4 Lógica

Lógica

“Si tu padre fuera Dios me amarías, si no es así tu padre es el diablo.”

Jesucristo Jn 8:42

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formalSintaxis – que expresiones son legales

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formalSintaxis – que expresiones son legalesSemántica - que significado tiene una

expresión legal.

¿Qué es lógica?Un lenguaje formal Sintaxis – que expresiones son legales Semántica - que significado tiene una expresión legal. Sistema de prueba – una forma de manipular

sintacticamente expresiones para obtener otras expresiones sintácticas ( lo cual nos dirá algo nuevo)

Por qué probar? Dos clases de inferencias podría querer hacer un agente:



Por qué probar? Dos clases de inferencias podría querer hacer un agente: Múltiples percepciones => conclusiones acerca del mundo



Por qué probar? Dos clases de inferencias podría querer hacer un agente: Múltiples percepciones => conclusiones acerca del mundo Estado actual & operador => propiedades del próximo

estado

Sintaxis de lógica proposicional


Sintaxis : lo que tiene permitido escribirFor ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}


Sintaxis : lo que tiene permitido escribirFor ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...} Ideas verdes descoloridas duermen

furiosamente


Sintaxis : lo que tiene permitido escribirFor ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...} Ideas verdes descoloridas duermen

furiosamente

Sentencias (FBF : formulas bien formadas)


Sintaxis : lo que tiene permitido escribirFor ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...} Ideas verdes descoloridas duermen furiosamente

Sentencias (FBF : formulas bien formadas)Verdadero y falso son sentenciasVariables proposicionales son sentencias: P, Q,

R, Z




R, ZSi y son sentencias, entonces también lo

son• (), , , , ,




R, ZSi y son sentencias, entonces también lo

son• (), , , , ,

Nada adicional a esto es una sentencia

Precedencia

alta

baja

A B C A(B C)

AB CD (AB) (CD)

A BC D (A (BC)) D

•Las reglas de precedencia permiten “acortar” la forma de la sentencia, pero formalmente solo poner paréntesis es legal

•Formas sintacticamente ambiguas permiten acortar solo cuando son semánticamente equivalentes: A B C es equivalente a (A B) C y A (B C)

Semántica

Semántica

El significado de una sentencia es su valor de verdad {v, f}

Semántica

El significado de una sentencia es su valor de verdad {v, f}Una Interpretación es asignar un valor de verdad a una variable proposicional

Afirmar(, i ) [la sentencia es v en la interpretación i ]

Semántica

El significado de una sentencia es su valor de verdad {v, f}Una Interpretación es asignar un valor de verdad a una variable proposicional

Afirmar(, i ) [la sentencia es v en la interpretación i ]Fallar(, i) [la sentencia es f en la interpretación i ]

Reglas semánticas

Reglas semánticas

Afirmar(verdad, i) para toda i

Reglas semánticas

Afirmar(verdad, i) para toda iFallar(falso, i)

Reglas semánticasAfirmar(verdad, i) para toda iFallar(falso, i) para toda i

Afirmar(, i) si y solamente si fallar(, i) (negación)


Afirmar(, i) si y solamente si fallar(, i) (negación)Afirmar(, i) ssi afirmar(, i) y afirmar(, i)

(conjunción)


Afirmar(, i) si y solamente si fallar(, i) (negación)Afirmar(, i) ssi afirmar(, i) y afirmar(, i)

(conjunción)Afirmar( v , i) ssi afirmar(, i) or afirmar(, i)

(disyunción)

Reglas semánticasAfirmar(verdad, i) para toda iFallar(falso, i) para toda iAfirmar(, i) si y solamente si fallar(, i) (negación)Afirmar(, i) ssi afirmar(, i) y afirmar(, i)

(conjunción)Afirmar( v , i) ssi afirmar(, i) or afirmar(, i) (disyunción)

Afirmar(P, i) ssi i(P) = vFallar(P, i) ssi i(P) = f

Algunos atajos importantes

Algunos atajos importantes v ( condición, implicación)

antecedente consecuente



() () (bicondicional, equivalencia)




Tablas de verdadP Q P P Q P v Q P Q Q P P Q

f f t f f t t tf t t f t t f ft f f f t f t ft t f t t t t t




Tablas de verdadP Q P P Q P v Q P Q Q P P Q

f f t f f t t tf t t f t t f ft f f f t f t ft t f t t t t t

Observe que la implicación no es “casualidad”, si P es f entonces P Q es verdadera

Terminología

TerminologíaUna sentencia es válida ssi su valor de verdad es v en todas las interpretaciones.

