3.4.competenciaenpreciosmodelode_

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3.4. Competencia en precios

modelo de Bertrand

Matilde Machado

para bajar las transparencias:

http://www.eco.uc3m.es/~mmachado/

Economa Industrial - Matilde Machado Modelo de Bertrand 2


modelo de Bertrand

En el modelo de Cournot, las empresas deciden

cuanto producir y el precio de mercado se ajusta

para equilibrar la oferta y la demanda. Pero la

frase el precio se ajusta es muy imprecisa, en la prctica como funciona este ajustamiento?

Es quizs ms natural pensar en las empresas

fijando precios y dejando que los consumidores

decidan cuanto quieren comprar a esos precios.

En este contexto surge el modelo de Bertrand

(1883).



modelo de Bertrand

Los supuestos son los mismos que los del modelo de Cournot pero las empresas eligen precios y no cantidades:

2 Empresas

Las empresas eligen precios simultneamente (es decir antes de observar el precio de su rival)

El producto de las empresas es homogneo (sustitutos perfectos) el consumidor compra del productor que le ofrezca un precio ms barato

Coste marginal constante = c para ambas empresas

Las empresas satisfacen toda la demanda (es decir no hay restricciones de capacidad)



modelo de Bertrand

Ejemplos de competencia a la Bertrand

pueden ser entre gasolineras en la misma

ruta/calle. La gasolina es un bien

homogneo y el conductor (en EEUU) por

lo menos puede mirar el precio sin parar a

la ida y en el regreso de su trabajo.



modelo de Bertrand

La demanda que enfrenta la empresa i es dada por:

( ) si capta toda la demanda del mercado

1( , ) ( ) si (o cualquier otra cantidad)

2

0 si pierde toda la demanda

i i j

i i j i i j

i j

D p p p

D p p D p p p

p p

pj

Di(pi,pj)

0.5D(pi) 0



modelo de Bertrand

El objetivo es de nuevo encontrar las funciones de

reaccin (ahora en precios) y luego el equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash se caracteriza por un vector de

precios (p*i,p*j) tal que cada empresa maximiza su

beneficio dado el precio de la otra empresa.

La paradoja de Bertrand dice que el nico equilibrio es

aqul en que p*i=p*j=c y por tanto los beneficios de

equilibrio son nulos Pi*Pj*0.

* * *

* * *

( , ) ( , )

( , ) ( , )

i i

i j i j i

j j

i j i j j

p p p p p

p p p p p

P P

P P



modelo de Bertrand

Vamos a demostrar que este es el nico equilibrio en el modelo de

Bertrand. La prueba se construye por contradiccin.

Prueba:

1) Supongamos que (sin prdida de generalidad) p*1>p*2>c es un

equilibrio y vamos a probar que esto no sera posible.

La empresa 1 no tendra demanda D1=0 P1=0

La empresa 2 tendra toda la demanda del mercado D2=D(p*2) y

P2=(p*2-c)D(p*2)>0

Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de la empresa 1

a p*2 no es p*1 sino p1= p*2-e. (e es pequeo) lo que llevara a P10.

Demostramos que la situacin p*1>p*2>c no constituye un equilibrio

del modelo de Bertrand



modelo de Bertrand

2) Supongamos que p*1=p*2>c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sera posible.

en este caso las empresas se reparten el mercado. Vamos a suponer que en partes iguales:

P1= (p*1-c)(D(p*1))>0

P2= (p*2-c)(D(p*2))= P1> 0

Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 1 a p*2 no es p*1 sino p1= p*2-e. (e es muy pequeo) en cuyo caso se ganara toda la demanda del mercado y P1= (p1-c)D(p1) (p*1-c)D(p*1) > P1= (p*1-c)(D(p*1))>0

Demostramos que la situacin p*1=p*2>c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand



modelo de Bertrand

Grficamente la situacin 2)

c

p*2

P1 P2

p*2-e

q

P



modelo de Bertrand

3) Supongamos que p*1>p*2=c es un equilibrio y vamos a

probar que esto no sera posible.

en este caso la empresa 1 no tiene demanda

P1= 0

P2= (p*2-c)D(p*2)=0 (toda la demanda)

Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de,

por ejemplo, la empresa 2 a p*1 no es p*2 sino p2= p*1-e. (e es pequeo) en cuyo caso mantendra toda la

demanda del mercado y P2= (p2-c)D(p2)>0

Demostramos que la situacin p*1>p*2=c no constituye

un equilibrio del modelo de Bertrand



modelo de Bertrand

4) El nico equilibrio posible es p*1=p*2=c. Pero hay que probar que es de

hecho un equilibrio

en este caso las empresas se reparten el mercado pero no tienen

beneficios.

