ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

1

BASES

Un conjunto finito de vectores {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛} es una base para un espacio vectorial 𝑉, si El conjunto es linealmente independiente. El conjunto genera espacio vectorial.

Para demostrar que un conjunto es una base, puede valerse de los Teoremas 1, 2 y 3, que se presentan a continuación, en lugar de demostrar con Gauss-Jordan que el conjunto es linealmente independiente y que genera espacio vectorial.

Teorema 1. Un conjunto de 𝑛 vectores en ℝ𝑚 (la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es de tamaño 𝑚 × 𝑛), siempre es linealmente dependiente si 𝑛 > 𝑚.

Teorema 2. Para un conjunto de 𝑛 vectores en ℝ𝑛 (la matriz de coeficientes 𝐴 del sistema homogéneo es de tamaño

𝑛 × 𝑛). El conjunto siempre es:

Linealmente dependiente si det(𝐴) = 0. Linealmente independiente si det(𝐴) ≠ 0.

Teorema 3: Cualquier conjunto de 𝑛 vectores en ℝ𝑛, linealmente independiente, genera ℝ𝑛. (Grossman, 2008)1

Ejemplos Demuestre que los siguientes conjuntos son una base para el espacio vectorial dado.

1. {(1,0, −1), (1,1,1), (1,2,4)}, 𝑒𝑛 ℝ3

𝑚 = 3 y 𝑛 = 3. La matriz de coeficientes 𝐴 es 3× 3

1 1 1

𝐴 = ( 0 1 2) , det(𝐴) = 1 −1 1 4

El det(𝐴) ≠ 0, este conjunto es linealmente independiente. El Teorema 3 aplica, una matriz cuadrada que tiene vectores linealmente independientes, siempre genera espacio. El conjunto es una base.

2. {𝑥2 + 1, 3𝑥 − 1, −3𝑥 + 1}, 𝑒𝑛 𝑃2

𝑚 = 3 y 𝑛 = 3. La matriz de coeficientes 𝐴 es 3× 3

1 0 0

𝐴 = (0 3 −3) , det(𝐴) = 0 1 −1 1

El det(𝐴) = 0, este conjunto es linealmente dependiente. El conjunto no es una base.

1 Grossman, S. I. (2008). Independencia l ineal. En S. I. Grossman, Álgebra lineal (Sexta ed., pág. 332). México, D. F.: McGraw Hill.

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

2

Observar los siguiente: Las bases de los Espacios Renglón y Columna se obtienen a partir de sistemas de ecuaciones lineales

no homogéneos.

La base del Espacio Nulo se obtiene a partir de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.

3. {𝑥 + 2, 3𝑥 − 1, 2𝑥}, 𝑒𝑛 𝑃

𝑚 = 2 y 𝑛 = 3. La matriz de coeficientes 𝐴 es 2× 3

1 3 2 𝐴 = (

2 −1 0 ) 𝑛 > 𝑚

𝑛 > 𝑚, este conjunto es linealmente dependiente. El conjunto no es una base.

4. {(2 0

) , (0 −1

) , (0 0

)} , 𝑒𝑛 𝑀22 0 0 0 0 3 0

𝑚 = 4 y 𝑛 = 3. La matriz de coeficientes 𝐴 es 4× 3

2 0 0 0 1 0 0 0 𝑎1 = 0

(0 −1 0 0 0 0

0|0) ~ ( 0 1 3 0 0 0

0|0) 𝑎2 = 0

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎

El sistema homogéneo tiene solución única nula, este conjunto es linealmente independiente.

2 0

(0 −1 0 0 𝟎 𝟎

0 𝑎 0|

𝑏) 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒

3 𝑐 𝟎 𝒅

El sistema es inconsistente, este conjunto no genera espacio en 𝑀22. El conjunto no es una base.

Bases de un espacio vectorial Las bases de un subespacio que se obtienen a partir de un sistema de ecuaciones lineales, son:

Base del Espacio Renglón (𝑅𝐴): Es el conjunto de vectores que genera un subespacio en ℝ𝑛. Este conjunto son los

vectores renglón de la matriz de coeficientes 𝐴, de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, reducida previamente a su forma canónica.

Base del Espacio Columna (𝐶𝐴): Es el conjunto de vectores que genera un subespacio en ℝ𝑚. Este conjunto son

los vectores columna de la transpuesta de la matriz de coeficientes 𝐴, de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, reducida previamente a su forma canónica.

Base del Espacio Nulo (𝑁𝐴): También llamada Núcleo o Kernel. Es el conjunto de vectores que genera un

subespacio en ℝ𝑛. Este conjunto son los vectores solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo 𝐴𝑥 = 0.

