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Valores extremos de funciones y Teoremas Fundamentales del Clculo Diferencial.
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6.2 Teoremas fundamentales del Clculo Diferencial.Contenidos:6.1 Extremos globales y locales de funciones. 6.3 Criterio de la primera derivada.
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6.1 Extremos globales y locales de funciones.
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Definicin: Sea f una funcin definida en un conjunto de nmeros reales S y cS:a. f(c) es el mximo de f en S si para todo xS.b. f(c) es el mnimo de f en S si para todo xS.
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Los valores mximo y mnimo de f en S se llaman extremos globales o absolutos de S.extremos globalesmximomnimo
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TEOREMA 1 (2 Teorema de Weierstrass)
Si f es una funcin continua en [a,b] entonces f toma sus valores extremos al menos una vez en [a,b].
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El teorema proporciona una condicin suficiente para la existencia de extremos globales en un intervalo cerrado, pero no en intervalos no cerrados. Analicemos los siguientes ejemplos:
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Ejemplo1a. La funcin es continua en el intervalo [0,1) pero no en el cerrado [0,1]. Se observa, en la grfica siguiente, que f(0)=1 es el mximo pero la funcin no tiene mnimo.
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Grfico del ejemplo 1 (a.)Mximo de la funcinPunto de discontinuidad
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Grfico del ejemplo 1 (b.)Mximo de la funcinNo existe Mnimo-
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Ejemplo 2Observando el grfico podemos apreciar algunas caracteristicas:
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Definicin: Sea f una funcin definida en un conjunto de nmeros reales S y cS:
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Definicin: Sea f una funcin definida en un conjunto de nmeros reales S y cS:
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Los valores mximo y mnimo locales se llaman extremos locales de f en S.
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De la definicin se tiene que a diferencia de los extremos globales, que si existen son nicos, si los extremos locales existen no son necesariamente nicos, esto es: una funcin puede tener ms de un mximo o un mnimo local en su dominio de definicin.
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Un extremo local puede ser tambin global.En la figura que a continuacin se muestra puede observarse que el mximo global es f(-1)=f(2) en el intervalo [-3,2].
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Extremos locales y globalesf(-1)=f(2)f(1) mnimo local
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Definicin: Sea f una funcin continua en un punto c de su dominio. Diremos que c es un punto crtico de f si:
f(c) = 0 f(c) no existe.
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En el libro de texto, en la definicin de punto crtico, no se exige la condicin de continuidad la cual exigimos debido a que en los puntos que la funcin f satisface la 2 condicin puede f no ser continua.
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Los puntos crticos c de f dados por la f(c) = 0, se les llama tambin puntos estacionarios de f.
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De la observacin de los grficos que aparecen en las dos ltimas figuras todo parece indicar que los extremos locales de las funciones debemos encontrarlos en los puntos crticos de la funcin.
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TEOREMA 2 Si f tiene un extremo local en el punto c entonces c es un punto crtico.
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El teorema proporciona una condicin necesaria para la existencia de extremos locales de la funcin pero no suficiente. Un punto c del dominio de la funcin puede tener derivada nula o no existir y sin embargo c no ser un punto de extremo local de la funcin.
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Ejemplo 3a. La funcin f(x)=(x-1)5 + 2 tiene derivada f(x)=5(x-1)4 luego f(1)=0 por lo que x=1 es un punto crtico pero no es punto de extremo debido a que f(1)=2 pero f(x)1.
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f(1)=0 existencia de extremo local de la funcin en x=1f(x)2NO IMPLICA
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La funcin f no es derivable en x=2 Pero f NO tiene extremo local en x=2
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Procedimiento para obtener los extremos globales de una funcin f continua en un intervalo cerrado [a,b].
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1. Obtenemos los puntos crticos c1 c2,, cn 2. Evaluamos f(c1), f(c2),, f(cn). 3. Evaluamos f(a) y f(b).
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1. Encontramos todos los puntos crticos (c1, c2,..,cn ) de f en (a,b).4. Obtenemos Max{ f(c1), f(c2),, f(cn), f(a), f(b)} y Min{ f(c1), f(c2),, f(cn), f(a), f(b)}. Finalmente
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Ejemplo 4Calcular los extremos globales de f(x)=x3-3x+2 en el intervalo [-2,3].
