3651061 Esfuerzos en Vigas

7/22/2019 3651061 Esfuerzos en Vigas

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UNIVERISDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDA

AREA DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE ING. MECANICA

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES:ESFUERZOS EN VIGAS.

INTEGRANTES:JOSEPH CHIRINO C.I._18.770.428

GUILLERNI PEREZ C.I._18.480.467

PUNTO FIJO, JULIO DEL 2010


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Vigas:En ingeniera y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabajaprincipalmente aflexin.En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y

suele ser horizontal.

El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y compresin, producindose lasmximas en el cordn inferior y en el cordn superior respectivamente, las cuales se calculanrelacionando elmomento flector y elsegundo momento de inercia.En las zonas cercanas alos apoyos se producen esfuerzos cortantes. Tambin pueden producirse tensiones portorsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro exterior de un forjado.Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prismamecnico.

Esfuerzos:Los esfuerzos internos sobre una seccin transversal plana de un elemento estructural sedefinen como un conjunto de fuerzas y momentosestticamente equivalentes a la distribucinde tensiones internas sobre el rea de esa seccin.

As, por ejemplo, los esfuerzos sobre una seccin transversal plana de una viga es igual a laintegral de lastensiones tsobre esa rea plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzosperpendiculares a la seccin de la viga (o espesor de la placa o lmina) y los tangentes a laseccin de la viga (o superficie de la placa o lmina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dadopor la resultante detensiones normales , es decir, perpendiculares, al rea para lacual pretendemos determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por laresultante de tensiones cortantes , es decir, tangenciales, al rea para la cualpretendemos determinar el esfuerzo cortante.

Esfuerzos en vigas: Teorema de Euler-Bernoulli

La teora de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el clculo deesfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son slidos deformables, enteora de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcularaproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueranelementos unidimensionales.
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Los inicios de la teora de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados porLeonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema decoordenadas en que el eje X es siempre tangente aleje baricntrico de la viga, y los ejes Y yZ coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos bsicos de la teora de vigas

para la flexin simple de una viga que flecte en el plano XY son:

1. Hiptesis de comportamiento elstico. El material de la viga es elstico lineal, conmdulo de Young Eycoeficiente de Poisson despreciable.

2. Hiptesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical slo dependedex: uy(x, y) = w(x).

3. Hiptesis de la fibra neutra. Los puntos de lafibra neutra slo sufren desplazamientovertical y giro: ux(x, 0) = 0.

4. La tensin perpendicular a la fibra neutra se anula: yy= 0.5. Hiptesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la

viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

Las hiptesis (1)-(4) juntas definen la teora de vigas de Timoshenko. La teora de Euler-Bernouilli es una simplificacin de la teora anterior, al aceptarse la ltima hiptesis comoexacta (cuando en vigas reales es slo aproximadamente cierta). El conjunto de hiptesis (1)-(5) lleva a la siguiente hiptesis cinemtica sobre los desplazamientos:

Deformaciones y tensiones en vigas:Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estosdesplazamientos se llega a:

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones deLam-Hooke,asumiendo yy= 0,zz= 0:

Donde E es el mdulo de elasticidad longitudinal, o mdulo de Young, y G el mdulo deelasticidad transversal.Es claro que la teora de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar laenerga de deformacion tangencial, para tal fin debera recurrirse a la teora de Timoshenko enla cual:
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Esfuerzos internos en vigas:a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenersesencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que estsometida una seccin de una viga sometida a flexin simple en la teora de Euler-Bernouilli:

Donde:Area de la seccin transversal, Izel momento de inercia segn el eje respecto al cualse produce la flexin. La ltima de estas ecuaciones es precisamente la ecuacin de lacurvaelstica, una de las ecuaciones bsicas de la teora de vigas que relaciona los esfuerzosinternos con el campo de desplazamientos verticales.

