Lidia C. Diblasi

CAPÍTULO IV

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

¿Por qué hablar de Probabilidad

En el primer capítulo cuando definimos algunos conceptos hablamos de

población y de muestra , dijimos que cuando trabajamos con datos lo hacemos

en general con una muestra ya que, por distintos motivos como veremos en el

capítulo VI, nos resulta más accesible. Pero al trabajar con una parte y no con

toda la población nos obliga luego a hacer generalizaciones para conocer al

todo y este paso de la muestra a la población nos produce incertidumbre.

Por ello es necesario establecer reglas y criterios claros para extender

las conclusiones más allá de los datos observados. ¿Cómo inferir conclusiones

generales que abarquen los casos no observados?

Cuando hacemos las generalizaciones la incertidumbre “se paga” dice

Ambrosi aceptando cierto margen de error y todos los esfuerzos se dirigen a

hacer que éste sea mínimo. Los métodos que propone la Estadística han

demostrado, al aplicarse en diversos campos y circunstancias, que son

robustos y confiables. (pág. 191 y 21)

Si en la muestra con la que estamos trabajando, los elementos que la

integran tuvieron todos, una posibilidad o probabilidad de ser elegidos, la

muestra es aleatoria y, por lo tanto, podemos tener una mayor confianza que

no tomamos sólo aquellos elementos que nos interesaban o que teníamos más

cerca. Esto nos permite reducir la incertidumbre y aumentar nuestra confianza

en términos de probabilidad.

Probabilidad es una palabra que nos es bastante familiar en el leguaje

cotidiano. En general, sin darnos cuenta, hablamos en términos como “es

probable que llegue tarde porque tengo un turno con el médico” o “es probable

que suba el precio de los alimentos de primera necesidad porque estamos

próximos a las fiestas de fin de año”, etc.

I - ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS

Lidia C. Diblasi

106

Antes de introducirnos en el tema vamos a repasar algunos conceptos

básicos.

1- Un experimento aleatorio ε es cualquier prueba cuyo resultado no se

puede predecir con exactitud. Mientras que un experimento determinista es

aquel donde si conocemos el resultado, por ejemplo puedo, decir con exactitud

qué sucederá si pongo agua en un recipiente sobre el fuego. 2- un suceso

aleatorio E, es cada uno de los posibles resultados, o una combinación de

resultados posibles de ese experimento aleatorio y, 3- a su vez, el conjunto de

todos los resultados posibles del experimento aleatorio se le llama espacio

muestral S.

Por su definición decimos que sólo en los experimentos aleatorios

hablamos de probabilidad.

Ejemplo: dado el experimento tirar dos monedas ε : veamos el espacio

muestral S y algunos posibles resultados del experimento o sucesos aleatorios

E:

Experimento aleatorio ε : “tirar dos monedas”

Espacio muestral S : { (c,s); (s, c); (c,c); (s,s) }

Sucesos aleatorios o eventos

E1: “que salgan dos caras”

E2: “que salga al menos una cara”

E3: “que salga un sello”

….…(posibles resultados)……..

Para poder medir la probabilidad de cada evento surge la “teoría de

probabilidades”. Esta teoría se desarrolla por la preocupación de los nobles

franceses por tener éxito en los juegos de azar. Toda probabilidad cumple con

tres axiomas.

Según la teoría clásica de probabilidades, la probabilidad se define

como:

P (E) = n

m

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107

donde m: es el número de resultados favorables al suceso E y n: es el

número de todos los resultados igualmente posibles e igualmente probables

en el experimento ε .

La definición clásica de probabilidades (de Laplace) sólo se puede

aplicar a los experimentos con un número finito de resultados favorables y, por

lo tanto, también es finito el número de casos posibles.

Por una definición más moderna de probabilidades basada en la

experimentación, vemos que en el experimento de lanzar una moneda, a

medida que aumenta n, o sea, el número de tiradas, más se aproxima a ½ o

0,5 la probabilidad de que el evento salga “cara”.

Esta definición se basa en las frecuencias relativas que no son otra cosa

que la cantidad de veces que ocurre un suceso, sobre el total de pruebas m/n.

Por eso deducimos que el suceso E tiene la probabilidad P (E), significa que las

frecuencias relativas del suceso E, al crecer n, tienden a hacerse constantes y

decimos que el experimento muestra regularidad estadística o estabilidad en

las frecuencias relativas.

Esta propiedad de las frecuencias relativas es la que permite aplicar el

cálculo de probabilidades a problemas reales, o sea, es el nexo que une la

Teoría de las Probabilidades con la Estadística Inferencial.

PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD (AXIOMAS)

1- La probabilidad de un suceso aleatorio cierto, es igual a la unidad:

P (E) = n

m= n

n= 1

Ejemplo:

¿cuál es la probabilidad que al tirar un dado aparezca una cara con por lo

menos un punto? Recordemos que si el dado no está “sesgado” todas las

caras tienen la misma probabilidad de salir. La P (1) o la probabilidad de la cara

con 1 punto es igual a 1/6; la de P(2) es igual a 1/6;y así para las seis caras;

Lidia C. Diblasi

108

por lo tanto la probabilidad que aparezca una cara con al menos 1 punto al

arrojar un dado es:

P (E)= 6

6= 1

2- La probabilidad de un suceso aleatorio imposible es igual a cero:

P (E) = n

m= n

0= 0

Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que al arrojar un dado aparezca una

cara con siete puntos?

P (E) = n

m=

6

0= 0

3- La probabilidad de un suceso aleatorio es un número comprendido entre 0 y

la unidad. Ninguna probabilidad puede ser menor que cero ni mayor que uno.

0 ≤ P(E) ≤ 1

¿Cómo sumar probabilidades?

Tenemos que diferenciar para ello, los sucesos mutuamente excluyentes

o incompatibles, de los sucesos no excluyentes o compatibles.

a- Con eventos mutuamente excluyentes:

Dos eventos son mutuamente excluyentes o incompatibles cuando no

tienen ningún elemento en común, o sea, no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo: sea el experimento aleatorio lanzar un dado:

A : “que el dado muestre número par”

A : { 2, 4, 6 } B : “que el dado muestre número impar”

B : { 1, 3, 5 }

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109

A y B son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles porque no

puede ocurrir simultáneamente. Sale un número par o un número impar al tirar

una vez un dado.

Si realizamos el diagrama de Venn observamos que:

A ∩ B = Ø

Podemos decir entonces que dado dos eventos excluyentes o incompatibles, la

suma de A y B es igual a la suma de las probabilidades individuales. En

nuestro ejemplo la P(A) = 6

3 y la P(B) =

6

3 por lo que la probabilidad P (A ó B )

= P (A υ B) = P (A) + P (B)

Adición de Sucesos Mutuamente Excluyentes

P (A ó B ) = P (E1) + P (E2)

La regla de la adición se puede extender al caso de más de dos sucesos.

P(A o B o C……..K) = P(a) + P(B) + P(C)+……+ P(K)

Ejemplo:

Supongamos que de un grupo de 75 estudiantes universitarios 30 son nacidos

en Mendoza (M) y 25 en otra provincia (OP). Nadie puede haber nacido en

Mendoza y a su vez en otra provincia, podemos entonces calcular la

probabilidad de que al escoger un alumno al azar de éste grupo sea mendocino

o nacido en otra provincia:

P (M υ OP) = P (M) + P (OP)

A B 2

4

6

1

3

5

Lidia C. Diblasi

110

P (M) = 75

30 P (OP) =

75

25

P (M υ OP) = 75

30 +

75

25

= 75

55

= 0,73

b- Con eventos no excluyentes o compatibles

Dos o más eventos son no excluyentes o compatibles cuando tienen elementos

en común y, por lo tanto, pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo: sea el experimento aleatorio ε : “tirar un dado”

A: “el dado muestra número par”

A: { 2, 4, 6 } B: “el dado muestra número mayor que 3”

B: { 4, 5, 6 }

Si al tirar el dado aparece el número 4, se dan simultáneamente los

sucesos A y B , porque el 4 pertenece a ambos sucesos; por lo tanto A y B son

no excluyentes o compatibles y la intersección entre ellos no es igual a vacío:

A ∩ B ≠ Ø

Podemos decir entonces, que dados dos eventos compatibles o no

excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno o el otro o ambos, es igual a la

B

A

2

4 5

6

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111

probabilidad de un evento más la probabilidad del otro, menos la probabilidad

conjunta de ambos eventos.

P (A υ B) = P (A) + P (B) − P ( A ∩ B )

En nuestro ejemplo la probabilidad del evento P(A) es 3/6 y la del evento P(B)

es 3/6. Como ambos tienen en común los valores 4 y 6 por ser números par (A)

y mayor que tres (B), los eventos A y B son compatibles porque tienen

elementos en común por lo que pueden ocurrir en forma conjunta. Si sumamos

el resultado de un evento: 6

3 más el del otro evento:

6

3 vamos a sumar dos

veces la probabilidad de ocurrencia del valor 4 y el 6 por eso debemos restar la

probabilidad de la intersección:

P (A υ B) = P (A) + P (B) − P ( A ∩ B )

=6

3 +

6

3 -

6

2

= 6

4

Adición de sucesos no excluyentes o compatibles o Probabilidades

Totales.

