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GeometríaCompendio de Ciencias VII-C

OBJETIVOS

BONAVENTURA FRANCESCO CAVALIERI

Nació en 1598 en Milán, Haboburg Empiere. (Ahora Italia), falleció el 30 de Noviembre de 1647 en Bologna.Estado Papal (Ahora Italia).

Cavalieri desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.

Cavalieri fue miembro de una orden religiosa Jesuita en Milán en 1615 cuando aún era muy joven. En 1616 fuetransferido a un Monasterio Jesuita en Pisa. Su interés por las matemáticas fue estimulado por los trabajos deEuclides y luego de encontrar a Galileo, se consideró como un discípulo de este astrónomo. La reunión con Galileofue arreglada por el Cardenal Federico Borromeo quien vio claramente el genio en Cavalieri cuando se encontraba enel Monasterio en Milán.

En Pisa, Cavalieri fue educado en matemáticas por Benedetto Castelli, un profesor de matemáticas en la Univer-sidad de Pisa. Él le enseñó a Cavalieri Geometría y este demostraba tanta capacidad que a veces Cavalieri reempla-zaba a Castelli en conferencia dadas en la Universidad.

Cavalieri fue nominado para una cátedra de matemáticas en Bologna en 1619 pero no fue muy exitoso debido aque fue considerado muy joven para ese puesto que requería de antigüedad Cavalieri también fracasó al postular auna cátedra de matemáticas en Pisa cuando Castelli abandonó Roma.

En 1621 Cavalieri llegó a ser diácono y asistente del cardenal Federico Borroneo en el Monasterio de Milán. Allíél enseñó teología hasta el 1623 en el que llegó a ser Rector de St. Peter’s de Lodi. Después de tres años en Lodi sefue al Monasterio Jesuita en Parma, donde permaneció otros años.

En 1629 Cavalieri fue nombrado profesor de matemáticas en Bologna pero en ese tiempo había ya desarrolladoun método de lo indivisible, lo cual llegó a ser un factor importante en el desarrollo del Cálculo Integral.

La teoría de lo indivisible de Cavalieri, presentada en su Geometría indivisibilis continuorum nova de 1635 era undesarrollo del método exhaustivo de Arquímedes incorporado en la teoría infinitesimal y pequeñas cantidadesgeométricas de Kepler. Esta teoría perm8itió a Cavalieri encontrar simple y rápidamente el área y volumen de variasfiguras geométricas.

* Conocer las principales regiones planas.* Hallar las áreas de las principales regiones planas.* Comparar las áreas de las regiones planas.

CAPÍTULO

19


El método de lo indivisible no estaba rigurosamente completo en las bases de su libro, debido a esto fue duramen-te criticado. En su réplica Cavalieri mejoró esta publicación en su “Exercitaciones geométricas sex” la cual fue lafuente principal de las matemáticas.

Cavalieri fue responsable de la mayor parte de la introducción de los logaritmos como una herramientacomputacional en Italia a través de su libro Directorium Generale Uranometricum.

Las tablas de logaritmos que él publicó, incluyeron logaritmos de funciones trigonométricas para el uso de losastrónomos.

Cavalieri también escribió de las secciones cónicas, trigonometría, óptica, astronomía y astrología. El desarrollouna regla general para el largo focal de los lentes y describe la reflexión del telescopio. Él también trabajó sobremuchos otros problemas de movimientos, e incluso publicó un número de libros de Astrología; uno en 1639 y el otroque fue su último trabajo en 1646 Trattato della ruota planetaria perpetua.

Cavalieri mantuvo correspondencia con otros matemáticos incluyendo a Galileo, Merssene, Renieri, Rocca, Torricelliy Viviani. Su Correspondencia con Galileo incluyeron a lo menos 112 cartas. Galileo tuvo un buen concepto deCavalieri al mantener correspondencia.

Tal vez para Cavalieri su más famoso estudiante fue Stefano Degli Angeli. El estudió con Cavalieri en Bologna enel tiempo cuando ya estaba viejo y sufriendo de artritis. Angeli escribió muchas cartas a Cavalieri las cuales envió aalgunos matemáticos durante su tiempo de estudios.

