=4} está cubierto por una bóveda cuya algura es,

en cada punto

z:=(x,y)->(30-x^4-y^4+4*y^2)/20;

y cerrado por un muro perimetral cilíndrico. Calcular:

a) las alturas máximas y mínimas de la bóveda. (cada unidad representa 10

metros)

b) las alturas máximas y mínima del muro.