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GeometríaCompendio de Ciencias VIII-C

OBJETIVOS

APOLONIO DE PERGA

Apolonio de Perga (262 a.C. 190 a.C.):Apolonio nació en Perga (hoy Murtina en Turquía), no se sabe exactamente las fechas de su nacimiento y muerte

y se calculan a partir de datos biográficos, tampoco se sabe mucho de su vida. Probablemente estudió y enseñó enAlejandría.

Respecto a sus obras, se han perdido muchas: Reparto rápido, en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculoy se daba una aproximación del número , Secciones en una razón dada, trataba sobre los problemas derivados detrazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendospuntos situados en dichas rectas) que estén en una razón dada (este problema es equivalente a resolver la ecuaciónax – x2=bc), Secciones en un área dada, problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determi-nados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver laecuación ax + x2=bc), Secciones determinadas, dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quintopunto P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BPy DP, Tangencias, resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidosentre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Lugaresplanos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugaressólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazaruna circunferencia en una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado.

Sólo dos obras de Apolonio, han llegado hasta nuestros días. Secciones en una razón dada (no se conserva eloriginal sino una traducción al árabe) y las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es unatraducción al árabe). Esta obra, las Cónicas, es la obra más importante de Apolonio, es más, junto con los Elementosde Euclides es uno de los libros de matemática más importantes.

Las Cónicas está formado por 8 libros. Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero posteriormente, yaen Pérgamo (hoy Bergama en Turquía), lo mejoró.El libro I trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.El libro III (el preferido de Apolonio).El libro IV trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.El libro V estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.El libro VI trata sobre cónicas semejante.El libro VII trata sobre los diámetros conjugados.El libro VIII se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos alos utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual.

• Deducir las características principales de los sólidos geométricos.

• Relacionar el cálculo de volúmenes y áreas con los sólidos .

CAPÍTULO

22


PRISMA

Es aquel poliedro determinado por una superficieprismática cerrada y dos planos paralelos entre sí y se-cantes a todas las generatrices.

E

DF

CA

BBase

Aristalateral

Caralateral

Elementos:1 . Bases: Son las regiones poligonales congruentes y

paralelas ABC y DEF.

2. Caras laterales: Son regiones limitadas por

paralelogramos cuyo número es igual al número de

lados de la base y forman la superficie lateral del

prisma: ABEF, EBCD, CDFA.

3. Aristas laterales: Son las intersecciones de las

caras laterales AF, BE, CD

4. Altura: Es la distancia entre las bases.

En todo prisma:

• Toda arista contenida en alguna base del prisma sedenomina arista básica.

• Los prismas se nombran según el número de la-dos que tiene la base, por ejemplo si tiene 5 lados,se le denomina prisma pentagonal, si tiene 8 ladosse le llamará prisma octogonal.

Clasificación de los Prismas

I . Por la inclinación de sus caras1 ) Prisma Oblicuo: Es aquel prisma cuyas aristas

laterales no son perpendiculares a las bases.

B C

A D

F G

E H

En el gráfico se muestra un prisma cuadrangular obli-cuo: ABCD – EFGH.

2 ) Prisma Recto: Es aquel prisma cuyas aristaslaterales son perpendiculares a las bases.

B C

R

SP

Q

DA

En el gráfico se muestra el prisma cuadrangularABCD – PQRS.

Para hallar:i) El área de la superficie lateral: (ASL)

(Base)SLA 2 p h

• El área de la superficie lateral del prisma recto, esigual al perímetro de la base multiplicado por la alturade dicho prisma.

ii) Volumen (V)

(base)V S h

• El volumen del prisma recto es igual al área de labase multiplicado por la altura de dicho prisma.

iii) Área de la superficie total (AST)

(base)ST SLA A 2S

• El área de la superficie total del prisma es igual alárea de la superficie lateral más dos veces el áreade la base.

I I . Según su regularidada) Prisma regular: Es aquel cuyas bases son

polígonos regulares.

b ) Prisma irregular: Es aquel cuyas bases no son

polígonos regulares.

3 ) Paralelepípedo rectangular, rectoedro uortoedro: Es un prisma cuyas caras son regionesrectangulares.

cb

da

Tenemos: a, b y c: Dimensiones del paralelepípidorectangular

i) Tiene cuatro diagonales, los cuales son concu-rrentes de igual longitud.