Ecuaciones de equilibrio:Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicacin de las ecuaciones de la esttica aun tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo seran la cargaexterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremasque delimitan el tramo. Si el tramo est en equilibrio eso implica que la suma de fuerzasverticales debe ser cero, y adems la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe sercero en la direccin tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones slo se pueden cumplir

si la variacin deesfuerzo cortante ymomento flector estn relacionada con la carga verticalpor unidad de longitud mediante:

Clculo de tensiones en vigas:El clculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variacin de los esfuerzosinternos y a partir de ellos aplicar la frmula adecuada segn la viga est sometida a flexin,

torsin,esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensin de una viga viene dado enfuncin de los esfuerzos internos por:
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Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzosinternos. Si se considera un sistema deejes principales de inercia sobre la viga, consideradacomo prisma mecnico, las tensiones asociadas a la extensin, flexin, cortante y torsinresultan ser:

Donde:

son las tensiones sobre la seccin transversal: tensin normal operpendicular, y las tensiones tangenciales de torsin y cortante.

, son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores

y bimomento asociado a la torsin., son propiedades de la seccin transversal de la viga: rea,

segundos momentos de rea (o momentos de inercia),alabeo ymomento de alabeo.

Las tensiones mximas sobre una seccin transversal cualquiera de la viga pueden a su vezser calculadas en trminos de estas componentes del tensor tensin:

En vigas metlicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en algn punto latensin equivalente de Von Mises supere una cierta tensin ltima definida a partir dellmiteelstico,en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:
http://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n_principalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Alabeo_seccionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alabeo_seccional#Momento_de_alabeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADas_de_fallohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Miseshttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_el%C3%A1sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_el%C3%A1sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_el%C3%A1sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_el%C3%A1sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Miseshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADas_de_fallohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alabeo_seccional#Momento_de_alabeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alabeo_seccionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n_principal


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Ecuacin de la elstica:La ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial que, para una viga de eje recto, permiteencontrar la forma concreta de la curva elstica. Concretamente la ecuacin de la elstica esuna ecuacin para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su formarecta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material e lstico linealsometido a pequeas deformaciones la ecuacin diferencial de la elstica viene dada por:

(1)

Donde:

representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posicinsin cargas.

la abcisa (eje X) sobre la viga.

el momento flector sobre la absciza .

elsegundo momento de rea o momento de inercia de la seccin transversal.elmdulo de elasticidad del material.

La ecuacin (1)constituye slo una aproximacin, en la que se ha supuesto que lasdeformaciones son muy pequeas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, seha aproximado el giro de una seccin de la viga con la derivada primera de la flecha. Paradeformaciones mayores se obtiene la ecuacin ms exacta (1'):

(1')

La ecuacin de la elstica (1)puede ser reescrita en funcin de la carga distribuida q(x) sobrela viga:

(2)

Esta ltima ecuacin es interesante porque su generalizacin aelementos bidimensionales esprecisamente la ecuacin fundamental de gobierno de placas o ecuacin de Lagrange paraplacas delgadas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1.27http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1.27http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_2http://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttp://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_2http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1.27http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1.27http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1


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Donde D = EIples larigidez de una placa delgada en flexin.

Ejemplo

Viga deformada por flexin:Para una viga elstica en la que se aplican slo momentos M1y M2, la forma de la curvaelstica depende slo de dos parmetros independientes, la forma aproximada de ladeformada depender del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso tpico elmostrado en la figura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntosintermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuacindiferencial siguiente:

La solucin analtica de ecuacin anterior con cualquiera de los dos posibles elecciones decontorno, se obtiene como:
http://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placashttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Viga_curva.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Viga_curva.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Viga_curva.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Viga_curva.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Viga_curva.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placas


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sistema plano las dos direcciones principales son la horizontal y la vertical, luego: FH= 0 yFV= 0