0 0 1 0 𝑎3 = 0 0 0 0 0

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

3

La dimensión de una base se obtiene por el número de vectores que hay en el conjunto base. Así, la dimensión puede ser de dos tipos:

Dimensión finita: Es el número finito de vectores en una base, ya sea de un espacio vectorial o de un subespacio.

Dimensión infinita: Es el caso de una base que contiene solamente al vector nulo (o vector cero). También se le llama dimensión cero. En otras palabras, la base contiene a un conjunto infinitos vectores, los cuales no se pueden describir a todos ellos, por eso sólo se reporta al vector que todo espacio y subespacio vectorial debe contener, el vector cero. El vector cero en el conjunto base, no se cuenta.

Las bases que se puntearon al principio tienen dimensiones muy específicas. Estas dimensiones son:

Rango de 𝑨 (𝜌𝐴): Así se llama a la dimensión de las bases del Espacio Renglón y del Espacio Columna. No son dos

rangos diferentes, el Espacio Renglón y el Espacio Columna tienen la misma dimensión; es decir, el Rango de 𝐴 se obtiene a partir de cualquiera de las dos bases ya mencionadas.

Nulidad de 𝑨 (𝑢𝐴): Así se llama a la dimensión de la base del Espacio Nulo.

Teorema 4: Sea 𝐴 una matriz de coeficientes de tamaño 𝑚 × 𝑛. Entonces la suma de las dimensiones Rango más Nulidad es igual al número de columnas de la matriz 𝐴.

Ejercicios propuestos

𝜌𝐴 + 𝑢𝐴 = 𝑛

Encuentre una base para los subespacios que se indicas y su dimensión:

1. Encuentre las bases del espacio renglón, del espacio columna y del espacio nulo a partir de la matriz 𝐴. Indique en cada caso las dimensiones rango y nulidad.

1 −1 3 4 3 𝐴 = [2 −2 6 8 6]

3 −3 9 12 9 1 −1 3 4 3

𝐴 = [2 −2 6 8 6] es una matriz de coeficientes, su tamaño es 3 × 5. 3 −3 9 12 9

La base del espacio renglón es una base en ℝ𝑛, como 𝑛 = 5, entonces es una base en ℝ5. Esta base es el conjunto de vectores renglón de la matriz de coeficientes 𝐴, de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, reducida previamente a su forma canónica. Entonces se reduce a la matriz 𝐴 a su forma canónica, a continuación se muestra la matriz después de haber aplicado Gauss-Jordan:

Un sistema de ecuaciones lineales tiene una matriz de coeficientes 𝐴, ésta matriz tiene tamaño 𝑚 × 𝑛. Por tanto, si se pide hallar una base se debe de indicar en qué subespacio.

Por ejemplo: si la matriz de coeficientes 𝐴 es de tamaño 3 × 4, entonces en la notación 𝑚 × 𝑛, 𝑚 = 3 y 𝑛 = 4. Así, si el sistema no es homogéneo, y se pide hallar a una base en ℝ3, se debe calcular el espacio columna, porque 𝑚 = 3 y el espacio columna es una base en ℝ𝑚 = ℝ3, por definición. Si se

pide, para el mismo sistema una base en ℝ4, se debe determinar a la base del espacio renglón, porque 𝑛 = 4 y el espacio renglón es una base en ℝ𝑛 = ℝ4. Si el sistema es homogéneo, entonces sólo se puede determinar el espacio nulo, y éste es una base en ℝ𝑛, si 𝐴 es una matriz 3 × 4, entonces el espacio nulo es una base en ℝ4, porque por definición es una base en ℝ𝑛.

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

4

Nota: la reducción es igual que la obtenida en el espacio renglón, sólo que se completa con el aumento de ceros. Si conoce previamente el resultado del espacio renglón, puede tomar ese atajo.

1 −1 𝐴 = [2 −2

3 −3

3 4 6 8 9 12

3 6] ~[1 −1 3 4 3] 9

La base del espacio renglón es 𝑅𝐴 = {(1, −1,3,4,3)}

La dimensión de la base del espacio renglón se llama Rango de 𝐴 y es igual a 𝜌𝐴 = 1, puesto que la base es de dimensión finita, tiene 1 vector el conjunto.