Sentencias válidas: verdad, falsa, P v P



Una sentencia es satisfactible ssi su valor de verdad es v en al menos una interpretación.

Sentencias satisfactibles: P, verdad, P





Una sentencia es insatisfactible ssi su valor de verdad es f en todas las interpretaciones

Sentencias insatisfactibles: P P, falso, verdadero





Una sentencia es insatisfactible ssi su valor de verdad es f en todas las interpretaciones

Sentencias insatisfactibles: P P, falso, verdadero

Todas son decidible finitamente

EjemplosSentencia valida? Interpretación que hace el

valor de verdad de la sentencia = flee leelee v lee valida


valor de verdad de la sentencia = f

lee leelee v lee validalee aprende satisfactible, lee = t, aprende = f no válida


valor de verdad de la sentencia = f

lee leelee v lee validalee aprende satisfactible, lee = t, aprende = f no válida(l a)(la) satisfactible, l= f, a = t

no válido la = t, l a = f


valor de verdad de la sentencia = flee leelee v lee validalee aprende satisfactible, lee = t, apende = f no válida(l a)(la) satisfactible, l= f, a = t

no válido la = t, l a = f Contrapositiva

(la)(la) válida


valor de verdad de la sentencia = flee lee lee v lee validalee aprende satisfactible, fuma = t, fuego = f no válida(s f)(sf) satisfactible, s= f, f = t

no válido sf = t, s f = f Contrapositiva

(la)(al) válidab v d v (bd) válidab v d v b v d

Satisfactible

Relacionada a satisfacción de restriccionesDada una sentencia S, trate de encontrar una interpretación i tal que afirme(S, i)Análogo a encontrar una asignación de valores para variables tal que la restricción la afirme

SatisfactibleRelacionada a satisfacción de restriccionesDada una sentencia S, trate de encontrar una interpretación i tal que afirme(S, i)Análogo a encontrar una asignación de valores para variables tal que la restricción la afirmeMétodo de la fuerza bruta: enumerar todas las interpretaciones y revisar

SatisfactibleRelacionada a satisfacción de restriccionesDada una sentencia S, trate de encontrar una interpretación i tal que afirme(S, i)Análogo a encontrar una asignación de valores para variables tal que la restricción la afirmeMétodo de la fuerza bruta: enumerar todas las interpretaciones y revisarMejores métodos:

Búsqueda heurística Propagación de restricciones Búsqueda estocástica

Problemas satisfactiblesCalendarización de turnos de enfermería en un hospital Las variables proposicionales representarán, por ejemplo,

que Pat esta trabajando el martes a las 2. Las restricciones del calendario son representadas usando

expresiones lógica s sobre las variables.

Problemas satisfactiblesCalendarización de turnos de enfermería en un hospital Las variables proposicionales representarán, por ejemplo,

que Pat esta trabajando el martes a las 2. Las restricciones del calendario son representadas usando

expresiones lógicas sobre las variables.Encontrando errores(bug) en un software Variables proposicionales representan estados del programa Usando lógica para describir como el programa trabaja y

afirmar que hay un error Si la sentencia es satisfactible , ud. ha encontrado un error!

Una buena clase?

Una buena clase?

Imagine que sabemos: Si hoy esta soleado, entonces Tomás estará feliz

(SH) Si Tomas es feliz, la clase será buena (HG) Hoy está soleado

Debemos concluir que la clase será buena?

Chequeando interpretaciones


S H Gt t tt t ft f tt f ff t tf t ff f tf f f


S H G SH HG St t t t t tt t f t f tt f t f t tt f f f t tf t t t t ff t f t f ff f t t t ff f f t t f


S H G SH HG S Gt t t t t t tt t f t f t ft f t f t t tt f f f t t ff t t t t f tf t f t f f ff f t t t f tf f f t t f f Buena

clase

Agregando una variable

L S H G SH HG S Gt t t t t t t tt t t f t f t ft t f t f t t tt t f f f t t ft f t t t t f tt f t f t f f ft f f t t t f tt f f f t t ff t t t t t t tf t t f t f t f...

