4 bimestre ciencias

8/19/2019 4 bimestre ciencias

1/153

I.E.P. “Virgen de Guadalupe” 4to. Bimestre – Ciencias – Primer Grado -200

PRESENTACIÓN

Es alentador constatar que nuestra institución educativa en eras de elevar el rendimiento académico de nuestros estudiantes prueba no sólo las habilidades

cognitivas, sino las más puras áreas del razonamiento. Lejos de la frivolidad e

indiferencia, existen jóvenes conscientes, que se preocupan por su formación integral

basada en la invalorable riqueza de los alores morales, éticos, religiosos ! todos

aquellos que contribu!en a formar la armoniosa estructura de la persona.

"onocedores de esa realidad, es que desde hace a#os, el "olegio $ VIRGEN DE

GUADALUPE $, se han fijado como objetivo fundamental, estimular a la juventud a prepararse para competir con altura ! dignidad, enalteciendo a sus planteles !

honrando a sus maestros.

Los profesores juegan en esto, un rol mu! importante, !a que motivan, preparan,

acompa#an ! asesoran a sus alumnos, ofreciéndoles con abnegación su esfuerzo. %ara

ellos, también nuestro reconocimiento ! admiración. "omo testimonio de ello, les

ofrecemos este libro, con ejercicios ! problemas de las área tanto de "&' ! de

(atemáticas, que estamos seguros va a contribuir una valiosa a!uda en su delicada

labor. Esperamos que en el futuro, podamos apo!arles mejor, para contribuir de esta

manera, a elevar el nivel académico de los estudiantes de nuestra %atria.

L)* %+)E*)+E*

1


2/153


2


3/153


1 9 7 5 - 2 0 0 8

3

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA“VIRGEN DE GUADALUPE”

NIVELSECUNDARIA DE MENORES

CICLO VI BIMESTRE IV

1er Grado

SECUNDARIA


4/153


4

I N D I C E


5/153


IV BIMESTRE

Del 13 de Octubre 2008 al 16 Dce!bre 2008

"r#duct#$ N#table$%%%%%%%%&&&&&&&&&&&&%%%%%%%% '

(act#r)ac*+ I%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 16

(act#r)ac*+ II %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 20

5

1, U+dad

2, U+dad

3, U+dad


6/153


1 9 7 5 - 2 0 0 8

GUÍA DE APRENDIZAJE DE ÁLGEBRA N° 10TEMA: Productos Notab!s"#$NTENID$:

#uadrado d! a su%a & d'(!r!)c'ad! dos %o)o%'os"

Producto d! a su%a d! dos%o)o%'os *or su d'(!r!)c'a"

Producto d! u) b')o%'o *or u)tr')o%'o" Producto d! b')o%'os co) u)

t+r%')o co%,)" B')o%'o a cubo" Tr')o%'o a cubo"

LAS TABLETAS BABIL-NICASREVOLUCIONAN LA .ISTORIA

El admirable avance algebraico de los babilónicosnos ha sido revelado por los millares de tabletasbabilónicas desenterradas en Mesopotamia, en losúltimos noventa años; ellas han aclaradodefinitivamente que los babilonios usaron elsímbolo cero, que conocieron muchísimasfórmulas para hallar las áreas y volúmenes desólidos geomtricos, inclusive de algunos cuerposredondos; tambin conocieron problemas queimplicaban ecuaciones de segundo grado,bicuadradas y de tercer grado!

LOS E/I"CIOSEl conocimiento algebraico alcan"ado por losbabilonios, si bien es cierto que no continúa suritmo de progreso, logra por lo menos e#pandirsepálidamente hacia la $ndia y en Egipto; el gradode adelanto logrado por los egipcios en el terrenoalgebraico se puede establecer fácilmente a travsde sus %papiros&, siendo el más importante el de'hmes! (racias al %)apiro de 'hmes& sabemosque hace cerca de *+++ años, acaso seencontraba ya en los egipcios un rudimentariointento del simbolismo en los eroglíficos eideogramas, cuando indicaban la suma con un pieorientado hacia delante, y la resta orientado haciaatrás! Ellos conocieron problemas como ste queahora resolvemos por medio de una ecuación deprimer grado- %halla el número que sumado consu sptima parte es igual a ./&!

LOS /RIE/OS

E012$3E4 5siglo $$$ a! c!6- 3emostró por medio deprocedimientos geomtricos que-

5a 7 b68 9 a8 7 8ab 7 b8; y5a 7 b6 5a : b6 9 a8 : b8!

En su data resolvió problemas para hallar dosnúmeros conociendo su producto y su suma odiferencia, conociendo su producto y la suma de

sus cuadrados! En sus inmortales %Elementos& fueaún más leos, resolviendo los equivalentes de lasecuaciones- #8 7 a# 9 a; y, #8 7 a# 9 b8, pero sólose quedó ahí por falta de una lgebra simbólica!3$


7/153

PRODUCTOS NOTABLES


LOS .INDESEl lgebra hindú fue retórica en un comien"o, peroel hecho de emplear sílabas diferentes paraincógnitas distintas y el uso que hicieron de ciertosimbolismo, le dio ya cierta fisonomía de lgebrasincopada!?ambin tuvieron una clara visión de lo que eran

los números positivos y negativos, ya que losinterpretaban como crditos y dbitos,respectivamente; esto les permitió unificar lasdistintas modalidades de las ecuaciones desegundo grado! 2uego, ingresan al cálculo de lasuma de los trminos de las progresionesgeomtricas, el análisis indeterminado de lasecuaciones lineales! @epresentaron por medio deun color cada incógnita, sus má#imos e#ponentesfueron- %'ryhabatha&, %Arah macupta&, %Mahavir el4abio& y %AhasBara&!

2


8/153


h6 5.,8n 7 +,H68 9

i6 5HID m8 7 D68 9

6 5FI.8 #H 7 8*6 9

4ean los monomios a y b! 2a diferencia deellos es %a : b& y su producto será- 5a : b6 5a: b6! Callaremos dicho producto por lamultiplicación de polinomios, así-

Luego, se tiene que:

4e interpreta de la siguiente manera-

%El cuadrado de la diferencia de dosmonomios es igual al cuadrado del primertrmino, menos el doble producto del primertrmino por el segundo, más el cuadrado delsegundo trmino&!

Eemplo +.- Efectúa- 5# : *68!⇒ 1uadrado del primero- 5#68 9 #8!⇒ 3oble del primero por el segundo-

85#65*6 9 G#!⇒ 1uadrado del segundo-

5*68 9 .!⇒ 4e tiene que-

5# : *68 9 #8 : G# 7 .!

Eemplo +8- Efectúa-5+,*#H : 868!

⇒ 1uadrado del primero-5+,*#H68 9+,.#

⇒ 3oble del primero por el segundo-85+,*#H6586 9 .,*#H

⇒ 1uadrado del segundo- 5868 9 *!⇒ 4e tiene que-

5+,*#H : 868 9 +,.# :.,*#H 7 *!

a6 5# : H68 9

b6 5# : G68

9

c6 5Fm : *68 9

d6 5# : /68 9

e6 5D# : ..68 9

f6 5.*# : 68 9

g6 5+,/# 7 .68 9

h6 5.,Hn 7 +,G68 9

i6 5I.. mF 7 ..68 9

6 58I.H #8 7 .H6 9

4ean los monomios a y b! 2a suma de elloses %a 7 b&, la diferencia es %a : b& y suproducto será- 5a : b6 5a 7 b6! Callaremosdicho producto por la multiplicación depolinomios, así-

Luego, se tiene que:

5a 7 b6 5a : b6 9 a8 : b8

4e interpreta de la siguiente manera- %El producto de la suma de dos monomiospor su diferencia es igual al cuadrado delprimer trmino menos el cuadrado delsegundo trmino&!

8

CUADRADO DE LA DI(ERENCIADE DOS MONOMIOS

( ) 222

b2aba b-a +−=

"R4CTICA DE CLASE

"RODUCTO DE LA SUMA DEDOS MONOMIOS "OR LA

DI(ERENCIA DE LOS MISMOS


9/153

I.E.P. “Virgen de Guadalupe” 4to. Bimestre – Ciencias – Primer Grado -200Eemplo +.- Efectúa-

5*m8 7 DnH6 5*m8 : DnH6!⇒ 1uadrado del primero-

5*m868 9 .m*

⇒ 1uadrado del segundo-5DnH68 9 */n!

⇒ 4e tiene que-5*m8 7 DnH6 5*m8 : DnH6 9 .m* : */n!

Eemplo +8- Efectúa-

.x5

2x

4

3x

5

2x

4

3 33

−

+

⇒ 1uadrado del primero-5HI* #H68 9 /I. #!

⇒ 1uadrado del segundo-58IF #68 9 *I8F#8!

⇒ 4e tiene que-2633

x25

4x

16

9x

5

2x

4

3x

5

2x

4

3−=

−

+

@esuelve cada una de las siguientese#presiones, aplicando la propiedadcorrespondiente-

a6 5# : H65# 7 H6 9

b6 5# : .G65# 7 .G6 9

c6 5Dm : *65Dm 7 *6 9

d6 58# 7 ./658# : ./6 9

e6 5H# 7 G65H# : G6 9

f6 5*# 7 65*# : 6 9

g6 5+,H# 7 *65+,H# : *6 9

h6 58,Fn 7 +,658,Fn : +,6 9

i6 5.I.F mF : .F65.I.F mF 7 .F6 9

6 58ID #8 7 .*658ID #8 : .*6 9

3ebemos aclarar que no se trata de unamultiplicación de un binomio por un trinomiocualquiera, sino de dos factores que cumplenciertas condiciones-

4e presentan dos casos-

'6 4uma de 1ubos!

4ea el binomio 5a 7 b6 y el trinomio 5a8 : ab7 b86, determinamos el producto mediante lamultiplicación de polinomios, así-

2uego se tiene que-

5a 7 b6 5a8 : ab 7 b86 9 aH 7 bH

4e interpreta de la siguiente manera-

%El producto de un binomio suma por untrinomio, con las características señaladas, esigual al cubo del primer trmino más el cubodel segundo trmino&!

A6 3iferencia de 1ubos!

4ea el binomio 5a : b6 y el trinomio 5a8 7 ab7 b86, determinamos el producto mediante lamultiplicación de polinomios, así-

9

"R4CTICA DE CLASE

"RODUCTO DE UN BINOMIO


10/153

I.E.P. “Virgen de Guadalupe” 4to. Bimestre – Ciencias – Primer Grado -2002uego se tiene que-

5a : b6 5a8 7 ab 7 b86 9 aH : bH

4e interpreta de la siguiente manera- %El producto de un binomio diferencia por untrinomio, con las características señaladas, esigual al cubo del primer trmino menos elcubo del segundo trmino&!

Eemplo +.- 3etermina el valor de-5# 7 *6 5#8 : *# 7 .6

⇒ 1ubo del primero- 5#6H 9 #H

⇒ 1ubo del segundo- 5*6H 9 *⇒ 4e tiene que-

5# 7 *6 5#8

: *# 7 .6 9 #H

: *

Eemplo +8- Calla el valor de-5H#H : D6 5/# 7 8.#H 7 */6

⇒ 1ubo del primero-5H#6H 9 8D#/

⇒ 1ubo del segundo-5D6H 9 H*H

⇒ 4e tiene que-5H#H : D6 5H# 7 8.# 7 */6 9 8D#/ : H*H


a6 5# : H6 5#8 7 H# 7 /6 9

b6 5# : G6 5# 7 G# 7 *6 9

c6 5Dm : *6 5*/m8

7 8Gm 7 .6 9

d6 58#8 7 ./6 5*#* : HG#8 7 H.6 9

e6 5*# 7 G6 5.# : H8# 7 *6 9

f6 5#m 7 .6 5H#8m : #m 7 .6 9 g6 5+,D# 7 /6 5+,*/#8 : ,H# 7 G.6 9

h6 5H,Gn : +,F6 5.*,**n8 7 .,/n 7 +,8F6

i6 5IF mF : F65HI8F m.+ 7 mF 7 8F6 9

6 5.8I.F #8 7 .F65.**I88F #* : .8#8 7 88F6

Sea l#$ b+#!#$ 5 7 a 9 5 7 b:deter!+a!#$ el r#duct# !eda+te la!ultlcac*+ de #l+#!#$: a$;

Luego se tiene que:

5 7 a 5 7 b < 2 7 5a 7 b 7 ab

4e interpreta de la siguiente manera- %El trmino común al cuadrado, más elproducto de la suma de trminos no comunescon el trmino común, más el producto de lostrminos no comunes&!

Eemplo +.- Calla el valor de-5# 7 /6 5# 7 G6

⇒ 1uadrado del primero- 5#68

9 #8

⇒ )roducto de la suma de trminos nocomunes con el trmino común-

5/ 7 G6 # 9 .D#⇒)roducto de los trminos no comunes-

5/6 5G6 9 D8⇒ 4e tiene que-

5# 7 /6 5# 7 G6 9 #8 7 .D # 7 D8!Eemplo +8- 3etermina el valor de-

5#H : D65#H 7 /6

⇒ 1uadrado del primero- 5#H

68

9 H#

⇒ )roducto de la suma de trminos nocomunes con el trmino común-

5:D 7 /6 #H 9 .8#H!⇒ )roducto de los trminos no comunes-

5:D6 5/6 9 : H!⇒ 4e tiene que-

5#H : D65#H 7 /6 9 H# 7 .8#H : H!