P1= 0

P2= 0

Si la empresa 1 p1 P1= (p*1-e-c)D(p*1-e)=-eD(p*1-e)



modelo de Bertrand

Conclusin: Probamos la paradoja de Bertrand i.e. que

apenas con 2 empresas el nico equilibrio posible es

que las dos empresas tienen el mismo precio y este es

igual al coste marginal, por lo que tienen beneficios

nulos y no hay prdida de eficiencia.

Estamos en el mismo equilibrio que en competencia perfecta

pero con apenas 2 empresas. Esto es difcil de creer

porque con apenas 2 empresas es difcil de creer que

no se pueda tener situaciones con precios por encima

del coste marginal y beneficios positivos.



modelo de Bertrand

La funcin de reaccin de las empresas es

si

( ) si

si

M M

j

M

i j j j

j

p p p

R p p c p p

c p c

e



modelo de Bertrand

Grficamente la funcin de reaccin de las empresas es:

c

c

45

p1

p2

pM

pM

2

1 2 2 2

2

si

( ) si

si

M M

M

p p p

R p p c p p

c p c

e

R1(p2)

R2(p1)

El equilibro de Nash es

nico y se da donde se

cruzan las funciones de

reaccin (p*2=c,p*1=c) y la

demanda se reparte entre

los dos D*1=D*2=D/2



modelo de Bertrand

El caso Asimtrico: Costes marginales diferentes c1>c2 . En

este caso el resultado anterior ya no se verifica. El

equilibrio de Bertrand implica:

p*=c1 (en realidad c1-e, e pequeo) y la

empresa 2 capta todo el mercado y

obtiene beneficios>0

2

1

2 1 2 1 1 2 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

p

c c D c c c D ce e

P P

Nota: Si c1>pM(c2) entonces el equilibrio sera

p2=pM(c2)=argmax{p}(p-c2)D(p)



modelo de Bertrand

La paradoja del modelo de Bertrand se puede solucionar si se cambian cada uno de los 3 supuestos bsicos del modelo.

1. Solucin de Edgeworth: introduccin de restricciones de capacidad, que impiden la empresa vender ms cantidad de las que fsicamente puede producir. La idea es que al precio de competencia perfecta c, cada empresa por si sola no puede abastecer toda la demanda. El (p*1,p*2)=(c,c) ya no es un equilibrio del mercado. Porqu? Se prueba por contradiccin.

Imaginemos que es un equilibrio. Entonces P1=0, P2=0, si la empresa 1 sube el precio entonces la empresa 2 enfrenta toda la demanda pero no la puede absorber.

P2=(c-c)K=0 donde K0 y D1(p1)=D(p1)-K por tanto la empresa 1 tiene incentivos en desviarse el punto inicial no es un equilibrio.



modelo de Bertrand

2. Dimensin Temporal (juegos repetidos): Si consideramos que los

competidores no se encuentran en el mercado una sola vez sino que probablemente tiene una relacin de largo plazo entonces

pueden darse cuenta que una guerra de precios (p1=p2-e) solo

conduce a P=0.

3. Diferenciacin del producto. Si los productos no son homogneos

(ej: distintas marcas, distinta localizacin) entonces una reduccin

de precios no implica que el rival se quede sin demanda, es decir

no implica ganarse todo el mercado por lo que p=c ya no ser un

equilibrio.

Conclusin: El anlisis de Bertrand es un caso extremo, al

introducir supuestos ms realistas se suaviza la competencia y

el precio de equilibrio ser mayor que coste marginal

Los modelos de oligopolio no tienen que ser el mismo para

todas las industrias sino que uno u otro se adapta mejor a una

u otra industria

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