Capacitores y Dielctricos

Capacitores y DielctricosTerico-Prctico N3

Clase Terico Prctica del 7 / 4 / 2010Lic. Francisco Rubn Soria

Introduccin

Los capacitores son dispositivos que permiten almacenar cargas y energa elctrica. Sonelementos simples que se pueden conectar para formar un circuito elctrico junto con resistores einductores, que se vern ms adelante.

Se los utiliza para sintonizar frecuencias en receptores de radios, en filtros de fuentes deenerga elctrica, para eliminar chispas en sistemas de encendido, en flashes electrnicos en cmarasfotogrficas digitales.

Un capacitor est formado por dos conductores de forma y tamao arbitrarios separados por unmaterial aislante que denominaremos dielctrico. Cuando est cargado, cada conductor posee unamisma cantidad de carga pero de signos opuestos. Y debido a la presencia de las cargas se estableceuna diferencia de potencial entre ellos. Tiene la propiedad de almacenar cargas a distintos potencialespero la relacin entre la carga almacenada y la diferencia de potencial que se establece entre losconductores es una constante. A esta propiedad se la denomina capacitancia y se define como la raznentre la carga de cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial entre ellos:

C= QV (1)

La capacitancia depende de la forma geomtrica del capacitor y del material aislante entre losconductores.

La capacitancia se mide en:

[C ]= [Q ][V ]

=CV=F ; 1 Faradio=1 Culombio

Voltio (2)

El Faradio es una unidad muy grande de capacitancia, por lo que los rangos ms usuales seencuentran entre los picofaradios (pF = 10-12F) y los microfaradios (F = 10-6F).

Capacitor de placas paralelas

Consideremos un capacitor donde los conductores son dos placasparalelas (cuadradas, circulares u otra forma arbitraria) de reas iguales A yseparadas una distancia d y en el vaco. Cada una de las placas se conecta a losterminales de una fuente de tensin continua, por ejemplo: una batera de 12V.

Supongamos que la distancia se separacin entre las placas es pequeacomparada con el rea de las mismas. Podemos entonces calcular el campoelctrico producido por las placas usando la ley de Gauss y tomando comomodelo para cada placa un plano infinito cargado con densidad uniforme decarga superficial =Q/A.

Para simplificar el problema dibujamos las placas una al lado de la otray fijamos un sistema de referencia en una de ellas.

El campo elctrico producido por cada placa a ambos lados tiene un

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Figura 1: Capacitor deplacas paralelas.

d

AAQ+ Q-

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valor constante: E=/20 en cada punto del espacio. En laFigura se muestran las lneas de campo elctrico de la placapositiva en color rojo y las lneas de campo elctrico de laplaca negativa en color azul.

La configuracin de cargas divide al espacio en tresregiones: I) a la izquierda de la placa positiva, x negativas; II)el espacio entre placas; y III) a la derecha de la placanegativa.

En las regiones I y III el campo elctrico resultante esnulo, debido a que los campos elctricos de las placas sonopuestos en cada punto del espacio, mientras que en la reginII, los campos elctricos de ambas placas se suman y elcampo elctrico resultante es:

E=0i (3)

Para calcular la capacitancia del capacitor de placas paralelas necesitamos conocer ladiferencia de potencial entre sus placas. Recurrimos entonces a la relacin general que existe entre elcampo elctrico y el potencial elctrico de cualquier distribucin de cargas:

E=V (4)

donde el operador = xi

yj

zk toma la forma = x

i en nuestro sistema decoordenadas. Podemos calcular el potencial elctrico en la regin II usando la expresin:

V x = E dx= 0

dx=0

x (5)

Una forma de visualizar la distribucin de campo elctrico y potencial elctrico en todo elespacio representamos en grficos la variacin de los mismos en funcin de las coordenadas, en estecaso, en funcin de x.

Queda como ejercicio, demostrar que el potencial elctrico a la izquierda de la placa positiva

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Figura 2: Campo elctrico de un capacitor deplacas paralelas.

x0 d

+ -I II III

Figura 3: Campo elctrico de un capacitor deplacas paralelas.

d

E

x

/0

Figura 4: Potencial elctrico de un capacitor deplacas paralelas.

x

V

d

-d/0

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es nulo y a la derecha de la placa negativa tiene el valor dado en el Figura 4. Habr que tener encuenta que la grfica del potencial elctrico es una funcin continua, no debe presentar saltos. En laecuacin 5 se realiz una integracin indefinida para poder obtener el potencial elctrico en funcin dela coordenada x. Sin darnos cuenta elegimos potencial elctrico de referencia igual a cero en x igual acero. Surge entonces la pregunta: Cmo cambia la forma de la funcin potencial elctrico si elegimospotencial elctrico de referencia cero en x igual a d?