10

"R4CTICA DE CLASE

"RODUCTO DE BINOMIOS CON


11/153


@esuelve cada una de las siguientese#presiones, aplicando la propiedadrespectiva-a6 58# 7 H6 58# 7 G6 9b6 5H# : G6 5H# : .86 9c6 5Dm : .*6 5Dm 7 H+6 9

d6 5.F# 7 /6 5.F# 7 G6 9e6 5.H# 7 6 5.H# : .F6 9f6 5G# : *6 5G# : 6 9g6 58,F# 7 *6 58,F# 7 *6 9h6 5H,8n 7 +,6 5H,8n : +,/6 9i6 5..I.+ mF : .+6 5..I.+mF 7 8+6 9

6 5.8I.D #8 7 H*6 5.8I.D #8 : F6 9

4e presentan dos casos-

'6 4uma de un Ainomio al 1ubo4ea el binomio 5a 7 b6, si lo elevamos alcubo, sería 5a 7 b6H, para hallar el resultadolo determinamos mediante la multiplicaciónde polinomios, así-

Luego se tiene que:

a3 7 b3 < a3 7 3a2b 7 3ab2 7 b3

4e interpreta de la siguiente manera- %2a suma de un binomio elevado al cubo esigual al cubo del primer trmino más el tripledel primer trmino al cuadrado por elsegundo trmino, más el triple del primertrmino por el cuadrado del segundo, más elcubo del segundo trmino&!

A6 3iferencia de un Ainomio al 1ubo!

4ea el binomio 5a : b6, si lo elevamos alcubo, sería 5a : b6H, para hallar el resultado lodeterminamos mediante la multiplicación depolinomios, así-

Luego se tiene que:

aH : bH 9 aH : Ha8b 7 Hab8 : bH

4e interpreta de la siguiente manera- %2a diferencia de un binomio elevado al cuboes igual al cubo del primer trmino menos el

triple del primer trmino al cuadrado por elsegundo trmino, más el triple del primertrmino por el cuadrado del segundo, menosel cubo del segundo trmino&!Eemplo +.- Calla el valor de- 5# 7 F6H

⇒ 1ubo del primer trmino- 5#6H 9 #H

⇒ )roducto del triple del primer trmino alcuadrado por el segundo-

H5#68 5F6 9 .F#8

⇒)roducto del triple del primer trmino porel cuadrado del segundo-

H5#6 5F68

9 DF#⇒ 1ubo del segundo trmino- 5F6H 9 .8F⇒ 4e tiene que-

5# 7 F6 9 #H 7 .F #8 7 DF# 7 .8F!Eemplo +8- Calla el valor de- 5H#* : D6H

⇒ 1ubo del primer trmino-5H#*6H 9 8D#.8!⇒ )roducto del triple del primer trmino alcuadrado por el segundo-

H5H#*68 5:D6 9 : .G/#G!⇒)roducto del triple del primer trmino porel cuadrado del segundo-

H5H#*6 5:D68 9 7 **.#*!⇒ 1ubo del segundo trmino- 5:D6H 9 : H*H!⇒ 4e tiene que-5H#* : D6H 9 8D#.8 : .G/#G 7 **.#* : H*H


11

BINOMIO AL CUBO

"R4CTICA DE CLASE


12/153

I.E.P. “Virgen de Guadalupe” 4to. Bimestre – Ciencias – Primer Grado -200a6 58# 7 H6H 9b6 5H# : G6H 9c6 5Dm8 : .*6H 9d6 5F#H 7 /6H 9e6 5H#m 7 6H 9f6 58#8J : *6H 9g6 5.,8# 7 F6H 9h6 5H,Fn 7 +,G6H 9i6 5.IF mG : .+6H 9

6 58ID #H+ 7 .6H 9

4ea el trinomio 5a 7 b 7 c6, si lo elevamos al

cuadrado, sería 5a 7 b 7 c68

, para hallar elresultado lo determinamos mediante lamultiplicación de polinomios, así-

2uego, se tiene-

5a7b7c689a87b87c878ab78ac78bc

4e interpreta de la siguiente manera- %0n trinomio elevado al cuadrado es igual alcuadrado del primer trmino más el cuadradodel segundo trmino más el cuadrado deltercer trmino más el doble producto delprimer trmino con el segundo más el dobleproducto del primer trmino con el tercero ymás el doble producto del segundo trminocon el tercer trmino&!

Eemplo +.- 3etermina el valor de-58a 7 Hb 7 *c68!

⇒ 1uadrado del .er! trmino-58a68 9 *a8

⇒ 1uadrado del 8do! trmino-5Hb68 9 /b8!

⇒ 1uadrado del Her! trmino-5*b68 9 .b8

⇒ 3oble producto del .er, trmino por el 8do!trmino- 858a6 5Hb6 9 .8ab

⇒ 3oble producto del .er! trmino por el 8do!trmino- 858a6 5*c6 9 .ac

⇒ 3oble producto del 8do! trmino por el Her!trmino- 85Hb6 5*c6 9 8*bc!

⇒ 4e tiene que- 58a 7 Hb 7 *c68 99 *a87/b87.b87.8ab7.ac 78*bc!

Eemplo +8- 3etermina el valor de-5H#H : *yF : F"68!

⇒ 1uadrado del .er! trmino-5H#H68 9 /#

⇒ 1uadrado del 8do! trmino-5:*yF689 .y.+

⇒ 1uadrado del Her! trmino-5:F"68 9 8F".8

⇒ 3oble producto del .er, trmino por el8do! trmino-85H#H6 5:*yF6 9 :8*#HyF

⇒ 3oble producto del .er! trmino porel 8do! trmino-

85H#H6 5:F"6 9 :H+#H"

⇒ 3oble producto del 8do! trmino por elHer! trmino-

85:*yF6 5:F"6 9 7*+yF"!⇒ 4e tiene que- 5H#H : *yF : F"68 9 /#7.y.+78F".8:8*#HyF:H+#H"7*+yF"

@esuelve cada una de las siguientese#presiones con los criterios de la propiedadque le corresponde-a6 5H# 7 *y 7 y68 9

b6 5F# 7 *y : H68 9

c6 5D# : Hy : G"68 9

d6 5: +,8a 7 +,Fb : +,H68

9e6 5√F : √D 7 √..68 9

1ompleta el siguiente cuadro-

5a 7 b68 a8 7 8ab 7 b8

5# 7 .*68

12

TRINOMIO AL CUADRADO

"R4CTICA DE CLASE

ACTIVIDADESCOM"LEMENTARIAS


13/153


5m.8 7 *68 5Hm# 7 68

5√D 7 √F68

5√.H#H 7.68

5a : b68 a8 : 8ab 7 b8

5#F : .F68

5h8+ : 8+68

5FBn : /68

5√.. : √.H68

58√Hp : H√868

5a 7 b6 5a : b6 a8 : b8

5aF 7 .65aF : .65#/ 7 865#/ : 865#* : √H65#* 7 √H65H√8#* : H65H 7 H√8#*6

5#H 7 F65F : #H6

5# 7 a65# 7 b6 #8 7 5a 7 b6# 7 ab5# 7 *65# 7 H65#*7F65#*7/65H√H#78√86 5H√H#:√F65D√F#:8√86 5D√F#:√D658#./ : .658#./ 7 .6

5a 7 b6 5a8 : ab 7 b86 aH 7 bH

5# 7 H6 5#8 : H# 7 /65#.+ 7 .6 5#8+ :#.+ 7 .65√F 7 √H6 5F : √.F 7 H6

5a : b6 5a8 7 ab 7 b86 aH : bH

5# : /6 5#8 7 /# 7 G.65#.+ : .65#8+ 7 #.+ 7 .65√D : √F6 5D 7 √.F 7 F6

5a 7 b6H aH 7 Ha8b 7 Hab8 7 bH

5#8F 7 .6H

58#F 7 H6H

5D√H # 7 /6H

5a : b6H aH : Ha8b 7 Hab8 : bH

5#8n : D6H5#n7. : H65√F ##:. : G6

5a 7 b 7 c68 a8 7 b8 7 c8 7 8ab 78ac 7 8bc5#Hm 7 8# : *68

5√D : √F : √H68

+.6 1alcula- 5# 7 .6 5# : 86 : 5# : H6 5# 7 86!a6 :* b6:G c6 8d6 e6 *

+86 @educe- 5# : H6 5# : .6 : 5# : F6 5# 7 .6!a6 8 b6 F c6 G

d6 * e6 +H6 Efectúa- 5# 7 86 5# 7 H6 : #5# 7 F6

a6 F b6 c6 Dd6 G e6 /

+*6 @educe- 5# 7 H6 5# : 6 : #5# : H6!a6 :/ b6 H c6 :Hd6 e6 :.G

+F6 Efectúa- 5# 7 868 : 5# : 868!a6 * b6 + c6 G#d6 *# e6 .#

+6 Efectúa- 5# 7 .68 7 5# : .68 : 8#8!a6 #8 b6 :#8 c6 +d6 8 e6 *#8

+D6 Efectúa- 5# 7 H68 : 5 # : H68!a6 .8 b6 + c6 *#d6 .G# e6 .8#

+G6 Efectúa- 5# 7 *68 7 5# : *68 : 85#8 : *6a6 8* b6 G c6 *d6 8 e6 +

+/6 @educe- 5# 7 .6 5# 7 86 : #8!a6 H# b6 # 7 8 c6 H# 7 8d6 H# 7 . e6 # 7 H

.+6 @educe- 5# : H6 5# 7 H6 7 /!a6 #8 b6 8# c6 8#8

d6 #8 7 .G e6 #8 : .G

..6 1alcula- 5# 7 86 5# 7 *6 : #5# 7 6!a6 .8# 7 G b6 # : .8 c6 G7 #c6 #8 e6 G

.86 @educe- 5# 7 .6 5# : F6 : #5# : *6!a6 #8 : .+# b6 . c6 Fd6 #8 e6 :F

.H6 @educe- 5# : 86 5# : H6 : #5# : F6 7 8!a6 G# 7 H b6 # 7 G c6 Gd6 G# 7 8 e6 #8 7 .+

.*6 Efectúa- 5# 7 H6 5# : .6 : 5# 7 *6 5# : 86!a6 :. b6 H c6 *d6 F e6 :D

13


14/153


.F6 Efectúa- 5# 7 *68 : 5# 7 6 5# 7 86! a6 . b6 8 c6 *

d6 e6 G

. Efectúa- 5# : H68 : 5# : D6 5# 7 .6!a6 . b68 c6H

d6 * e6 F

.D6 Calla el valor de-

( )2

5353A −−+=

a6 . b6 8 c6 H√Fd6 8√F e6 *

.G6 Calla el valor de-

( )2

yxyxB −++=

)ara- # 9 H; y 9 F!a6 .F b6 . c6 8d6 .* e6 .+

./6 4implifica-K 9 5# 7 a65# : a65#8 7 a86 5#* 7 a*6 7 aG!a6 #* b6 #G c6 #

d6 #. e6 +

8+6 Efectúa-=95# : .65#786 7 5# : H65#76:85# 7 .68!a6 :8+ b6 :.G c6 :88

d6 :8. e6 :./8.6 4i- a 7 b 9 *; ab 9 H, calcula- aH 7 b8!

'demás- a L b!a6 * b6 8G c6 .8d6 H+ e6 F

886 4i- a 7 b 9 ; ab 9 *, calcula- aH 7 bH!a6 .+G b6 .* c6 .8*d6 .** e6 **

2xxD22 ++= −

8H6 4i- # 7 #:.

9 H!1alcula-a6 √F b6 8 c6 Hd6 * e6 >! '!

8*6 4implifica-E 9 5# : .6 5# 7 H6 # 7 .6 7 5# : .6 5# :86 5# 7 *6 : 85# 7 H6 5# 7 .6 5# : 86a6 + b6 # 7 D c6 # : D

d6 D : # e6 :5#7D6

8F6 4implifica la siguiente e#presión-

( ) ( )( )

( ) ( )( )

+

+−+

−

++−= 93

9299

83

828

1x

1xx1x

1x

1xx1xM

a6 5# 7 .6.D b6 5# : .6.D c6 #.D

d6 # e6 .

+.6 @esuelve-@ 95# 7 H68 7 5# : H6 5# 7 H6 : 8#8

a6 #7/ b6 .G c6 H#d6 # e6 +

+86 1alcula-) 9 58 7 #6 5# : 86 7 5. : #6 5. 7 #6a6 :H b6 :8 c6 .d6 H e6 *

+H6 @educe-M 9 5# 7 F6 5# : F6 7 5# 7 H6 5# : H6 : 8#8

a6 + b6 *#8 c6 :H*d6 H* e6 .*

+*6 1alcula-? 9 5# 7 .6 5# : .6 7 5# 7 H6 5# : H6 7 5F7 #6 5F : #6 : #8!a6 .F b6 .+ c6 :HFd6 HF e6 +

+F6 @educe-0 9 58# 7 F6 58# : F6 7 H+ : *#8!a6 :G#8 b6 + c6 .Fd6 .+ e6 F

+6 1alcula- 9 5H# 7 86 5H# : 86 : H5H#8 : 86a6 . b6 8 c6 Hd6 * e6

+D6 Efectúa-( 9 5# 7 H6 5# 7 F6 7 5 : #6 5 7 #6 : G#a6 :*D b6 :FH c6 Hd6 G e6 F.