Pero para que un cuerpo no se mueva no es suficiente que se cumpla la ecuacin anterior,

como se puede comprobar al aplicar a un cuerpo un par de fuerzas. Es necesario que secumpla tambin que M = 0

En resumen, para garantizar que un cuerpo no se mueve es necesario que se cumplan las 3ecuaciones anteriores que reciben el nombre de Ecuaciones de la Esttica:

1 ecuacin: FH= 0 2 ecuacin: FV= 0 3 ecuacin: M = 0 Tipos de apoyos en vigas

Articulacin mvil.La vamos a representar por un carro con dos ruedas.En una articulacin mvil solamente existe una reaccin que es perpendicular al plano deapoyo, puesto que para equilibrar la fuerza horizontal el carro se mueve y para equilibrar elmomento la barra gira.La articulacin mvil tambin se puede representar tal como se indica en la figura:

Articulacin fija:La vamos a representar por un carro sin ruedas.

En este tipo de articulaciones existen dos reacciones, una paralela y otra perpendicular alplano de apoyo, aunque realmente lo que existe es una reaccin inclinada a la quedescompongo en dos perpendiculares.

La articulacin fija se suele representar tambin como se indica en la figura.

Empotramiento:Consiste en una viga introducida en una pared. Supongamos que la viga est sometida a dos

cargas Q1y Q2. A causa de estas acciones, en el empotramiento aparecen unas reaccionesque tienen la forma de la figura y cuyas resultantes anulan a Q1y Q2.Como si tomamos momentos respecto al punto de corte de las reacciones en elempotramiento, aparece un momento (momento M en el empotramiento) de valor M = Q1 d.

En un empotramiento se puede decir que existe una reaccin R desviada, la cual trasladada alempotramiento equivale a dos fuerzas y un momento.


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Clculo de las reacciones en los apoyos:Consiste en aplicar las ecuaciones de la Esttica para el clculo de las reacciones en losapoyos.

Flexin pura:Sea la viga de la figura, los diagramas de

solicitaciones son los que se muestran acontinuacin:

Un trozo de viga se dice que trabaja a flexinpura cuando en cualquier seccin de ese trozo soloexiste momento flector.

Un trozo de viga se dice que trabaja a flexinsimple cuando en cualquier seccin de ese trozoexiste momento flector y esfuerzo cortante.

Un trozo de viga se dice que trabaja a flexincompuesta cuando en cualquier seccin de ese trozo existe momento flector, esfuerzo

cortante y esfuerzo normal.

Hiptesis de Navier o de secciones planas:Para el estudio dela flexin pura, vamos a plantear la siguiente hiptesis de Navier: Lassecciones planas y perpendiculares al eje de la viga antes de la deformacin, siguen siendoplanas y perpendiculares al eje de la viga despus de la deformacin.

Planteada esta hiptesis, vamos a ver como sedeforma el trozo de viga comprendido entre lassecciones 1-1 y 2-2.

Se observa que hay fibras tales como las de arribaque se acortan y otras tales como las de abajo que se alargan. Tambin existen un conjuntode fibras que ni se acortan ni se alargan. A stas se las llama fibras neutras. Todas las fibrasneutras forman la superficie neutra de la viga.


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Se llama lnea neutra de una seccin, a la interseccin de esa seccin con la superficieneutra. Se puede demostrar que la lnea neutra pasa por el c.d.g. de la seccin.

Tomemos un trozo de viga que antes de deformarse mida la unidad.

Despus de la deformacin solo la fibra neutra continuar midiendola unidad.

Una fibra situada a una distancia y, por debajo de la fibra neutra,medir ms de la unidad, puesto que est traccionada, y sualargamiento ser el alargamiento unitario .

En la figura:

Para un radio de curvatura dado, el alargamiento de una fibra es proporcional a la distancia deuna fibra a la fibra neutra.

Diagrama de y para una seccin de la viga.