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Los nicos puntos crticos se obtienen resolviendo la ecuacin:donde tenemos que x1= 1, x2= -1 son los puntos estacionarios.f (x)= 0f (x)= 3x2-3=0 x2=1
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f(1)= 0 f(-1)= 4 f(-2)= 0 f(3)= 20
Max{0,4,20}= 20 Min{0,4,20}= 0 Luego el mximo global de f es f(3)= 20 y el mnimo global es f(1)= f(-2)= 0. Calculando
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El mnimo global se encuentra en dos puntos, en el punto x= 1 del interior del intervalo y en x= -2 extremo del intervalo [-2,3].
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6.2 Teoremas fundamentales del Clculo Diferencial.
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Si f es una funcin derivable en un intervalo I, entonces los nicos puntos crticos son estacionarios y se obtienen resolviendo la ecuacin f (x)= 0.
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La ecuacin f (x)= 0 puede o no tener solucin. Cundo podemos garantizar que la ecuacin f (x)= 0 tiene al menos una raz en el intervalo I??
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Analicemos grficas de funciones con las siguientes caractersticas: Continua en el cerrado [a,b]. Derivable en el abierto (a,b). f(a)= f(b).
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Luego en dicho punto se tiene un extremo local para la funcin por lo cual la derivada de la funcin se anula en l.
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TEOREMA 3 (Teorema de Rolle)
Sea f una funcin continua en el intervalo [a,b] y derivable en (a,b) tal que f(a)= f(b). Entonces existe al menos un punto c de (a,b) tal que f (c)= 0.
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(Se realiza mediante los Teoremas 1 y 2)Como f es continua en [a,b], por el Teorema 1, f alcanza su valor mnimo m y su valor mximo M en [a,b].Veamos dos casos:Demostracin:
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La desigualdad M= m f(x) M implica que f(x)=m= M para todo x en [a,b].1. Si m= MEntonces f es constante en [a,b].Luego f (x)=0 para todo x en (a,b).
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Por lo que existe al menos un punto crtico c y por lo tanto f (c)= 0.2. Si m< MComo f(a)= f(b) al menos uno de los extremos m o M se alcanza exclusivamente en (a,b).
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Ejemplo 5La ecuacin x3- 3x+ p= 0 para todo valor de p real tiene una y solo una raz en (-1,1).Ejercicio propuestoSugerencia: Suponga que la ecuacin tiene dos races en [-1,1], sean estas y , tales que < .
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Si en las hiptesis del Teorema de Rolle suprimimos la condicin f(a)= f(b), entonces la recta que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la curva y= f(x) ya no es horizontal y tiene pendiente m 0.
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entonces se encontrar al menos un punto de la curva por el cual pasa una recta tangente paralela a la recta que pasa por (a,f(a)) y (b,f(b)).
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El Teorema toma el nombre de valor medio debido al cociente: que es el valor promedio de la funcin o la variacin media de f en el intervalo [a,b]. Al punto c(a,b) donde alcanza el valor medio se le llama punto medio de f en [a,b].
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Ejemplo 6Verificar que la funcinsatisface las hiptesis del Teorema del valor medio en el intervalo [-1,2]. Encuentre el punto, o los puntos medios.
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La funcin f es una fraccin racional, continua y derivable para todo x -2 ,es continua en [-1,2] y derivable en (-1,2).
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Aunque la ecuacin tiene dos soluciones x= -4 y x= 0 solo una, x=0, se encuentra en el intervalo (-1,2).
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TEOREMA 5 Sea f una funcin continua en el intervalo [a,b] y derivable en (a,b). f (x)> 0 para todo x en (a,b) f es creciente en [a,b]. f (x)< 0 para todo x en (a,b) f es decreciente en [a,b]. f (x)= 0 para todo x en (a,b) f es constante en [a,b].
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Para investigar los intervalos donde la funcin es creciente o decreciente se precisa realizar un anlisis del signo de la derivada por intervalos en el dominio de definicin de la funcin.
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Este procedimiento se lleva a cabo teniendo en cuenta los sub intervalos determinados por: todos sus puntos crticos y aquellos puntos donde la funcin no est definida.
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Ejemplo 7Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin:en todo su dominio.