ÁREA DE REGIONES PLANAS

REGIÓN PLANA:Es una porción del plano limitada por una línea

cerrada, también llamada frontera de la región.

BA

Q

A : Región triangular.B : Región cuadrangular.

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA (S)Es la medida de una región plana, la cual resulta de

comparar dicha región con otra tomada como unidad.Las unidades de medida como centímetro, metro, kiló-metro, decímetro, pie, etc; van elevadas al cuadrado.

B

A

C

D

En el gráfico:

S ABCD = 15u2

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARESEs una región plana cuyo contorno es un triángulo.

Estudiaremos, ahora las principales fórmulas para elcálculo de áreas de las regiones triangulares.

FÓRMULA BÁSICAEl área de una región triangular es igual al semiproductode la longitud de la base y la altura.

CA

B

Hb

h

En el gráfico:

BH : Altura relativa a AC

Se cumple: S ABC2

b h

Donde:b : longitud de la base.h : altura relativa a la base.


Si: BCA: Obtusángulo; BH es la altura relativa al

lado AC .

CA

B

h

H b

Se cumple: S ABC2

b h

Si: ABC: rectángulo; AB y AC son los catetos

b

c

CA

B

Se cumple: S ABC2

b c=

Si: ABC es equilátero:

B

A C60°60°

30° 30°

h

L L

L

Se cumple:2 3

S4×= L

2 3S

3×= h

CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓNTRIANGULAR EN FUNCIÓN DE LA LONGITUDDE SUS LADOS.(FÓRMULA DE HERÓN)

El área de una región triangular es igual a la raízcuadrada del producto del semiperímetro de la regióntriangular y la diferencia de dicho semiperímetro con lalongitud de cada uno de los lados.

CA

B

b

c a

En el ABC:2

a b cp

p : semiperímetro de la región ABC.

Se cumple: S ABC ( )( )( – )p p a p b p c

RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE LAS RE-GIONES TRIANGULARES

1) En toda región triangular una ceviana interiordetermina dos regiones triangulares cuyas áreas sonproporcionales a las longitudes de los segmentosque dicha ceviana determina en el lado al cual esrelativa.

CA

B

nmN

S1 S2

En el ABC: BN determina las regiones triangularesABN y NBC.

Se cumple:

S ABNS NBC

mn

o tambien: 1

2

S

Smn


2 ) En el ABC:

BM : Mediana relativa a AC

CA

B

mM

m

S1 S2

Se cumple:

S ABM S MBC

o tambien: S1 = S2

3 ) Si G es baricentro del ABC

CA

B

P

S

GM N

S

S

S

S S

Se cumple:

S AMG=S MGB=S BGN=S NGC=S GCP=S GAP

Problema desarrollado

1. En el siguiente gráfico; demostrar que el área de la

región triangular ABC es: ABCS sen

2a b

b

a

A

B

C

Resolución:

1) Se traza la altura BH .

b

a

A

B

C

asen

H

2) En el HBC: BH = a sen HC = a cos

3) Luego: ABCsenS2

b a

ABCS sen

2ab L.q.q.d.

Problema por desarrollar

1 . En un triángulo equilátero; cuya altura tiene unalongitud h.

Demostrar que su área es igual a:2h 3S=3

h

Resolución:


1. En el gráfico. Calcular el área de la región triángularABC, si: BC=15, AC=17, AB=8.

CA

B

Rpta.: ........................................................

2. En la figura. Calcular el área de la región triangular ABC.

A

E D

C

B2m

2m

2m

2m

2m

Rpta.: ........................................................

3. En el gráfico: AM es mediana, S1 = 19, S2 = 11.Calcular Sx

CA

B

N

S 1

S xS 2

M

Rpta.: ........................................................

4. En el gráfico: calcular el área de la región triángularABC.

CA

1012

5 3

B

Q

RP

Rpta.: ........................................................

5. En el gráfico, calcular la relación entre las áreas delas regiones sombreadas y no sombreadas.

CA

B

5k 4kQP3k

S1 S2 S3

Rpta.: ........................................................

6. En el gráfico, calcular el área de la región triangularABH.

CA

B

H37º

5

5

Rpta.: ........................................................