Ejemplo: supongamos que de un grupo de estudiantes universitarios tengamos

la siguiente clasificación según el lugar de nacimiento:

Mendocinos

(m)

Sanjuaninos

(s)

Otras

procedencias

(op)

Total

Hombres (H) 25 15 5 45

Mujeres (M) 10 10 10 30

Total 35 25 15 75

Si seleccionamos una persona de ese grupo al azar ¿cuál es la probabilidad de

que se seleccione una mujer o un mendocino?

P (M υ m) = P (M) + P (m) − P ( M ∩ m )

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112

La probabilidad de mujer es: P (M) = 75

30

La probabilidad de haber nacido en Mendoza: P (m) = 75

35

La probabilidad de ser mujer y mendocina es: P ( M ∩ m ) = 75

10

Por lo que la probabilidad de escoger una mujer o un estudiante nacido en

Mendoza, siendo estos eventos compatibles o no excluyentes es:

P (M υ m) = 75

30 +

75

35 −

75

10

P (M υ m) = 75

55

P (M υ m) = 0,73 ó del 73%

PROBABILIDAD CONDICIONAL

A veces interesa conocer la probabilidad de ocurrencia de un suceso B

bajo la condición de que ya se ha verificado un suceso A. Es decir, para hallar

la probabilidad de B es necesario saber si ocurrió A. Esta probabilidad se la

llama probabilidad condicional de B dado A; se anota P(B/A) y se lee:

probabilidad de B dado A.

Se reduce nuestra esfera de interés a un subconjunto del conjunto

universal:

P (B / A) = )(

)(

AP

ABP I , el subconjunto A, pasa a denominarse espacio

muestral reducido.

Ejemplo: siguiendo con los datos del ejercicio anterior, supongamos que

queremos seleccionar al azar un estudiante mendocino, si ya fue seleccionado

el grupo de estudiantes mujeres. El espacio muestral reducido es el conjunto

de mujeres

P (m/ M) = )(

)(

MP

MmP I

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113

P (m/ M) = 7530

7510=

30

10 = 0,33

Esta probabilidad se denomina condicional porque, siguiendo el ejemplo,

el evento M (mujer), que ya ocurrió, actúa como condicionante, modificando la

probabilidad de ocurrencia de m (mendocino).

Nota: dado dos eventos A y B se llama probabilidad conjunta: A ∩ B. El signo

∩ señala o simboliza una intersección.

Probabilidad conjunta

Frecuentemente necesitamos que ocurran en forma conjunta dos

eventos A y B, o sea, P( A ∩ B ). Esto se conoce como la probabilidad de que

ocurran el evento A y B .

Según la ecuación anterior:

P (A ∩ B ) = P (B / A) • P (A)

P ( B ∩ A ) = P (A / B) • P (B)

A esto se denomina probabilidad de la multiplicación. Pero para poder

multiplicar sucesos o eventos, debemos saber primero si ellos son

independientes o dependientes

a- Eventos independientes

Si se cumple que la P (B / A) = P (B ) ó

P (A / B ) = P (A ) se dice que los sucesos A y B son

independientes y que la probabilidad de uno de ellos no depende de la

ocurrencia del otro. Los sucesos son independientes y por lo tanto la ocurrencia

conjunta estará dada por:

P ( B ∩ A ) = P (B) • P (A)

P ( A ∩ B ) = P (A) • P (B)

Por lo tanto, la probabilidad de que aparezcan simultáneamente dos

sucesos independientes, es igual al producto de las probabilidades de ambos

sucesos.

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114

Ejemplo: si en un grupo de 75 alumnos hay 40 de abogacía (A), 20 de

economía (E) y 15 sociología (S) ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar

uno de abogacía y uno de economía y uno de sociología, en ese orden?

P (A ) = 75

40

P (E) = 75

20 P (A y E y S) =

75

15

75

20

75

40⋅⋅

P (S) = 75

15 = 0,028

Y si no repusiéramos a los alumnos una vez hecha la selección:

P (A y E y S) = 73

15

74

20

75

40⋅⋅

P (A y E y S) = 0,029

b- Eventos dependientes

Si se cumple P(A / B ) ≠ P (A ) ó

P(B / A) ≠ P (B ) entonces los sucesos son dependientes y

la ley multiplicativa será:

P (A ∩ B ) = P(B / A) P(A ) o P (A ∩ B ) = P(A / B) P(B )

Se lo llama también Probabilidades Compuestas.

Veamos un ejemplo: supongamos que llamamos:

A: al evento: tener un ingreso elevado y su probabilidad es de 10/70;

B al evento: poseer automóvil y su probabilidad 50/70;

(A ∩ B) al evento: tener auto e ingreso elevado y su probabilidad es 8/70.