2 2 2 2d a b c


ii) Área de la superficie total (AST)

STA 2( )ab bc ac

iii) Volumen (V)

V a b c

4 ) Hexaedro regular o cubo: Es aquel poliedro re-gular limitado por seis regiones cuadradas. Tiene 4diagonales, las cuales son de igual longitud y con-curren en sus puntos medios el cual es el centro delcubo.

a

B C

DO

GF

A

E H

Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH

a) Diagonal del cubo

CE 3a

b) Área de la superficie (A)

2A 6a

El área de un cubo es seis veces el área de una desus caras.

c) Volumen (c)

3V a

El volumen del cubo es igual a la longitud de suarista elevado al cubo.

Si: OE=OCEntonces: “O” es el centro del hexaedro regular.

Problema desarrollado

1. Demostrar que: El cuadrado de la longitud de ladiagonal de un rectaedro es igual a la suma de loscuadrados de las longitudes de sus tresdimensiones.

d

b

c

a

Se desea demostrar: 2 2 2 2d a b c

Resolución:

1) Se traza la diagonal de la base y se calcula por el teorema de pitágoras.

2) Luego en el triángulo sombreado :

22 2 2 2

2 2 2 2

d a b c

d a b c


Problema por desarrollar

1. Demostrar que la longitud de la diagonal de uncubo es igual a la longitud de su arista multiplicadopor 3 .

d

a

Se desea demostrar: 3d a

1. En el rectoedro, calcular:a) El área de la superficie lateralb) El área de la superficie totalc) Volumen

B C

G

HE

AF

D

12u

u

25u

Rpta.: ........................................................

2. En el gráfico calcular el volumen y el área de lasuperficie lateral del prisma triangular

6u

4u

8u 10u

F

D

E

A B

C

Rpta.: ........................................................

Resolución:

3. En el gráfico las longitudes de los lados del ortoedroestán en la relación de 1, 2 y 3. Si su volumen es48u

3, calcular el área de la superficie total

A

B C

D

EFG H

Rpta.: ........................................................

4. La arista básica de un prisma cuadrangular regularmide 12u y la altura mide igual al semiperímetrode la base. Calcular el área lateral del prisma.

Rpta.: ........................................................

5. Calcular el volumen de un hexaedro regular si lasuma de las longitudes de todos sus aristas es 48u.

Rpta.: ........................................................

6. La diagonal de un hexaedro regular mide 6 3 u.Calcular el área de la superficie total.

Rpta.: ........................................................


7. Calcular el volumen de un prisma recto si su alturamide 10u y sus aristas básicas 6u, 8u, 10u.

Rpta.: ........................................................

8. En el gráfico calcular la longitud de la arista del

hexaedro regular. Si: AH = 6u

G H

E

DA

F

B CH

Rpta.: ........................................................

9. En un paralelepípedo rectangular las diagonalesde las caras miden 34 u, 58 u y 74 u.Calcular su volumen.

Rpta.: ........................................................

10. La base de un prisma recto es un triángulo cuyoslados miden 13, 14 y 15u. Si la altura del sólidomide 10u. Calcular su volumen

Rpta.: ........................................................

11. Calcular el volumen de un prisma hexagonal regularde altura 7 3 u, si el apotema de su base mide 3 u.

Rpta.: ........................................................

12. En el gráfico, calcular la longitud de la arista delhexaedro regular. “O” es centro de la cara ABCD.

Si: OQ = 6 u .

Q R

C

DA

B

P S

O

Rpta.: ........................................................

13. En el gráfico el área de la superficie total de unrectoedro es 478u

2, la suma de sus dimensiones es

27u. Calcular su volumen.

9 - r

9+r

9u

Rpta.: ........................................................

14. Se tiene un prisma triangular regular recto, si ladiagonal de una de sus caras mide 4u y el ánguloque ésta forma con la base mide 60°. Calcular suvolumen.

Rpta.: ........................................................

15. En el gráfico calcular el volumen del cubo, sabiendoque su diagonal mide 5u.

B C

G

HE

F

A D

37º

Rpta.: ........................................................

16. En el gráfico calcular el volumen del prisma rectotriangular regular.

A) 40 3 3u

A

10u

P R4u

C

Q

B

B) 10 3 3u

C) 40 2 3u

D) 3 3u

E) 10 3u


17. En el prisma triangular regular, la arista básica mide6. Calcular la longitud de la altura, si el volumendel sólido es 36 3 3u .

