LóGica SesióN N°4

Predicados y Cuantificadores

Objetivos del tema

• Introducir los conceptos de predicado, dominio y dominio de verdad de predicados.

• Notación asociada

• Introducir los cuantificadores existencial y universal y conocer su función en la lógica de predicados.


Terminología - Definiciones• Para desarrollar el tema, necesitamos establecer

acuerdos para algunos términos. ****************

Llamaremos CONJUNTO a una colección de objetos cualquiera. A estos objetos se les llama también

elementos del conjunto.

Dado un conjunto cualquiera, entenderemos por VARIABLE la representación genérica de un

elemento cualquiera del conjunto

Para designar variables se utilizan las letras “x”, “y”, “z”.

Variables

• Las variables sustituyen al “fulano” o “mengano” del lenguaje común.

• En lugar de decir :

“Hay un fulano que vende barato esos productos”, diremos:

“Hay un x que vende barato esos productos”.

• En este ejemplo, x sería un “elemento genérico ” del conjunto de seres humanos .

Constantes

• A una palabra, letra o símbolo, lo llamaremos constante si y sólo si designa a un elemento determinado de un conjunto.

• Ejemplos:– Para el conjunto de los seres humanos:

José, Doris, Juan, Fabiola y Pedro serían constantes.

– Para el conjunto de animales:

Tucán, mono y tortuga, serían constantes.

Las constantes se designan también con letras minúsculas, usualmente : a,b,c,d…..

Predicados

Un predicado es un enunciado que contiene una o más variables, no es una proposición, pero se convierte en proposición cuando se sustituye

la o las variables por constantes.

Características esenciales de esta definición…

• es un enunciado

• contiene una o más variables

• no es una proposición

• se convierte en proposición cuando se sustituye la o las variables por constantes.

Notación de Predicados

Designaremos los Predicados con letras mayúsculas y al lado -entre paréntesis- pondremos la o las variables que están en el predicado.

• Ejemplos:P(x): x es rubioQ(y): y es un número parP(x,y): x es múltiplo de yR(z,t): z es un río de t

Veamos si son Predicados constatando con las características esenciales de la definición.

P(x): x es rubio• Enunciado con una variable(esta variable representa un elemento genérico del

conjunto de seres humanos)• No es proposición• Sustituyendo la variable por una constante…• P(Diego): “Diego es rubio” ¿Es proposición?......• Conclusión :P(x) es un predicado

Q(y): y es un número par• Enunciado con una variable(esta variable representa un elemento

genérico del conjunto de números enteros)

• No es proposición• Sustituyendo la variable “y”por una

constante del conjunto de los números enteros:– Q(2): “ 2 es un número par” – Q(77): “ 77 es un número par”

¿Es proposición?......• Conclusión :Q(y): es un predicado

P(x,y): x es múltiplo de y• Enunciado con dos variables(estas variables representan elementos

genéricos del conjunto de números enteros)

• No es proposición• Sustituyendo las variables por

constantes…– P(25,5): 25 es múltiplo de 5– P(25,4): 25 es múltiplo de 4

• Conclusión :P(x,y): es un predicado

R(z,t): z es un río de t• Enunciado con dos variables(z: objeto genérico del conjunto de ríost: objeto genérico del conjunto de países

del mundo• No es proposición• Sustituyendo las variables por

constantes…– R(Orinoco,Venezuela): El Orinoco es un río

de Venezuela– R(Danubio,España): El Danubio es un río

de España• Conclusión :R(z,t): es un predicado

Definición de Dominio de un Predicado

• Llamaremos dominio del predicado P(x), al conjunto formado por todas aquellas constantes que al ser sustituidas en el mismo, lo transforman en una proposición.

• Informalmente diríamos que el dominio de un predicado son todas aquellas constantes que tiene “sentido” considerar.

• El Dominio es lo que se conoce como Universo o Universo del discurso.