Finalmente la capacitancia del capacitor de placas paralelas es:

C= QV

= Q d /0

=Q 0

Q / Ad=0

Ad (6)

La capacitancia resulta directamente proporcional al rea A de las placas; cunto mayor sea el reamayor ser la capacitancia. Y resulta inversamente proporcional a la distancia de separacin d entrelas placas; cuanto menor sea la distancia mayor ser la capacitancia. Hasta aqu la dependencia con laforma geomtrica. Con respecto al medio, al material que llena el espacio entre placas, en este caso elvaco, la capacitancia es directamente proporcional a la permitividad dielctrica.

Aplicacin: Una aplicacin directa del capacitor de placas paralelas la encontramos en las teclas de unteclado de computadora o de un telfono celular o de un control remoto de televisor o un equipo deaudio. Cuando se oprime una tecla, la placa superior mvil baja comprimiendo y deformando elmaterial aislante blando entre sta placa y una placa inferior fija. El complejo circuito del teclado escapaz de registrar este cambio de capacitancia e identificar la tecla pulsada.

Capacitor esfrico

Un capacitor esfrico est formado por dos conductores esfricos concntricosde radios a y b con b>a.

Usando la ley de Gauss calculamos el campo elctrico en el espacio entre losconductores esfricos:

E= 140

Qr2

con arb (7)

Para encontrar la capacitancia de este capacitar necesitamos calcular ladiferencia de potencial entre los conductores esfricos. Lo hacemos usando laecuacin (4) particularizada para este caso:

V=b

a 140

Qr2

dr= Q40 1a1b = Q40 baab (8)

La capacitancia del capacitor esfrico resulta:

C= QV

=40ab

ba (9)

La capacitancia aumenta cuando los conductores esfricos estn muy cerca, es decir, cuando

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Figura 5: Capacitoresfrico.

Q+

Q-

a

b

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sus radios difieren muy poco uno de otro.Qu sucede si el conductor externo tiene un radio muy grande comparado con el radio del

conductor interno? Para responder a esta pregunta recurrimos a una herramienta del clculo, el lmite:

C= limb

40ab

ba= lim

b40

a1a /b

=40 a

(10)

Esta es la capacitancia de un conductor esfrico de radio a aislado. La capacitancia es directamenteproporcional al radio del conductor esfrico y depende del medio que lo rodea, en este caso el vaco.

Capacitor cilndrico

Un capacitor cilndrico se compone de dos conductores cilndricos concntricosde radios a y b con b>a.

Usando la ley de Gauss calculamos el campo elctrico en el espacio entre losdos conductores tomando como modelo un cilindro infinito cargado con densidadde carga lineal .

E=

20 r (11)

Para encontrar la diferencia de potencial entre los conductores usamos laecuacin (4) particularizada para este caso:

V=b

a 140

r

dr=

40ln ba (12)

La capacitancia del capacitor cilndrico resulta:

C= QV

= Q

20ln ba

=20 QQl

ln ba =

20 l

ln ba (13)La capacitancia es directamente proporcional a la longitud de los cilindros.

Aplicacin: Un capacitor cilndrico de uso corriente lo constituye el cable coaxial utilizado en latelevisin por cable. El cable transporta seales elctricas tanto en el conductor central como en elexterior. La geometra coaxial permite proteger las seales de influencias externas.

Energa almacenada en un capacitor

Dijimos que un capacitor es un dispositivo que almacena cargas y energa. La energa quealmacena el capacitor est en forma de campo elctrico. Ahora vamos a calcular esa energa y vamos adeterminar de qu parmetros depende.

Consideremos un capacitor de placas paralelas que se conecta a una fuente de tensin continua.En un dado instante la carga del capacitor es q y su diferencia de potencial es V. El trabajo que sedebe realizar para aumentar la carga del capacitor una cantidad de carga dq es:

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Figura 6: Capacitorcilndrico.

Q+Q-

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dW =V dq= qC

dq= 1C

q dq (14)

El trabajo requerido para cargar el capacitor desde 0 hasta Q ser entonces:

W=0

Q

dW =0

Q 1C

q dq= 1C0

Q

q dq= 1C

Q2

2=1

2Q2

C (15)

El trabajo realizado para cargar el capacitor se transfiere al mismo como energa potencialelctrica. Teniendo en cuenta la definicin de capacidad, podemos escribir las siguientes expresionespara la energa almacenada en un capacitor:

U=12

Q2

C; U=1

2CV 2 ; U=1

2QV (16)

En la primera expresin podemos observar que la capacitancia es directamente proporcional alcuadrado de la carga. En la segunda expresin es directamente proporcional al cuadrado de ladiferencia de potencial. Y en la tercera es directamente proporcional al producto de la carga por ladiferencia de potencial. Estas expresiones debern usarse convenientemente de acuerdo a los datos delproblema.