La base del espacio columna es una base en ℝ𝑚, como 𝑚 = 3, entonces es una base en ℝ3. Esta base es el conjunto de vectores que genera un subespacio en ℝ𝑛. Este conjunto son los vectores solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo 𝐴𝑥 = 0, a continuación se muestra la matriz después de haber aplicado Gauss-Jordan:

1 2 3 −1 −2 −3

𝐴𝑇 = 3 6 9 4 8 12

[ 3 6 9 ]

~[1 2 3]

Después de la reducción, calcular la transpuesta de la matriz reducida: 1

𝐵 = [2] 3

1 La base del espacio renglón es 𝐶𝐴 = {(2)}

3

La dimensión de la base del espacio columna se llama Rango de 𝐴 y es igual a 𝜌𝐴 = 1, esta base es de dimensión finita, tiene 1 vector el conjunto.

La base del espacio nulo es una base en ℝ𝑛, como 𝑛 = 5, entonces es una base en ℝ5. Esta base es el conjunto de vectores solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo 𝐴𝑥 = 0, a continuación se muestra la matriz aumentada después de haber aplicado Gauss-Jordan:

1 −1 3 4 3 0

[2 −2 6 8 6| 0] ~[1 −1 3 4 3|0] 3 −3 9 12 9 0

No olvidar que el objetivo es resolver el sistema homogéneo. La ecuación que se obtienen es: 𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 + 4𝑑 + 3𝑒 = 0; es decir 𝑎 = 𝑏 − 3𝑐 − 4𝑑 − 3𝑒, la solución es infinita, las variables independientes son 𝑏, 𝑐, 𝑑 y 𝑒.

Ahora se escribe la combinación lineal del espacio generado: Escribir el vector con todas las incógnitas del sistema. Iguale éste vector a la solución obtenida (las variables independientes no se cambian). Separe las variables independientes multiplicando cada una de ellas por el vector que tiene sus coeficientes.

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

5

𝑎 𝑏 − 3𝑐 − 4𝑑 − 3𝑒 𝑏 𝑏

[𝑐] = [ 𝑐 𝑑 𝑑 𝑒 𝑒

1 −3 −4

1 1

] = 𝑏 0 + 𝑐 0

[0] −3

−3 0 1 0

[ 0 ]

−4 −3 0 0

+ 𝑑 0 + 𝑒 0 1 0

[ 0 ] [ 1 ]

]𝖩

La dimensión de la base del espacio nulo se llama Nulidad de 𝐴 y es igual a 𝑢𝐴 = 4, esta base es de dimensión finita, tiene 4 vectores el conjunto. El Teorema 4 dice que la suma de las dimensiones Rango más Nulidad es igual al número de columnas de la matriz 𝐴.

𝜌𝐴 + 𝑢𝐴 = 𝑛 1 + 4 = 5

1 0 0 0 La base del espacio nulo es 𝑁𝐴 = 0 , 1 , 0 , 0

0 0 1 0 𝗅[0] [ 0 ] [ 0 ] [ 1

2. Dado el sistema de ecuaciones 𝑎 −𝑏+2𝑐+3𝑑= 2

+𝑏+4𝑐+3𝑑= 5, encuentre una base en ℝ4. 𝑎 +6𝑐+6𝑑= 3

1) El sistema de ecuaciones lineales es no homogéneo (las ecuaciones no son iguales a cero). 2) Para un sistema de éste tipo sólo se puede determinar el espacio renglón o el espacio columna.

1 −1 3) La matriz de coeficiente es 𝐴 = [0 1

1 0

2 3 4 3], su tamaño es 3 × 4. 6 6

4) Se pide una base en ℝ4, entonces se pide una base en ℝ𝑛, porque 𝑛 = 4. Para un sistema no homogéneo, la base que se debe calcular es la base del espacio renglón, porque ésta es una base en ℝ𝑛.

La base del espacio renglón son los vectores renglón de la matriz de coeficientes 𝐴, de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, reducida previamente a su forma canónica. Entonces se reduce a la matriz 𝐴 a su forma canónica, a continuación se muestra la matriz después de haber aplicado Gauss-Jordan:

1 −1 2 3 1 0 6 6 𝐴 = [0 1

1 0 4 3] ~ [

0 1

6 6 4 3

]

La base del espacio renglón es 𝑅𝐴 = {(1,0,6,6), (0,1,4,3)}

Observar que la base tiene por vectores a los renglones reducidos de 𝐴, y que efectivamente cada uno de los vectores de ese conjunto está en ℝ4.

La dimensión de la base del espacio renglón se llama Rango de 𝐴 y es igual a 𝜌𝐴 = 2, puesto que la base es de dimensión finita, tiene 2 vectores el conjunto.

3. Dado el sistema de ecuaciones

𝑎 −𝑏+2𝑐+3𝑑= 2 +𝑏+4𝑐+3𝑑= 5, encuentre una base en ℝ3. 𝑎 +6𝑐+6𝑑= 3

1) El sistema de ecuaciones lineales es no homogéneo (las ecuaciones no son iguales a cero). 2) Para un sistema de éste tipo sólo se puede determinar el espacio renglón o el espacio columna.