Ejemplos de Dominios

Predicados

2. x es un profesor de la UNIMET

4. x es par

6. z es una emisora de TV venezolana

Dominios

2. Conjunto de profesores universitarios

4. Conjunto de números enteros

5. Conjunto de emisoras de TV

Dominio de verdad

• El dominio de verdad de un predicado es el conjunto formado por todas las

constantes que al ser sustituidas en el predicado, lo convierten en una

proposición verdadera.

Características esenciales

• Es un conjunto formado por constantes

• Estas constantes, al ser sustituidas en el predicado, lo convierten en una proposición verdadera.

Ejemplos de Dominios de verdad

Predicados

2. x es un profesor de la UNIMET

4. x es par

6. z es una emisora de TV venezolana

Dominios de verdad

2. Conjunto de profesores de la UNIMET

3. Conjunto de números enteros pares

4. Conjunto de emisoras de TV venezolanas

Recordemos los objetivos……..

• Introducir los conceptos de predicado, dominio y dominio de verdad de predicados.


Sigamos con…..



¿Serán proposiciones?

• Todos los hombres son mortales• Todos son imparciales• Algunos estudiantes del curso FBMM02, lograron

aprobar el primer parcial.• Algunos animales son sucios• Todos los miembros de esta comisión han sido

estafados.• Cada uno necesita un mínimo de alimentos• Nada es imposible• A nadie le gusta la derrota

¿Qué tienen en común?¿Cuáles son las diferencias?




Simbolización con predicados

• Tomemos P(x): x mide más de 1,80

• Establezcamos que el dominio de P(x) son los seres humanos.

• Dependiendo de los x del dominio que consideremos, P(x) se convertirá en una proposición verdadera o en una proposición falsa.

• P(Ricardo) -> F P(Shaquille O`Neal) -> V


• P(x): x mide más de 1,80

• ¿Qué pasa cuando generalizamos o cuantificamos?....................

• “Todos miden más de 1,80 ” o “Algunos miden más de 1,80 ”………..

• Ya no hay duda respecto al valor de verdad de estas aseveraciones.

• Se ha convertido el predicado en una proposición.

Cuantificador Universal

Su símbolo es y se lee “para todo” (Todo, para cada, cada uno)

• Para simbolizar “Todos son imparciales”, haremos uso de los predicados y del cuantificador universal de la siguiente manera:

• Designamos : P(x) : “ x es imparcial”• La proposición original la simbolizaríamos como

sigue:• x : P(x), y se leería de la siguiente manera:

Para todo x, se verifica que x es imparcial.


Veamos otro ejemplo:• Proposición :Todas las organizaciones de derechos

humanos estarán vigilantes .• P(x): x es una organización de derechos humanos• Q(x): x estará vigilante.La simbolización en este caso sería:• x : P(x) Q(x), y se leería de la siguiente manera:Para todo x, se verifica que : Si x es una organización de

derechos humanos, entonces x estará vigilante.

Cuantificador Existencial

Su símbolo es y se lee “existe” (alguno, existe al menos uno,….)

• Para simbolizar “Algunos son imparciales”, haremos uso de los predicados y del cuantificador existencial de la siguiente manera:

• Designamos : P(x) : “ x es imparcial”• La proposición original la simbolizaríamos como sigue:

x / P(x), y se leería de la siguiente manera:Existe x, tal que x es imparcial.

Recordemos los objetivos……..



Ejercicios

Simbolizar los siguientes enunciados , usando cuantificadores y especificando los predicados en cada caso:

• Todas las mujeres tienen el cabello largo

• Algunos políticos no son respetados

• Los franceses aprecian el buen vino

• Los números divisibles por dos, son pares.

Todas las mujeres tienen el cabello largo

Caso 2:• Dominio: Seres humanos• Predicados. P(x): x es mujer Q(x) : x tiene el cabello largo

• Simbolización: x : P(x) Q(x)

Para todo x se verifica que si x es mujer, entonces x tiene el cabello largo

Simbolizar las siguientes proposiciones cuantificadas.




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