+G6 @esuelve-C 9 5D 7 #6 5D : #6 7 5# 7 .6 5# : .6 7 5#7 *6 5# : *6 7 5F 7 #6 5F : #6!a6 *F b6 FD c6 :F.d6 FH e6 :*D

+/6 3etermina el valor de- 5# 7 .6H!a6 #87H#7H#87. b6 #H7H#87H#7.c6 #H7H#87H#7. d6 #H7H#7H#87H

14


15/153


e6 #H7 .

.+6 1alcula- 5# 7 H6H!a6 #H7/#878D#78D b6 #H7H#87/#78Dc6 #H78D#87/#78D d6 #H78D#878D#7/e6 #H78D#87/#78D

..6 @esuelve- @ 9 5# 7 86H 7 5# : 86H : 8#H!a6 :8*# b6 8#H c6 8*#d6 + e6 :8#H

.86 4i la diferencia de dos números es H y suproducto es *, calcula la suma de suscuadrados!a6 .D b6 . c6 .Hd6 D e6

.H6 @educe- K 9 5√H 7 √868 7 5√H : √868!a6 G b6 c6 Fd6 .8 e6 .+

.*6 4i la suma de dos números es √F y suproducto es 8, calcula la suma de suscuadrados!a6 b6 * c6 8d6 . e6 H

.F6 @educe-

( ) ( )( )( )4 84422 b ba ba ba baQ +−+++=

a6 a b6 b8 c6 a8

d6 b e6 ab

.6 4abiendo que- a 7 b 7 c 9 *; a8 7 b8 7

c8 9 ! Calla- ab 7 ac 7 bc!a6 H b6 * c6 Fd6 e6 D

.D6 3ados- # 7 y 9 H; #H 7 yH 9 /!Calla- %# ⋅ y&!a6 . b6 :. c6 8d6 :8 e6 H

.G6 Efectúa y simplifica-

( ) ( )[ ]222 72323A −−++=a6 √ : */ b6 8F c6 /d6 : H e6 √H : √8

./6 Efectúa-

[ ] [ ]22 32323232 −−++−++a6 . b6 F c6 Gd6 H e6 *

8+6 4implifica-

4 9 N5#7H65#:H67.+ON5#:*65#7*6 7 .FO7.a6 #* : . b6 . 7 #* c6 #8

d6 #* : #8 e6 : #*

8.6 Efectúa- P 9 G*H/D8 : G*H/DF8!a6 .GDH/+. b6 .DHGF/. c6 .GDH/F.

d6 .*GH/F. e6 8GDH/F.886 4implifica-

( )( )3 333 174917B +−+=a6 D b6 .8 c6 .d6 + e6 D

8H6 Calla el valor de-M 9 #8D 7 5. : #6 5. 7 # 7 #86 5. 7 #H 7#6 5. 7 #./ 7 #.G6!a6 . b6 :. c6 #H

d6 #

/

e6 #

8D

8*6 4implifica-

( ) ( )R.x;

13x

1x313xV

2

22

∈+

−++=

a6 # b6 8 c6 *d6 # 7 . e6 +

8F6 $ndica el valor reducido de-

( ) ( )( )8 84422 33535352M ++++=

a6 H b6 * c6 Fd6 D e6 /

15


16/153


=E1C' 3E@E$4$Q>

!!!I!!!I8++G (ACTORI?ACI-N 4e llama factori"aciónde un polinomio a la conversión de dichopolinomio en el producto de sus factoresprimos!

)or eemplo-

a6 2a factori"ación de-#8 : / 9 5# 7 H6 5# : H6!b6 2a factori"ación de-

#8 : D# 7 .8 es 5# : H6 5# : *6!

4e utili"a el producto notable-

a8 : b8 9 5a 7 b6 5a : b6

Este mtodo se utili"a para factori"arpolinomios que e#presan la diferencia de doscuadrados perfectos!

@E(2'- 4e e#trae la raí" cuadrada alminuendo y al sustraendo y se multiplica lasuma de estas raíces cuadradas por la

diferencia entre la raí" cuadrada delminuendo y la del sustraendo!

Ee!l# 01 (act#r)a 2 > 1%

∴#8 : . 9 5# 7 .6 5# : .6

Ee!l# 02 (act#r)a @ > @92%

∴ @ > @92 < 52 7 29 52 > 29

Ee!l# 03 =actori"a- . : 8F#n

16

(ACTORI?ACI-N "OR DI(ERENCIA DE


17/153


∴ . : 8F#n 9 5* 7 F#Hn6 5* : F#Hn6!

4e utili"a la identidad del producto de dosbinomios con trmino común, conocido comola identidad de 4tavin!

#8 7 5a 7 b6# 7 ab 9 5# 7 a6 5# 7 b6

Este mtodo se utili"a para factori"arpolinomios de la forma- #8 7 m# 7 n!

@E(2'-.R El trinomio se descompone en dosfactores binomios cuyo primer trmino es %#& Eemplos-a6 #8 7 F# 7 9 5# 6 5# 6 #

#

b6 #8 : D# 7 .+ 9 5# 6 5# 6

##

8R En el primer factor, despus de %#& seescribe el signo del segundo trmino deltrinomio y en el segundo factor, despusde %#& se escribe el signo que resulta demultiplicar los signos del segundo y tercertrmino del trinomio!a6 #8 7 F# 7 9 5# 7 6 5# 7 6

# 7# 7

b6 #8 : D# 7 .+ 9 5# : 6 5# : 6 # :

# :

HR 4i los dos factores binomios tienen en elmedio signos iguales se buscan dosnúmero cuya suma sea el valor absolutodel segundo trmino del trinomio y cuyoproducto sea el valor absoluto del tercertrmino del trinomio! Estos números sonlos segundos trminos de los binomios!

a6 #8 7 F# 7 9 5# 7 86 5# 7 H6 # 7 8

# 7 H

b6 #8 : D# 7 .+ 9 5# : F6 5# : 86 # : F

# : 8

*R 4i los dos factores binomios tienen en elmedio signos distintos se buscan dosnúmeros cuya diferencia sea el valorabsoluto del segundo trmino del trinomioy cuyo producto sea el valor absoluto deltercer trmino del trinomio! El mayor deestos números es el segundo trmino delprimer binomio y el menor el segundotrmino del segundo binomio!a6 #8 7 /# : .+ 9 5# 7 .+6 5# : .6

# 7.+

# : .

b6 #8 : ..# : 8 9 5# : .H6 5# 7 86# : .H# 7 8

)@1?$1' 3E 12'4E

+.6 0ne con una flecha las e#presionesequivalentes-

a6 #8 : /y8 $! 5#:/6 5#:*6

b6 8F#8 : */ $$! 5#7Hy65#:Hy6

c6 H#8 : . $$$! 5# 7.+6 5#:86

d6 #8 : .H# 7 H $! 5F#7D6 5F#:D6

e6 #8 7 G# : 8+ ! 5#7*65#:*6

+86$ndica la suma de los factores primos encada una de las siguientes igualdades-a6 *#8 : G. 9 58# 7 /6 58# : /6

b6 #8 : * 9 5# 7 G6 5# : G6

c6 #8

: D# : .G 9 5# : /6 5# 7 86d6 #8 7 F# : H 9 5# 7 /6 5# : *6

+H6 =actori"a-a6 #8 : 8Fy8 9

b6 m8 : . 9

c6 a8 : . 9

d6 . : *m8 9

e6 . : n8 9

17

(ACTORI?ACI-N "OR DI(ERENCIA DE CUADRADOS


18/153


f6 * : #8 9

+*6 =actori"a-a6 *#* : /y* 9

b6 .++m8n8 : ./y* 9

c6 a8m : .8. 9d6 H.#* : .** 9

e6 m* : */n8 9

f6 .8.#8 : *y* 9

+F6 =actori"a-a6 .I/ : *#8 9

b6 .I*/ : *#8 I8F 9

c6 m8 I*/ : n8 I8F 9

d6 #8

I.++ : "*

IG. 9e6 .++m8n* : .I8F #* 9

f6 .# : y* I*/ 9

+6 0sando la diferencia de cuadrados,efectúa-a6 *D8 : HH8 9

b6 *F8 : .F8 9

c6 D8 : D*8 9

d6 .+.88 : .+..8 9

e6 H+F8 : H+8 9

f6 *+.F8 : *+.8 9+D6 =actori"a por aspa simple-

a6 #8 7 D# 7 .+ 9

b6 #8 7 H# : .+ 9

c6 #8 7 # : 8 9

d6 #8 : /y 7 8+ 9

e6 y8 : /y 7 G 9

f6 #8 : H# 7 8 9g6 y8 : *y 7 H 9

h6 #8 7 .+# 7 8. 9

i6 m8 : .8m 7 .. 9

6 #8 7 # : . 9

+G6 =actori"a-a6 y8 7 y : H+ 9

b6 n8 7 m : *+ 9

c6 #8 :8# : HF 9

d6 #8 7 HH : .*# 9

e6 c8 : .* : .Hc 9

f6 #8 7 F* : .F# 9

g6 #8 : .D# : + 9

h6 m8 : 8+m : H++ 9

i6 #8 : 8# : .G 9

6 a8 : *.a 7 *++ 9+/6 =actori"a-

a6 #* 7 F#8 7 * 9

b6 #G : 8#* : G+ 9

c6 5*#68 :85*#6 : .F 9

d6 #8 7 8a# : .Fa8 9

e6 5# : y68 7 85# : y6 : 8* 9

f6 #.+ 7 #F : 8+ 9

g6 #* 7 Da#8 : +a8 9

h6 5m : n68 7 F5m : n6 : 8* 9

i6 .F 7 8y : y8 9

6 m*b8 : .m8b 7 + 9.+6 1alcula el valor de-

a6 8H8 7 D8 7 858H6 5D6 9

b6 .8.8 7 ..D8 : 85.8.6 5..D6 9

c6 *8D8 7 *8F8 : 85*8D6 5*8F6 9

d6 .G8 7 H88 7 H5H86 9

e6 .H*8 7 8DG8 7 85.H*6 58DG6 9

+.6 0ne con las flechas las e#presionesequivalentes-a6 8Fm8 : */n8 $! 5y:8+65y:.+6

b6 H#8 : .8.y8 $$! 5Fm7Dn65Fm:Dn6

c6 y8 : H+y 7 8++ $$$! 5p76 5p:86

d6 p8 7 *p : .8 $! 5#7..65#:..6!+86 $ndica la suma de los factores primos en

cada una de las siguientes igualdades-a6 */#8 : .** 9 5D# 7 .86 5D# : .86

b6 #8 : G. 9 5# 7 /6 5# : /6

c6 #8 7 .G# 7 F 9 5# 7 .H6 5# 7 F6

d6 #8 7 /# : D+ 9 5# 7 .*6 5# : F6

+H6 =actori"a-a6 .#8 : y8 9

18


19/153


b6 p8 : / 9

c6 *#8 : 8F 9

d6 . : a8b* 9

e6 ./ : #8 9

f6 88F : **.#* 9

g6 H m : . 9

h6 ./p8q : * 9

i6 .**a* : 8G/b 9

6 F8/m : H.nG 9+*6 =actori"a-

a6 8FI*/ a*b : *I/ c8 9

b6 /I.8. #* : 8FI* y* 9

c6 .I.++ p* : *IG. q8 9

d6 HI.8. m8 : ./I8G/ n8 9

e6 .IH #8 : *IG. 9

f6 .8.I./ p : */IG. q.+ 9

g6 8FI8G/ : .**I*++ mn8 9

h6 **.IF8/ #*y : *I/ 9

i6 /.I/++ b8c* : .I8F 9

6 D8/I.+G/ m8nn*m : . 9+F6 0sando la diferencia de cuadrados,

efectúa las siguientes e#presiones-a6 FG8 : *88 9

b6 DF8 : *F8 9

c6 8 : H*8 9

d6 .F8G8 : .F8D8 9

e6 G/8 : .+*8 9

f6 FD8.8 : FD888 9

g6 /GD*8 : /GDH8 9

h6 .++++8 : ////8 9

i6 HDHD8 : HDHDD8 9

6 FFFFF8

: FFFF*8

9+6 1alcula el valor de las siguientes

e#presiones-)9*8D8FFH+8 : 5*8D8FF8G×*8D8FFH86

S 9 /GD*HG*G+8 : 5/GD*HG*D/×/GD*HG*G.6

+D6 0tili"ándole mtodo de las aspas,factori"a las siguientes e#presiones-

a6 #8 7 G# 7 . 9b6 #8 7 .F# 7 F 9

c6 #8 7 .G# 7 DD 9

d6 p8 : ./# 7 /F 9

e6 #8 7 G# : G* 9

f6 #8 7 .# : H 9

g6 #8 : .8# : .+G 9

h6 #8 : 8.# : D8 9

i6 #8 7 H+# 7 .** 9

6 #8 7 HG# 7 ./8 9

+G6 =actori"a las siguientes e#presiones-

a6 #8 : H8# 7 ./8 9b6 "8 : *F" 7 8++ 9c6 p8 : *F# 7 8++ 9d6 m8 7 8Dm : H8* 9e6 B8 : .FB : .HF+ 9f6 #8 : G# : H+G 9g6 a* 7 .Ga8 7 DD 9h6 B* 7 *8B8 7 **+ 9i6 5# : y68 : HG5# : y6 7 8*+ 9

6 #.* : #D : 8.+ 9

+/6 1alcula el valor de las e#presiones

siguientes-a6 H8 7 .D8 7 85H6 5.D6 9

b6 *8H8 7 *.G8 : 85*8H6 5*.G6 9

c6 8*8 7 8+8 : *G58+6 9

d6 FH8 7 8H8 : .+58H6 9

e6 DH8 7 DHF8 7 85DHF6 5DH6 9

=E1C' 3E@E$4$Q>

!!!I!!!I8++G


20/153


=$@M' 3E2)@


21/153


1 9 7 5 - 2 0 0 8

GUÍA DE APRENDIZAJE DE ÁLGEBRA N° 1TEMA: -actor'.ac'/) II"#$NTENID$:

-actor #o%,) Mo)o%'o" -actor #o%,) Po')o%'o"

-actor #o%,) *or A2ru*ac'/) d!T+r%')os"

Este mtodo busca un factor común a todos y

cada uno de los trminos de un

polinomio! Este factor resultará ser un

monomio! El mismo que debemos

encontrar!