A) 2uBA

P

R

Q

CB) 6u

C) 3u

D) 5u

E) 4u

18. En el gráfico calcular el área de la superficie total

del cubo. Si: AE = 2 u3

A) 68 2u

B) 50 2u

C) 54 2u

A B

CD

E

F G

H

D) 64 2u

E) 45 2u

19. Calcular el área de la superficie lateral de un prismarecto, si su base es un triángulo equilátero cuyo ladomide 2 y la altura del prisma mide 6u.

A) 40 2u B) 48 2u C) 35 2u

D) 54 2u E) 28 2u

20. En un hexaedro regular, calcular la longitud de una

diagonal, el área de una cara es: 64

A) 4 3u B) 8 3 u C) 9 3 u

D) 10 3 u E) 3 3 u

21. Las dimensiones de un rectoedro son 6u, 8u y 4u.Calcular la longitud de su diagonal.

A) 29u B) 2 29 u C) 29 u

D) 14u E) 34u

22 . Calcular el volumen de un cubo si su arista mide

4u.

A) 16 u3 B) 64 u3 C) 25 u3

D) 26 u3 E) 28 u3

23. En el hexaedro regular: calcular su volumen

A) 200 3u

B) 316 3u

C) 180 3u

A B

CD

E

F G

H

D) 216 3u

E) 186 3u

24. Calcular el volumen del prisma cuadrangular regularde 192u

2 de área de la superficie total y 5u de

altura.

A) 120u3

B) 140u3

C) 160u3

D) 180u3

E) 144u3

25. Calcular el volumen de un cubo si la longitud desu diagonal es 6u.

A) 24 3 u3

B) 20 3 u3

C) 18 3 u3

D) 22 3 u3

E) 16 3 u3


1. Si la arista de un hexaedro regular mide 5u.Calcular el área de su superficie.

A) 150u2

B) 140u2

C) 135u2

D) 155u2

E) 160u2

2. Si las dimensiones de un rectoedro son 2u, 3u y5u. Calcular su volumen.

A) 40u3

B) 30u3

C) 45u3

D) 15u3

E) 330 2 u

3. En la figura, calcular el volumen del prismacuadrangular regular. Si el perímetro de su base es12u.

A) 40u3

Q R

C

DA

B

P S 5uB) 31u3

C) 45u3

D) 60u3

E) 35u3

4. Calcular el volumen de un prisma triangular si loslados de la base miden 5, 8 y 5u además la alturamide 10u.

A) 180 3u B) 160 3u C) 90 3u

D) 150 3u E) 120 3u

5. En el gráfico calcular el volumen del ortoedro.

4u

12u

6u

A) 250 3u B) 80 3u C) 288 3u

D) 184 3u E) 98 3u


PIRÁMIDE

Se llama pirámide al sólido determinado alintersectar mediante un plano secante una superficiepiramidal cerrada; la sección determinada se llama basede la pirámide.

La distancia del vértice o cúspide de la pirámide, ala base se llama altura.

Pirámide regular: Es una pirámide que tiene por baseuna región poligonal regular y el pie de su altura es elcentro de la base.

O

A a

B C

D

V

aM

Elementos de la Pirámide :1) Vértice: V

2 ) Arista básica: AD, AB, CD, BC

3 ) Altura: VO

4 ) Apotema: (Altura de una cara lateral) VM

5 ) Base: ABCD

6 ) Aristas laterales: VA, VB, VD, VC

Para hallar:Área de la superficie lateral (ASL)

SL (Base)A P ap

El área de la superficie lateral de una pirámide el igualal semiperímetro de la base por el apotema.

Área de la superficie total (AST)

ST ST (Base)A A S

El área de la superficie total de la pirámide es igual alárea de la superficie lateral más el área de la base.

Volumen (V)

(Base)SV

3

h

El volumen de la pirámide es 13 del área de la base por

la altura.

CILINDRO CIRCULAR RECTO

Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos, tam-bién denominado cilindro de revolución porque es ge-nerado por una región rectangular al girar una vueltaen torno a uno de sus lados.

360°

rEje degiro

r

rO1

O2

h g h

En el gráfico se muestra un cilindro circular recto.Donde:h=g: generatríz, alturar= radio de la base

Área de la superficie lateral (ASL)

SLA 2 rg

El área de la superficie lateral del cilindro es igual a lalongitud de la base por la generatriz.r: radio de la baseg: generatríz


STA 2 ( ) r g r

Volumen (V)

2V r g

El volumen del cilindro es igual al área de la base por lageneratriz.

CAPÍTULO

23



1. En el cilindro circular recto demostrar que el área

de la superficie lateral es: S si “S” es el área delcuadrado ABCD.