7. En la figura, calcular el área de la región sombreada.Si ABCD es un rectángulo, AE = 4, BE = 6.

C

A

B

D

E

F

Rpta.: ........................................................

8. En el gráfico: calcular el área de la región DFC; si:AD = DC, DF = 6.

C

F

B

A

30°

DRpta.: ........................................................


9. En el gráfico: si el área de la región triangular ABCes 222 2u . Calcular a.

CA

B

a 2a

45°

Rpta.: ........................................................

10. Si ABC es un triángulo equilátero; calcular su áreaen función de r.

r

A C

B

ac

b

Rpta.: ........................................................

11. En el gráfico. Si: AB = CD = 4. Calcular el áreade la región sombreada.

DA

B

C

30°

4

4

Rpta.: ........................................................

12. En el gráfico. Si: OA = OB = 5 y PH = 2(EF).Calcular el área de la región sombreada.

A

B

HE

O P

F

Rpta.: ........................................................

13. En el gráfico AB : Diámetroo. Calcular: (S1 + S2);si, R = 4u.

Q

O BA

P

M

R R

Rpta.: ........................................................

14. En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que labase menor BC mide 3u.

En la altura AB se ubica el punto F; tal que elángulo AFD es el doble del ángulo BCF y FD = 8u.Calcular el área del triángulo CFD.

2

CB

A

F

D

Rpta.: ........................................................

15. En el gráfico. Calcular el área de la regiónsombreada.

C

A B2 3

60º

60º

1Rpta.: ........................................................

16. En el gráfico: Calcular el área de la regiónsombreada, si: AH=4, HC=12.

C

B

A H45º

Rpta.: ........................................................


17. En la figura: calcular AC. Si el área de la regióntriangular ABC es 12. Si: BH = 3(AC). CalcularAC.

CA

B

H

Rpta.: ........................................................

18. El área de la región triangular ABC es 4 3 .Calcular su perímetro.

B

A C

60°

60° 60°

Rpta.: ........................................................

19. En el gráfico: si BC = 10, calcular el área de laregión triangular ABC.

CA

B

53°45°

Rpta.: ........................................................

20. En la figura, BP = 4, AC = 10. Calcular el área dela región sombreada.

CA

B

H

D

P

Rpta.: ........................................................


1. El área de la región triangular es 60u2. Calcular lalongitud del menor cateto.

A) 2u

CA

B

15xB) 4u

C) 6u

D) 6 2 u

E) 8u

2. Si el área de la región triangular ABC es 80. Calcular

el área de la región sombreada. Si: 1

2

S 3S 2

A) 32

CA

B

D

S1 S2

B) 20

C) 48

D) 40

E) 3 2

3. En el gráfico: ABC es un triángulo equilátero cuya

altura mide 3 . Calcular su área.

A) 3

A

B

C

3

H

B) 4

C) 3

D) 5

E) 2

4. Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 7. Calcularsu área.

A) 6 6 B) 12 C) 14

D) 9 E) 3 5

5. Si el área de la región triangular ABC es 48u2.Calcular el área de la región sombreada.

A) 12u2

A

B

C

x

x

y

y

B) 16u2

C) 18u2

D) 20u2

E) 24u2


ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR

Es una región plana cuyo contorno es un cuadrilátero,esta región, puede ser convexa y no convexa.

Ahora pasaremos a estudiar las fórmulas para el cálcu-lo de las principales regiones cuadrangulares.

1 ) ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL

El área de una región trapecial es igual al productode la semisuma de las longitudes de la bases con lalongitud de la altura de dicho trapecio.

bA

B

D

C

h

a

En el gráfico: ABCD es un trapecio

BC y AD : bases.

h : longitud de la altura.

Se cumple:

( + )S ABCD =

2a b

h

Además:

A

B

D

C

h

a

mM N

MN : mediana

Se cumple:

S ABCD =m h

2 ) EL ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL

Área de una región romboidal es igual al productode las longitudes de un lado y la altura relativa adicho lado.

h

DA

B C

Hb

En el gráfico:

CH : altura (h)

AD : base (b)

Entonces:

S ABCD b h

3 ) ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL

El área de una región rombal es igual alsemiproducto de las longitudes de sus diagonales.