Se nos pide calcular la probabilidad de escoger al azar una persona de ese

grupo que tenga ingreso elevado y posea automóvil. Si no supiéramos la

relación existente entre uno y otro evento deberíamos, en primer lugar, probar

si son dependientes.

Lidia C. Diblasi

115

Si son dependientes se cumple: P (A/B) ≠ P(A)

Veamos qué ocurre: P (A/B) = )(

)(

BP

BAP I

= 70/50

70/8

P (A/B) = 50

8 = 0,16 P (A) =

70

10= 0,14

como 0,16 es distinto a 0,14 decimos que los eventos son dependientes, ya

que se cumple P (A/B) ≠ P(A)

P (A ∩ B) = P (A/B) • P (A)

= 0,16 • 0,14

= 0,0224

Dijimos que cuando los eventos son dependientes se cumple

P (A ∩ B ) = P(B / A) P (A ) o P (A ∩ B ) = P(A / B) P (B )

Veamos si se cumple con un ejemplo:

Supongamos que tenemos una muestra de 38 personas clasificadas por sexo y

condición laboral:

Ocupado Desocupado Total Narginal Varón 15 7 22

Mujer 11 5 16

Total marginal 26 12 38

Calculemos la probabilidad de que al seleccionar al azar salgan conjuntamente

varón y ocupado

1- P(V∩O) según la fórmula = P(V/O). P(O)

P(V/O)= 3826

3815

P(V/O)= 26

15

P(O) = 38

26

Lidia C. Diblasi

116

P(V/O). P(O) =26

15.38

26=

38

15= 0,39..

2- P(O∩V) = P(O/V). P(V)

P(O/V).= 3822

3815

P(O/V).= 22

15

P(V) = 38

22

P(O/V). P(V) =22

15.38

22=

38

15= 0,39..

Vemos que ambos resultados son iguales, por lo tanto se cumple la

aparición conjunta para eventos dependientes, es igual a P(A∩B) que se puede

leer directamente en el cuadro.

Por lo que podemos resumir diciendo cuando multiplicamos probabilidades la

aparición conjunta de dos eventos se calcula según sean independientes o

dependientes:

a- eventos independientes: P(A∩B) = P(A) . P(B)

b- eventos dependientes: P(A∩B) = P(A/B).P(B) ó P(B/A).P(A)

El tema de la teoría de las probabilidades es muy amplio, se ha escrito

mucho sobre ello, pero no es un tema en el cual nos explayaremos en este

trabajo. Siguiendo a García Ferrando podemos decir que “el estudio elemental

de algunas propiedades matemáticas de las probabilidades nos es suficiente

para poder seguir adelante en nuestra revisión del trabajo estadístico en la

sociología empírica” (1992; pág. 123).

VARIABLE ALEATORIA

Cuando hablamos de variable nos referimos a una característica de un

conjunto de unidades de análisis ya sea una población o una muestra, por

ejemplo:

Principal actividad que realiza un grupo de personas de 45 años.

Número de piezas defectuosas de un proceso de producción.

Tiempo que demora una persona de su casa al trabajo.

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117

Distancia que recorre esa persona.

Todas estas son características de la población que llamamos variables.

Ahora bien, las variables pueden tomar distintos valores (valor numérico o

modalidad) o resultados posibles a los cuales les asignamos un número real.

Por ejemplo, supongamos que al escoger al azar dos personas de un grupo,

nos interesa que sea X: “trabajador dependiente (TD)”, los posibles resultados

serán:

S de xi fi

s1 (TD, otro) 1

s2 (TD, TD) 2

s3 (otro, TD) 1

s4 (otro, otro) 0

¿Qué tenemos? Un experimento aleatorio ε y como resultado un espacio

muestral “S”. A cada posible resultado, en el ejemplo de una variable nominal,

le hemos asignado un número real (su frecuencia).

Entonces podemos decir que una variable aleatoria es aquella cuyos

valores surgen de asignar números a los resultados de un experimento

aleatorio.

Por ejemplo: Si trabajamos con una muestra aleatoria en donde cada

uno de sus elementos ha sido seleccionado al azar, con una misma

probabilidad de ocurrencia, y queremos estudiar la “cantidad de hijos por

familia”, los valores asignados a esta característica en la muestra constituyen

una variable aleatoria.