%3ado un polinomio, lo primero quetendremos que hacer para hallar el =actor1omún Monomio 5=1M6 será encontrar elMá#imo 1omún 3ivisor 5M136 de loscoeficientes, ste será el coeficiente del =1M!Eemplo +.- =actori"a el polinomio- *a# 7

.*b# 7 c#!Callamos el M13 de cada trmino, por elmtodo abreviado, así-

El M13 es 8#! Tste número será elcoeficiente del =1M que se busca!Entonces, factori"amos-*a# 7 .*b# 7 c# 9 8# 58a7Db#7c#6

EPEM)2< +8- =actori"a el polinomio- G#* U*#8y 7 .#Fy8!

Callamos el M13 de cada trmino, por elmtodo abreviado, así-

El M13 es *#8y! Tste número será elcoeficiente del =1M que se busca!Entonces, factori"amos-G#* U *#8y 7 .#Fy 9 *#858#8Uy7*#8y86

=actori"a las siguientes e#presiones-.6 mn 7 .Gpq 9

86 HF# 7 *8y U F" 9

H6 Hab U G*cd 7 .H8 9

*6 .+*#H 7 DG#8 U .G8# U 8H* 9

F6 8G+y* 7 *8+yH U 8.+y8 U */+y 7 *FF

6 8GGbF 7 8.+bH 7 G.b8 U H.8+bG 9

D6 Hab U ac 9G6 Gam8 7 .*bm8 9

/6 Fab# U .Faby U 8+ab# 7 DFab" 9

.+6 HF#Hy8 7 F#H"F U *G#H 9

..6 V am 7 V bm U V cm 7 V dm U V

.86 *aHb*"H 7 8a8b"* 9

.H6 8aHb8 7 Ga8bH U .8aHbH 9

.*6 8.mFn U D+m*n8 7 HmHnH U Fm8n

.F6 .Ga#

F

y

F

U H#

*

y

H

U F*#

8

y

G

7 D8#

*

y

F

9.6 /+bH 7 .+GbF U ..DbD U 8H*b 9

.D6 .Ga#FyH U H#*yH U F*#8yG 9

.G6 8*m8nH 7 D8mHn U *Gm*nG 9

./6 +,.pq 7 +,8p8qH U +,HpHqF U +,FpqD9

8+6 8,*c*d.+ U D,8cGd/ U .8c.8d. 9

Este caso se presenta cuando el factor común

que aparece es un polinomio!Eemplo +.- =actori"a el polinomio-) 9 c5a 7 b6 7 d5a 7 b6 7 e5a 7 b6!

⇒ E#traemos el factor común polinomio- 5a 7 b6,⇒ 2uego, se divide cada parte del polinomio

entre el factor común polinomio, así-

21

(ACTOR COMN MONOMIO "R4CTICA DE CLASE

(ACTOR COMN "OLINOMIO


22/153


e. ba

b)e(a d;

ba

b)d(a c;

ba

b)c(a=

++

=++

=++

⇒ El segundo factor es- 5c 7 d 7 e6!⇒ =inalmente, se escribe el producto de los

factores, así-) 9 5a 7 b6 5c 7 d 7 e6!

Eemplo +8- =actori"a el polinomio-@ 95a 7 .68 5y 7 .6 U 5a 7 .6 5y 7 .68!

⇒ E#traemos el factor común polinomio-5a 7 .6 5y 7 .6!

⇒ 2uego, se divide cada parte del polinomioentre el factor común polinomio, así-

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

1y

1y1a

1y1a 1;a

1y1a

1y1a22

+=++

+++=

++

++

⇒ El segundo factor es- 5a 7 . 7 y 7 .69 5a 7 y 7 86!

⇒ =inalmente, se escribe el producto delos factores, así-

@ 95a 7 .6 5y 7 .6 5a 7 y 7 86!

Calla el factor común polinomio de cada uno

de los siguientes polinomios-

+.6 5a 7 86 U b5a 7 86 986 y5*# U H6 7 8"5*# U H6 9

H6 Hm58a 7 F6 U 8n58a 7 F6 U Fp58a 7F69

*6 *am5m8 U Hn6 : Fbn5m8 U Hn6 9

F6 58a 7 H68 5b 7 F6 U 58a 7 H6 5b 7 F6H

6 H5a7.6H 5#7yU86F7D5a7.6F 5#7yU868

9

D6 8m5# U H6 7 *n5# U H6 U p5# U H6 9

G6 a5H#7D67b5H#7D67Fc5H#7D67Fd5H#7D6

/6 /a5# 7 y U .6 U Hb5# 7 yU.6U.Fc5# 7 y U.6 7 .8d5# 7 y U .6 9

.+6 5m7 n65mUn67Hn5m U n67Fp5m U n69

)ara e#plicarla, veamos el siguiente eemplo-

Eemplo +.- =actori"a- 4 9 a# 7 ay 7 b# 7by!

⇒ Esta e#presión con cuatro trminos no lapodemos factori"ar en dos binomios contrminos semeantes!En este caso el primer paso a seguir esaplicar la ley asociativa, que nos permitaencontrar un factor común para lograr lafactori"ación completa!

⇒ 'plicando la ley asociativa, se tiene-5a# 7 ay6 7 5b# 7 by6

⇒ En el primer binomio 5a# 7 by6,observamos que el factor común es %a&,por lo tanto podemos e#presarlo como-

a5# 7 y6!⇒ En el segundo binomio 5b# 7 by6,observamos que el factor común es %b&,por lo tanto podemos e#presarlo como-

b5# 7 y6!⇒ 3e esta forma se obtiene que- 4 9 a# 7 ay 7 b# 7 by 9 a5#7y67b5#7y6⇒ 4 9 5# 7 y6 5a 7 b6!

Eemplo +8- =actori"a-? 9 8a# 7 8b# U ay 7 Fa U by 7 Fb!

⇒ 'plicando la ley asociativa, se tiene- ? 9 58a# 7 8b#6 7 5:ay U by6 7 5Fa 7 Fb6 ? 9 8#5a 7 b6 7 5:y6 5a 7 b6 7 F5a 7 b6 ? 9 5a 7 b6 58# U y 7 F6!

'grupando trminos, factori"a los siguientespolinomios-

+.6 m# 7 n# 7 py 7 qy 9+86 Ha# U H# 7 *y U *ay 9

+H6 8#

8

U H#y U *# 7 y 9+*6 # 7 "8 U 8a# U 8a"8 9+F6 a# 7 ay U a" 7 # 7 y U " 9+6 8a# 7 8b# U ay 7FW U by 7 Fb 9+D6 Hm8 U mn 7 *m U Gn 9+G6 #8 U a8 7 # U a8# 9+/6 Hab#8 U 8y8 U 8#8 7 Haby8 9.+6 Ha# U 8by U 8b# U W 7 Hay 7 *b 9..6 a8y 7 ab8 U a#y U b8# 9.86 aH 7 a8 7 a 7 . 7 #8 7 a8#8 9.H6 HaH U Ha8b 7/ab8 : a8 7 ab U Hb8 9.*6 8#H U #h8 7 8#"8 U h"8 :Hhy8 7 #y8 9

22

"R4CTICA DE CLASE

(ACTOR COMN "OR A/RU"ACIN DE

T=RMINOS

"R4CTICA DE CLASE


23/153

I.E.P. “Virgen de Guadalupe” 4to. Bimestre – Ciencias – Primer Grado -200.F6 ab#H 7 b8#8 U a8#8 U a8b# U ab# 7 aH

.6a8bHUnH7a8bH#8:n*#8UHa8bH#7Hn* #

.D6amUan7a#Ubn7cn7bmUcm7b#Uc# 9

.G6.Ga#HUF*a#87.GayHUF*ay8 7.Gay 7 .GayU F*a# U F*a 9

./6 .+am8#" U .Fm8#" 7 .+a# U .Fb# UGam8y" 7 .8bm8y" U Gay 7 .8by 9

8+6 #m7. 7 #m78 U #n7. U #n78 9

+.6 =actori"a-a6 .8mn 7 /rs 9b6 *8a 7 Hb U HFc 7 Fd 9c6 *8ab U D+cd 7 .F*mn 9d6 .D#H 7 8DF#8 U *.G# U 8* 9e6 HDGy*7/yHU8.+y8UF*y7*8+ 9f6 /8FbF7F.GbH7D+Hb8UHD+b7G8 9

+86 =actori"a-

a6 /mn 7 .Gmp 9b6 *m8n8 7 8*m8n U 8Gm8 9c6 DhB#8 7 8.hB# 7 .*hB 9d6 .GamF 7 HbmF U 8DcmF 9

e6

=−++ y5

3xy

5

3yx

5

3yx

5

3 23

f6 F*#FyH 7 *8#F"F U D8#F 9+H6 =actori"a-

a6 a8

b U ab8

9b6 p8q 7 8*pq8 9c6 .8#Hy U *G#8y8 9d6 H#8 U .8#H 7 .G# 9e6 /#8yH U 8D#HyH U /# 9f6 ./aFbHc U .HabH 9

+*6 =actori"a-a6 *a8b 7 8ab 7 ab8 9b6 H#8 U # 7 /#* 9c6 8#H U *IH #8 7 8# 9d6 F#Hy U .+#8y8 7 .F#yH 9e6 8FaHb8 U .+aFy8 7 Fa8bHy 7 .FabF9f6 X a8#Hy 7 /aF#8yH U a*# 7 .8a#*9

+F6 Calla el factor común polinomio de cadauno de los siguientes polinomios-

a6 m 5Hm 7 8n6 U 8n 5Hm 7 8n6 9

b6 .*a5F#U867Fb5F#U86UHF5F#U869

c6 5*a7.6F 58b7H68U5*a7.6 58b7H689

d6.F5a7*6H58#7yUF6F7D5a7*6F58#7yU F6H

e6.am5m87Gn6 U *Gbn5m87Gn6 7 Fab5m8 7 Gn6 9

f6 Ha 5F# 7 8y6 U 8*b 5F# 7 8y6 U *8c

5F# 7 8y6 9

+6 Calla el factor común polinomio de cadauno de los siguientes polinomios-

a6 .a 58#UH67.8b 58#UH6 U 8+c 58# UH69

b6 m 5F#7H6 U .Fn 5F# 7 H6 7 /p 5F# 7 H6 7.8q 5F# 7 H6 9

c6 *8a 58#7*yU.6 U .*b58#7*yU.6 UFc58#7*yU.6 7 Fd58# 7 *y U.6 9

d6 58m 7 n6 5m U n6 7 Hn5m U n6 7 Fp5m Un6 9

e6 D8# 58aUFbUHc67G*y 58aUFbUHc6 7 F* "58aUFbUHc67.G58aUFbUHc6

f6 .Fa58a8 U Dab 7 b86 U 8Fb58a8 U Dab 7 b867 HFc 58a8 U Dab 7 b86 :F+58a8 U Dab 7b86 9

