3.Posiciones relativas de rectas
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Posición relativa de dos o más rectas Cuando se habla de la posición relativa de dos o más rectas es claro que ellas pueden estar tanto en el plano como en el espacio. Lo anterior nos lleva a considerar tres posiciones de una recta en el espacio (luego se verá que esto se puede representar en el plano). 1.- Recta vertical: Es aquella recta que tiene como su mejor representante la imagen dejada por el hilo a plomo
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Posición relativa de dos o más rectasCuando se habla de la posición relativa de dos o más rectas es claro que ellas pueden estar tanto en el plano como en el espacio.Lo anterior nos lleva a considerar tres posiciones de una recta en el espacio (luego se verá que esto se puede representar en el plano).
1.- Recta vertical: Es aquella recta que tiene como su mejor representante la imagen dejada por el hilo a plomo
Posición relativa de dos o más rectas
2.- Recta horizontal: es aquella recta que tiene como su mejor representante la imagen que deja la superficie de las aguas en reposo, lo que en algunos textos este concepto está referido a la línea que se observa en el horizonte.
NOTA: cuando el hilo a plomo se encuentra con las aguas en reposo se dice que, el hilo a plomo ha caído PERPENDICULARMENTE sobre la superficie de las aguas en reposo.
Posición relativa de dos o más rectas
3.- Línea oblicua : Es aquella línea recta que no es vertical ni tampoco es horizontal, y su representación está dada por:
Posición relativa de dos o más rectas
Dos o más rectas en el plano pueden tener las siguientes posiciones
Ser paralelas
No ser paralelas
se dice que dos o más rectas son paralelas si ellas no tienen ningún punto en común, esto se muestra:
L
L’
L’’
Y se dice que la recta L es paralela a L’ y que la recta L’ es paralela a L’’ y que la recta L también es paralela a L’’. Esta afirmación se denota por:
Posición relativa de dos o más rectas
No ser paralelas
Cuando ellas tienen sólo un punto en común
Su representación puede tomar dos formas:
L L’ L
L’
En este caso se dice que las rectas no son perpendiculares En este caso se dice
que ellas son rectas perpendiculares, lo que se denota:
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
Se dice que una línea recta es una secante o una transversal si ella intersecta a una figura geométrica cualquiera
Ya se dijo que dos rectas cualesquiera en el plano pueden ser o no ser paralelas. Si ellas no son paralelas se intersectan en un punto, cuya intersección siempre se denota por una letra mayúscula, en este caso tomaremos la letra P, tal como se muestra en la figura:
L
L’
P
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
Es claro que una sola recta divide al plano en dos semiplanos, es decir el plano queda dividido en tres subconjuntos, a saber, los dos semiplanos y la recta propiamente tal, de tal manera que la intersección dos a dos es vacía y la unión de ellos tres es el plano, ver figura:
Recta L
SEMIPLANO 2
SEMIPLANO 1
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
Cuando dos rectas L y L’ se intersectan en un punto se dice que ellas dividen al plano en cuatro subconjuntos, llamados cuadrantes (aunque este nombre es usado frecuentemente cuando las rectas son perpendiculares), de tal forma que los cinco subconjunto que así aparecen, la intersección dos a dos es vacía y la unión es el plano.
L
L’
P Cuadrante 1
Cuadrante 2
Cuadrante 3
Cuadrante 4
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
Aunque no sabemos la definición de ángulo, utilizaremos la noción intuitiva que podríamos tener, es así que al observar las dos rectas que se intersectan en un punto nos encontramos con que ellas generan aparentemente cuatro ángulos, llamados ángulos opuestos por el vértice
P
L
L’
12
34
Los ángulos 1 y 3 , 2 y 4 se llaman ángulos opuestos por el vértice. Este nombre nace del hecho de que los lados de los ángulo 1 y 3 , 2 y 4 son rayos que están sobre L y L’
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
Consideremos dos rectas L y L’ cortadas por una secante L’’, tal comoLo muestra la figura:
L
L’
L’’
1 2
34
5 678
En este caso se han formado cuatro pares de ángulos opuestos por el vértice, a saber: 1 y 3 ; 2 y 4 ; 5 y 7 ; 6 y 8
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 678
Estos ocho ángulos que determinan estas tres rectas, existen grupos de ellos que reciben un nombre especial:Ángulos internos, externos, alternos internos, alternos externos y ángulos correspondientes.
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 678
Ángulos internos: son aquellos ángulos comprendidos entre las rectas L y L’, ellos son: 3 , 4 , 5 y 6
Ángulos externos: son aquellos que están fuera de las rectas L y L’’ , ellos son : 1 , 2 , 7 y 8
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 678
Ángulos alternos internos: son aquellos ángulos que están entre las rectas L y L’ pero a distintos lados de la recta L’’, ellos son los ángulos 3 y 5 , y también los ángulos 4 y 6.Ángulos alternos externos: son aquellos ángulos que están fuera de las rectas L y L’ pero a distintos lados de la recta L’’, ellos son los ángulos 1 y 7, y también los ángulos 2 y 8.
Rectas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 678
Ángulos correspondientes: son dos ángulos tales que están al mismo lado de la secante L’’ , uno es interno, el otro externo, pero no adyacentes. Estos pares de ángulos son: 1 y 5 ; 4 y 8 ; 2 y 6 ; 3 y 7
Rectas paralelas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 6
78
Las rectas L y L’ son paralelas y L’’ es una secante cualquiera, entonces, los siguientes pares de ángulos son congruentes, es decir tienen la misma medida:3 y 5 ; 4 y 6 son ángulos alternos internos2 y 8 ; 1 y 7 son ángulos alternos externos4 y 8 ; 2 y 6 son ángulos correspondientes1 y 5 ; 3 y 7 son ángulos correspondientes
Rectas paralelas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 6
78
Uno de los conceptos que más ha dado problemas en el campo de la Geometría es justamente el de rectas paralelas. Esto ha sido posible simplificarlo al usar el concepto de congruencia y medida del ángulo, es así que dos rectas pueden definirse como rectas paralelas, de la siguiente manera:
Rectas paralelas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 6
78
Se dice que dos rectas L y L’ son paralelas cuando y sólo cuando los ángulos correspondiente 3 y 7 son congruentes, como así también los ángulos 2 y 6 son congruentes
Rectas paralelas cortadas por una transversal o por una secante
L
L’
L’’
1 2
34
5 6
78
También se dice que dos rectas son paralelas cuando y sólo cuando los ángulos 3 y 6 son suplementarios
Lo mismo si se consideran los pares de ángulos: 4 y 5 ; 1 y 8 ; 2 y 7.