... ... ...

Derivación(emparejamiento)Una base de conocimiento (KB) deriva una sentencia S

ssi cada interpretación que hace KB verdadera también hace verdadera a S

KB S

interpretaciones interpretaciones

deriva

subconjunto

afirma afirma

Procesando la derivación Enumere todas las derivacionesSeleccione aquellas en las cuales todos los elementos de KB que son verdaderasRevise si S es verdadera en todas aquellas interpretaciones

KB S


deriva

subconjunto

afirma afirma

En general, se tendría una inmensa cantidad de interpretaciones

Procesando la derivación Una prueba es una forma de evaluar si una KB deriva una sentencia, sin enumerar todas las interpretaciones posibles.

KB S


deriva

subconjunto

afirma afirma

prueba

Prueba

PruebaPrueba es una secuencia de sentencias

PruebaPrueba es una secuencia de sentenciasLas primeras son premisas (KB)

PruebaPrueba es una secuencia de sentenciasLas primeras son premisas (KB)Luego, usted puede escribir en la siguiente línea el resultado de aplicar una regla de inferencia a las líneas previas.

PruebaPrueba es una secuencia de sentenciasLas primeras son premisas (KB)Luego, usted puede escribir en la siguiente línea el resultado de aplicar una regla de inferencia a las líneas previas.Cuando S esta el la línea, usted ha probado S de KB

PruebaPrueba es una secuencia de sentenciasLas primeras son premisas (KB)Luego, usted puede escribir en la siguiente línea el resultado de aplicar una regla de inferencia a las líneas previas.Cuando S esta el la línea, usted ha probado S de KB

Si las reglas de inferencia son contundentes, entonces cualquier S que pueda probar de KB podrá ser derivada de KB

Si las reglas de inferencia son completas, entonces cualquier S que sea derivada de KB puede ser probada desde KB

Deducción natural

Deducción natural

Algunas reglas de inferencia:

Modusponens

Deducción natural


Modusponens

Modustolens

Deducción natural


^ Modusponens

Modustolens Y - introducción

Deducción natural


^ ^

Modusponens

Modustolens Y - introducción Y - eliminación

Ejemplo de deducción natural

Paso Formula Derivación

Pruebe S



1 P ^ Q dada2 P R dada3 (Q ^ R) S dada

Pruebe S



1 P ^ Q dada2 P R dada3 (Q ^ R) S dada4 P 1 y-elimaci

Pruebe S


paso formula derivación1 P ^ Q dada2 P R dada3 (Q ^ R) S dada4 P 1 y-eliminación5 R 4, 2 Modus p

Pruebe S


paso formula derivación1 P ^ Q dada2 P R dada3 (Q ^ R) S dada4 P 1 y-eliminación5 R 4, 2 Modus p6 Q 1 y-elim

Pruebe S


paso formula derivación1 P ^ Q dada2 P R dada3 (Q ^ R) S dada4 P 1 y-eliminación5 R 4, 2 Modus p6 Q 1 y-elim7 Q R 5,6 Y-intro

Pruebe S


Paso Formula Derivación1 P ^ Q dada2 P R dada3 (Q ^ R) S dada4 P 1 y-eliminación5 R 4, 2 Modus p6 Q 1 y-elim7 Q R 5,6 Y-intro8 S 7, 3 Modus ponen

Pruebe S

Sistema de pruebaHay muchos sistemas de deducción natural; ellos son típicamente “chequeadores de prueba”, sólidas pero no completas.

Sistema de pruebaHay muchos sistemas de deducción natural; ellos son típicamente “chequeadores de prueba”, sólidas pero no completas.La deducción natural usa grandes cantidades de reglas de inferencia las cuales presentan un factor grande de ramificación en la búsqueda de una prueba.

Sistema de pruebaHay muchos sistemas de deducción natural; ellos son típicamente “chequeadores de prueba”, sólidas pero no completas.La deducción natural usa grandes cantidades de reglas de inferencia las cuales presentan un factor grande de ramificación en la búsqueda de una prueba.En general, usted necesita hacer “casos de prueba” los cuales introducen muchas mas ramificaciones.