D

d

Q

P R

S

En el gráfico PQRS es un rombo.

PR : Diagonal Mayor (D)

QS : Diagonal Menor (d)

Se cumple:

D dS PQRS

2

CAPÍTULO

20


4 ) ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADAEl área de una región cuadrada es igual al cuadradode la longitud de su lado.

DA

CB

d

l

l

En el gráfico:AB; AD : lado del cuadrado (l)Se cumple:

1. 2S ABCD l

2.2

S ABCD2

d

5 ) ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAREl área de una región rectangular es igual alproducto de la longitud de la base y de la altura.En el gráfico ABCD es un rectángulo

DA

CB

h

bAD : Base (b)CD : Altura (h)Se cumple:

ABCD .S b h

RELACIÓN DE LAS ÁREAS EN REGIONESCUADRANGULARES

1) En un cuadrilátero convexo.

A)

DA

CB N

LM

P

Se cumple:

S ABCDS MNLP

2=

Ademas: MNLP es un paralelogramo..

B)

DA

CB

PS1

S4

S2

S3

Se cumple:

1 2 3 4S S S S

2 ) En las regiones trapeciales

A)

DA

CB

O

S1

S2

Se cumple:2

1 2S =S S

B)

DA

CB

M

En el gráfico:

M es punto medio de CDSe cumple:

S ABCDS BMA

2=

3 ) En una región romboidal

DA

B CP

Se cumple:

S ABCDS APD=

2



1. En el siguiente gráfico; demostrar que el área de laregión triangular MCD; es la mitad del área de laregión trapecial ABCD. Si: AM = MB.

A

B C

D

M

Resolución:

1) Se sabe: S1=S2

2)1

2

hm2S =

2

hm2S =

2

MCD 1 2S S S

MCDm hS

2

3) S ABC = m h

4) Entonces:S ABCD

S MCD2

=

L.q.q.d.


1 . En un cuadrado cuya diagonal tiene una longitud d.

Demostrar que su área es:2

S2

d

d

Resolución:

A

B C

D

M mS1

S2

N

b

b

a

a

h2

h2


1. En el gráfico. Calcular el área de la región cuadradaABCD; si: CE=ED

DA

CB

E

5

Rpta.: ........................................................

2. En el gráfico: calcular el área de la región romboidalsi: QR = 9, RS = 4 y MS = 7.

RQ

P SM

Rpta.: ........................................................

3. Calcular el área de una región rombal sabiendoque la longitud de su lado es 13 y de su diagonalmayor es 24.

Rpta.: ........................................................

4. Un rectángulo está inscrito en una circunferenciade radio 5, si uno de los lados del rectángulo tienecomo longitud 8. Calcular el área de la regiónrectangular.

Rpta.: ........................................................

5. Calcular el área de la región limitada por un trapecioisósceles cuyas bases miden 2 y 8 respectivamente,los ángulos adyacentes a la base mayor miden 53°cada uno.

Rpta.: ........................................................

6. Calcular el área de una región cuadrada, si las

longitud de sus diagonales 8 2 .

Rpta.: ........................................................

7. En el gráfico: ¿qué valor debe tomar x, para que elárea del triángulo ABE sea la mitad del área deltrapecio BCDE?

S

2S

A B C

DE

2

4

x

Rpta.: ........................................................

8. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial.

A

B

D

C

6 6

6

3

Rpta.: ........................................................

9. En el gráfico: calcular el área de la región trapezoidalde FOCD si el área de las regiones triangulares BOCy AOF tienen valores 9 y 25 respectivamente,AD // BC

mA

B

D

C

O

F

9

25

Rpta.: ........................................................

10. Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es(a+b), entonces el área del cuadrado es:

A) 2a b

B) 212

a b

C) 2 2a b

D) 2 212

a b

E)2

2a


11. Un terreno de forma rectangular tiene un perímetroigual a 46, siendo su diagonal igual a 17 ¿calcularel área del terreno?

Rpta.: ........................................................

12. En el gráfico: calcular el área de la región mostrada,si: AB=12, BC=5, CD=4, DE=13.

D

A E

B

CC

Rpta.: ........................................................

13. En el gráfico: calcular el área de la regióncuadrangular APQC. Si: PQ es base media, AC=8,QH=6.

A

B

C

QP

H

Rpta.: ........................................................