A

B C

D

Se desea demostrar que el área de la superficielateral del cilindro es: S

Resolución:

S

r r

r r

2r

1) Se sabe:

(2r)2 = S

4r2 = S ...(I)

2) El área de la superficie lateral del cilindro es:

2 .r g

3) SL

2SL

2SL

A 2 .(2 )

A 4

A 4 ...(I I)

r r

r

r

(I) en (II)SL

A S( ). S


1. Del problema anterior demostrar que el volumen

del cilindro circular recto es S S.4

S

Se desea demostrar:S S.

V4

Resolución:


1. Calcular el volumen del cilindro recto, si el área de

la base es 16 2u AD = 4u.

r

r

O

OA B

D C

Rpta.: ........................................................

2. Si el diámetro de la base del cilindro recto mide 4u.Calcular el área de la superficie total.

r

A B

D C

4u

Rpta.: ........................................................

3. En el gráfico: Calcular el volumen de la pirámideregular

A

B C

D

V

6u

Rpta.: ........................................................

4. Calcular la medida de la arista básica de unapirámide cuadrangular regular si su área de la

superficie total es 600 2u y su apotema mide 25u.

Rpta.: ........................................................

5. El área de la superficie lateral de un cilindro es 6u2,

su volumen 3 3u . Calcular el área de su superficietotal.

Rpta.: ........................................................

6. Calcular el volumen de un cilindro circular rectocuya área de su superficie lateral es 100 y sualtura es igual al diámetro de su base.

Rpta.: ........................................................

7. Calcular el volumen de una pirámide regular si suapotema mide 15 u y su base es un triángulo

equilátero de 18 3 u de lado..

Rpta.: ........................................................

8. Calcular el área de la superficie total del cilindrorecto:

145u 9u

Rpta.: ........................................................

9. En un cilindro recto, el área de su base es 81 2u .Si la generatríz es el doble del diámetro. Hallar elárea de la superficie lateral.

Rpta.: ........................................................

10. Calcular el área de la superficie total del cilindrorecto. Si AB=2u, “O” centro de la base.

A B

D C

2u

O

O

Rpta.: ........................................................

11. La altura de un cilindro recto mide 6u y el área de

su superficie lateral es 36 2u . Calcular suvolumen.

Rpta.: .................................................... ....


12. Calcular la arista básica de una pirámidecuadrangular regular cuya área de su superficie totales 156u2 y su apotema mide 10u.

Rpta.: ........................................................

13. Calcular el área de la superficie total de la pirámidecuadrángular regular, si: h=12u, CD= 10u.

A

B C

D

h

HO

Rpta.: ........................................................

14. La base de una pirámide regular es un cuadradocuya área es 25u2. Si el apotema de la pirámidees 12u. Calcular el área de la superficie lateral.

Rpta.: ........................................................

15. La figura muestra un tarro de leche cuya altura es12u y el radio de la base mide 4u. Hallar el áreade la etiqueta. (suponer que la etiqueta cubre todoel área lateral)

r

A B

D C

Rpta.: ........................................................

16. Calcular el volumen del cilindro, si el diámetro dela base mide 10.

A) 75u3

r

3

O

B) 70u3

C) 73u3

D) 72u3

E) 40u3

17. Calcular el área de la superficie lateral del cilindromostrado.

A) 48 2u A B

D C4

12

O

B) 72 2u

C) 36 2u

D) 96 2u

E) 45 2u

18. Calcular la longitud de la arista básica de unapirámide regular de base cuadrangular, cuya áreade su superficie total es 360u

2y su apotema mide

13u.A) 20u B) 15u C) 10uD) 50u E) 60u

19. Calcular la arista básica de una pirámidecuadrangular regular, si el área de su superficie totales 600 2u y su apotema mide 25 2u .A) 5u B) 10u C) 2,5uD) 7,5u E) 9u

20. Calcular el área de la superficie total de unapirámide cuadrangular regular P–ABCD cuya aristade la base mide 12u, sabiendo que el área de laregión triangular PAC es 48 3 u

2.

