37PruebaDeHipotesisParaVarianza

Estadística Inferencial 3.7. Prueba de hipótesis para la varianza

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

UNIDAD III. PRUEBAS DE HIPÓTESIS

3.7 Prueba de hipótesis para la varianza La varianza como medida de dispersión es importante dado que nos ofrece una mejor visión de dispersión de datos. Por ejemplo: si se determina que la población califica en promedio con 6 el desempeño del gobierno; al decir que la varianza es de cero (y por lo tanto la desviación estándar es de cero) podemos confiar en que aproximadamente la misma calificación le asignaría toda la población, en otras palabras, en términos generales la población en su conjunto ve al gobierno con la misma calificación ya que no hay variación o dispersión en dicha calificación. Por el contrario, con la misma calificación promedio de 6 pero con una varianza muy alta podemos interpretar que hay gente contenta con el gobierno que le ha asignado calificaciones muy arriba del 6; pero hay un conjunto poblacional muy molesto con el gobierno que asigna calificaciones muy por debajo del 6. Este tipo de información solo es posible mediante el análisis de la varianza. Otro campo del conocimiento donde la varianza se ocupa en gran medida es en control de calidad; cuando un producto se elabora el área de control de calidad busca que los productos esté dentro de ciertos límites de tolerancia, pero también que la variabilidad de un producto sea lo menor posible. De ahí viene la filosofía seis sigma (significa seis veces la varianza).

Nuevamente consideramos que la población sigue una distribución de probabilidad normal, para lo cual usamos el siguiente estadístico de prueba:

Este estadístico de prueba se le conoce como ji cuadrada

Ejemplo: Una empresa del giro alimenticio desea determinar si el lote de una materia prima tiene o no una varianza poblacional mayor a 15 en su grado de endulzamiento. Se realiza un muestreo de 20 elementos y se obtiene una varianza muestral de 20.98; realizar la prueba de hipótesis con alfa = 0.05. Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”. Ho: La varianza poblacional es igual a 15. (Algunos autores colocarían “La varianza poblacional es igual o menor a 15”). Ha: ___________________________________ Es decir: Ho: σ2

≤ 15 Ha: σ2 > 15 (prueba de una cola) Paso 2. Determinar el nivel de significancia. Definido por el analista, en este caso se desea usar α = 0.05 Esta es la forma gráfica de ji cuadrada

El área sombreada representa alfa o la fracción de error. Nótese que es prueba de una cola por lo que alfa no se divide en dos.

Aceptar Ho Rechazar Ho

2 χ

vα

( ) 22

2

n - 1 sχ

gl = n -1σ

=



Paso 3. Calcular los intervalos o valores críticos que implican ese nivel de significancia.

2

2 0.05 19

2 0.05 19

χ

Usamos 0.05 y (grados de libertad)=20-1=19

χ

Leemos en la tabla:

χ 30.143

v

v

α

α =

=

Gráficamente queda de la siguiente forma:

Aceptar Ho Rechazar Ho Paso 4. Calcular el “estadístico” de la prueba.

( ) 22

2

n - 1 sχ

gl = n -1σ

=

Donde: gl = Grados de libertad n = número de elementos en la muestra s2 =varianza muestral σ

2 =varianza considerada por la hipótesis nula 2χ = ji- cuadrada (también conocido como chi-cuadrada). Para este problema la sustitución queda:

( ) ( )22

2

gl = n -1 20 1 19

n - 1 s 20 - 1 20.98χ 26.5746

15σ

= − =

= = =

Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la Hipótesis nula verdadera.

En este caso cae dentro de la región que hace válida la hipótesis nula.

Aceptar Ho Rechazar Ho Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula. Se acepta que la varianza poblacional es igual a 15 como hipótesis nula.