+D6 'grupando trminos, factori"a lossiguientes polinomios-

a6 /mn 7 .Gmp U 8Dmq 9

b6 *ac 7 8bc U 8ad U bd 9

c6 .Fm# 7 m 7 #y U 8# U F#8 U Hmy9

d6 .F#HyF U 8F#*y8 7 .+#y* 9

e6 .8.rHs* 7 DDr8s* U FFr*sH 9

f6 D# 7 y U #y U D U "8 7 #"8 9

g6H#H 7 8#8 U .F# U .+ 9

h6 Y a8#U8a#87a#UY ab78b#Ub

i6 a8#Ua#8U8a8y78a#yU#H78#8y

6 .Fa8UHamUHI8 aUFa#7m#7Y#

B6 .+IH a8b8 U GIH ab8y U 8+a# 7 .#y UFIH a8bH 7 *IH abHy 7 .+ab# U Gb#y 9

l6 Fam#H 78+amy U 8bm#H U Gbmy U

.+an#H U *+any 9

m6 .+am8#" U .Fm8#" 7 .+a# U .Fb# U

Gam8y" 7 .8bm8y" U Gay 7 .8by9

n6 Fa8b# 7 a# 7 Da8# :Fa8by U ay U Da8y

9

23

"R4CTICA DOMICILIARIA


24/153

%%%%%%2008 OBSERVACIONES

(IRMA DEL"RO(ESOR

(IRMADEL ""%

((%

1 9 7 5 - 2 0 0 8

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA

“VIRGEN DE GUADALUPE”

NIVELSECUNDARIA DE MENORES

CICLO VI BIMESTRE IV

1er Grado

SECUNDARIA


25/153


26/153

IV BIMESTRE

Del 13 de Octubre 2008 al 16 de Dce!bre del 2008

El Tr+ul# De+c*+% Cla$cac*+% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8D

El Tr+ul#% "r#edade$% Cla$cac*+! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H+

I N D I C E

1, U+dad

2, U+dad


27/153


28/153

GUIA DE APRENDIZAJE N° 08Te!: L"ne!s Not!#$es %e un T&i'ngu$o I(

Conteni%o: )( L"ne!s not!#$es en e$ t&i'ngu$o(

*e%i!n!(Bise+t&i,(1 9 7 5 - 2 0 0 8

MEDIANA

De+c*+ Es el segmento de recta quetiene por e#tremos a un vrtice y al puntomedio del lado opuesto a dicho vrtice!

´AMes mediana del triángulo ABC.

´ EN es mediana del triángulo AEH.

BISECTRI?

En el triángulo, e#isten dos bisectrices, asaber-BISECTRI? INTERIOR Es el segmento quedivide a un ángulo interno en medidasiguales!

ṔE es bisectriz del triángulo APQ

BISECTRI? EFTERIOR Es el segmento quedivide a un ángulo e#terno en medidasiguales!

ÉR es bisectriz exterior del triángulo AEF

Q́E es bisectriz exterior del triángulo MPQ.

"R4CTICA DE CLASE

+.6 4i- B́N es mediana y ÁN 9 / cm,

halla %#&!

+86 4i- ṔE es mediana y S@ 9 8* cm!

Calla %#&!


29/153

ŃR es bisectriz del triángulo HNM +H6 4i- ĆE es bisectri", halla %#&!

+*6 Calla %α&, si- Q́F es bisectri"!

+F6 En el gráfico

ŔE

es bisectri" e#teriordel triángulo '@S! Calla- %φ %!

+6´ MN es bisectri" e#terior del triángulo

'?M, halla- %γ &!

+D6Q́N

es mediana! Calla- %γ &, si- >) 9.G cm!


+.6 (rafica el triángulo 'A1- m∠@ 9 *+Z!

2uego tra"a la bisectri" interior ĆE !

Calla- m∠'E1!

+86 (rafica el triángulo )S@ y tra"a la

mediana´ PM ! Calla SM, si- Q́R 9

8* cm!

+H6 4i- ÁE es bisectri", halla %#&!

+*6 Calla %#&, si- B́F bisectri"!


30/153

+G6 4i- B́M es mediana y 'M 7 '1 + *8

cm; halla M1!

+/6 En un triángulo 'A1- m∠A 9 F+Z y m∠19 *+Z! 2uego tra"ar la bisectri" interior

ÁE . Calla- m∠'EA!

.+6 En un triángulo )S@- m∠) 9 8+Z y m∠

*+Z! 2uego tra"ar la bisectri" interior

Q́F ! Calla- m∠S=@!

+F6 4i-´AM es mediana, halla %#&!

+64i- ṔN es mediana y S@9H+ cm, halla-

%#&!

+D6 4i-´ AE es bisectri", halla %α&!

+G6 Calla %#&, si-B́E es

bisectri" e#terior!

+/6 Calla- %α&, siF́ es

bisectri" e#terior!

.*6 4i- A3 es

bisectri" del

triángulo 'A1,

halla %#&!

.F6 4i- A= esbisectri", halla

%#&!


31/153

GUIA DE APRENDIZAJE N° 0-Te!: L"ne!s Not!#$es %e u T&i'ngu$o II(

Conteni%o: )( L"ne!s not!#$es en e$ t&i'ngu$o(

. A$tu&!(. *e%i!t&i,(1 9 7 5 - 2 0 0 8

.+6 Calla- %#&, siĆP es

bisectri" e#terior!

..6 Calla %#&, si- SEes bisectri"!

.86 Calla %#&, si 'E esbisectri"!

.H6 Calla %#&, si- E>es bisectri"e#terior deltriángulo '2E!

.6 4i- 1= esbisectri", halla-

%#&!

=E1C' 3E@E$4$Q>

[!!I[!!I8++G


32/153

ALTURADe+c*+ Es el segmento tra"ado desde unvrtice en forma perpendicular al ladoopuesto de un triángulo!

B́H es la altura del triángulo 'A1 relativa

a ÁC !

F́! es la altura del triángulo E>= relativa a

ÉN !

ÉN es la altura del triángulo 'E2 relativa a

Á! !

ŔH es la altura del triángulo )S@ relativa

L↔

es mediatri" de ÉF !

!"

↔

es mediatri" del lado A1!

n↔

es mediatri" relativa a ṔQ del

triángulo )S@!

m↔

es mediatri" relativa al lado '1 del

triángulo 'A1!

"R4CTICA DE CLASE

+.6 4i ES es altura, halla %#&!


33/153

al lado ṔQ !

MEDIATRI?

De+c*+ Es la recta perpendicular quepasa por el punto medio de un segmento de

recta!

+86 4i 2C es altura, halla- %α : β&!

+H6 2 es mediatri" de )=, halla %#&!

+*6 2 es mediatri" de 'A y 'A 9 8G cm, halla %#&!

+F6 En el gráfico >C es altura del triángulo

@M>, halla %#&!

+6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- m∠' 9

*GZ y m∠A 9 D*Z! Calla la medida del

menor ángulo formado por el lado A1 y la

mediatri" de '1!

.+6 (rafica el triángulo )S@ tal que- m∠) 9

F*Z y m∠S 9 DGZ; luego tra"a la

mediatri" de S@! Calla el menor ángulo

formado por la mediatri" y el lado )@!

"R4CTICA DOMICILIARIA +.6 4i A> es altura, Calla %θ&!

+86 Calla %#&, si- =M es altura-

+H6 Calla %#&, si- 2 es mediatri" de '1!

+*6 Calla %#&, si- n es mediatri" de 'A!


34/153

+D6 (raficar el triángulo )SM y la altura )C!

4i- m∠S 9 *Z y m∠M 9 *Z; halla el

ángulo formado por )C y )S!

+G6 (rafica el triángulo 'E= tal que- m∠' 9

HZ y m∠E 9 .+GZ; luego tra"a la altura

EC! Calla el ángulo formado por EC y E=!

+/6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- m∠1 9

H+Z; luego tra"a la altura 1C! Calla el

ángulo formado por A1 y 1C!

+F6 4i- 'C es altura, halla %# : y&!

+6 Calla %#&, si- 2 es mediatri" de AE!

+D6 4i- 1> es altura, halla %# : y&!

+G6 2 es mediatri" de AE, halla %α&!

+/6 '= es altura del triángulo 'M>, halla elsuplemento de %#&!

.+6 Calla %#&, si 2 es mediatri" de 'A!

.86 Calla- %θ&!

.H6 Calla %#&, si AC es altura!

.*6 En el gráfico, 2 es mediatri" de '1, halla- %#&!

.F6 Calla %#&, si 'M es mediana y A1 9 88cm!

.6 Calla %#&, si 1> es altura del triángulo'A1!


35/153

..6 Calla el complemento de %α&!

..6 Calla el complemento de %α&!

.D6 Calla %θ&, si 2 es mediatri" de A1!

.G6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- m∠' 9

HFZ; m∠A 9 ..+Z y 'A 9 .+ cm, luego

halla A1!

./6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- 'A 9

cm 9 A1, y m∠A 9 +Z, luego halla '1!

8+6 4i %a& es paralela a '1, halla %#&!

8.6 Calla %#&, de acuerdo a la gráfica!

886 Calla- %# : y&, 4i AC es altura deltriángulo 'A1!

8H6 \1ómo se llama la línea %n& para eltriángulo 'A1]

+*6 1alcula el complemento de la mitad delsuplemento de D+Z!

+F6 1alcula el complemento del doble delsuplemento de .F+Z!

+6 1alcula la diferencia entre las medidas deun ángulo de D+Z y su complemento!+D6 En la figura, calcula el valor de %#&, si el

complemento de %α& mide HGZ!

+G6 1alcula el valor de %#&, si- m II n!

+/6 ', A, 1 y 3 son puntos colineales yconsecutivos! 1alcula A1, si- '3 9 .D cmy '1 7 A3 9 8.!

.+6 M, >, @ y ? son puntos colineales y

consecutivos! 4i- M@ 9 @?, M> 9 8>@ : D,y 8M> 7 H>@ 7 *@? 9 FH, calcula >@!

..6 \' cuánto segundos se#agesimales


36/153

8*6 Calla %#&, si 'M es mediana del triángulo'A1!

MISCEL4NEA+.6 ', A y 1 son tres puntos colineales y

consecutivos! 'demás- '1 9 F8 y *'A 9/A1, calcula A1!

+86 ', A, 1 y 3 son puntos colineales yconsecutivos! 'demás- A1 9 13 9 8'A y'1 7 A3 9 F, calcula '3!

+H6 1alcula el suplemento del complementode FHZ!

equivales- 8ZH8^*F&]

.86 E#presa en minutos se#agesimales-HZ**^8G& 7 .+GH8&!

.H6 4abiendo que- a 7 b 9 9 D+, calcula- a^b& 7 b^a&!

.*6 1alcula-#$ º %%

'

% +

$%º %&'

' .

.F6 1alcula el suplemento del triple de lamitad del complemento del doble de *+Z!

.6 2a diferencia entre las medidas de dosángulos complementarios es 8*Z, \cuántomide el mayor]

.D6 2as medidas de dos ángulossuplementarios se diferencian en H8Z!\1uánto mide el menor]

.G6 El mayor de dos ánguloscomplementarios mide el doble delmenor, \cuánto mide el menor]

./6 0no de dos ángulos suplementarios midecuatro veces el otro! \1uánto mide elmenor]

8+6 %α& y %θ& son unpar lineal! Elcomplemento de

%α& mide D8Z!\1uánto mide elcomplemento deθ I8]

8.6 %β& y %φ& son unpar lineal, cuyasmedidas se

diferencian en8Z! \1uántomide %β&,sabiendo que esmayor que %φ&!

886 El doble de unángulo, más eltriple de sucomplemento,resulta 8++Z!\1uánto mide

dicho ángulo]8H6 1alcula la medida

de un ángulo, sisu complemento

H.6 3os rectasparalelas sonintersecadas poruna secante; si lasmedidas de dosángulos conugadosinternos son entresí como F es a *,halla el menor deellos!

H86 3os ángulosconugadose#ternos, entreparalelas, miden-5*# 7 GZ6 y 5H# 7H/Z6,respectivamente!Calla el valor de

%#&!

HH6 En el cuadrilátero'A13- '1 esbisectri" del ∠A'3!4i %#& está encentímetros, hallael perímetro delcuadrilátero!


37/153

y suplementosuman 8.GZ!

8*6 El doble delcomplemento deun ángulo, más eltriple delsuplemento del

mismo ángulo,resulta H8+Z!\1uánto midedicho ángulo]

8F6 ', A, 1, 3, E y =son puntoscolineales yconsecutivos! 4i-'1 7 A3 7 1E 73= 9 AE 7 8*,calcula '=!

86 ', A y 1 sonpuntos colinealesy consecutivos! 4i'A 9 *+ cm y A19 8+ cm, calcula@A! 'demás- M,> y @ son puntosmedios de 'A, A1y '1,respectivamente!

8D6 4i- ', M, S, > y Ason puntoscolineales yconsecutivos,calcula 'S!'demás- 'M 9MS, S> 9 >A,M> 9 G m y MA 9.*!

8G6 4i- $, 3, 0, ', 2 yA son puntoscolineales y

consecutivos,calcula 02!'demás- 0' 930 : ., 21 _ $3 9/, $3 9 30, '2 921!

8/6 1alcula el valorde %#&, si p IIq!

H*6 En la figura- 2. II28, '= es bisectri"del ∠#'y, y, m∠A#'9 .8GZ, entonceshalla el valor de lam∠#='!