A) 224 2u B) 324 2u C) 240 2u

D) 384 2u E) 432 2u

21. Calcular el área de la superficie lateral del cilindrorecto mostrado.

A) 90u2

13u

B C

A

5uB) 80u

2

C) 60u2

D) 72u2

E) 64 2u


1. En el gráfico: Si el diámetro de la base mide 18u.Calcular el volumen del cilindro recto.

A) 222u3

r

A

D

B

C

3u

B) 220u3

C) 242u3

D) 243u3

E) 250u3

2. En el gráfico: Calcular el volumen del cilindro recto.

Si: OA: 2 8u

A) 61u3

O

A

B45°

B) 60u3

C) 62u3

D) 64u3

E) 50u3

3. Calcular el volumen de una pirámide triangular regularcuya arista básica mide 6 y su altura 8.

A) 90 3 B) 96 5 C) 86 2

D) 48 2 E) 24 3

4. Calcular el volumen de la pirámide regular.

A) 60 3u

B) 62 3u

C) 74 3u

A

B C

D

V

4 2u

2 11u

MD) 64 3u

E) 30 3u

5. Calcular el volumen de una pirámide triangularcuyas aristas básicas miden 6u, 8u, 10u y su alturamide 9u.

A) 64 3u B) 68 3u C) 72 3u

D) 84 3u E) 80 3u

22. En el gráfico: Calcular el volumen del cilindro derevolución si: O es el centro de la base,AO = 5u.

A) 36 3u

O

A

B37

°B) 42 3u

C) 48 3u

D) 54 3u

E) 32 3u

23. La base de una pirámide regular es un cuadradocuyo lado mide 12u y la arista lateral de la pirámide

mide 10 3 u. Calcular el área de la superficie total.

A) 144 2u B) 289 2u C) 366 2u

D) 504 2u E) 196 2u

24. Si el número que expresa el área de la superficielateral de un cilindro recto y el número que expresasu volumen son iguales. Calcular la longitud delradio de la base.A) 1,5 B) 2 C) 1D) 2,5 E)

25. Calcular el volumen de un cilindro recto, si lageneratríz mide el doble del radio de su base,

además el área de su superficie lateral es 64 2u .

A) 72 3u B) 108 3u C) 144 3u

D) 128 3u E) 135 3u


ESFERA

Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar

360° en torno a su diámetro.

R O RO

“O”: Centro de la esfera

360°

Volumen (V)

34V R

3

Área de la superficie esférica (ASE)

2SEA 4 R

CONO CIRCULAR RECTO O DEREVOLUCIÓN

Es aquel cono recto cuya base es un círculo, tam-bién se denomina cono de revolución porque es genera-do por una región triangular rectangular al girar unavuelta en torno a un cateto.

r

g

O

hg

BA

V360°

rr

En el gráfico se muestra un cono recto.h: altura del cono VO

g: generatríz del cono VA

Volumen (V)2

V3

r h

El volumen de un cono es 13 del área de la base por su

altura.

Área de la superficie lateral (ASL)

SLA r g

El área de la superficie lateral del cono es, igual alsemiperímetro de la base por la generatriz.


STA ( ) r g r

El área de la superficie total del cono es igual al área de la

superficie lateral ( )rg más el área de la base 2( )r .

CAPÍTULO

24



1. Demostrar que el volumen de la esfera inscrita en

un cilindro circular recto es los 23 del volumen del

cilindro.

E

C

E C

V V Es

V V C

2V V3

olumen de la fera

olumen del ilindro

Resolución:

2rr

rr

rr

1) Se sabe:

3E

2C

3C

4V ...(I)3

V .(2 )

V 2 ...(I I)

r

r r

r

2) (I) (II)

3

E

C

4V 3V

r

32 r

E

C

4V

V 3

2

EE C

C

1V 2 2V VV 3 3


1. Demostrar que el volumen del cono inscrito en un

cilindro circular recto es 13 del volumen del cilindro..

cono Cilindro1V V3

Resolución:


1. Calcular el volumen de la esfera. Si el área de laregión sombreada es 4 2u . “O” centro de la esfera.

rO

Rpta.: ........................................................

2. En el gráfico: Calcular el área de la superficie

esférica. OB =Radio, CB = 4u

A B

C

45°

O

Rpta.: ........................................................

3. Calcular el volumen del cono, “O” centro de la base.

OBA

V

12u60°

Rpta.: ........................................................

4. Calcular la razón entre el área de la superficie lateraldel cono y el área de su base. “O” centro de labase.

OBA

V

30°

Rpta.: ........................................................

5. Calcular el volumen y el área de la superficie totalde un cono recto, si su generatríz mide 6, la cualforma con la base un ángulo que mide 60°.

Rpta.: ........................................................

6. Calcular la longitud del radio de la semi-esfera, si

el área de la superficie esférica es 48 2u . R=Radio..

R

OBA

Rpta.: ........................................................