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

6

1) El sistema de ecuaciones lineales es homogéneo (las ecuaciones son todas iguales a cero). 2) Para un sistema de éste tipo sólo se puede determinar el espacio nulo. 3) El espacio nulo son los vectores solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo 𝐴𝑥 = 0. La matriz

1 −1 2 3 0 aumentada es [0 1 4 3| 0], su tamaño es 3 × 4.

1 0 6 6 0 4) La base del espacio nulo es una base en ℝ𝑛. Debe coincidir con la base que se pide: Se pide una base en ℝ4,

entonces se pide una base en ℝ𝑛, porque 𝑛 = 4.

La base del espacio nulo es la solución del sistema (no los renglones, no las columnas). Entonces se reduce a la matriz aumentada a su forma canónica, a continuación se muestra la matriz aumentada reducida después de haber aplicado Gauss-Jordan:

1 −1 [0 1 1 0

2 4 6

3 0 3| 0] ~ [ 1 0 6 6 0

| ] 6 0

0 1 4 3 0

4. Dado el sistema de ecuaciones

𝑎 −𝑏+2𝑐+3𝑑= 0 +𝑏+4𝑐+3𝑑= 0, encuentre una base en ℝ4. 𝑎 +6𝑐+6𝑑= 0

1 −1 2 3 3) La matriz de coeficiente es 𝐴 = [0 1 4 3], su tamaño es 3 × 4.

1 0 6 6 4) Se pide una base en ℝ3, entonces se pide una base en ℝ𝑚, porque 𝑚 = 3. Para un sistema no homogéneo, la

base que se debe calcular es la base del espacio columna, porque ésta es una base en ℝ𝑚.

La base del espacio columna son los vectores columna de la transpuesta de la matriz de coeficientes 𝐴, de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, reducida previamente a su forma canónica. Entonces se reduce a la matriz 𝐴𝑇 a su forma canónica, a continuación se muestra la matriz 𝐴𝑇 después de haber aplicado Gauss-Jordan:

1

𝐴𝑇 = [−1 2

0 1 1

4 6 0] ~ 1 [

0 1 1 0 1]

3 3 6 Después de la reducción, calcular la transpuesta de la matriz reducida:

1 0 𝐵 = [0 1]

1 1

1 0 La base del espacio columna es 𝐶𝐴 = {(0) , (1)}

1 1

Observar que la base tiene por vectores a las columnas de 𝐵, y que efectivamente cada uno de los vectores de ese conjunto está en ℝ3. La dimensión de la base del espacio columna también se llama Rango de 𝐴 y es igual a 𝜌𝐴 = 2, puesto que la base es de dimensión finita, tiene 2 vectores el conjunto.

Para el mismo sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, el Rango de 𝐴 siempre es igual si se obtiene del espacio

renglón o del columna. No son dos Rangos, sino que se obtiene de cualquiera de las dos bases.

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

7

Nota: la reducción es igual que la obtenida en el espacio renglón, sólo que se completa con el aumento de ceros. Si conoce previamente el resultado del espacio renglón, puede tomar ese atajo.

No olvidar que el objetivo es resolver el sistema homogéneo. Las ecuaciones que se obtienen son: 𝑎 + 6𝑐 + 6𝑑 = 0 y 𝑏 + 4𝑐 + 3𝑑 = 0; es decir 𝑎 = −6𝑐 − 6𝑑 y 𝑏 = −4𝑐 − 3𝑑, la solución es infinita, las variables independientes son 𝑐 y 𝑑.

Ahora se escribe la combinación lineal del espacio generado: Escribir el vector con todas las incógnitas del sistema. Iguale éste vector a la solución obtenida (las variables independientes no se cambian). Separe las variables independientes multiplicando cada una de ellas por el vector que tiene sus coeficientes.

𝑎 −6𝑐 − 6𝑑 −6 −6 [𝑏] = [−4𝑐 − 3𝑑] = 𝑐 [−4] + 𝑑 [−3] 𝑐 𝑐 1 0 𝑑 𝑑 0 1

−6 −6

La base del espacio nulo es 𝑁𝐴 = {(−4) , (−3)} 1 0 0 1

Observar que la base tiene por vectores a los vectores de la combinación lineal, y que efectivamente cada uno de los vectores de ese conjunto está en ℝ4.

La dimensión de la base del espacio nulo se llama Nulidad de 𝐴 y es igual a 𝑢𝐴 = 2, puesto que la base es de dimensión finita, tiene 2 vectores el conjunto.