HF6 En la figura-m∠'E3 9 .8FZ!Calla- m∠' 7 m∠A7 m∠1 7 m∠3!

(EC.ADE

REVISI-N

&%%&%%2008

(IRMADEL"RO(ESO

R

(IRMADEL ""%

((%


38/153

NIVEL

SECUNDARIA DE MENRESCICL VI !IMES"RE IIV

NSTITUCI/N EDUCATIA PRIADA 1IRGEN DE GUADALU

ARI*3TICA

H+6 1alcula el valorde %α&, si m IIn!

1ºSECUNDARIA


39/153


40/153

CONTENIDOS

IV BIMESTRE

Del 13 de Octubre al 16 de Dce!bre

>úmeros 3ecimales! >ociones )revias [[[[[[[[[[[[[[[[[[[!!![[ p! H/

úmeros 3ecimales [[[[[![[[[[[[[[[[[[[[[[[ p! F

Ecuaciones de )rimer (rado con una variable [[[[[[[[[[[[[[[[[[ p!

Cuadr# de ReG$*+ de la$ /u;a$: Cuader+# 9 Ete+$#+e$

REVISI-N /UHA CUADERNO EFTENSI-N=E1C'

=$@M' 3E2 ))!==!

Cuadr# de "r#ra!ac*+ de "rctca$ Calcada$

N, DE "%C% 01 02 03 0@ 0 06=E1C'>


41/153


42/153

I Re$uelGe e+ #r!a +dGdual

.6 4i-3

1

2

1

4

3−+= '

H6 4i-2

11

11

++= %

Calla-6

5+ '

1alcula-3

2− %

4olución- 4olución-

86 E#presa en forma de fracción *6 Calla %#& en la siguiente ecuación-

la parte aclarada- 85H# U F67#9 U *58# U 6

4olución-

/UHA DE A"RENDI?AJE N, 10

N#!bre >úmeros 3ecimales! >ociones )revias

C#+te+d#$

1omprendas la importancia del estudio de los >úmeros 3ecimales

y ests en condiciones de resolver eercicios y problemas!

MOTIVACI-N


43/153

=@'11$Q>-

II EectKa

.6 H,F 7 8,D U F,*/.

86 8,GH # .+ 7 +,H/G # .++

H6[ ]3.3 08.010:8.1027.0 −+

*6 Calla %#& en- D# 7 G 9 H# 7 8D

F6 4i el metro de tela cuesta 8H,+ soles \1uánto costará H metros]

NMEROS DECIMALES

1% RE"RESENTACI-N DECIMAL DE UN NMERO RACIONAL

0na fracción que tiene la forma

10na

donde n ∈ >, se llama fracción decimal! 'sí son

fracciones decimales-

.;100000

125;

10000

12;

1000

5;

100

3;

10

1etc

• )ara transformar una fracción a una e#presión decimal o simplemente decimal, se divide

el numerador entre el denominador de la fracción!

'sí tenemos-

.;251100

125;0050

1000

5;030

100

3;1.0

10

1etc====

4i la fracción no es decimal, igualmente debe efectuarse la división, así-

→5

2

8 F 2uego-

405

2=

8+ +,*

+


44/153

→4

3

H * 2uego-

7504

3=

H+ +,DF 8+

+

→8

5

F G 2uego-

62508

5=

F+ +,8F 8+

*+

+

2os decimales- +,*; +,DF y +,8F se llaman decimales finitos o decimales terminantes!

'hora, veamos otros decimales-

→3

1

. H 2uego-

...33303

1=

.+ +,HHH!!! .+

.+

.

→11

9

/ .. 2uego-

...818181011

9=

/+ +,G.G.!!! 8+

/+

8+

/

...2777018

5=

y

...08333312

37=

2os decimales- +,HHH!!!; +,G.G.G.!!!; 8,+DDD!!! y H,+GHHH!!! se llaman decimales

periódicos! 2os decimales cuyo período se inicia inmediatamente despus de la coma

decimal suelen llamarse decimal periódico puro, tales como- +,HHH!!!, +,G.G.G.G!!!;

aquellos donde el período se inicia despus de una o más cifras que no pertenecen al

período, tales como- +,8DDD!!! y H,+GHHH!!! suelen llamarse decimal periódico mi#to!


45/153

ADVERTENCIA

• 0n decimal finito puede e#presarse como un decimal infinito si se agrega ceros! 'sí- +,F

9 +,F+++!!!;

• 0n número entero puede e#presarse como un decimal infinito! 'sí- 8 se puede e#presar

como- 8,+++!!! o como .,///!!! 'simismo- *,8FD puede e#presarse como- *,8F///!!!

2% LECTURA ESCRITURA DE DECIMALES

En un decimal, las cifras de la parte entera corresponde al orden de las unidades, decenas,

centenas, etc! y las cifras de la parte decimal corresponde al orden de los dcimos,

centsimos, milsimos, etc! 'sí-

+,+H*F se lee- %trescientos cuarenta y cinco die" milsimos&!

8F,++F se lee- %veinticinco enteros cinco milsimos&!

'simismo-

%die" die"milsimos& se escribe- +,++.+

%cinco enteros cincuenta millonsimos& se escribe- F,+++ +F+

3% CONVERSI-N DE UN DECIMAL A (RACCI-N

2a fracción correspondiente a un decimal se llama fracción generatri"; lo correcto sería

llamarlo número racional generador, porque todas las fracciones que pertenecen a la misma

clase dan el mismo decimal! )ara convertir un decimal a fracción, se procede de la

siguiente manera- si el decimal es finito, la fracción generatri" se obtiene escribiendo como

numerador la parte decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como

cifras decimales haya!

'sí-4

3

100

75750 ==

4

17

4

14

1000

12541254 =+=+=

4i el decimal es periódico puro, la fracción generatri" se obtiene escribiendo como

numerador un período y como denominador tantos nueves como cifras tiene el período!

'sí-11

2

99

18...1818180 ==

3

7

3

12

9

32...3332 =+=+=

4i el decimal es periódico mi#to, la fracción generatri" se obtiene escribiendo como

numerador la parte no periódica seguida de un período menos la parte no periódica y como

denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como

cifras tenga la parte no periódica!


46/153

'sí-6

1

90

15

90

116...16660 ==

−=

22

51

22

72

990

3152

990

33182...31818182 =+=+=

−+=

@% COM"ARACI-N DE DECIMALES

)ara establecer una ordenación entre números decimales podemos compararlos mediante

el procedimiento descrito en el eemplo siguiente-

Establecer una relación de orden entre- .H,* y .H,*Da6 4e comparan sus partes enteras

4i son distintas, se puede establecer inmediatamente la relación como en los números

naturales! 4i son iguales, como en este caso- .H 9 .H, continuamos!

b6 4e compara la primera cifra decimal!

.H, * ⇒ * 9 *; como son iguales debemos continuar!.H, * D

c6 4e compara la segunda cifra decimal!

.H, * + ⇒ completamos con ceros iguales el número de cifras y poder empe"ar!

.H, * D ⇒ D L +; por lo tanto- .H,*D L .H,*

• En los decimales negativos sucede lo contrario!

+,8 H L : +, 8 D ; pues- :H L :D@epasa la relación de orden para los números negativos en `!

ACTIVIDAD N, 01

E#presa las siguientes fracciones como números decimales e indica en cada uno si es finito oinfinito

=

=

=−

=

3

2)

6

7)

5

6)

4

3)

d

c

b

a

=

=

=

=

25

46)

20

17)

5

8)

15

8)

h

g

f

e

=

=

=−

=

40

23)

125

40)

10

15)

9

7)

l

-

j

i

.! 1opia los cuadros en tu cuaderno y compltalos


47/153

=@'11$Q> =@'11$Q>

3E1$M'2

>ME@<

3E1$M'2

=@'11$Q> >ME@<

3E1$M'2

>


48/153

b6 +,8 f6 +,H8* 6 .,*8

c6 +,H8 g6 +,./8 B6 8,+8

d6 +,.8G h6 +,*H8 l6 8,+*F

"R4CTICA DE CLASE

A .alla la ere$*+ dec!al de

.!25

17

H!18

35

8!17

4

*!60

17

2ee-

F! +,+.+ ! D,+++8Escribe-

D! 3iecisiete milsimos!

G! Suince enteros dos centsimos!

Calla la generatri" de-

/! +,+8F .8! D,8D8D8D!!!

.+!H,+F .H! +,GHHH!!!

..!+,*F*F*F!!! .*! 8..*G


49/153

=irma del

)rofesor=irma del ))!==! o

'poderado

MOTIVACI-NEectKa

/UHA DE A"RENDI?AJE N, 11

N#!bre úmeros 3ecimales

C#+te+d#$

1omprendas la importancia del estudio de las operaciones con

números decimales y ests en condiciones de resolver eercicios y

problemas!


50/153

.6

=+6

1

3

2

86 +,F 7 ., 9 H6

=⋅25

12

6

5

*6 ., # +,8 9 F6

=÷14

12

7

6

6 .8,H - .+ 9

D6

=

2

3

2

G6 5+,8689 /6

=36

25

.+6

=3 0080

O"ERACIONES CON NMEROS DECIMALES

1% ADICI-N SUSTRACCI-N DE NMEROS DECIMALES

)ara sumar números decimales, se escriben ordenadamente en columnas 5dcimos sobre

dcimos, centsimos sobre centsimos, milsimos sobre milsimos, etc!6 y se suman como

si fueran enteros colocando la coma en el resultado!

Eemplo- 4uma - F,H 7 +,8F*

4olución- F,H _ En la sustracción es necesario operar con

7 +,8F* decimales que tengan el mismo número de

cifras, por lo tanto completamos con

ceros cuando sea necesario!

Eemplo- @esta- D,F U H,8*

4olución- D,F+

: H,8*

*,8

ACTIVIDAD

.6 @esuelve las operaciones-

a6 HD8,*D b6 8,H c6 H8G,F d6 ,FG

H,G *D8,+ : .,/ :+,8*D 7 *+,+F .F,*D


51/153

86 Escribe ordenadamente en columnas y resuelve-

a6 8,GH 7 .,* 7 ./H,*8 f6 8,H U F,*

b6 .8*,G 7 8,F* 7 +,.8 g6 +,HG U +,8F.*

c6 ,8* 7 ,H/ 7 +,/H h6 *,8 U +,.GH/

d6 H,FG U +, i6 +, U +,+++8

e6 *.,8H. U 8,F

H6 @esuelve-

a6 ,*8 U +,F* 7 H8,G U 8, c6 UF,* U ,DG U 5+,H 7 *,G6

b6 .+, U 8.,* 7 .8,F U +,*F. d6 U+,*D U58,GD 7 8,6 U FG,.

2% MULTI"LICACI-N DE NMEROS DECIMALES

)ara multiplicar números decimales se procede como si fueran enteros y en el producto se

separan con una coma las cifras decimales que tienen en total ambos factores!

Eemplo- Multiplica- 8,D # +,*F Eemplo- Multiplica- .8, # *,DGF

4olución- 8,D # 4olución- .8, #

+,*F *,DGF

.HF 7 H+ 7

.+G .++G

.,8.F GG8

F+* !

+,8/.+

• )ara multiplicar un número decimal por una potencia de .+, se despla"a la coma

decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia!