X: cantidad de hijos fi

0 2

1 4

2 8

3 12

4 7

5 4

6 1

7 2

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118

A cada uno de los valores de X: “cantidad de hijos” le hemos asignado un

número real (fi). Tenemos una variable aleatoria. La podemos representar:

Nº de hijos por familia

7.006.005.004.003.002.001.00.00

Fre

cuencia

14

12

10

8

6

4

2

0

Como a cada resultado de una variable aleatoria (v.a.) se le puede

asignar una probabilidad, podemos construir una distribución de

probabilidades a la cual podemos definir como: la función que surge de

asignar probabilidades a cada uno de los resultados de una variable aleatoria.

El recorrido de la v. a. X, o los posibles valores que puede tomar la v. a.

X son R(X) = (O, 1, 2,…..) y, a su vez, a cada uno de estos valores le

corresponde una probabilidad.

La probabilidad de escoger una familia que tenga 0 hijo, de nuestro ejemplo,

es:

P(x=0) = 2/40 ó 0,05 o del 5%

P(x=1) = 4/40 ó 0,10 ó del 10%

P(X=2) = 8/40 ó 0,20 ó del 20%

………………………………….. ∑ fi = n = 40

En el siguiente cuadro podemos observar la variable aleatoria con los

valores asignados a cada valor de la variable, su probabilidad de ocurrencia

(distribución de probabilidad) y el porcentaje correspondiente (la probabilidad

multiplicada por 100)

Lidia C. Diblasi

119

Distribución de probabilidad de la variable aleatoria “cantidad de hijos por

familia”

X: nº de hijos fi P(xi) %

0 2 0.05 5

1 4 0.1 10

2 8 0.2 20

3 12 0.3 30

4 7 0.175 17.5

5 4 0.1 10

6 1 0.025 2.5

7 2 0.05 5

Como la variable que estamos trabajando es discreta podemos

representar su distribución de probabilidad mediante un gráfico de bastones:

Nº de hijos por familia en porcentajes

Nº de hijos por familia

76543210

Po

rce

nta

je

40

30

20

10

0

Este es un ejemplo muy sencillo porque los valores que puede tomar la

variable son enteros y, además muy pequeños. Pero, supongamos que

tomamos la variable “tiempo que demoran las personas en llegar de su casa al

trabajo”, en este caso no podemos hacer una tabla con todos los valores

posibles porque son infinitos y, además, un infinito no numerable.

Lidia C. Diblasi

120

Cuando una variable puede tomar infinitos valores no numerables,

decimos que es continua. Si toma valores finitos o infinito numerable, la

variable es discreta.

Podemos definir la variable aleatoria discreta como la variable cuyo

recorrido R (X) consta de un número de valores finitos o infinito numerable (x1,

x2, x3, ….. xn ) y, que a cada valor xi le corresponde la probabilidad p (xi).

El conjunto de pares ordenados (xi ; p (xi)) donde i= 1, 2 …, define una

función p que se llama función de probabilidades o distribución de la

variable aleatoria X.

Esta función p cumple las siguientes propiedades:

a) 0 ≤ p (xi) ≤ 1 para toda i (lo que significa que toda probabilidad es

un número positivo comprendido entre 0 y 1)

b) ∑ p (xi) = 1 (lo que significa que la suma de las probabilidades de

todos los posibles resultados de un experimento aleatorio es igual a

1)

Una distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta, se

puede dar en forma de tabla o mediante un gráfico de bastones, por ejemplo:

X P(X= xi )

xi p (xi)

0 1/4

1 2/4

2 1/4

p (xi) 0,50 - 0,25 -

0 1 2 xi

Lidia C. Diblasi

121

En una variable aleatoria continua no podemos presentar la tabla

porque dijimos que no podemos conocer todos los valores posibles que toma,

por tratarse de un infinito no numerable, entonces, sustituimos la función p

definida para x1, x2, …., por una función f definida para todos los valores de X.

Decimos que X es una variable aleatoria continua si existe una función

f, llamada función densidad de probabilidades de X que cumple con las

propiedades de toda probabilidad

a) f (x) ≥ 0 para toda x

b) ∫∞

∞

f (x) dx = 1 − ∞ ⟨ x ⟨ ∞

c) ∫b

a f (x) dx = P ( a ⟨ x ⟨ b ) si − ∞ ⟨ a ⟨ b ⟨ ∞

En particular si la v. a. c. X toma sus valores posibles en un intervalo

(a, b) es:

P (a ⟨ X ⟨ b) = ∫b

a f (x) dx = 1

f (x)

a b x

Función de distribución acumulada de probabilidades de una variable

aleatoria

Ocurre si estamos trabajando con una v. a. X y los valores que ésta

toma son todos aquellos que son menores o iguales a un determinado valor de

la variable x. Su función de distribución acumulada de probabilidades es la

función F

Se anota F (x) = P ( X ≤ xi)