7. Calcular el volumen y el área de la superficie esférica.

Si el área de la región sombreada es 36 2u . “O” escentro de la esfera.

rO

Rpta.: ........................................................

8. Calcular el volumen de una esfera cuya área de su

superficie esférica es 144 2u .

Rpta.: ........................................................

9. Calcular el área de la superficie total del conocircular recto, si el radio de su base mide 4u, r:Radio.

rO BA

V

Rpta.: ........................................................


10. El área de la superficie lateral de un cono de

revolución es igual a 65 2u y el área de su base

es 25 2u . Calcular el volumen del cono..

Rpta.: ........................................................

11. Calcular el radio de la esfera inscrita en un cubo,

cuya área de su superficie total es 24 2u .

Rpta.: ........................................................

12. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto.

Calcular la relación entre el volumen de la esfera y

el volumen del cilindro.

Rpta.: ........................................................

13. En el gráfico: Calcular la relación entre losvolúmenes de la semi-esfera y el cono. O y Q soncentros.

O Q

V

M

45°

Rpta.: ........................................................

14. Una esfera cuyo radio mide 3u es equivalente aun cono circular recto cuyo radio de la base mide2u. Calcular la medida de la altura del cono.

Rpta.: ........................................................

15. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a

un cubo cuya área de la superficie total es 288 2u .

Rpta.: ........................................................

16. Calcular el volumen del cono que se muestra en elgráfico. “O” centro de la base.

A) 324 u3

OBA

V

37°15u

r

B) 323 u3

C) 320 u3

D) 300 u3

E) 330 u3

17. En el gráfico: Calcular el volumen del cono. “O”centro de la base.

A) 64 3 u3

OBA

P

12 3

OBA

P

12 3

OBA

P

12 3uB) 36 3 u3

C) 640 u3

D) 60 3 u3

E) 50 3 u3

18. Calcular el volumen de la esfera. Si: “O” centrode la esfera, PQ = 6u.

A) 72 2 u3

Q

P

45°

O

B) 75 2 u3

C) 74 2 u3

D) 70 2 u3

E) 88 2 u3

19. En el gráfico, calcular el volumen de la esfera si lalongitud de la región sombreada es 2 2 u. “O”centro de la esfera.

A)8 2

3 3u

rO

B)8 3

2 3u

C)6 2

3 3u

D) 7 33 3u

E)5 2

3 3u

20. En el gráfico: Calcular el volumen del cono recto.“O” centro de la base

A) 86 3u

OBA

V

10u

B) 40 3u

C) 90 3u

D) 60 3u

E) 96 3u


21. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateral

del cono recto. “O” centro de la base.

A) 20 61 2u

OBA

P

152 61u

B) 18 61 2u

C) 16 2u

D) 61 2u

E) 10 2u

22. Calcular el área de la superficie lateral de un conorecto, si su generatriz mide 6u y el diámetro de subase 8u.

A) 12 2u B) 24 2u C) 18 2u

D) 48 2u E) 32 2u

23. El volumen de una esfera es /6 3u . Hallar el áreade la superficie esférica.

A) 2 2u B) /2 2u C) 2u

D) /4 2u E) 4 2u

24. Calcular el radio de una esfera inscrita en un conorecto en el cual el radio de la base y la altura miden6u y 8u respectivamente.

A) 1u B) 2u C) 3uD) 6u E) 9u

25. La generatríz de un cono mide 10u y el área de su

superficie lateral es 60 2u . Calcular el volumendel cono.

A) 84 3u B) 69 3u C) 96 3u

D) 108 3u E) 3u

1. Calcular el volumen del cono circular recto cuyageneratríz mide 4u y forma con el plano de la base

un ángulo de 30°.

A) 6 3 3u B) 12 3u

C) 8 3u D) 12 3 3u

E) 24 3u

2. Calcular el área de la superficie total de un conode revolución de 13u de generatríz y 12u de altura.

A) 80 2u B) 90 2u

C) 70 2u D) 60 2u

E) 100 2u

3. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a

un cubo cuya área de su superficie total es 288 2u .

A) 324 3u B) 288 3u

C) 216 3u D) 256 3u

E) 348 3u

4. El diámetro de una esfera mide 12. Calcular elárea de la superficie esférica y su volumen.

A) 72 y 144 B) 144 y 288

C) 144 y 208 D) 208 y 288

E) 100 y 288

5. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateraldel cono. “O” centro de la base.

A) 4

OCA

B

3r4

r

B) 6

C) 8

D) 9

E) 12

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