Eemplos-

H,F*D # .+ 9 H,F*D

H,F*D # .++ 9 HF,*D

H,F*D # .+++ 9 HF*,D

ACTIVIDAD

1 Multlca

a6 .F,* # H,* d6 8,G # +, g6 8,H # .Fb6 8,D8 # ,+* e6 U*,G/ # .G h6 +,D # 8G

c6 ,D # +,+8 f6 H,F* # 8,D i6 U*8, # .H,F

'?E>1$Q>

,% e 'ecea$% e c/"ea c' ce$;

ea/:

H,F*D # .+++ +++ 9 H F*D++


52/153

2 Multlca e+ #r!a abreGada

a6 F*,8D. # .+ e6 +,*8 # .+ i6 +,+++G # .+

b6 F*8D. # .++ f6 ,*8 # .++ 6 +,+++G # .++

c6 F*,8D. # .+++ g6 D,FH # .+++ B6 +,+++G # .+++

d6 F*,8D. # .++++ h6 ,* # .++++ l6 +,+++G # .++++

3 Re$uelGe la$ $ue+te$ #erac#+e$ c#!b+ada$ 5recuerde la r#rdad de la$

#erac#+e$

a6 .H, U +,F/ 7 H,F # +,8 d6 5F,8 U 8H,GF6 # 5./,+ U 8.6

b6 8F,H U 5+,+ # G,F6 7 H, e6 5,* # +,+G6 U 5,+* # H,F6

c6 +,F # G,H U 8,F # +,+* f6 D,8 7 H, # 5*,H U H,G6

3% DIVISI-N DE NMEROS DECIMALES

'6 3$$4$Q> 3E 0> E>?E@< )


53/153

2% EectKa e$ta$ dG$#+e$

a6 / - .+++ c6 .D* - .+++ +++ e6 G+D - .++++

b6 DGH - .++ +++ d6 H*D8 - .++++ f6 8DH - .+++++

Calcula e$ta$ dG$#+e$

a6 D8++ - .+ e6 U/ G++ - .++++

b6 HH++ - .+++ f6 H*D++ - .+++++

@% Real)a e$ta$ dG$#+e$

a6 +, - .+ d6 H*F, G - .+++ g6 *,H/ - .++ 6 +,HG - .+++

b6 +,*F - .+ e6 +,D - .++ h6 ,H+ - .+++ B6 H,HD - .++++

c6 ,D - .+ f6 +,HF - .++ i6 +,/ - .+++ l6 H/* - .++++

% .alla el c#ce+te dec!al eact# dea6 F/ - 8 d6 .F - g6 DF - *G

b6 *H - G e6 // - .G h6 /,D8. - .

c6 GD - * f6 .H* - 8F i6 H,DF - DF

6% Calcula el c#ce+te dec!al de e$ta$ dG$#+e$ ar#!a+d# a$ta l#$ !l$!#$

a6 D-.8 d6 8H - .F g6 FG - 8H

b6 8* - .. e6 HG. - / h6 .8H - 8H

c6 *G - D f6 ** - i6 FD+/. - ./

EectKa la$ dG$#+e$

a6 DH,F - H d6 F,8.* - / g6 .+ H*8,.DF - H*

b6 *G,/ - .8 e6 ..F,D - .H h6 +,++/H - F

c6 D,*+G - G f6 8*D,H - /H i6 8*HF,.. -

AGerua el c#ce+te de e$ta$ dG$#+e$

a6 H* - +,+ c6 8GF - H, e6 .GFFH - H,HD g6 *H+ - .,.FH

b6 FH - +,++8 d6 F - +,G f6 .+8 - 8,8 h6 GH8 - 8.,+/

.alla el c#ce+te de e$ta$ dG$#+e$

a6 *F,* - 8,D c6 H,G - 8,HF e6 H./,DD - *,*.8

b6 /,D. - +,+++F d6 G,.8 - +,+H f6 .D/F,+H - .,.*


54/153

@% "OTENCIA DE BASE DECIMAL EF"ONENTE NATURAL

)ara elevar un número decimal a una potencia, se eleva como si fuese entero y de la

derecha del resultado se separan con una coma tantas cifras como e#prese el producto del

e#ponente por el número de cifras que tenga la base!

4egún esto para hallar 5+,++868 basta elevar 8 al cuadrado, 88 9 * y separar seis cifras

decimales 5H # 8 9 6 E#ponente

5+,++868 9 +,+++++/

Aase )otencia

eamos otros eemplos-

a6 5+,++F6H; basta elevar el F al cubo, FH 9 .8F, separar nueve cifras decimales 5H # H 9

/6 5+,++F6H 9 +,++++++.8F

b6 5+,+++H6*; basta elevar el H a la cuarta; H * 9 G., separar diecisis cifras decimales 5* #

*9.6 5+,+++H6* 9 +,++++++++++++++G.

"RO"IEDADES DE LAS "OTENCIAS

"RODUCTO DE "OTENCIAS DE I/UAL BASE

El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia de igual base, pero

con un e#ponente que es la suma de los e#ponentes de los factores, o sea-

am! an 9 am7n

Eemplos- Efectúa- a6 5+,H68 # 5+,H6H 9 5+,H687H 9 5+,H6F

b6 5+,++86F # 5+,++868 9 5+,++86F78 9 5+,++86D

COCIENTE DE DOS "OTENCIAS DE I/UAL BASE

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base, pero con un

e#ponente que es la diferencia de los e#ponentes de las potencias de dos, o sea-

nm

n

m

aa

a −=

Eemplos- Efectúa- a6

21)21()21()21(

)21( 1232

3

=== −

b6

5120)80()80()80(

)80( 3363

6

=== −

"OTENCIA DE "OTENCIA

e'c%a de $a e'c%a e %a" a 'a e'c%a de "a /%/a bae cy ex'e'e e e" $dc de "

ex'e'e dad ea

nmnm aa ×=)(


55/153

-

Eemplos- Efectúa- a6( )[ ] 155353 )20()20(20 == ×

b6( )[ ] 84242 )010()010(010 == ×

"OTENCIA DE UN "RODUCTO

2a potencia de un producto dado es igual al producto de la potencia %n& de cada uno de

los factores! < sea-

5a # b # c6n 9 an # bn # cn

Eemplos- Efectúa

a6 5+,8 # +,H68 9 5+,868 # 5+,H68 9 5+,+*6 # 5+,+/6 9 +,++H

b6 5+,+* # F68 9 5+,+*68 # 5F6H 9 +,++++* # .8F 9 +,++G

"OTENCIA DE UN COCIENTE2a potencia de e#ponente %n& de un cociente, es igual al cociente de las potencias de

e#ponente %n& del dividendo entre el divisor! < sea-

Eemplos- Efectúa-

a6

( )

( )49

4

196

040

961

20

41

20

412

22

====

b6

( )

( )

8

64

512

0640

5120

40

80

40

803

33

====

ACTIVIDAD

Efectúa las siguientes operaciones-

a6 5+,++.68 # 5+,++86H e6

=2

5

)40(

)40(

i6 N5+,.68OH

b6 5+,+H6* # 5+,+.6F f6

)010(

)010(3

6 N5+,++.6HO*

c6 5+,++H68 # 5+,++*6* g6

)0080(

)0080( 5

B6N5+,+86FO8

d6 5+,H6F # 5+,++.68 h6

3

4

)30(

)30(

l6 N5+,++*68OH

Efectúa las siguientes operaciones-


56/153

a6 5+,. # +,++86* d6 5+,++* # 68 g6

3

70

82

b6 5+,+8 # +,+H68 e6 5G # +,+++F6H h6

2

0040

0320

c6 5+,++. # +,*6H f6 5.8 # +,++868 i6

3

0040

0160

Empleando potencias de die", efectúa las siguientes operaciones-

a6

2

4

)020(

)0080(

c6

2

3

)00030(

)000450(

e6

3

22

)00030(

)0090()020( ×

b6

3

2

)040(

)00280(

d6

2

52

)0000040(

)0020()0060( ×

f6

33

62

)0010()20(

)000010()080(

×

×

% RADICACI-N DE NMEROS NATURALES DECIMALES

Eemplo .!

21025250 −×=@ecuerda que-

210250250 −×= nnn . ' . ' ×=×

1105250 −×= ' ' 'n n == 1

50105250 1 =×=∴ −

@pta!

RAH? CUADRADA DE DECIMALES

)ara hallar la raí" cuadrada de un decimal, se separan en grupos de dos cifras a partir de la

coma decimal hacia la i"quierda y hacia la derecha completando con ceros, si fuera

necesario, la parte decimal; luego se procede como en la raí" cuadrada de números

naturales pero cuidando ubicar correctamente la coma decimal en la raí"!

ACTIVIDAD

.! Efectúa las siguientes operaciones-

a6

810

d6

691

g6

256

6

3 0270

b6

02250

e6

295

h6

04104

B6

3 5120

c6

02890

f6

2137

i6

9640

l6

3 7281


57/153

8! Calla la raí" cuadrada de-

a6 G,/.8 c6 D8,/.G e6 FD,H*.F g6 H/D,8.G

b6 ,DH8 d6 H*,D/.G f6 H,.*.F/ h6 8+H,+8/

6% NOTACI-N CIENTH(ICA

2os números .+; .++; .+++; etc! uegan un papel muy importante en la notación decimal,y se llaman potencias de .+! un modo conveniente de indicar las potencias de .+ es

mediante el uso de e#ponentes-

.+. 9 .+

.+8 9 .+ # .+ ó .++

.+H 9 .+ # .+ # .+ ó .+++

.+* 9 .+ # .+ # .+ # .+ ó .++++

así sucesivamente, leemos %.+& %como die" a la cuarta&!En el trabao científico, se necesitan mtodos simples para representar números grandes,no resulta conveniente utili"ar el numeral .FF++++++ para indicar el número apro#imadode Bilómetros entre la ?ierra y el sol! 4in embargo, si nos damos cuenta que-

.FF++++++ 9 .FF # .++++++

)odemos decir que el sol dista .FF # .+ Bm! apro#imadamente a la ?ierra! 2a estrella máscercana 'lfa 1entauro está a 8F++++++++++++ millas, apro#imadamente de la tierra!)odemos e#presar este número así-

8F+++ +++ +++ +++ 9 8F # . +++ +++ +++ +++

)or tanto, podemos decir que 'lfa 1entauro está a 8F # .+ .8 millas de la ?ierra! ?ambin se

puede decir que está a 8,F # .+.8 millas de la ?ierra! )ara obtener 8,F # .+.H se ha

multiplicado y se ha dividido por .+ a la e#presión 8F # .+.8!

eamos-

1311212

12 10521010

25

10

1010251025 ×=×=

××=× +

4i un número está e#presado por un número entre uno y die" multiplicado por una

potencia de .+ dcimos que el número está e#presado en >


58/153

.! El valor de-

54

340

2

1⋅

−+

es-

a64

3

b6 D,F c64

3−

d6 +,8 e6 >!'!

8! El valor de la e#presión-5+, U +,+F6 - +,F, es-

a6 +,FF b6 +,8 c6 +,..

d6 .,. e6 +,F

H! El valor de la e#presión-

;20:3

120

−

es-

a6 :+,F b65

3

c62

1−

d65

3−

e6 :+,F

*! 2os3

2

de .8,/ equivalen a-

a6 D,DD b6 D,D c6 G,*d6 ./,D* e6 >!'!

F! 2a fracción4

3

e#presada como fracción

decimal se escribe-

a620

15

b6200

75

c610

9

d610

75

e6 >!'!

! El valor de la e#presión-

;290:450

60)02050(

+⋅−

esa6 +,..F8 b6 ..,F8 c6+,+D8

d6 .,.F8 e6 >!'!

D! \Su número dividido por +,+H da como

cociente +,*F]

a6 +,+.8 b6 +,.8 c6 .8,Fd6 .,8 e6 +,+G

G! 4i- # 9 +,H, el valor de- #87#7.; es-

a6 8,8 b6 .,HH c6 +,.H d6 .,H/ e6 >!'!

/! El valor de la e#presión 5+,+.6H es-

a6 . b6 +,+. c6 +,++.d6 +,++++. e6 +,+++++.

.+!El valor de la fracción-00240

0012040 ⋅

es-

a6 +,+8 b6 +,++8 c65

1

d65

3

e6 >!'!

..!2a e#presión- G,8.!.+:F

corresponde a-a6 +,+++++G8. b6 G8 .++ +++c6 +,+++G8. d6 +,++++G8.e6 G8.+++

.*!Puana compra .,G+ m de tela! 4i cada m!

cuesta 4I!HD,F+ \1uánto pagó]

.F! )atricia compra D,F Bg! de arro" a 4I!.,D+

cada Bg!, \cuánto es su vuelto si paga con

un billete de 4I!8+]

.!0n lote de terreno rectangular tienen G,F+

m de frente y 8+,*+ m de fondo! \cuánto

cuesta el lote, si cada m8 vale 4I!FD,DF]

.D!\cuál es el número que sumado con sus

+,.G partes se convierte en H/]\cuál es el

número cuya diferencia con sus +,8G

partes es *]

.G!4i a la diferencia de un número con +,D se

multiplica por .H y a este producto se le

agrega H,F se obtiene .+! \cuál es elnúmero]

a6 .8 b6 +,.8 c6 + d6 .,8 e6 .D,8


59/153

.8! El número +,+++GF es notación científica

se escribe como-

a6 GF # .+: b6 G,F # .+:F c6 GF # .+:H d6 GF # .+H

e6 G,F # .+:*

.H!El valor de la e#presión-12

7

9

550

3

1+−

es-

a6 +,F.* b6 +, c6 +,HG

d6216

49

e6 >!'!

./! \1uál es el número que al dividirse con

+,FGH se obtiene7

3

]

a6 8,F b6 8F c6 +,8F

d6 +,+8F e6 +,8F

"R4CTICA DOMICILIARIA.6 H,8* - +,G. es igual a-

a6 +,+* b6 +,* c6 *++d6 *+ e6 *

86 2a raí" cuadrada de +,+8G/ es-a6 +,.D b6 .,D c6 +,+.Dd6 +,++.D e6 .D

H6 2a fracción3

2−

se e#presa en númerodecimal como-a6 :+, b6 :+,+ c6 :+,

d6 :+, e6 :+,D

*6 El decimal +,8H es igual a la fracción!

a61023

b6923

c6307

d690

23

e699

23

F6 'l dividir H,G por +,8; la amplificacióncorrecta-a6 H,G - 8 b6 H,Gc6 HG, - 8 d6 HG, - 8+

e6 HG, - 8++

6 El producto +,++++8F # +,++* escrito enforma de potencia es-a6 .+ # .+* b6 .+D c6 .#.+:D

d6 . # .+:F e6 .++8

D6 4i- # 9 5+,68 7 5+,+F68 U 5+,*68

Entonces %#& equivale a-a6 8,+8F b6 5+,*F68 c6 5+,F68

d6 +,H8F e6 .,+F

G6 El valor de-5.+86:8 ! 5+,F # .+:H6:8; es-

a6

210

2

1⋅

b6

210

4

1⋅

c6 8!.+:.+

d6 * # .+8 e6 *!.+:.+

/6 \cuál de las siguientes e#presiones esigual a +++]$! +, # .+H $$! +,+ # .+F

$$$! # .+8 $! # .+Ha6 $ y $$ b6 $$ y $$$ c6$$$ y $d6 $$ y $ e6 $ y $

.F6 \1uál es la fracción que dividida por su

inversa da como cociente

49

223

a67

11

b67

13

c612

5

d611

7

e6 >!'!