Lidia C. Diblasi

122

Propiedades:

a) 0 ≤ F (x) ≤ 1 para toda x

b) x1 ≤ x2 F(x1) ≤ F(x2)

c) lím F(x) = 1

x ∞

d) lím F(x) = 0

x − ∞

Si la v. a. es discreta F(x) = P ( X ≤ x) = ∑ p(xi)

xi ≤ x

Si la v. a. es continua F(x) = P ( X ≤ x) = ∫∞

∞

f (x) dx

Esperanza matemática

Cuando estudiábamos una distribución de frecuencias de una variable,

obteníamos generalmente la media aritmética, cuando consideramos una

variable aleatoria y su correspondiente distribución de probabilidades, la media

aritmética se denomina esperanza matemática y se calcula:

E (X) = ∑ xi p(xi)

Se calcula entonces el valor esperado promedio de una variable

aleatoria de acuerdo a la probabilidad asignada a cada uno de los valores de

dicha variable.

Varianza

La varianza de una variable aleatoria se define como la suma de los

desvíos de cada valor de la variable aleatoria con respecto a la esperanza

matemática, elevados al cuadrado y multiplicados por sus respectivas

probabilidades.

V (X) = ∑ [xi − E(X) ]2 • p(xi)

La raíz cuadrada positiva de la varianza es la desviación estándar D(X).

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Distribución Binomial

La distribución binomial ocurre si estamos interesados en el número de

veces que sucede un evento A en n ejecuciones independientes de un

experimento aleatorio. Suponiendo que A tiene una probabilidad:

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123

P (A) = p

en un solo ensayo, entonces 1 − p es la probabilidad de que en un solo ensayo

A no ocurra, es decir:

P ( A ) = 1 − p = q

Si tenemos la v. a. X: “número de veces que ocurre el evento A”, si el

experimento se realiza una sola vez, entonces X puede tomar los valores 0 o 1

de acuerdo a si A sucede o no y las probabilidades son:

P (x = 0) = q P (x = 1) = p

y las funciones de probabilidades de X tienen valores:

f (0) = q f (1) = p

entonces podemos combinar una fórmula única:

f (x) = px qn-x (x = 0;1 )

Por ejemplo, si arrojamos un dado y el evento A consiste en que

aparezca el 6, entonces p= 1/6. Si este experimento lo llevamos a cabo varias

veces (n veces), X puede tomar los valores 0, 1, 2,….., n y queremos

determinar las probabilidades correspondientes. Consideremos entonces el

evento X = x que significa que en x de los n ensayos ocurre A y en los otros

n−x pruebas no ocurre. Tenemos:

AA…A BB…………B

{ {

x veces (n−x) veces Recordemos que los ensayos o pruebas son independientes y que no

influyen unos sobre otros, entonces con P (A) = p y P (B) = q se tiene la

probabilidad:

pp…p qq…………q

{ {

x veces (n−x) veces

Pero hay distintas formas en que se pueden combinar las apariciones de

las letras A y B. Hay n

xC formas diferentes de elegir esos x números de los n;

por lo tanto P (X = x) es:

F (x) = n

xC px qn-x

En la distribución binomial o de Bernoullí, a la ocurrencia de A se le

llama éxito (p) y a la no ocurrencia de A, fracaso (q).

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124

Cuando x ≥ 0 F (x) = ∑n

kC pk qn-k

k ≤ xi

Media y Varianza de la distribución Binomial

µx = E (X) = n • p σ2 = V (X) = n • p • q σx = D(X)= qpn ⋅⋅

Para calcular la probabilidad de la ocurrencia de un evento de una v. a.

discreta, podemos usar tablas de la distribución binomial.

Ejemplo: el hecho de que alguna persona que ingresa a un supermercado haga

alguna compra que no sea de primera necesidad, tiene una distribución

binomial con p = 0,60. De un grupo de cinco personas tomadas al azar, calcular

la probabilidad de:

a) exactamente 2 personas efectúen compras,

b) no más de 2 personas efectúen compras y

c) al menos 2 personas efectúen compras.

Solución:

a) P (x = 2) = 5

2C 0,602 • 0,403

= 10 • 0,36 • 0,064

= 0,2304

La probabilidad de que exactamente dos personas de cinco que entran a un

supermercado efectúen compras es de 0,2304.