Dijimos que la energa almacenada se encuentra en forma de campo elctrico. El mismo, en uncapacitor de placas paralelas, ocupa el volumen comprendido entre las placas, es decir: Ad. Por lotanto la energa U ocupa este lugar. Dividiendo la tercera expresin (16) por el volumen obtenemos laexpresin para la densidad de energa:

w=

12

QV

A d=1

2 QA Vd =12 E =12 0 E E =12 0 E2 (17)Por lo tanto la densidad de energa es directamente proporcional al cuadrado del campo

elctrico.Hay que tener en cuenta que todas estas expresiones son independientes de la forma del

capacitor.Hay un lmite para almacenar energa? Si, porque el aislante tiene un lmite, soporta hasta un

valor mximo de campo elctrico, cuando se lo sobrepasa deja de ser aislante, se transforma en unconductor, en lenguaje cotidiano decimos que se quema.

Aplicaciones: Podemos sitar dos aplicaciones de pblico conocimiento.Desfibrilador: se lo utiliza para eliminar la fibrilacin cardaca (contracciones aleatorias del corazn enataques cardacos). La rpida descarga de energa puede devolverle su patrn normal de contracciones.Flashes: de cmaras digitales. La energa almacenada se enva a una lmpara que ilumina por un breveinstante.

Conexin de capacitores

Sin importar la geometra del capacitor, ste se representa con el smbolo y se pueden

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conectar de distintas maneras.

Conexin en serie

En una conexin en serie los capacitores se conectan unos a otros formando una cadena y losextremos se conectan a una fuente de tensin continua (o alterna, como veremos mas adelante).

Consideremos dos capacitores conectandos en serie. Cuandocerramos la llave L se establece en los cables un campo elctrico quemueve a los electrones de manera que las placas de los capacitores secargan. Cuando los capacitores estn cargados cesa el movimiento deelectrones. En este momento: V 1V 2=V

Como V 1=Q1C1

y V 2=Q2C2

entonces Q1C1

Q2C2

=V

Pero Q1=Q2=Q puesto que la cantidad de electrones que sedesplazan por los cables debe ser la misma en todo punto del circuito,

de lo contrario la carga no se conservara. Entonces QC1 Q

C 2=V

Dividiendo por Q, el segundo miembro representa la capacitancia equivalente del circuito conectada ala fuente. Entonces para una conexin en serie la capacitancia equivalente es:

1Ceq

= 1C1 1

C2 (18)

La capacidad equivalente es menor que las capacitancias individuales.

Conexin en paralelo

En una conexin en paralelo los terminales de cada capacitor se conectan con los terminales dela fuente de tensin (continua o alterna).

Consideremos dos capacitores conectados enparalelo. Cuando se cierra la llave L se establece en loscables un campo elctrico que mueve a los electrones demanera que las placas de los capacitores se cargan.Cuando los capacitores estn cargados cesa elmovimiento de electrones y las tensiones en cadacapacitor igual al de la fuente: V 1=V 2=VComo las capacitancias son distintas cada capacitoradquirir cargas distintas de manera que la carga totaltransportada es Q=Q1Q2Como Q1=C1V 1 y Q2=C2V 2 entonces Q=C1V 1C2V 2=C1VC2VDividiendo por V el primer miembro representa la capacitancia equivalente del circuito conectadaa la fuente. Entonces para una conexin en paralelo la capacitancia equivalente es:

C=C1C2 (19)

La capacitancia equivalente es mayor que las capacitancias individuales.

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Figura 7: Capacitores conectadosen serie.

C1

C2

V

L

Figura 8: Capacitores conectados en paralelo.

L

VC

1C

2

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Capacitor con dielctrico

Consideremos un capacitor de placas paralelas que contiene en el espacio entre placas unmaterial aislante, un dielctrico, y comparemos las capacitancias con y sin dielctrico.

La capacitancia sin dielctrico es C0=0Ad y con dielctrico es

C= Ad=K 0

Ad=K C0

El dielctrico aumenta K veces la capacitancia.Consideremos ahora que el capacitor se conecta a una fuente de tensin continua V . El

capacitor sin dielctrico adquirir una carga Q0=C0V y el capacitor con dielctrico adquirir unacarga Q=CV=K C0V=K Q0 . El dielctrico aumenta K veces la carga almacenada.

Consideremos ahora que el capacitor se carga sin dielctrico con una fuente de tensinV 0 y se desconecta de la fuente y luego se introduce el dielctrico. En este caso la carga Q0

permanece constante y la tensin del capacitor con dielctrico es V=Q0C=

Q0K C0

=V 0

KEl dielctrico permite almacenar la misma cantidad de carga pero con una tensin 1/K veces menor.

Tabla 1: Algunas constantes dielctricas

Vaco 1 Baquelita 4.9 Papel 3.7Porcelana 6 Vidrio pirex 5.6 Agua 80

Bibliografa: Serwey Jewett. Fsica tomo II. Sexta Edicin. Tipler. Fsica tomo II. Tercera Edicin.

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