14. Uno de los ángulos interiores de un rombo mide

150º, el perímetro de su región es 24. Calcular el

área de dicha región rombal.

Rpta.: ........................................................

15. En el cuadrado ABCD, M y N son puntos medios y

calcular el área de la región ABPD; de mayor

perímetro. (Sx)

Sx

2m2

A

B C

D

N

M

P

Rpta.: .......................................................

16. Calcular el área de la región sombreada, si ABCDes un cuadrado de área 144u2 y de centro O.

O E

DA

B C

Rpta.: .......................................................

17. El perímetro de una región rectangular es 60 ademásel largo es el doble de su ancho. Calcular su área.

Rpta.: .......................................................

18. En la figura, ABCD es un trapecio, BC // A D ,S(BPC)=4, S(APD)=9. Calcular S(ABCD)

DA

CB

P4

9

Rpta.: .......................................................

19. En el gráfico: calcular el área de una regiónromboidal ABCD.

A D

B C

60º16

20

Rpta.: .......................................................

20. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y enB, se sabe que: BC=6, AD=8. Si el área de laregión trapecial es 35. Calcular AB.

Rpta.: .......................................................


1. En el grafico: calcular el área del cuadrado cuyo

apotema es 2 .

A) 2

2

B) 4

C) 8

D) 2 2

E) 2 3

2. En el gráfico: calcular el área de la región trapecialABCD.

A) 72u2

16u2

25u2

A

B C

D

B) 80u2

C) 81u2

D) 49u2

E) 25u2

3. En el gráfico: calcular el área de la región romboidalABCD.

A) 75

A D

B CH

60º

510

B) 3

C) 75 3

D) 45 3

E) 15

4. En el gráfico: ABCD es un trapecio la base mayores el doble de la menor. Encuentra la relación entreel área del trapecio y el área sombreada.

A) 1,5a

2aA

B C

D

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) 1,75

5. En el gráfico: calcular el área de la regiónrectangular.

A) 20

A 2a

B

D

C

10 a

B) 40

C) 2 2

D) 4 2

E) 8


ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

CÍRCULO:Es una porción del plano cuyo contorno es una cir-

cunferencia:Ahora pasaremos a estudiar las fórmulas para el

cálculo de las principales regiones circulares.

1 ) ÁREA DE UN CÍRCULO: O es centro.

RO

Se cumple:2 S R

Donde:R : Radio del círculo.

2 ) ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAREs aquella región plana limitada por doscircunferencias concéntricas.

O

A BT a

Rr

En el gráfico:O es centro de las circunferencias.T : Punto de tangencia.

Se cumple:

1. 2 2coronaS = (R -r )

2. 2corona

ABS

4

o tambien: Scorona = a2

3 ) SECTOR CIRCULAREs aquella porción del círculo limitada por un ángulocentral y su arco correspondiente.

R

O

A

B

R

En el gráfico:R : Radio del sector circular AOB. : Medida del ángulo central.

Se cumple:2

360º

RS AOB

Observación:

R

R

R RO

S

A

B2RS

4

4 ) SEGMENTO CIRCULAREs aquella porción del círculo limitada por unacuerda de dicho círculo y el arco que subtiende dichacuerda.

O

RR

A BP

En el gráfico: : Medida del ángulo central.O: Centro del círculo.AB : cuerda

APB: Segmento circular determinado porel segmento

AB .

CAPÍTULO

21



1. En el siguiente gráfico; demostrar que el área de la

región sombreada es: S = a b. Si: AB,BC ACy

son diámetros.

S

A CB

a b

7

Resolución:

S

A CD

a b

aa bb

1) - -a b+ a b

S=

2) Los radios de los semicírculos tienen longitudes:(a + b), a y b.

3)

2 2 2

2 2 2 2

S2 2 2

S 22

S2

a b a b

a b ab a b

2 ab

S ab L.q.q.d.


1. En el siguiente gráfico; demostrar que la región

sombreada es: 2LS 2

2 . Si ABCD es un

cuadrado A y C son centros de los arcos.