.! Calla 2' suma de las cifras de la parte

periódica de185

1

!a6 .H b6 .8 c6 .F d6 .. e6 /

.D! El valor e#acto de la siguiente operación

es-

...7776

...)6663...)(12323230(


60/153

.+6 4i- +,+++++8.H 9 8,.H # .+p, entonces %p& es-a6 G b6 c6 :D d6 :G e6 :

..6El producto de-+,+++8 # +,++8 # +,+8 en notación

científica es-a6 +,G ! .+:.+ b6 +,+G ! .+:D

c6 +,G!.+:/

d6 G!.+:/

e6 5G!.+6:/

.86 5.+:8:.+:H68 resulta ser igual a-a6 .+:8 b6 +,/// c6 G.!.+:

d6 .+: e6 G.!.+:*

.H6El número .+H+ +++ +++! en notacióncientífica es-a6 .+H!.+D b6 .+H!.+.+

c6 .+,H!.+G d6 .,+H!.+.+

e6.,+H!.+/

.*6 \1uál es la fracción que sumada con suinversa da por resultado 8,+GHHH[]

a63

1

b67

2

c64

3

d69

1

e66

1

a63

2

b615

1

c65

1

d645

1

e65

3

.G! 4implifica-

( ) ( )10...166604+021603 +÷−=*

a6 +,8H b6 +,8F c6 :+,8Fd6 :+,8F e6 :+,DF

./! \cuánto le falta a +,H para ser igual a3

2

de los7

5

de11

6

de D]

a69

8

b65

11

c63

8

d611

16

e611

9

8+! \qu parte de +,HF es +,H]

a65

1

b66

7

c68

7

d616

15

e67

6

=E1C' 3E @E$4$Q> I I 8++G


61/153

)agará- 8+ 7 +,H+ # *+ 9 8+ 7 .8 9 H8 soles

Esta e#presión es una igualdad!

'hora bien si el mismo ta#ista el día siguiente paga en total 4I!HF,++ por dicho servicio,

\cuántos Bilómetros recorrió]

4i representamos por %n& el número de Bilómetros recorridos, el problema se e#presa así-

8+ 7 +,H+n 9 HF

Esta igualdad donde hay una letra 5cantidad desconocida6 se llama ecuación! 2a letra en estecaso %n&, se llama variable y su valor debe verificar la igualdad!

ECUACIONES DE "RIMER /RADO CON UNA VARIABLE

1% ECUACI-N

Es la afirmación de que dos e#presiones son iguales! 0na ecuación de la forma- a# 7 b 9 +,

donde a y b son números reales y a +, se llama Ecuac*+ L+eal o Ecuac*+ de "r!er

/rad#: porque el e#ponente de su variable es .! 'sí, son ecuaciones de primer grado-

# 7 H 9 /; 8# U G 9 .8;

1041

2=+ x

, etc!

En la ecuación # 7 H 9 / por eemplo, # 7 H se llama )rimer miembro y / se llama

4egundo Miembro de la Ecuación! En esta ecuación, el valor de %#& es , porque- 7 H 9

/, es decir, verifica a la igualdad; por tanto, es la raí" o solución de la ecuación!

2a raí" o solución de una ecuación puede e#presar en forma conuntista, por lo que

tambin suele llamarse 1onunto 4olución! 4i convenimos con denotar por 1s el conunto

solución, podemos escribir 1s 9 j

'hora sean las ecuaciones- # U 8 9 H, 8# 9 .+! El valor de %#& en ambas ecuaciones es F,porque- F U 8 9 H, 85F6 9 .+! Estas ecuaciones que tienen la misma solución se llaman

Ecuac#+e$ EuGale+te$%

2% RESOLUCI-N DE ECUACIONES DE "RIMER /RADO

@esolver una ecuación es hallar el conunto solución de la ecuación!j

Eemplo! 3ada la ecuación- *# 9 .8!

2a variable o incógnita es %#&, la raí" o valor de %#& que satisface la ecuación es- H!

2uego el conunto solución %H& de la ecuación es- 1s 9 Hj

3% "RO"IEDAD DE LA TRANS"OSICI-N DE T=RMINOS

1P Me!br#

L# ue e$t

2P Me!br#

"a$a4umando

@estando

Multiplicando

3ividiendo

@estando

4umando

3ividiendo

Multiplicando

@% RE/LA "ARA RESOLVER ECUACIONES DE "RIMER /RADO CON UNA VARIABLE)ara resolver una ecuación de primer grado con una variable se puede seguir este orden-

.6 4e suprimen los signos de colección, si los hay!

86 4e reduce la ecuación al común denominador, si es fraccionaria!


62/153

H6 4e resumen las variables en el )rimer miembro y los demás en el segundo

5transposición de trminos6!

*6 4e reducen los trminos semeantes, si los hay!

F6 4e despea la variable!

6 4e comprueba la ecuación resuelta, reempla"ando la variable por el valor hallado,

reducindola a una identidad!

% VOCABLO MATEM4TICO)ara que una ecuación est bien planteada; es recomendable que tengan en cuenta las

%palabras& que a continuación mencionamos que traducidas al vocablo matemático,

significan lo siguiente-

"alabra$ S+cad# Mate!tc#3E

3E2

3E 2


63/153

8# 7 . 9 D

H# 7 F 9 ..

F# U D 9 H

8# U . 9 ..

U# 7 F 9 :H# U .H

8# U 9 H# :.:.* 7 # 9 F# 78

.. 7 :D# 9 :/ U H#

:H# 7 8 U # 9 :F# 7 :/

8# 7 NH# U 5* 7#6O 9 +

# U NG U 5H# :.+6O 9 .+

N U 5H# U 86O U . 9 *#

* 7 N# U 5/ 7 8#6Oj U H 9 G# U 8/

H+ U 85F U #6 9 .+

2

1

3

12 −=+ x x

4

13

4

35 +=− x x

2

1

33

1

2+=+

x x

8

3

4105

3+=+

x x

@esuelve los siguientes problemas-

.6 0n número disminuido en D es igual a

G \cuál es el número]

86 \cuál es el número que aumentado en

.D es *H]

H6 4i al triple de un número se ledisminuye en D resulta el número

aumentado en /! \cuál es el número]

*6 \cuál es el número que aumentado en

su cuarta parte es igual a H+]

F6 2a suma de dos números consecutivos

es ..F! halla los números!

6 2a suma de tres números pares

consecutivos es :.8+! Callar los

números!D6 El cuádruplo de la diferencia de un

número con .H es 8G! \cuál es el

número]!

G6 2a mitad de la suma de un número con

H/ es 8/! Calla el número!

/6 En la elección para presidente de un

aula se presentaron H candidatos!

@osa obtuvo el triple de votos que

María y Elena tanto como sus doscompañeras untas! 4i en total votaron

*G alumnos! \cuál fue el resultado de

la votación]

.+6Puan tiene G reses más que 2uis y

)edro tanto como Puan y 2uis untos!

4i entre los tres tienen / reses!

\cuánto tiene cada uno]

..6 2a suma de dos números es . y su

diferencia /! Calla los números!

.86 0n número e#cede a otro en .*, su

suma es H! Calla los números!

.H6 @osa tiene el cuádruplo de dinero que

2idia; si diera 4I!*+ a 2idia entonces

tendría el doble! \cuánto tiene cada

una]

.*6 2a edad de un padre es el triple que

la de su hia y hace años era el

quíntuplo! \qu edad tiene cada uno]

.F6 El perímetro de un terreno

..612

12

412

13

28

7+=+−

x x x

.8634

27

+=

+

x

x

.H62

115=

− x

x

.*636

)5(3

8

4

6

3 +=

+−

+ x x x

.F6

0

10

73

5

3

3

12=

++

−−

+ x x x


64/153

rectangular mide *Gm! 1alcula sus

dimensiones si el largo es el doble que

el ancho!

.6El largo de un rectángulo e#cede al

ancho en Dm! y su suma es 8Hm! Calla

sus dimensiones, su área y su

perímetro


$6 @esuelve las siguientes ecuaciones

.6 .H U 8# 7 G 9 D# 7 .

86 .# U .H U .+# 9 G 7 ..# 7 8+

H6 .8# 7 *# 7 . 9 F# 7 D 7 8+

*6 H U N8# 7 5D U H#6O 9 G

F6 # 7 8 9 . U N* U 5F# U 6O

6 D U # U N8# U 5./ U #6Oj 9 H# U ..

D6 + 9 8/ U # 7 NH# U 5F# 7 8/6Oj

G6

12

3

119

2

1 −−

=+

x

/68

1

3

2

4

3+=− x x

.+66

5

10

3

3

1

5

2+=+

x x

.6

515

)1(4

10

)34(7=

+−

+ x x

@esuelve los siguientes problemas

.6 \1uál es el número que sumado a .+

nos da 8G]

86 \cuál es el número cuyo tripleproducto; aumentado en . es igual a

88]

H6 \cuál es el número cuyo triple del

número aumentado en 8 es igual a

*G]

*6 \cuál es el número cuyos3

2

;

aumentado en 8 es igual a sus6

5

disminuido en 8]

F6 3ividir 8D en dos partes tales que una

de ellas sea H unidades mayor que la

otra! Calla dichas partes!

6 El doble de un número aumentado en

D es H+!D6 El doble de un número, aumentado en

.. es 8D! \cuál es el número]

G6 2a suma de cuatro números

consecutivos es F+! Calla el mayor!

/6 2uego de sumar H+ a un número, se

multiplica por G, se obtiene lo mismo

que si al número se le hubiera

aumentado en *F+! \cuál es el

número].+6 1sar es .G años menor que Manuel

si la suma de sus edades es * años!

\cuántos años tiene cada uno]

..6Calla un número, cuyo cuádruplo,

disminuido en 8++ es igual al número

aumentado en .+++!

.86 4i al s#tuplo de lo que tengo le resto

G8+, entonces me quedaría *+ GG+!\cuánto tengo]

a6 D+F+ b6 G*+ c6 D+*+

d6 /F+ e6 >!'!

.F6kilo tiene D años menos que 'drián,

ambas edades suman F años! 4e

deduce que-

$! kiBo tiene 8. años!

$$! kilo tiene HF años$$$! 'drián tiene .G años!

a6 4ólo $ b6 4ólo $$

c6 $ y $$ d6 4ólo $$$ e6 >!'!


65/153

NIVEL

SECUNDARIA DE MENRESCICL VI !IMES"RE IV

NSTITUCI/N EDUCATIA PRIADA 1IRGEN DE GUADALU

.H6 1inco veces un número es .+

unidades más que el triple del mismo

número! Calla el cuádruplo del

número!

a6 8+ b6 8* c6 H

d6 *+ e6 .

.*6 Calla un número entero sabiendo quela quinta parte del cubo de su

diferencia con H es :8F!

a6 :. b6 :8 c6 H

d6 F e6 D

.6 2a suma de la tercera parte y la

cuarta parte de un número es igual a

su mitad más 8! \qu número es]

a6 .G b6 8 c6 .8

d6 8* e6 8G

=E1C' 3E

@E$4$Q> I I8++G OBSERVACIONES

=irma del

)rofesor=irma del ))!==! o

'poderado


66/153

R( *!te'ti+o *ATE*4TI

#

8

1Grado

SECUNDARIA


67/153

IV B I M E S R E

3el .H de


68/153

1asos!

/UHA N, 02 Su!at#ra$[[[[[[[[[[[[[[!D+

=ormula básica

/UHA N, 03 4rea$ [[[[[[[[[[[[[[[[[[!D*

?riangulos, cuadrado, rectángulo, rombo, círculo!

/UHA N, 0@ "#rce+tae$[[[[[[[[[[[[[[D/

'plicaciones!

REVISIÓN G U Í A S CUADERNO EXTENSIÓNFECHA

FIRMA DELPP.FF ó

APODERADO

Nº DEP.C. 01 02 03 04 05 0

FECHA

NOTA

FIRMADEL PP.FF

CAPITULO 02

CAPITULO 03

CAPITULO 04


69/153

GUIA DE APRENDIZAJE N5 )6

Tema: $e"a de $eContenido: ,%/"e y d%$eca.

)( REGLA DE TRES SI*PLE

Es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales, que tiene como objetivo hallar un

cuarto valor, dado tres valores correspondientes a estas dos magnitudes.


70/153

C!ases

1"1" Dire#ta: (Cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales).

Esquema:

D$%$

A !

& 'ue(os Costo )S*$

a1 ................... b1

a ................... b

a1, b1,

4 bimestre ciencias

Documents

Transcript of 4 bimestre ciencias