2 0.05 19χ 30.143=

2 0.05 19χ 30.143=

2χ 26.5746=



Ejemplo 2. Un negocio debe pagar horas extra dada la demanda incierta de su producto, por lo cual en promedio se pagan 50 horas extra a la semana el gerente de recursos humanos considera que siempre se ha tenido una varianza de 25 en las horas extras demandadas. Si se toma una muestra de 16 semanas se obtiene una varianza muestral de 28.1. Determine con alfa = 0.10 si la varianza poblacional de las horas extras demandadas a la semana puede considerarse igual a 25. Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”. Ho: La varianza poblacional es igual a 25. Ho: σ2 = 25 Ha: La varianza poblacional No es igual a 25. Ha: σ2

≠ 25 Nótese que es una prueba de dos colas. Paso 2. Determinar el nivel de significancia. En este caso se desea usar α = 0.10 Paso 3. Calcular los intervalos o valores críticos que implican ese nivel de significancia. Se muestrean 16 semanas entonces hay 15 grados de libertad. Dado que es un problema de dos colas: α/2 = 0.05 Área de cola izquierda = 0.05 Área de cola a la derecha = 0.05 Al infinito Cada sección sombreada representa un área de 0.05; pero la tabla solo ofrece áreas de colas a la derecha, no a la izquierda.

Por lo tanto para ubicar la posición de la variable ji-cuadrada, se considera una cola con

2 2 1-0.05 15 0.95 15χ χ 7.261= =

2 0.05 15χ 24.996=

Al infinito Paso 4. Calcular el “estadístico” de la prueba.

( ) ( )22

2

n - 1 s 16 - 1 28.1χ 16.86

25σ= = =

Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la Hipótesis nula verdadera. Al ubicar el estadístico de prueba notamos que cae en la región que hace verdadera la hipótesis nula.

2 2 1-0.05 15 0.95 15χ χ 7.261= =

2 0.05 15χ 16.86=

2 0.05 15χ 24.996=

Al infinito Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula. Se acepta que la varianza poblacional es igual a 25 como hipótesis nula.



Actividad 3.6. Pruebas de hipótesis para varianza. Problema 1. Una empresa consultora desea determinar la variablidad existente en la opinión pública sobre el desempeño del Gobierno del Estado; históricamente la varianza ha sido de 2 en los puntos de calificación que le otorga la ciudadanía al gobierno; en el último muestreo se detecto una varianza de 3 tomando como referencia rápida 20 personas; ¿hay elementos estadísticos suficientes para asegurar que la varianza ha AUMENTADO? Realice la prueba de hipótesis para contestar la pregunta anterior con un alfa = 0.1. Realice:

a) Redacción de la prueba de hipótesis, indicando si debe ser prueba de una o dos colas.

b) Determine mediante el estadístico de prueba ji cuadrada si se acepta o rechaza la hipótesis nula y cuál sería la consecuencia del resultado obtenido para la pregunta.

Problema 2. Una empresa desea concursar para ganar un contrato con el gobierno como proveedor de concreto; uno de los requisitos es la resistencia a la compresión del concreto a los 28 días de haberse preparado la mezcla. La empresa ganadora dice que mantiene excelentes controles de calidad en su concreto y como tal hay una varianza muy baja en resistencias a la compresión, del orden de 16 kgf

2/cm4; pero al hacerle en la UNAM unas pruebas de resistencia se detecta una varianza mas elevada de 25 kgf

2/cm4 ¿hay evidencia estadística suficiente para considerar que el proveedor está mintiendo y en realidad la desviación estándar es DIFERENTE a 16 kgf

2/cm4? c) Redacción de la prueba de hipótesis, indicando si debe ser

prueba de una o dos colas para responder la pregunta. d) Determine mediante el estadístico de prueba ji cuadrada si se

acepta o rechaza la hipótesis nula y cuál sería la consecuencia del resultado obtenido para la pregunta.

Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS de este trabajo (INDIVIDUAL), las rúbricas se indican en la liga siguiente: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm

SIN EL PROCEDIMIENTO LA ACTIVIDAD NO ES VÁLIDA

Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected]

No olvide enviarse copia a sí mismo del correo que envía, si usa Outlook solicite confirmación de entrega y de lectura.



Para v

2 240 v 1

9 9v z

v vα αχ

> ≈ − +

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