A

B C

DL

l

Resolución:


1. En el gráfico: calcular el área de la regiónsombreada. Si O1 y O2 son centros, r = 2 y R = 5.

O1

O2

r

R

Rpta.: ........................................................

2. En el gráfico O es centro: calcular el área del sectorcircular.

36º

10

10

B

O

A

Rpta.: ........................................................

3. En el gráfico O es centro, A es punto de tangencia:calcular el área de la corona circular. AB = 4.

R

O

r

B

4

A

Rpta.: ........................................................

4. En el gráfico O es centro: calcular el área delsegmento circular sombreado AOB.

A

BO60º

2

2

Rpta.: ........................................................

5. En el gráfico: calcular el área de la regiónsombreada. Si O y Q son centros OB = 4.

QO B

A

22

4

Rpta.: ........................................................

6. En el gráfico: calcular el área de la regiónsombreada.

1O B

A

1

C

Rpta.: ........................................................

7. En el gráfico: calcular el área de la región sombreada.Si AB es diámetro y además AO = OB = 3;mAM 60º

M

BOA

Rpta.: ........................................................

8. En el gráfico: calcular el área del círculo si estáinscrito en el sector circular. Si O es centro.

O 60º R

A

B

6

6

Rpta.: ........................................................


9. Calcular el área de un círculo inscrito a un triángulorectángulo cuyos catetos miden 8 y 15.

Rpta.: ........................................................

10. En la figura: calcular el área de la región sombreada.Si: AB = 6, BC = 8. Si O es centro.

M N

A C

B

O

Rpta.: ........................................................

11. En el gráfico: Calcular el área del círculo. Si:AB = BC = 5 y AC = 6. M, N, P son puntos detangencia, si: O es centro.

ON M

PA C

B

Rpta.: ........................................................

12. Del gráfico: calcular la razón entre el área del círculoy el área de la región triangular ABC. Si: O es centro.

O

A C

B

Rpta.: ........................................................

13. En el gráfico: calcular el área de la corona circular.Si: AB=4, OA=R, OP=r. Además: P es punto detangencia.

A

O

B

P

Rpta.: ........................................................

14. En el gráfico: mAB=90º , AB = 6 2 . Calcular elárea del círculo. Si: O es centro.

O

A B

Rpta.: ........................................................

15. En el gráfico: ABCD es un cuadrado, AB = 2 2 .Calcular el área de la región sombreada. Si: O1 yO2 son centros.

B C

A D

O1

O2

Rpta.: ........................................................


16. En el gráfico O es centro: calcular el área del sectorcircular AOB. Si OA = 6.

60ºO

A

B

6

6

Rpta.: ........................................................

17. En el gráfico P y O son centros: calcular el área de laregión sombreada.

A P O B4

Rpta.: ........................................................

18. En el gráfico: calcular R; si O es centro y el área dela región sombreada es 10 .

R6

O

Rpta.: ........................................................

19. En el gráfico. Calcular el área de la regiónsombreada. Si: BC = 4, O es centro y OBCD esun cuadrado (B y D son puntos de tangencia).

O

B C

D

Rpta.: ........................................................

20. En el gráfico: el área del círculo es 9 . Calcular elárea de la región cuadrada. R: Radio.

B C

A O

R

R

R R

2R

Rpta.: ........................................................


1. En el gráfico O es centro: calcular el área del sectorcircular sombreado.

A)2R

2

R

R

R

120º

A

B

C

O

B)22 R

3

C) 25 R

D) 29 R

E)2R

6

2. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreda.

Si: O es centro ( AD y BC son diámetros).

A) 12

A DOB C

75

B) 14

C) 9

D) 25

E) 49

3. En el gráfico: AB= BC = 8. Calcular el área de laregión sombreada. Si O y B son centros.

A) 10

OB

A

C

B) 8

C) 6

D) 4

E) 2

4. En el gráfico. Calcular el área de la región

sombreada. AB es diámetro..

A) 2,14

A O B45º

P

2 2

B) 1,14

C) 4

D) + 2

E) 3,24

5. En el gráfico. Calcular el área del círculo inscrito enel sector circular de 60º. P y O son centros.

A) 2

30º

B

P

A

30º

15

15

Or

r

B) 3

C) 4

D) 6

E) 9

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