El diagrama de es triangular siempre que se cumplan las hiptesis de secciones planas. Sise cumple la ley de Hooke, el diagrama de ser triangular como el de , dado a que seobtiene a partir del diagrama de , ya que = / E .

Frmula de NAVIER:Supongamos que el material sigue las hiptesis de Navier y la ley de Hooke. Entonces eldiagrama de es triangular.


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A partir de esta figura, podemos obtener: ; de donde:

Si M es el momento flector que acta en una seccin de la viga e I LNes el momento de inercia

de esa seccin respecto a la lnea neutra, se cumple: ; por tanto

En la frmula se ve que el signo de depende del de M e y, ya que I LNno tiene signo. Elsigno de M ya hemos visto en temas anteriores cundo es positivo (+) o negativo (-).

Respecto al signo de y, tenemos que: y es positivo para puntos situados por debajo de la lneaneutra, y es negativo para puntos situados encima de la lnea neutra.

Mdulo resistente:

Se ha visto que: , donde:

M = Momento flector

W = mdulo resistente de la seccin. Las unidades de W son L3.

Cuando la seccin es simtrica respecto de la LN, entonces existe un nico W, en el caso deque la seccin sea asimtrica, existirn dos mdulos resistentes.

EJEMPLO 1: Mdulo resistente de la seccin rectangular.

Cuando la seccin es simtrica respecto de la lnea neutra (LN),

existen un nico mdulo resistente, y su valor es:


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EJEMPLO 2: Mdulo resistente de la seccin triangular.

Cuando la seccin es asimtrica respecto de la lnea neutra (LN), existen dos mdulosresistentes, sus valores son:

Curvatura de una viga en funcin del momento flector.

Se ha visto que: ; pero luego

Secciones ideales de la flexin.Si el material resiste igual a traccin que a compresin, el mejor tipo de seccin es la simtricarespecto de la LN. Si no sucediera as, el mejor tipo de seccin sera la asimtrica respecto dela LN (p. ej.: la triangular).

EJEMPLO: Supongamos que el material es hormign,que resiste poco a traccin.

De las dos posibilidades que hay de poner la viga (verfigura), es preferible la de la izquierda, ya que para unmomento flector positivo los puntos que van a trabajar a

traccin son los de abajo, y en ellos v es menor y, por tanto, W mayor.

Siempre se ha de procurar utilizar vigas con gran mdulo resistente, ya que para una tensinde trabajo dada, mayor ser el momento flector que puede soportar la seccin.

Dado que en la frmula del mdulo resistente Winterviene ILN, e interesa que sea grande, sededuce que conviene que el material de la seccinest alejado de la LN. Esto se compruebacomparando dos secciones de igual rea (y portanto, igual peso y coste), de manera que una seacuadrada y la otra rectangular.


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Como h > a, se deduce que Wrect> WcuaVeamos cmo se puede mejorar el W de la seccinrectangular conservando el mismo rea y la misma altura.

El mdulo resistente W depende de ILNy de v. Como v va a permanecer constante, la nicaforma de mejorar W es aumentando ILN. Para ello quitamos material por el centro y losituamos alejado de la LN. Como se ve, se obtiene la seccin doble T, que a igualdad de pesocon la rectangular tiene mayor W.Conviene que el material se encuentre lejos de la LN, ya que el que se encuentra cerca espoco eficaz porque est trabajando por debajo de las posibilidades del material.

Crculo de Morh de un punto de una seccin de la viga:Sea la viga de la figura. Cortando por la seccin 1-1 y quedndonos con la parte izquierda, enel punto a existir una say una ta.

Aislando un elemento infinitesimal alrededor del punto a y representando las tensiones a lasque est sometido, tendremos:

Estudio del crculo de Morh del punto a.
http://ninguno/http://ninguno/


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Estudio del crculo de Morh del punto b.

Estudio del crculo de Morh del punto c.
http://ninguno/http://ninguno/http://ninguno/http://ninguno/

3651061 Esfuerzos en Vigas

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