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Los puntos crticos de f son x= 0 y x= 2. Derivando
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Se construye una tabla donde se analiza el signo de la derivada en los sub intervalos del dominio de f determinados por los puntos crticos y x= 1, punto donde la funcin no est definida.
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: creciente : decrecientePor qu es suficiente obtener el signo en un solo punto ycon ello inferir que es el mismo signo en todoel intervalo?
Intervalo(-,0)(0,1)(1, 2)(2, )c-11/23/23f(c)3/4-3-33/4Signo de f (x)+--+Comporta-miento de f
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Grficamente se tiene:++--
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TEOREMA 6 (Criterio de la Primera Derivada)Sea f derivable en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en cI punto crtico de f, entonces:
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Mximo local
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Mnimo local
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Ejemplo 8Determinar los extremos locales de
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No es derivable en x=0 y en x=2
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Es fcil verificar que los nicos puntos crticos son: x=1/2 anula a la derivada. x=0 la derivada no existe. x=2 la derivada no existe.
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Se construye una tabla con los sub intervalos determinados :Mnimo MximoMinimo
Intervalo(-,0)(0,1/2)(1/2,2)(2,)c-11/413f (c)-51/2-13Signo f (x)- + -+
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De la tabla anterior se tiene:1. En x= 0 el signo de la derivada cambia de - a +, luego f(0)= 0 es un mnino local.2. En x= 1/2 el signo de la derivada cambia de + a -, luego f(1/2)= 1/4 es un mximo local.
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3. En x= 2 el signo de la derivada cambia de - a +, luego f(2)= -2 es un mnimo local.
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Grfica de la funcin
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Ejercicios para resolver
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1. Mediante el empleo de Derive, construya la grfica de la funcin:en el intervalo [-1,3]. Observe detenidamente el grfico y responda las siguientes preguntas:
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a. f es continua en [-1,3]?b. f es derivable en (-1,3)?c. Existen puntos crticos de f en (-1,3)? Determnelos.d. Existen extremos locales y globales en [-1,3]?. Determnelos.
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2. Dada la funcinDetermine, si existe, el valor de a de modo que g(1) sea un extremo local.Investigue si es un mximo o un mnimo.Para el valor de a obtenido existe otro punto de extremo local adems de x=1?
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3. Dadas las funciones:a.
b.Determine:a. Intervalos de crecimiento y decredimiento.b. Extremos locales.
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Datos:
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4. De un cierto polinomio P mnico de grado 3 se conoce que tiene 2 puntos estacionarios x=-1 y x=2 (puede tener ms de dos puntos estacionarios?). Complete la informacin que se brinda en la siguiente tabla:
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Intervalo(-,-1)(-1,2)(2,)c-204f(c)12-630Crecimiento
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Determine los extremos locales, y adems si se conoce que P(-1)=25/2 y que P(2)=-1 haga un grfico aproximado del polinomio P.a. Encuentre el polinomio.
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5. Justifique, sin derivar, la siguiente afirmacin:La funcin f(x)= x3-x2+1 tiene al menos un punto en la curva y= f (x) por el cual pasa una tangente de pendiente m= 6 en el intervalo [-2,3]. Determine el o los puntos. Hacer un grfico ilustrativo usando Derive.
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6. En una carrera de bicicletas, siendo las 9:00 am un ciclista pasa por una meta volante P a una velocidad de 42km/h. Una segunda meta volante Q distante 80 km de A, es cruzada por el mismo ciclista a una velocidad de 36 km/h a las 11:20 am.
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Demostrar que en algn momento del recorrido pedale por debajo de 40km/h.
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7. Emplear el teorema de Rolle para demostrar que entre dos races reales de un polinomio se encuentra una raz de su derivada.
Demuestre que un polinomio de grado tres a lo sumo tiene tres races reales.
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8. Probar que en la parbola f(x)= Ax2+Bx+C, la cuerda que une los puntos M(a,f(a)) y N(b,f(b)) es paralela a la recta tangente a la curva y= f(x) en el punto x= (a+b)/2.
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9. Seaa. Dibujar la grfica de f en el intervalo [0,2].
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b. Verificar que satisface las hiptesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0,2] y encontrar todos los valores medios.c. Verificar que satisface las hiptesis del Teorema de Rolle en .
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