Nota: Los tres ejercicios que se han resuelto tienen a la misma matriz de coeficientes 𝐴. Puede comprobar que el Teorema 4 se cumple, pues para ésta matriz 3 × 4, el número de columnas es 𝑛 = 4. El Rango de 𝐴 más la Nulidad de 𝐴 debe ser igual a 4.

𝜌𝐴 + 𝑢𝐴 = 𝑛 2 + 2 = 4

2𝑥 +3𝑦= 0 5. Dado el sistema de ecuaciones −𝑥 +𝑦 = 0, encuentre una base en ℝ2.

4𝑥 +7𝑦= 0

1) El sistema de ecuaciones lineales es homogéneo (las ecuaciones son todas iguales a cero). 2) Para un sistema de éste tipo sólo se puede determinar el espacio nulo.

3) El espacio nulo son los vectores solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo 𝐴𝑥 = 0. La matriz 2 3 0

aumentada es [−1 1| 0], su tamaño es 3 × 2. 4 7 0

4) La base del espacio nulo es una base en ℝ𝑛. Debe coincidir con la base que se pide: Se pide una base en ℝ2, entonces se pide una base en ℝ𝑛, porque 𝑛 = 2.

La base del espacio nulo es la solución del sistema. Entonces se reduce a la matriz aumentada a su forma canónica, a

continuación se muestra la matriz aumentada reducida después de haber aplicado Gauss-Jordan:

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

8

1) Si no se sabe si la matriz de coeficientes proviene de un sistema que es homogéneo, se asume no homogéneo. 2) Para un sistema de éste tipo sólo se puede determinar el espacio renglón o el espacio columna.

1

3) La matriz de coeficiente es 𝐴 = [0 1

1 2 3

−1 1 ], su tamaño es 4 × 3. 0

0 0 2 4) Se pide una base en ℝ4, entonces se pide una base en ℝ𝑚, porque 𝑚 = 4. Para un sistema no homogéneo, la

base que se debe calcular es la base del espacio columna, porque ésta es una base en ℝ𝑚.

La base del espacio columna son los vectores columna de la transpuesta de la matriz de coeficientes 𝐴, de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, reducida previamente a su forma canónica. Entonces se reduce a la matriz 𝐴𝑇 a

su forma canónica, a continuación se muestra la matriz 𝐴𝑇 después de haber aplicado Gauss-Jordan:

1 0 𝐴𝑇 = [ 1 2

−1 1

1 3 0

0 1 0] ~ [0 2 0

0 1 0 1 1 0] 0 0 1

Después de la reducción, calcular la transpuesta de la matriz reducida:

1

𝐵 = [0 1 0

0 1 1 0

0

0] 0 1

Existen ejercicios donde no se da el sistema de ecuaciones. En estos casos considerar a la matriz como la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones no homogéneo. Es decir, sólo se puede determinar al espacio renglón y al espacio nulo.

1 1 −1 6. Encuentre una base y su dimensión para el subespacio ℝ4, a partir de la matriz de coeficientes 𝐴 = [0 2 1 ]

1 3 0 0 0 2

2 [−1

4

3 0 1| 0] ~ [ | ]

1 0 0

7 0 0 1 0

Las ecuaciones que se obtienen son: 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0, la solución es única nula. No hay variables independientes. Ahora se escribe la combinación lineal del espacio generado: Escribir el vector con todas las incógnitas del sistema. Iguale éste vector a la solución obtenida. No hay variables independientes, no se puede escribir una combinación lineal.

[𝑦] = [ ] 𝑥 0

0

La base del espacio nulo es 𝑁𝐴 = {( )} 0 0

Observar que la base tiene por vector al vector nulo, y que efectivamente es un vector que está en ℝ2. La dimensión de la base del espacio nulo se llama Nulidad de 𝐴 y es igual a 𝑢𝐴 = 0, porque el vector nulo no cuenta. Entonces la base es de dimensión infinita.

ELABORÓ: M.C.Q. MARLÉN RAMÍREZ ORIZAGA TEMA: Bases y dimensiones

9

1 0 0

La base del espacio columna es 𝐶𝐴 = {(0) , (1) , (0)} 1 1 0 0 0 1

Observar que la base tiene por vectores a las columnas de 𝐵, y que efectivamente cada uno de los vectores de ese

conjunto está en ℝ4.

La dimensión de la base del espacio columna también se llama Rango de 𝐴 y es igual a 𝜌𝐴 = 3, puesto que la base es de dimensión finita, tiene 3 vectores el conjunto.