1 P V Q2 Q R3 P R

Probando R

No importa de donde se derive

Resolución proposicionalRegla de resolución:

v v v Una única regla de inferencia es una prueba de sistema sólida y completa.Requiere que todas las sentencias sean convertidas a forma normal conjuntiva.

Lógica de Primer Orden

Lógica de Primer OrdenLa lógica proposicional trata con “hechos”, sentencias que pueden ser o no verdades del mundo, ej. “esta lloviendo”. Pero, no puede tener variables que puedan representar libros o mesas.

Lógica de Primer OrdenLa lógica proposicional trata con “hechos”, sentencias que pueden ser o no verdades del mundo, ej. “esta lloviendo”. Pero, no puede tener variables que puedan representar libros o mesas.

En la lógica de primer orden, las variables se refieren a cosas del mundo y, por tanto, usted puede cuantificar sobre ellas: hablar de todas ellas o algunas de ellas sin mencionarles el nombre explícitamente.

Motivación para la LPOHay sentencias que no pueden ser hechas en lógica proposicional pero pueden ser escritas en LPO Cuando usted pinta un bloque con pintura verde , esta se

vuelve verde. En lógica proposicional, necesitara una sentencia referida a cada

bloque individual, no se puede hacer una sentencia general acerca de todos los bloques.

Cuando se esteriliza un jarrón, todas las bacterias son eliminadas.

En LPO, podemos hablar acerca de todas las bacterias sin nombrarlas a ellas explícitamente.

- Una persona se le permite accesar a este sitio web si ella ha sido formalmente autorizado o ellas conocen a alguien que ha accesado.

Sintaxis de LPO

Términos

Sintaxis de LPOTérminosSímbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39

Sintaxis de LPOTérminosSímbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39Variables: x, y, a

Sintaxis de LPOTérminosSímbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39Variables: x, y, aFunción símbolo aplicada a uno o más términos:

f(x), f(f(x)), madre-de(Juan)



SentenciaUn símbolo predicado aplicado a cero o mas

términos:Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madre-

de(Juan), Juana)





de(Juan), Juana)t1 = t2

Sintaxis de LPOTérminos Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39 Variables: x, y, a Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)),

madre-de(Juan)



de(Juan), Juana)t1 = t2Si v es una variable y es una sentencia, entonces Para

toda v. y Existe v. son sentencias.

Sintaxis de LPOTérminos Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39 Variables: x, y, a Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madre-

de(Juan)

Sentencia Un símbolo predicado aplicado a cero o mas términos:

Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madre-de(Juan), Juana)

t1 = t2Si v es una variable y es una sentencia, entonces Para toda v. y

Existe v. son sentencias.Operadores: ^, v, ¬, =>, <=>, ( )

Tomado del Instituto Tecnológico de Massachusetts www.owc.mit.edu6.034 Artificial Intelligence 2004Archivo ch9-logic1a

Leer capitulo 7 del libro de Russell & Norvig

http://www.owc.mit.edu/

Ejercicios.1. Transforme a lógica proposicional

1. Si la temperatura supera los treinta grados, sube el consumo de energía eléctrica. Sube el consumo de energía eléctrica. Por lo tanto, la temperatura supera los treinta grados.2. Si gane la lotería, soy rico. No gane la lotería. Por lo tanto, no soy rico.3. Si Dios no existe, todo esta permitido. Dios existe. Por lo tanto, no todo esta permitido.4. Si hay seres inteligentes en otras galaxias y tienen una civilización mas avanzada que la nuestra, han visitado la Tierra. Hay seres inteligentes en otras galaxias. Por lo tanto, seres inteligentes de otras galaxias han visitado la Tierra.

2.Pruebe por las reglas de Deducción Natural

i) p v q v r ii) p v r iii) p v t q r v q q v s r p r v st p q p v q v r v u s v t v u

iv) p q v) p r p v q r q p

3. Todos los correntinos son argentinos. Algunos americanos son argentinos. Por lo tanto, algunos americanos son correntinos.4. Todo verdadero artista es sensible. Ningún hombre de negocios es un verdadero artista. Por lo tanto, ningún hombre de negocios es sensible. 5. Todos los comunistas admiran a Marx. Algunos profesores admiran a Marx. Por lo tanto, algunos profesores son comunistas.6. todo político que no cumple sus promesas es un mentiroso. Gómez es un político. Por lo tanto, Gómez es un mentiroso.

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