Otra forma de llegar a este resultado, es utilizando las tablas de la distribución

binomial. Si buscamos en la tabla para n = 5; p = 0,60 y x = 2, encontramos el

valor 0,2304.

b) P (x ≤ 2) = F (2) = P (0) + P (1) + P (2)

p (0) = 5

0C 0,600 • 0,405

p (0) = 1 • 1 • 0,01024

p (0) = 0,01024

p (1) = 5

1C 0,601 • 0,404

p (1) = 5 • 0,60 • 0,0256

p (1) = 0,0768

p (2) = 0,2304

= 0,01024 + 0,0768 + 0,2304

P (x ≤ 2) = 0,31744

Lidia C. Diblasi

125

El mismo resultado obtenemos si buscamos en la tabla de la distribución

binomial las probabilidades de 0, 1 y 2 y las sumamos o, de lo contrario, si

usamos una tabla de distribuciones acumuladas buscamos directamente la

probabilidad de X = 2 que contiene las probabilidades acumuladas de 0, 1 y 2.

c) P (x ≥ 2) = 1 – F ( x = 1)

= 1 – 0,0870

= 0,913

Esto se lee como la probabilidad de que de cinco personas que entran al

supermercado por lo menos dos compren, algún elemento que no sea de

primera necesidad, es igual a 0,913 o del 91,3%.

Lidia C. Diblasi

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Ejercicios propuestos:

1- El siguiente cuadro es uno de los resultados de una muestra aleatoria que se

obtuvo en distintas carreras de la Universidad Nacional de Cuyo y la Univ. Federal de

Río de Janeiro, donde se analiza las dificultades que tienen los alumnos universitarios

para aprender1.

Alumnos UNCuyo (A) UFRJ (B) TOTAL Sin dificultad Tengo que leer varias Verdadero (D1) 11 5 16

para aprender veces para comprender

(D) Ni verdadero 25 16 41

Ni falso (D2)

Falso (D3) 20 12 32

Sub total (D) `(56) `(33) `(89)

Con dificultad Tengo que leer varias Verdadero (F1) 31 5 36

para aprender veces para comprender

(F) Ni verdadero 21 11 32

Ni falso (F2)

Falso (F3) 8 10 18

Sub total (F) `(60) ´(26) ´(86)

TOTAL 116 59 175

Calculemos las siguientes Probabilidades:

a- Ser estudiante de la UNCuyo

b- Ser estudiante de la UFRJ.

c- Ser estudiante sin dificultades para aprender

d- Ser estudiante con dificultades para aprender

e- Ser estudiante de la UNCuyo ó tener dificultades para aprender

f- Ser estudiante sin dificultades para aprender dado que se selecciónó unos de la

UFRJ

g- Ser estudiante sin dificultades para aprender dado que se selecciónó unos de la

UNCuyo

h- Ser estudiante de la UNCuyo ó de la UFRJ

i- Ser estudiante de la UFRJ dado que se seleccionó uno con dificultad para aprender.

j- Que responda “verdadero” cuando se le pregunte si tiene que leer varias veces para

entender

1 Proyecto de Investigación dirigido por la Dra. Ida Lucía Morchio, aprobada y subsidiada por la

Secretaría de Ciencia Técnica y Posgrado de la UNCuyo, Mendoza 2007-2009. Investigación de la cual

formo parte.

Lidia C. Diblasi

127

k- Cuál es el porcentaje de estudiantes que responde “ni verdadero ni falso” cuando se

le preguntea si tiene que leer varias veces para entender.

2- El siguiente cuadro es una muestra aleatoria de 69 docentes extraída de la Facultad

de Ciencias Políticas y Sociales de la UNCuyo en 2007. A los docentes se los clasificó

según su dedicación y cargo en la cátedra:

Cargo Exclusivo

(É) Semi-

exclus.(SE) Simple (S) TOTAL Titulares (A) 6 11 2 19

Adjuntos (B) 3 12 2 17

JTP (D) 0 14 19 33

TOTAL 9 37 23 69

Calcular:

a- P (A ó B ó D)

b- P (A / E)

c- P (SE)

d- P ( SE )

e- P(D ∩ S)

f- P (B / SE).P(SE)

g- P (SE / B). P(B)

h- P (E ∩ SE)

3- Un investigador desea medir la “satisfacción” o “no satisfacción” de cada empleado

con la función que realiza en su puesto de trabajo; toma una muestra aleatoria y

obtiene los siguientes resultados:

Varones Mujeres

Satisfacción Calificados C

No calificados D

Calificadas E

No calificadas F TOTAL

Satisfecho A 350 150 25 100 625 No satisfecho B 150 100 75 50 375

TOTAL 500 250 100 150 1000

Calcular:

a- P(A ó B)

b- P(A ó D)

c- Calcule P(B ∩ C) y demuestre que los eventos B y C son dependientes y por lo

tanto: que la P(B/C) P(C) = P(C/B) P(B)

Lidia C. Diblasi

128

d- P(A y D)

e- P(E y F)

4- Se tomó una muestra aleatoria de 500 entrevistas a los residentes de una

comunidad para analizar las opiniones sobre un tema específico. Los datos se

clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplicó el cuestionario.

Se selecciona al azar uno de entre los 500 cuestionarios:

Cuál es la probabilidad de:

a) que sea contestado el cuestionario?

b) que la persona a quién iba dirigida la encuesta no esté en la casa?

c) que rehúse contestar?

d) que viva en el sector A? B? D? E?

e) que conteste el cuestionario dado que vive en el sector B?

f) que la persona rehúse contestar el cuestionario o viva en el sector D?

5- Con los mismos datos del ejercicio anterior calcular las siguientes probabilidades:

a) P (A ∩ R ) c) P (D ) e) P (B/ R)

b) P (N υ C) d) P ( N/ D) f) P (C)

6- En la ciudad de Mendoza el 60% de la población forma parte de la población

económicamente activa (PEA), si se selecciona una muestra aleatoria de 20

individuos:

a) Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los seleccionados

formen parte de éste grupo?

b) Cuál es la probabilidad de que no más de 10 forme parte de ese grupo?

c) Cuál es la probabilidad de que todos formen parte de ese grupo?

Resultado de la entrevista Sector de la ciudad

Contestó

(C)

No estaba en

casa (N)

Rehusó

contestar (R) Total

A 100 20 5 125

B 115 5 5 125

D 50 60 15 125

E 35 50 40 125

Total 300 135 65 500

Lidia C. Diblasi

129

d) Cual es la esperanza de ésta distribución?

7- En el archivo del personal de una empresa del medio se encontró que el

30% de los empleados de una determinada sección al año de haber sido

contratados ya no se encuentran trabajando en la misma. Si se contratan 10

empleados nuevos:

a) Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 sigan trabajando después del

año?

b) Cuál es la probabilidad que entre 3 y 6 sigan trabajando?

c) Cuál es la probabilidad de que ninguno siga trabajando?

8- En un examen que contiene 20 preguntas que deben ser respondidas como

verdadero o falso, un estudiante que no ha leído absolutamente nada decide

presentarse dejando su aprobación al azar. Usa una moneda y si la misma cae

cara pone “verdadero” y si cae sello pone “falso” 2

a) Cuál es la probabilidad que apruebe el examen si para aprobarlo debe

contestar el 70% de las preguntas?

b) Cuál es la probabilidad de que conteste al menos la mitad de las preguntas

correctamente?

c) Cuál es la esperanza de la distribución?

9- El 50% de la población adolescente toma bebidas con alcohol en las

reuniones con amigos. Si seleccionamos una muestra de 20 adolescentes:

a) Cuál es la probabilidad de que exactamente 12 consuman alcohol?

b) Cuál es la probabilidad de que más de 12 consuman alcohol?

c) Cuál es la probabilidad de que entre 5 y 10 consuman alcohol?

d) Cuál es la probabilidad de que ninguno consuma alcohol?

2 Este ejercicio lo hemos tomado del libro ya citado de Daniel, Wayne, ya que siempre ha sido muy bien

aceptado y comentado por los estudiantes en clase.

Lidia C. Diblasi

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Bibliografía consultada:

Ambrosi, Hugo Oscar, “La verdad de las Estadísticas. Aprender con los datos”

Lumiere, Buenos. Aires, 2008

Blanch, Nidia y Joekes, Silvia: “Estadística Aplicada a la Investigación” Nódulos

3 y 4- Curso de posgrado; Fac. de Ciencias económicas, Universidad Nacional

de Córdoba, 1994

Box, G.E.P.; Hunter, William; Stuart Hunter, J. “Estadística para investigadores.

Introducción al diseño de experimentos, análisis de datos y construcción de

modelos” Ed. Reverté, México, 2005

Canavos, George, C. “Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos”

McGraw Hill, México, 1990

Cortada de Kohan, Nuria, “Diseño estadístico (para investigadores de las

Ciencias Sociales y de la Conducta)” EUDEBA, Buenos Aires, 1994

Daniel, Wayne: “Estadística con aplicaciones a las Ciencias Sociales y a la

Educación”, McGraw Hill latinoamericana, S.A. Bogotá, Colombia. 1981

García Ferrando, Manuel: Socioestadística. “Introducción a la estadística en

sociología”, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1992

Hopkins, kenneth; Hopkins, B.R.; Glass, Gene: “Estadística básica para las

Ciencias Sociales y del Comportamiento” Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A.,

México, 1997

Spiegel, Murray, " Estadística", Serie de Compendios Shaum, McGraw Hill

Interamericana de México S.A.,1994

Diblasi, Lidia: "Probabilidad. Variable Aleatoria. Distribuciones de probabilidad

Distribución Binomial” 1996. Apuntes de cátedras. Mimeo.